2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第一章計數(shù)原理1.1第2課時兩個計數(shù)原理的綜合應(yīng)用學(xué)案含解析新人教A版選修2-3

PAGE其次課時兩個計數(shù)原理的綜合應(yīng)用內(nèi)容標(biāo)準(zhǔn)學(xué)科素養(yǎng)1.進(jìn)一步駕馭和理解分類加法計數(shù)原理和分步乘法計數(shù)原理．2.能應(yīng)用兩個計數(shù)原理解決實(shí)際問題.應(yīng)用數(shù)學(xué)抽象提升邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算授課提示：對應(yīng)學(xué)生用書第4頁[基礎(chǔ)相識]學(xué)問點(diǎn)一兩個計數(shù)原理的區(qū)分與聯(lián)系學(xué)問梳理分類加法計數(shù)原理分步乘法計數(shù)原理相同點(diǎn)用來計算完成一件事的方法種類不同點(diǎn)分類完成，類類相加分步完成，步步相乘每類方案中的每一種方法都能獨(dú)立完成這件事每步依次完成才算完成這件事(每步中的一種方法不能獨(dú)立完成這件事)留意點(diǎn)類類獨(dú)立，不重不漏步步相依，步驟完整學(xué)問點(diǎn)二兩個計數(shù)原理的應(yīng)用學(xué)問梳理解決較為困難的計數(shù)問題，一般要將兩個計數(shù)原理綜合應(yīng)用．運(yùn)用時要做到目的明確，層次分明，先后有序，還需特殊留意以下兩點(diǎn)：(1)合理分類，精確分步：處理計數(shù)問題，應(yīng)扣緊兩個原理，依據(jù)詳細(xì)問題首先弄清晰是“分類”還是“分步”，要搞清晰“分類”或者“分步”的詳細(xì)標(biāo)準(zhǔn)．分類時須要滿意兩個條件：①類與類之間要互斥(保證不重復(fù))；②總數(shù)要完備(保證不遺漏)，也就是要確定一個合理的分類標(biāo)準(zhǔn)．分步時應(yīng)按事務(wù)發(fā)生的連貫過程進(jìn)行分析，必需做到步與步之間相互獨(dú)立，互不干擾，并確保連續(xù)性．(2)特殊優(yōu)先，一般在后：解含有特殊元素、特殊位置的計數(shù)問題，一般應(yīng)優(yōu)先支配特殊元素，優(yōu)先確定特殊位置，再考慮其他元素與其他位置，體現(xiàn)出解題過程中的主次思想．[自我檢測]1．一項(xiàng)工作可以用兩種方法完成，有3人會用第1種方法完成，有5人會用第2種方法完成，從中選出1人來完成這項(xiàng)工作，不同的方法種數(shù)是()A．8 B．15C．16 D．30答案：A2．用數(shù)字2,3組成四位數(shù)，且數(shù)字2,3都至少出現(xiàn)一次，這樣的四位數(shù)共有________個．(用數(shù)字作答)答案：14授課提示：對應(yīng)學(xué)生用書第4頁探究一兩個計數(shù)原理在排數(shù)中的應(yīng)用[閱讀教材P6例5]給程序模塊命名，須要用3個字符，其中首字符要求用字母A～G或U～Z，后兩個要求用數(shù)字1～9，最多可以給多少個程序命名？題型：兩個計數(shù)原理的應(yīng)用方法步驟：(1)先選首字符共有7＋6＝13種不同選法．(2)再選中間的字符共有9種選法．最終一個字符共有9種選法．由分步計數(shù)原理共有13×9×9＝1053種．[例1]從0,1,2,3,4,5這六個數(shù)字中取四個數(shù)字組成一個四位數(shù)，問：(1)能組成多少個四位數(shù)？(2)能被5整除的四位數(shù)有多少個？[解析](1)第1步，千位上的數(shù)不能取0，只能取1,2,3,4,5，有5種選擇；第2步，因?yàn)榍蝗×艘粋€數(shù)，還剩下5個數(shù)供百位取，所以有5種選擇；第3步，因?yàn)榍?、百位分別取了一個數(shù)，還剩下4個數(shù)供十位取，所以有4種選擇；第4步，因?yàn)榍?、百位、十位分別取了一個數(shù)，還剩下3個數(shù)供個位取，所以有3種選擇．依據(jù)分步乘法計數(shù)原理，組成的四位數(shù)共有5×5×4×3＝300(個)．(2)因?yàn)闈M意要求的四位數(shù)能被5整除，所以個位上的數(shù)字只能是0或5.