第07講拋物線精講

第07講拋物線目錄TOC\o"12"\h\u第一部分：知識(shí)點(diǎn)必背 1第二部分：高考真題回歸 2第三部分：高頻考點(diǎn)一遍過 4高頻考點(diǎn)一：拋物線定義理解 4高頻考點(diǎn)二：利用拋物線定義求軌跡 5高頻考點(diǎn)三：拋物線中的距離及最值問題 7高頻考點(diǎn)四：拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程 11高頻考點(diǎn)五：拋物線的簡單幾何性質(zhì) 12高頻考點(diǎn)六：拋物線焦點(diǎn)弦（焦半徑） 14高頻考點(diǎn)七：求實(shí)際問題中的拋物線 16第四部分：數(shù)學(xué)文化題 19第一部分：知識(shí)點(diǎn)必背知識(shí)點(diǎn)一：拋物線的定義1、拋物線的定義：平面內(nèi)與一個(gè)定點(diǎn)和一條定直線（其中定點(diǎn)不在定直線上）的距離相等的點(diǎn)的軌跡叫做拋物線，定點(diǎn)叫做拋物線的焦點(diǎn)，定直線叫做拋物線的準(zhǔn)線．2、拋物線的數(shù)學(xué)表達(dá)式：(為點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離).知識(shí)點(diǎn)二：拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)標(biāo)準(zhǔn)方程（）（）（）（）圖形范圍，，，，對(duì)稱軸軸軸軸軸焦點(diǎn)坐標(biāo)準(zhǔn)線方程頂點(diǎn)坐標(biāo)離心率通徑長知識(shí)點(diǎn)三：拋物線的焦半徑公式如下：（為焦準(zhǔn)距）（1）焦點(diǎn)在軸正半軸，拋物線上任意一點(diǎn)，則；（2）焦點(diǎn)在軸負(fù)半軸，拋物線上任意一點(diǎn)，則；（3）焦點(diǎn)在軸正半軸，拋物線上任意一點(diǎn)，則；（4）焦點(diǎn)在軸負(fù)半軸，拋物線上任意一點(diǎn)，則.第二部分：高考真題回歸1．（2023·北京·統(tǒng)考高考真題）已知拋物線的焦點(diǎn)為，點(diǎn)在上．若到直線的距離為5，則（

）A．7 B．6 C．5 D．4【答案】D【詳解】因?yàn)閽佄锞€的焦點(diǎn)，準(zhǔn)線方程為，點(diǎn)在上，所以到準(zhǔn)線的距離為，又到直線的距離為，所以，故.故選：D.2．（多選）（2023·全國（新高考Ⅱ卷）·統(tǒng)考高考真題）設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線過拋物線的焦點(diǎn)，且與C交于M，N兩點(diǎn)，l為C的準(zhǔn)線，則（

）．A． B．C．以MN為直徑的圓與l相切 D．為等腰三角形【答案】AC【詳解】A選項(xiàng)：直線過點(diǎn)，所以拋物線的焦點(diǎn)，所以，則A選項(xiàng)正確，且拋物線的方程為.B選項(xiàng)：設(shè)，由消去并化簡得，解得，所以，B選項(xiàng)錯(cuò)誤.C選項(xiàng)：設(shè)的中點(diǎn)為，到直線的距離分別為，因?yàn)?，即到直線的距離等于的一半，所以以為直徑的圓與直線相切，C選項(xiàng)正確.D選項(xiàng)：直線，即，到直線的距離為，所以三角形的面積為，由上述分析可知，所以，所以三角形不是等腰三角形，D選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：AC.

