2024-2025學(xué)年吉林省洮北區(qū)九校聯(lián)考高一上學(xué)期期中測數(shù)學(xué)試卷（解析版）

高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1吉林省洮北區(qū)九校聯(lián)考2024-2025學(xué)年高一上學(xué)期期中數(shù)學(xué)測試卷一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.“，”的否定是（）A.， B.，C.， D.，【答案】B【解析】“，”的否定是“，”.故選：B.2.“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】由不能推出，但由必有，所以“”是“”的必要不充分條件.故選：B.3.已知集合，，則中元素的個(gè)數(shù)為（）A.3 B.4 C.5 D.6【答案】C【解析】由，，則，即中元素的個(gè)數(shù)為.故選：C.4.若函數(shù)，且，則（）A.B.0C.D.1【答案】B【解析】，.故選：B.5.若一元二次不等式對一切實(shí)數(shù)都成立，則的取值集合為（）A. B.C. D.或【答案】A【解析】依題意，一元二次不等式對一切實(shí)數(shù)都成立，所以，解得，所以的取值集合為.故選：A.6.設(shè)，，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因?yàn)?，，所以，則，而，易知，所以，且，所以.故選：A.7.若函數(shù)的定義域?yàn)?，則函數(shù)的定義域?yàn)椋ǎ〢. B.C. D.【答案】D【解析】因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)椋瑒t，由，解得，所以函數(shù)的定義域?yàn)?故選：D.8.已知函數(shù)滿足對任意的，恒成立，則函數(shù)的值域是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】由題設(shè)在定義域上遞增，所以，而在上遞增，故其值域是.故選：A.二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.已知集合或，，且是的真子集，則的取值可能為（）A.3 B. C.3.5 D.6【答案】BCD【解析】因是的真子集，若，則，解得，符合題意；若，則，解得，故需使或，解得或；綜上所述：或.故選：BCD.10.下列結(jié)論正確的是（）A.若是奇函數(shù)，則必有且B.函數(shù)在定義域上單調(diào)遞減C.是定義在R上的偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則當(dāng)時(shí)，D.若在R上是增函數(shù)，且，，則【答案】CD【解析】對于A，當(dāng)且時(shí)，，其定義域?yàn)?，又，則是奇函數(shù)，所以當(dāng)奇函數(shù)時(shí)，不一定有，故A錯(cuò)誤；對于B，對于，，，則，所以在不單調(diào)遞減，故B錯(cuò)誤；對于C，因?yàn)槭嵌x在上的偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，，則，故C正確；對于D，因?yàn)?，，則，即，則，因?yàn)樵谏鲜窃龊瘮?shù)，所以，，則，故D正確.故選：CD.11.已知實(shí)數(shù)滿足，且，則的值可以為（）A. B.7 C. D.5【答案】AB【解析】令，由題意，且，得，且，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，由，解得，此時(shí)，故A正確；由，故CD錯(cuò)誤；B項(xiàng)，由方程組，又，解得，故B正確.故選：AB.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.函數(shù)的定義域?yàn)開_____．【答案】【解析】由題可得，解得且，所以函數(shù)的定義域?yàn)?13.已知甲地下停車庫收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)如下：（1）停車不超過1小時(shí)免費(fèi)；（2）超過1小時(shí)且不超過3小時(shí)，收費(fèi)5元；（3）超過3小時(shí)且不超過6小時(shí)，收費(fèi)10元；（4）超過6小時(shí)且不超過9小時(shí)，收費(fèi)15元；（5）超過9小時(shí)且不超過12小時(shí)，收費(fèi)18元；（6）超過12小時(shí)且不超過24小時(shí)，收費(fèi)24元．小林在2024年10月7日10：22將車停入甲車庫，若他在當(dāng)天18：30將車開出車庫，則他需交的停車費(fèi)為______．乙地下停車庫的收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)如下：每小時(shí)2元，不到1小時(shí)按1小時(shí)計(jì)費(fèi)．若小林將車停入乙車庫（停車時(shí)長不超過24小時(shí)），要使得車停在乙車庫比甲車庫更優(yōu)惠，則小林停車時(shí)長的最大值為______．【答案】157【解析】小林在2024年10月7日10：22將車停入甲車庫，在當(dāng)天18：30將車開出車庫，則停車時(shí)長為8小時(shí)8分鐘，滿足超過6小時(shí)且不超過9小時(shí)，所以需交停車費(fèi)15元；設(shè)小林的停車時(shí)長為小時(shí)，則在乙車庫需交停車費(fèi)為元，根據(jù)題意知當(dāng)停車時(shí)長超過9小時(shí)后，乙車庫停車比甲車庫停車更貴，當(dāng)停車時(shí)長超過6小時(shí)且不超過9小時(shí)，要使得乙車庫停車比甲車庫停車更優(yōu)惠，則，解得，所以小林的停車時(shí)長最大值為7小時(shí).14.