第1類，當(dāng)個位上的數(shù)字為0時，依次取千位、百位、十位上的數(shù)字，分別有5種選擇、4種選擇、3種選擇，所以有5×4×3＝60個滿意要求的四位數(shù)；第2類，當(dāng)個位數(shù)字為5時，依次取千位、百位、十位上的數(shù)字，分別有4種選擇、4種選擇、3種選擇，所以有4×4×3＝48個滿意要求的四位數(shù)．依據(jù)分類加法計數(shù)原理，能被5整除的四位數(shù)共有60＋48＝108(個)．方法技巧對于組數(shù)問題，應(yīng)駕馭以下原則：(1)明確特殊位置或特殊數(shù)字，是我們采納“分類”還是“分步”的關(guān)鍵．一般按特殊位置(末位或首位)分類，分類中再按特殊位置(或特殊元素)優(yōu)先的策略分步完成；假如正面分類較多，可采納間接法求解．(2)要留意數(shù)字“0”跟蹤探究1.用0,1,2,3,4五個數(shù)字，(1)可以排出多少個三位數(shù)字的電話號碼？(2)可以排成多少個三位數(shù)？(3)可以排成多少個能被2整除的無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)？解析：(1)三位數(shù)字的電話號碼，首位可以是0，數(shù)字也可以重復(fù)，每個位置都有5種排法，共有5×5×5＝53＝125種．(2)三位數(shù)的首位不能為0，但可以有重復(fù)數(shù)字，首先考慮首位的排法，除0外共有4種方法，其次、三位可以排0，因此，共有4×5×5＝100種．(3)被2整除的數(shù)即偶數(shù)，末位數(shù)字可取0,2,4，因此，可以分兩類，一類是末位數(shù)字是0，則有4×3＝12種排法；一類是末位數(shù)字不是0，則末位有2種排法，即2或4，再排首位，因0不能在首位，所以有3種排法，十位有3種排法，因此有2×3×3＝18種排法．因而有12＋18＝30種排法，即可以排成30個能被2整除的無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)．探究二選(抽)取與安排問題[閱讀教材P12習(xí)題1.1A組5(2)]在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，斜率在集合B＝{1,3,5,7}內(nèi)取值，y軸上的截距在集合C＝{2,4,6,8}內(nèi)取值的不同直線共有多少條？解析：確定一條直線分兩個步驟．①確定直線的斜率共有4種②確定直線在y軸上的截距，共有4種．因此共有直線4×4＝16(條)．[例2]某外語組有9人，每人至少會英語和日語中的一門，其中7人會英語，3人會日語，從中選出會英語和日語的各一人，有多少種不同的選法？[解析]由題意9人中既會英語又會日語的“多面手”有1人，則可分兩類．第一類：會英語的一人從只會英語的人中選，有6種；那么會日語的一人從會日語的人中選，有3種．此時共有6×3＝18種不同選法．其次類：會英語的一人從多面手中選，有1種；會日語的一人從會日語的人中選，有2種．此時共有1×2＝2種不同選法．由分類加法計數(shù)原理，共有18＋2＝20種不同選法．方法技巧選(抽)取與安排問題的常見類型及其解法(1)當(dāng)涉及對象數(shù)目不大時，一般選用枚舉法、樹形圖法、框圖法或者圖表法．(2)當(dāng)涉及對象數(shù)目很大時，一般有兩種方法：①干脆運(yùn)用分類加法計數(shù)原理或分步乘法計數(shù)原理．一般地，若抽取是有依次的就按分步進(jìn)行；若按對象特征抽取的，則按分類進(jìn)行．②間接法：去掉限制條件計算全部的抽取方法數(shù)，然后減去全部不符合條件的抽取方法數(shù)即可．跟蹤探究2.高三年級的三個班到甲、乙、丙、丁四個工廠進(jìn)行社會實(shí)踐，其中工廠甲必需有班級去，每班去何工廠可自由選擇，則不同的安排方案有()A．16種 B．18種C．37種 D．48種解析：(法一：干脆法)以甲工廠安排班級狀況進(jìn)行分類，共分為三類．第1類，三個班級都去甲工廠，此時安排方案只有1種；第2類，有兩個班級去甲工廠，剩下的班級去另外三個工廠，其安排方案有3×3＝9(種)；第3類，有一個班級去甲工廠，另外兩個班級去其他三個工廠，其安排方案有3×3×3＝27(種)．綜上所述，不同的安排方案共有1＋9＋27＝37(種)．(法二：間接法)先計算3個班自由選擇去哪個工廠的總數(shù)，再扣除甲工廠無人去的狀況，即有4×4×4－3×3×3＝37種不同的安排方案．