2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第三章三角恒等變換3.1.2兩角和與差的正弦余弦正切公式二學(xué)案含解析新人教A版必修4

PAGE3．1.2兩角和與差的正弦、余弦、正切公式(二)內(nèi)容標(biāo)準(zhǔn)學(xué)科素養(yǎng)1.能利用兩角和與差的正弦、余弦公式推導(dǎo)出兩角和與差的正切公式.2.能利用兩角和與差的正切公式進(jìn)行化簡(jiǎn)、求值、證明.3.熟識(shí)兩角和與差的正切公式的常見(jiàn)變形，并能敏捷應(yīng)用.發(fā)展邏輯推理提升數(shù)學(xué)運(yùn)算授課提示：對(duì)應(yīng)學(xué)生用書(shū)第76頁(yè)[基礎(chǔ)相識(shí)]學(xué)問(wèn)點(diǎn)兩角和與差的正切公式閱讀教材P129，思索并完成以下問(wèn)題怎樣由兩角和的正弦、余弦公式得到兩角和的正切公式？(1)由sin(α＋β)和cos(α＋β)，如何求tan(α＋β)?如何用tanα、tanβ表示tan(α＋β)?提示：tan(α＋β)＝eq\f(sin（α＋β）,cos（α＋β）)＝eq\f(sinαcosβ＋cosαsinβ,cosαcosβ－sinαsinβ).eq\o(→,\s\up7(分子、分母同除以cosαcosβ))＝eq\f(tanα＋tanβ,1－tanα·tanβ).(2)由sin(α－β)和cos(α－β)如何求tan(α－β)？如何用tanα、tanβ表示tan(α－β)?提示：tan(α－β)＝eq\f(sin（α－β）,cos（α－β）)＝eq\f(sinαcosβ－cosαsinβ,cosαcosβ＋sinαcosβ)＝eq\f(tanα－tanβ,1＋tanαtanβ).學(xué)問(wèn)梳理名稱(chēng)簡(jiǎn)記符號(hào)公式運(yùn)用條件兩角和的正切T(α＋β)tan(α＋β)＝eq\f(tanα＋tanβ,1－tanαtanβ)α，β，α＋β均不等于kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)兩角差的正切T(α－β)tan(α－β)＝eq\f(tanα－tanβ,1＋tanαtanβ)α，β，α－β均不等于kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)思索T(α＋β)與T(α－β)之間有什么關(guān)系？提示：將T(α＋β)中的β?lián)Q為－β可得T(α－β)．[自我檢測(cè)]1．若tanα＝3，tanβ＝eq\f(4,3)，則tan(α－β)等于()A.eq\f(1,3)B．－eq\f(1,3)C．3D．－3答案：A2．若taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋α))＝2，則tanα的值為()A.eq\f(1,3) B．－eq\f(1,3)C.eq\f(2,3) D．－eq\f(2,3)答案：A授課提示：對(duì)應(yīng)學(xué)生用書(shū)第77頁(yè)探究一正切公式的正用與逆用[教材P129～130例3、例4]方法步驟：正用：將某一角寫(xiě)成和、差型，干脆綻開(kāi)．逆用：構(gòu)造公式綻開(kāi)特征，形成某一角的正切．[例1]求下列各式的值：(1)tan105°；(2)eq\f(sin15°－cos15°,sin15°＋cos15°).[解析](1)tan105°＝tan(60°＋45°)＝eq\f(tan60°＋tan45°,1－tan60°·tan45°)＝eq\f(\r(3)＋1,1－\r(3))＝－2－eq\r(3).(2)eq\f(sin15°－cos15°,sin15°＋cos15°)＝eq\f(tan15°－1,tan15°＋1)＝eq\f(tan15°－tan45°,1＋tan15°·tan45°)＝tan(15°－45°)＝tan(－30°)＝－eq\f(\r(3),3).