3．（2023·全國（乙卷文理）·統(tǒng)考高考真題）已知點(diǎn)在拋物線C：上，則A到C的準(zhǔn)線的距離為.【答案】【詳解】由題意可得：，則，拋物線的方程為，準(zhǔn)線方程為，點(diǎn)到的準(zhǔn)線的距離為.故答案為：.第三部分：高頻考點(diǎn)一遍過高頻考點(diǎn)一：拋物線定義理解典型例題例題1．（2023春·寧夏石嘴山·高二平羅中學(xué)校考期中）若拋物線上一點(diǎn)到其準(zhǔn)線的距離為3，則拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】到其準(zhǔn)線的距離為，故拋物線方程為，故選：A例題2．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知拋物線的焦點(diǎn)為,是上一點(diǎn)，，則（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【詳解】依題意知，焦點(diǎn)，由定義知：，所以，所以．故選：C.練透核心考點(diǎn)1．（2023春·江西贛州·高二江西省龍南中學(xué)?？计谀佄锞€上一點(diǎn)的縱坐標(biāo)為2，則點(diǎn)與拋物線焦點(diǎn)的距離為（

）A．2 B． C．3 D．4【答案】B【詳解】由拋物線的準(zhǔn)線方程為，焦點(diǎn)，因?yàn)閽佄锞€上一點(diǎn)的縱坐標(biāo)為2，根據(jù)拋物線的定義，可得點(diǎn)與拋物線焦點(diǎn)的距離為.故選：B.2．（2023·西藏拉薩·統(tǒng)考一模）已知點(diǎn)是拋物線：的焦點(diǎn)，是拋物線上的一點(diǎn)，若，，則點(diǎn)的縱坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，由題意，得，所以，根據(jù)拋物線的定義，知，所以，代入拋物線方程得，，則，故選：C．高頻考點(diǎn)二：利用拋物線定義求軌跡典型例題例題1．（2023秋·福建寧德·高二統(tǒng)考期末）已知?jiǎng)訄A經(jīng)過點(diǎn)，且與直線：相切，則動(dòng)圓圓心的軌跡方程為（

）A． B．C． D．【答案】A【詳解】設(shè)動(dòng)點(diǎn)M(x，y)，圓M與直線l：x＝－3的切點(diǎn)為N，則|MA|＝|MN|，即動(dòng)點(diǎn)M到定點(diǎn)A和定直線l：x＝－3的距離相等.∴點(diǎn)M的軌跡是拋物線，且以A(3，0)為焦點(diǎn)，以直線l：x＝－3為準(zhǔn)線，故動(dòng)圓圓心M的軌跡方程是y2＝12x.故選：A.例題2．（2023·全國·高三專題練習(xí)）動(dòng)點(diǎn)到軸的距離比它到定點(diǎn)的距離小2，求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程．【答案】或．【詳解】解：∵動(dòng)點(diǎn)M到y(tǒng)軸的距離比它到定點(diǎn)的距離小2，∴動(dòng)點(diǎn)M到定點(diǎn)的距離與它到定直線的距離相等．∴動(dòng)點(diǎn)M到軌跡是以為焦點(diǎn)，為準(zhǔn)線的拋物線，且．∴拋物線的方程為，又∵x軸上點(diǎn)左側(cè)的點(diǎn)到y(tǒng)軸的距離比它到點(diǎn)的距離小2，∴M點(diǎn)的軌跡方程為②．綜上，得動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程為或．練透核心考點(diǎn)1．（2023·全國·高三專題練習(xí)）若點(diǎn)滿足方程，則點(diǎn)P的軌跡是．【答案】拋物線【詳解】由得，等式左邊表示點(diǎn)和點(diǎn)的距離，等式的右邊表示點(diǎn)到直線的距離.整個(gè)等式表示的意義是點(diǎn)到點(diǎn)的距離和到直線的距離相等，其軌跡為拋物線.故答案為：拋物線2．（2023·全國·高三專題練習(xí)）與點(diǎn)和直線的距離相等的點(diǎn)的軌跡方程是．【答案】【詳解】解：由拋物線的定義可得平面內(nèi)與點(diǎn)和直線的距離相等的點(diǎn)的軌跡為拋物線，且為焦點(diǎn)，直線為準(zhǔn)線，設(shè)拋物線的方程為，可知，解得，所以該拋物線方程是，故答案為：高頻考點(diǎn)三：拋物線中的距離及最值問題典型例題例題1．（2023春·四川瀘州·高二統(tǒng)考期末）已知拋物線的焦點(diǎn)為，點(diǎn)在上，若點(diǎn)，則周長的最小值為（

）．A．13 B．12 C．10 D．8【答案】A【詳解】，故,記拋物線的準(zhǔn)線為，則：，記點(diǎn)到的距離為，點(diǎn)到的距離為，則.故選：A.