已知函數(shù)，，，.對于任意的，存在，使得，則的取值范圍是______．【答案】【解析】因?yàn)椋?，所以，又對于任意的，存在，使得，則，又，，當(dāng)時(shí)，，所以，解得，當(dāng)時(shí)，，所以，解得，綜上，的取值范圍是，四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.已知集合，.（1）當(dāng)時(shí)，求；（2）若中整數(shù)元素的個(gè)數(shù)為3，寫出的一個(gè)值.解：（1），當(dāng)時(shí)，，故.（2），，因?yàn)橹姓麛?shù)元素的個(gè)數(shù)為3，故的整數(shù)為，故，故.所以的一個(gè)值可以為（答案不唯一）.16.已知冪函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn).（1）求的解析式.（2）設(shè)函數(shù).①判斷的奇偶性；②判斷在上的單調(diào)性，并用定義加以證明.解：（1）依題意，設(shè)冪函數(shù)，則，解得，所以.（2）①為奇函數(shù)，理由如下：由（1）得，，則其定義域?yàn)?，關(guān)于原點(diǎn)對稱，又，所以函數(shù)為奇函數(shù)；②在上單調(diào)遞減，證明如下：任取，且，則，因?yàn)椋?，所以，即，所以函?shù)在上單調(diào)遞減.17.已知，．（1）比較與的大?。唬?）若，求的最小值；（3）若，求的取值范圍．解：（1），∴a.（2），由，得，即，解得或（舍去），可得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以的最小值為49.（3）設(shè)函數(shù)，，任取，且，則，，且，，，，即，所以函數(shù)是上的增函數(shù).，由，，.所以的取值范圍為.18.已知函數(shù)的定義域?yàn)?，，?（1）求的值；（2）求的值；（3）討論函數(shù)最小值.解：（1）因?yàn)?，令，則，又，有，故.（2）令，有，即，得，令，有，即，得，令，有，即，得，令，有，令，有，則，聯(lián)立，解得，所以.（3）由（2）得，，其圖象開口向上，對稱軸為，又，當(dāng)，即時(shí)，在上單調(diào)遞增，則；當(dāng)，即時(shí)，在上單調(diào)遞減，則；當(dāng)，即時(shí)，.19.笛卡爾積是集合論中的一個(gè)基本概念，由法國數(shù)學(xué)家笛卡爾首次引入.笛卡爾積在計(jì)算機(jī)科學(xué)、組合數(shù)學(xué)、統(tǒng)計(jì)學(xué)等領(lǐng)域中有廣泛的應(yīng)用.對于非空數(shù)集，定義且，將稱為“與的笛卡爾積”.（1）若，，求.（2）若集合是有限集，將的元素個(gè)數(shù)記為.已知是非空有限數(shù)集，，且對任意的集合恒成立，求的取值范圍，并指明當(dāng)取到最值時(shí)，和滿足的關(guān)系式及應(yīng)滿足的條件.解：（1）因，，則，，故.（2）設(shè)，則（*），，則當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立；因?qū)θ我饧虾愠闪?，故得，即；?dāng)時(shí)，，即，則由（*）可得，則，故吉林省洮北區(qū)九校聯(lián)考2024-2025學(xué)年高一上學(xué)期期中數(shù)學(xué)測試卷一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.“，”的否定是（）A.， B.，C.， D.，【答案】B【解析】“，”的否定是“，”.故選：B.2.“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】由不能推出，但由必有，所以“”是“”的必要不充分條件.故選：B.3.已知集合，，則中元素的個(gè)數(shù)為（）A.3 B.4 C.5 D.6【答案】C【解析】由，，則，即中元素的個(gè)數(shù)為.故選：C.4.若函數(shù)，且，則（）A.B.0C.D.1【答案】B【解析】，.故選：B.5.若一元二次不等式對一切實(shí)數(shù)都成立，則的取值集合為（）A. B.C. D.或【答案】A【解析】依題意，一元二次不等式對一切實(shí)數(shù)都成立，所以，解得，所以的取值集合為.故選：A.6.設(shè)，，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因?yàn)?，，所以，則，而，易知，所以，且，所以.故選：A.7.若函數(shù)的定義域?yàn)?，則函數(shù)的定義域?yàn)椋ǎ〢. B.C. D.【答案】D【解析】因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)椋瑒t，由，解得，所以函數(shù)的定義域?yàn)?故選：D.8.已知函數(shù)滿足對任意的，恒成立，則函數(shù)的值域是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】由題設(shè)在定義域上遞增，所以，而在上遞增，故其值域是.故選：A.二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.已知集合或，，且是的真子集，則的取值可能為（）A.3 B. C.3.5 D.6【答案】BCD【解析】因是的真子集，若，則，解得，符合題意；若，則，解得，故需使或，解得或；綜上所述：或.