方法技巧1.干脆運(yùn)用兩角和與差的正切公式進(jìn)行求值、化簡(jiǎn)與證明的關(guān)鍵是精確記憶公式，特殊是Tα±β中的符號(hào)規(guī)律是“分子相同、分母相反”．2．對(duì)于不能干脆套用公式的狀況，需依據(jù)已知與未知進(jìn)行變形使之聯(lián)系起來(lái)，有時(shí)還要借助角的變換技巧．跟蹤探究1.若tanα＝eq\f(1,3)，tan(α＋β)＝eq\f(1,2)，則tanβ＝()A.eq\f(1,7)B.eq\f(1,6)C.eq\f(5,7)D.eq\f(5,6)解析：tanβ＝tan[(α＋β)－α]＝eq\f(tan（α＋β）－tanα,1＋tan（α＋β）tanα)＝eq\f(\f(1,2)－\f(1,3),1＋\f(1,2)×\f(1,3))＝eq\f(1,7).答案：A2.eq\f(1－\r(3)tan75°,\r(3)＋tan75°)＝________．解析：∵tan60°＝eq\r(3)，∴原式＝eq\f(1－tan60°tan75°,tan60°＋tan75°)＝eq\f(1,\f(tan60°＋tan75°,1－tan60°tan75°))＝eq\f(1,tan（60°＋75°）)＝－1.答案：－1探究二正切公式的變形應(yīng)用[教材P146A組4(2)題]求tan20°＋tan40°＋eq\r(3)tan20°·tan40°的值．解析：∵tan60°＝eq\f(tan20°＋tan40°,1－tan20°tan40°)＝eq\r(3)，∴tan20°＋tan40°＝eq\r(3)－eq\r(3)tan20°tan40°，∴tan20°＋tan40°＋eq\r(3)tan20°tan40°＝eq\r(3).[例2](1)求值：tan23°＋tan37°＋eq\r(3)tan23°tan37°＝________．(2)(1＋tan21°)(1＋tan22°)(1＋tan23°)(1＋tan24°)．[解析](1)法一：tan23°＋tan37°＋eq\r(3)tan23°tan37°＝tan(23°＋37°)(1－tan23°tan37°)＋eq\r(3)tan23°tan37°＝tan60°(1－tan23°tan37°)＋eq\r(3)tan23°tan37°＝eq\r(3).法二：∵tan(23°＋37°)＝eq\f(tan23°＋tan37°,1－tan23°tan37°)，∴eq\r(3)＝eq\f(tan23°＋tan37°,1－tan23°tan37°).∴eq\r(3)－eq\r(3)tan23°tan37°＝tan23°＋tan37°.∴tan23°＋tan37°＋eq\r(3)tan23°tan37°＝eq\r(3).(2)∵(1＋tan21°)(1＋tan24°)＝1＋tan21°＋tan24°＋tan21°tan24°＝1＋tan(21°＋24°)(1－tan21°tan24°)＋tan21°tan24°＝1＋(1－tan21°tan24°)tan45°＋tan21°tan24°＝1＋1－tan21°tan24°＋tan21°tan24°＝2.同理可得(1＋tan22°)(1＋tan23°)＝2，∴原式＝2×2＝4.方法技巧兩角和的正切公式的常用變形形式(1)tanα＋tanβ＝tan(α＋β)(1－tanαtanβ)．(2)1－tanαtanβ＝eq\f(tanα＋tanβ,tan（α＋β）).(3)tanα＋tanβ＋tanαtanβ·tan(α＋β)＝tan(α＋β)．(4)tanαtanβ＝1－eq\f(tanα＋tanβ,tan（α＋β）).跟蹤探究3.若銳角α，β滿(mǎn)意(1＋eq\r(3)tanα)(1＋eq\r(3)tanβ)＝4，求α＋β.解析：∵(1＋eq\r(3)tanα)(1＋eq\r(3)tanβ)＝1＋eq\r(3)(tanα＋tanβ)＋3tanαtanβ＝4，∴tanα＋tanβ＝eq\r(3)(1－tanαtanβ)．