例題2．（2023秋·湖南長沙·高二統(tǒng)考期末）已知拋物線的焦點(diǎn)為，點(diǎn)在拋物線上，點(diǎn)在圓上，則的最小值為（

）A．4 B．6 C．8 D．10【答案】C【詳解】如圖，過點(diǎn)向準(zhǔn)線作垂線，垂足為，則，當(dāng)垂直于拋物線的準(zhǔn)線時(shí)，最小，此時(shí)線段與圓的交點(diǎn)為，因?yàn)闇?zhǔn)線方程為，，半徑為，所以的最小值為.故選：C例題3．（2023·河北滄州·統(tǒng)考三模）設(shè)為拋物線：上的動(dòng)點(diǎn)，關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)為，記到直線的距離分別，，則的最小值為（

）A． B．C． D．【答案】A【詳解】解：如圖，

因?yàn)?，且關(guān)于P的對(duì)稱點(diǎn)為B，所以|PA|=|PB|，拋物線焦點(diǎn)，所以.當(dāng)P在線段AF上時(shí)，取得最小值，且最小值為.故選：A例題4．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知為拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，為拋物線的焦點(diǎn)，，則的最小值為.【答案】4【詳解】解：如圖所示：設(shè)點(diǎn)M在準(zhǔn)線上的射影為D，由拋物線的定義知，∴要求的最小值，即求的最小值，當(dāng)D，M，P三點(diǎn)共線時(shí)，最小，最小值為.故答案為：4練透核心考點(diǎn)1．（2023·廣西·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）拋物線的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)，P為拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為（

）A． B．3 C．2 D．【答案】A【詳解】如圖，過點(diǎn)P作PH垂直于準(zhǔn)線，垂直為H，根據(jù)拋物線的定義，所以當(dāng)A，P，H三點(diǎn)共線時(shí)最小，此時(shí).故選：A．

2．（2023春·四川遂寧·高二統(tǒng)考期末）已知拋物線的焦點(diǎn)為，拋物線上有一動(dòng)點(diǎn)，，則的最小值為（

）A．10 B．16 C．11 D．26【答案】C【詳解】記拋物線的準(zhǔn)線為，作于，由拋物線的定義知，所以，當(dāng)，，三點(diǎn)共線時(shí)，有最小值，最小值為．故選：C3．（2023春·云南曲靖·高二統(tǒng)考期末）已知拋物線的焦點(diǎn)到其準(zhǔn)線的距離為是拋物線上一點(diǎn)，若，則的最小值為（