故選：BCD.10.下列結(jié)論正確的是（）A.若是奇函數(shù)，則必有且B.函數(shù)在定義域上單調(diào)遞減C.是定義在R上的偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則當(dāng)時(shí)，D.若在R上是增函數(shù)，且，，則【答案】CD【解析】對于A，當(dāng)且時(shí)，，其定義域?yàn)?，又，則是奇函數(shù)，所以當(dāng)奇函數(shù)時(shí)，不一定有，故A錯(cuò)誤；對于B，對于，，，則，所以在不單調(diào)遞減，故B錯(cuò)誤；對于C，因?yàn)槭嵌x在上的偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，，則，故C正確；對于D，因?yàn)?，，則，即，則，因?yàn)樵谏鲜窃龊瘮?shù)，所以，，則，故D正確.故選：CD.11.已知實(shí)數(shù)滿足，且，則的值可以為（）A. B.7 C. D.5【答案】AB【解析】令，由題意，且，得，且，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，由，解得，此時(shí)，故A正確；由，故CD錯(cuò)誤；B項(xiàng)，由方程組，又，解得，故B正確.故選：AB.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.函數(shù)的定義域?yàn)開_____．【答案】【解析】由題可得，解得且，所以函數(shù)的定義域?yàn)?13.已知甲地下停車庫收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)如下：（1）停車不超過1小時(shí)免費(fèi)；（2）超過1小時(shí)且不超過3小時(shí)，收費(fèi)5元；（3）超過3小時(shí)且不超過6小時(shí)，收費(fèi)10元；（4）超過6小時(shí)且不超過9小時(shí)，收費(fèi)15元；（5）超過9小時(shí)且不超過12小時(shí)，收費(fèi)18元；（6）超過12小時(shí)且不超過24小時(shí)，收費(fèi)24元．小林在2024年10月7日10：22將車停入甲車庫，若他在當(dāng)天18：30將車開出車庫，則他需交的停車費(fèi)為______．乙地下停車庫的收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)如下：每小時(shí)2元，不到1小時(shí)按1小時(shí)計(jì)費(fèi)．若小林將車停入乙車庫（停車時(shí)長不超過24小時(shí)），要使得車停在乙車庫比甲車庫更優(yōu)惠，則小林停車時(shí)長的最大值為______．【答案】157【解析】小林在2024年10月7日10：22將車停入甲車庫，在當(dāng)天18：30將車開出車庫，則停車時(shí)長為8小時(shí)8分鐘，滿足超過6小時(shí)且不超過9小時(shí)，所以需交停車費(fèi)15元；設(shè)小林的停車時(shí)長為小時(shí)，則在乙車庫需交停車費(fèi)為元，根據(jù)題意知當(dāng)停車時(shí)長超過9小時(shí)后，乙車庫停車比甲車庫停車更貴，當(dāng)停車時(shí)長超過6小時(shí)且不超過9小時(shí)，要使得乙車庫停車比甲車庫停車更優(yōu)惠，則，解得，所以小林的停車時(shí)長最大值為7小時(shí).14.已知函數(shù)，，，.對于任意的，存在，使得，則的取值范圍是______．【答案】【解析】因?yàn)椋?，所以，又對于任意的，存在，使得，則，又，，當(dāng)時(shí)，，所以，解得，當(dāng)時(shí)，，所以，解得，綜上，的取值范圍是，四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.已知集合，.（1）當(dāng)時(shí)，求；（2）若中整數(shù)元素的個(gè)數(shù)為3，寫出的一個(gè)值.解：（1），當(dāng)時(shí)，，故.（2），，因?yàn)橹姓麛?shù)元素的個(gè)數(shù)為3，故的整數(shù)為，故，故.所以的一個(gè)值可以為（答案不唯一）.16.已知冪函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn).（1）求的解析式.（2）設(shè)函數(shù).①判斷的奇偶性；②判斷在上的單調(diào)性，并用定義加以證明.解：（1）依題意，設(shè)冪函數(shù)，則，解得，所以.（2）①為奇函數(shù)，理由如下：由（1）得，，則其定義域?yàn)椋P(guān)于原點(diǎn)對稱，又，所以函數(shù)為奇函數(shù)；②在上單調(diào)遞減，證明如下：任取，且，則，因?yàn)?，所以，所以，即，所以函?shù)在上單調(diào)遞減.17.已知，．（1）比較與的大??；（2）若，求的最小值；（3）若，求的取值范圍．解：（1），∴a.（2），由，得，即，解得或（舍去），可得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以的最小值為49.（3）設(shè)函數(shù)，，任取，且，則，，且，，，，即，所以函數(shù)是上的增函數(shù).，由，，.所以的取值范圍為.18.已知函數(shù)的定義域?yàn)?，，?（1）求的值；（2）求的值；（3）討論函數(shù)最小值.解：（1）因?yàn)?，令，則，又，有，故.（2）令，有，即，得，令，有，即，得，令，有，即，得，令，有，令，有，則，聯(lián)立，解得，所以.（3）由（2）得，，其圖象開口向