∴tan(α＋β)＝eq\f(tanα＋tanβ,1－tanαtanβ)＝eq\r(3).又∵α，β均為銳角，∴0°<α＋β<180°.∴α＋β＝60°.4．求值：(1＋tan1°)(1＋tan2°)…(1＋tan44°)．解析：(1＋tan1°)(1＋tan44°)＝2，∴(1＋tan1°)(1＋tan2°)…(1＋tan44°)＝(1＋tan1°)(1＋tan44°)(1＋tan2°)(1＋tan43°)…(1＋tan22°)(1＋tan23°)＝222.授課提示：對(duì)應(yīng)學(xué)生用書(shū)第77頁(yè)[課后小結(jié)]1．公式T(α±β)的結(jié)構(gòu)特征和符號(hào)規(guī)律(1)公式T(α±β)的右側(cè)為分式形式，其中分子為tanα與tanβ的和或差，分母為1與tanαtanβ的差或和．(2)符號(hào)改變規(guī)律可簡(jiǎn)記為“分子同，分母反”．2．應(yīng)用公式T(α±β)時(shí)要留意的問(wèn)題(1)公式的適用范圍由正切函數(shù)的定義可知，α，β，α＋β(或α－β)的終邊不能落在y軸上，即不為kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)．(2)公式的逆用一方面要熟記公式的結(jié)構(gòu)，另一方面要留意常值代換如taneq\f(π,4)＝1，taneq\f(π,6)＝eq\f(\r(3),3)，taneq\f(π,3)＝eq\r(3)等．特殊要留意taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋α))＝eq\f(1＋tanα,1－tanα)，taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－α))＝eq\f(1－tanα,1＋tanα).(3)公式的變形應(yīng)用只要用到tanα±tanβ，tanαtanβ時(shí)，有敏捷應(yīng)用公式T(α±β)的意識(shí)，就不難想到解題思路．特殊提示：tanα＋tanβ，tanαtanβ，簡(jiǎn)單與根與系數(shù)的關(guān)系聯(lián)系，應(yīng)留意此類(lèi)題型．[素養(yǎng)培優(yōu)]1．忽視角的范圍導(dǎo)致增解(1)首先依據(jù)角的三角函數(shù)值和給定的角的范圍，求角的另一三角函數(shù)值，然后再求值．(2)當(dāng)涉及和、差角時(shí)，肯定要精確求出和、差的范圍．[典例]已知sinα＝eq\f(\r(5),5)，且α為銳角，tanβ＝－3，且β為鈍角，則α＋β的值為()A.eq\f(π,4)B.eq\f(3π,4)C.eq\f(π,3)D.eq\f(2π,3)易錯(cuò)分析①忽視α銳角條件，求cosα?xí)r出現(xiàn)兩值．②忽視α＋β的范圍致錯(cuò)．自我訂正[解析]sinα＝eq\f(\r(5),5)，且α為銳角，則cosα＝eq\f(2\r(5),5)，tanα＝eq\f(1,2)，所以tan(α＋β)＝eq\f(tanα＋tanβ,1－tanαtanβ)＝eq\f(\f(1,2)－3,1－\f(1,2)×（－3）)＝－1.又因?yàn)棣粒隆蔱q\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，\f(3π,2)))，所以α＋β＝eq\f(3π,4).[答案]B2．運(yùn)用T(α±β)時(shí)或變形公式時(shí)，其特征致錯(cuò)(1)記準(zhǔn)公式的結(jié)構(gòu)和符號(hào)規(guī)律．(2)將“tanα±tanβ”、“tan(α＋β)”和“tanα·tanβ”看成一個(gè)整體，知其中兩個(gè)可求第三個(gè)．[典例]化簡(jiǎn)：tan10°tan20°＋tan20°tan60°＋tan60°tan10°＝________