）A．8 B．6 C．5 D．4【答案】D【詳解】由焦點(diǎn)到其準(zhǔn)線的距離為得；設(shè)在準(zhǔn)線上的射影為如圖,則，當(dāng)且僅當(dāng)共線時(shí)取得等號(hào)．所以所求最小值是4．故選：D．4．（2023春·福建莆田·高二莆田一中?？茧A段練習(xí)）已知拋物線的焦點(diǎn)為，點(diǎn)為上任意一點(diǎn)，點(diǎn)，則的最小值為.【答案】7【詳解】依題意，如圖所示：其中，準(zhǔn)線，由拋物線的定義知：，要使取得最小值，只需點(diǎn)移動(dòng)到點(diǎn)時(shí)，三點(diǎn)共線時(shí)取得最小值，此時(shí)準(zhǔn)線，所以的最小值為：.故答案為：7.高頻考點(diǎn)四：拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程典型例題例題1．（2023春·陜西商洛·高二統(tǒng)考期末）若拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為3，且的開口朝左，則的標(biāo)準(zhǔn)方程為（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】依題意可設(shè)的標(biāo)準(zhǔn)方程為，因?yàn)榈慕裹c(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為3，所以，所以的標(biāo)準(zhǔn)方程為.故選：A例題2．（2023春·云南保山·高二統(tǒng)考期末）過點(diǎn)，且焦點(diǎn)在軸上的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是.【答案】【詳解】設(shè)方程為，則有，解得，即有.故答案為：.例題3．（2023春·湖南·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）若拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為，且的開口朝上，則的標(biāo)準(zhǔn)方程為.【答案】【詳解】依題意可設(shè)C的標(biāo)準(zhǔn)方程為，因?yàn)镃的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為，所以，所以C的標(biāo)準(zhǔn)方程為.故答案為：.練透核心考點(diǎn)1．（2023春·上海浦東新·高二上海師大附中?？计谥校┻^點(diǎn)，且焦點(diǎn)在y軸上的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是.【答案】【詳解】設(shè)方程為，則有，解得，即有，所以過點(diǎn)且焦點(diǎn)在y軸上的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.故答案為：2．（2023·黑龍江哈爾濱·哈爾濱三中?？级＃┮阎獟佄锞€的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，對(duì)稱軸為x軸，且過點(diǎn)，則此拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為．【答案】【詳解】因?yàn)閽佄锞€的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，對(duì)稱軸為x軸，且過點(diǎn)，所以設(shè)拋物線方程為，將點(diǎn)代入可得，所以此拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為．故答案為：．高頻考點(diǎn)五：拋物線的簡單幾何性質(zhì)典型例題例題1．（多選）（2023秋·甘肅蘭州·高二校考期末）關(guān)于拋物線，下列說法正確的是（

）A．開口向左 B．焦點(diǎn)坐標(biāo)為 C．準(zhǔn)線為 D．對(duì)稱軸為軸【答案】AD【詳解】對(duì)選項(xiàng)A，，開口向左，故A正確；對(duì)選項(xiàng)B，，焦點(diǎn)為，故B錯(cuò)誤；對(duì)選項(xiàng)C，，準(zhǔn)線方程為，故C錯(cuò)誤；對(duì)選項(xiàng)D，，對(duì)稱軸為軸，故D正確.故選：AD例題2．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）對(duì)拋物線，下列描述正確的是

()A．開口向上，焦點(diǎn)為(0，2) B．開口向上，焦點(diǎn)為C．開口向右，焦點(diǎn)為(2，0) D．開口向上，焦點(diǎn)為【答案】A【詳解】拋物線方程，化成標(biāo)準(zhǔn)方程形式，可得其開口向上，焦點(diǎn)坐標(biāo)為.故選A項(xiàng).練透核心考點(diǎn)1．（多選）（2023春·廣東湛江·高二統(tǒng)考期末）（多選）對(duì)于拋物線上，下列描述正確的是（

）A．開口向上，焦點(diǎn)為 B．開口向上，焦點(diǎn)為C．焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為4 D．準(zhǔn)線方程為【答案】AC【詳解】由拋物線，即，可知拋物線的開口向上，焦點(diǎn)坐標(biāo)為，焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為4，準(zhǔn)線方程為．故選：AC2．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出下列拋物線.（1）；（2）；（3）．通過觀察這些圖形，說明拋物線開口的大小與方程中x的系數(shù)有怎樣的關(guān)系．【答案】答案見解析.【詳解】在同一平面直角坐標(biāo)系內(nèi)做出拋物線，如圖，通過圖象可以看出來，當(dāng)x的系數(shù)為正數(shù)且越大時(shí)，拋物線的開口向右且開口越大.高頻考點(diǎn)六：拋物線焦點(diǎn)弦（焦半徑）典型例題例題1．（2023·全國·模擬預(yù)測(cè)）已知點(diǎn)為拋物線：上一點(diǎn)，為拋物線的焦點(diǎn)，則（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】將代入，得，所以拋物線C：，焦點(diǎn)，準(zhǔn)線方程為，由拋物線的定義知.故選：D.例題2．（2023秋·廣東廣州·高二廣州市白云中學(xué)校考期末）已知是拋物線的焦點(diǎn)，點(diǎn)在拋物線上，則．【答案】【詳解】因?yàn)閽佄锞€，所以,因?yàn)槭菕佄锞€的焦點(diǎn)，點(diǎn)在拋物線上，由拋物線的定義可得：.故答案為：.例題3．（2023春·云南紅河·高二校考階段練習(xí)）過拋物線：焦點(diǎn)的直線交拋物線于，兩點(diǎn)，若線段的中點(diǎn)到的準(zhǔn)線的距離等于9，則．【答案】【詳解】因?yàn)閽佄锞€M：，所以記拋物線M的焦點(diǎn)為F，拋物線準(zhǔn)線方程為，設(shè)，，，則，所以點(diǎn)P到M的準(zhǔn)線的距離為，所以，由拋物線定義知：，，則故答案為：．練透核心考點(diǎn)1．（2023·河南新鄉(xiāng)·統(tǒng)考二模）已知拋物線的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)P在拋物線C上，，若的面積為，則（