答案：C探究三用計數(shù)原理解決涂色(種植)問題[例3]將紅、黃、藍(lán)、白、黑五種顏色涂在如圖所示“田”字形的4個小方格內(nèi)，每格涂一種顏色，相鄰兩格涂不同的顏色，假如顏色可以反復(fù)運(yùn)用，共有多少種不同的涂色方法？1234[解析]法一：第1個小方格可以從5種顏色中任取一種顏色涂上，有5種不同的涂法．①當(dāng)?shù)?個、第3個小方格涂不同顏色時，有4×3＝12(種)不同的涂法，第4個小方格有3種不同的涂法，由分步乘法計數(shù)原理可知有5×12×3＝180(種)不同的涂法．②當(dāng)?shù)?個、第3個小方格涂相同顏色時，有4種涂法，由于相鄰兩格不同色，因此，第4個小方格也有4種不同的涂法，由分步乘法計數(shù)原理可知有5×4×4＝80(種)不同的涂法．由分類加法計數(shù)原理可得共有180＋80＝260(種)不同的涂法．法二：(依據(jù)所用顏色的種數(shù)分類，將用同色的區(qū)域“看成”一個區(qū)域)分三類：①用四色時第1個小方格從5種顏色中任取一種涂上，有5種．第2個小方格從余下的4種顏色中任取一種涂上，有4種．第3個小方格從余下的3種顏色中任取一種涂上，有3種．第4個小方格從余下的2種顏色中任取一種涂上，有2種．共有5×4×3×2＝120種不同涂法．②用三色時有兩類1,4同色或2,3同色．當(dāng)1,4同色時有5種涂法．2有4種涂色方法．3有3種涂色方法．共有5×4×3＝60種不同的涂法．同理2,3同色時也有60種不同涂法．用三色時共有60＋60＝120種涂法．③用兩色時1,4同色、2,3同色．1,4同色有5種涂法．2,3同色有4種涂法．共有5×4＝20種不同涂法．綜上，共有120＋120＋20＝260不同涂色方法．方法技巧求解涂色(種植)問題一般是干脆利用兩個計數(shù)原理求解，常用方法有：(1)按區(qū)域的不同以區(qū)域?yàn)橹鞣植接嫈?shù)，用分步乘法計數(shù)原理分析；(2)以顏色(種植作物)為主分類探討，適用于“區(qū)域、點(diǎn)、線段”問題，用分類加法計數(shù)原理分析；(3)對于涂色(立方體)問題將空間問題平面化，轉(zhuǎn)化為平面區(qū)域涂色問題．跟蹤探究3.如圖所示，一環(huán)形花壇分成A，B，C，D四塊，現(xiàn)有四種不同的花供選種，要求在每塊里種一種花，且相鄰的兩塊種不同的花，則不同的種法種數(shù)為()A．96 B．84C．60 D．48解析：依次種A，B，C，D4塊，當(dāng)C與A種同一種花時，有4×3×1×3＝36種種法；當(dāng)C與A所種的花不同時，有4×3×2×2＝48種種法．由分類加法計數(shù)原理知，不同的種法種數(shù)為36＋48＝84.答案：B授課提示：對應(yīng)學(xué)生用書第5頁[課后小結(jié)](1)分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理是兩個最基本、也是最重要的原理，是解答后面將要學(xué)習(xí)的排列、組合問題，尤其是較困難的排列、組合問題的基礎(chǔ)．(2)應(yīng)用分類加法計數(shù)原理要求分類的每一種方法都能把事務(wù)獨(dú)立完成；應(yīng)用分步乘法計數(shù)原理要求各步均是完成事務(wù)必需經(jīng)過的若干彼此獨(dú)立的步驟．(3)一般是先分類再分步，分類時要設(shè)計好標(biāo)準(zhǔn)，設(shè)計好分類方案，防止重復(fù)和遺漏．(4)若正面分類，種類比較多，而問題的反面種類比較少時，則運(yùn)用間接法會簡潔一些．[素養(yǎng)培優(yōu)]1.計數(shù)原理之列舉法某公司電腦選購 員支配用不超過300元的資金購買單價分別為20元、40元的鼠標(biāo)和鍵盤，依據(jù)須要，鼠標(biāo)至少買5個，鍵盤至少買3個，則不同的選購方式共有()A．7種 B．8種C．9種 D．10種解析：依據(jù)選購鼠標(biāo)和鍵盤的不同個數(shù)分類列舉求解．若買5個鼠標(biāo)，則可買鍵盤3,4,5個；若買6個鼠標(biāo)，則可買鍵盤3,4個；若買7個鼠標(biāo)，則可買鍵盤3,4個；若買8個鼠標(biāo)，則可買鍵盤3個；若買9個鼠標(biāo)，則可買鍵盤3個．依據(jù)分類加法計數(shù)原理，不同的選購方式共有3＋2＋2＋1＋1＝9(種)．故選C.答案：C2．計數(shù)原理之樹狀圖法甲、乙、丙三人傳球，從甲起先傳出，并記為第一次，經(jīng)過5次傳球，球恰好回到甲手中，則不同的傳球方法的種數(shù)是()A．6 B．8C．10 D．15解析：