）A．4 B．3 C．5 D．2【答案】A【詳解】由題意知,準(zhǔn)線方程為，設(shè)．因?yàn)椋拿娣e為，所以，則，所以．故選：A2．（2023秋·貴州銅仁·高三統(tǒng)考期末）已知拋物線的焦點(diǎn)為，點(diǎn)是拋物線上不同兩點(diǎn)，且中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，則（

）A．4 B．5 C．6 D．8【答案】D【詳解】解：由題知，即，設(shè)，因?yàn)橹悬c(diǎn)的橫坐標(biāo)為，所以，所以，由拋物線焦半徑公式得故選：D．3．（2023·寧夏石嘴山·平羅中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知過拋物線焦點(diǎn)F的直線與拋物線交于A、B兩點(diǎn)，且A、B中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為3，則.【答案】10【詳解】根據(jù)拋物線的定義可得，又，所以.故答案為：10.高頻考點(diǎn)七：求實(shí)際問題中的拋物線典型例題例題1．（2023·湖北·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）隨著科技的進(jìn)步，我國橋梁設(shè)計(jì)建設(shè)水平不斷提升，創(chuàng)造了多項(xiàng)世界第一，為經(jīng)濟(jì)社會(huì)發(fā)展發(fā)揮了重要作用.下圖是某景區(qū)內(nèi)的一座拋物線拱形大橋，該橋拋物線拱形部分的橋面跨度為10米，拱形最高點(diǎn)與水面的距離為6米，為增加景區(qū)的夜晚景色，景區(qū)計(jì)劃在拱形橋的焦點(diǎn)處懸掛一閃光燈，則豎直懸掛的閃光燈距離水面的距離為（

）（結(jié)果精確到0.01）A．4.96 B．5.06 C．4.26 D．3.68【答案】A【詳解】如圖，設(shè)該拋物線的方程為，易知拋物線經(jīng)過點(diǎn)，所以，解得，故該拋物線的頂點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為，故豎直懸掛的閃光燈距離水面的距離為：米.故選：A例題2．（2023春·內(nèi)蒙古呼倫貝爾·高二?？茧A段練習(xí)）南宋晚期的龍泉窯粉青釉刻花斗笠盞如圖1所示，忽略杯盞的厚度，這只杯盞的軸截面如圖2所示，其中光滑的曲線是拋物線的一部分，已知杯盞盛滿茶水時(shí)茶水的深度為3cm，則該拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為cm.【答案】【詳解】如圖，以拋物線的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，對(duì)稱軸為軸，建立直角坐標(biāo)系，依題意可得的坐標(biāo)為，設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，則，解得.故該拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為cm.故答案為：練透核心考點(diǎn)1．（2023·全國·高三專題練習(xí)）某學(xué)習(xí)小組研究一種如圖1所示的衛(wèi)星接收天線，發(fā)現(xiàn)其軸截面為圖2所示的拋物線形，在軸面內(nèi)的衛(wèi)星信號(hào)波束呈近似平行的狀態(tài)射入，經(jīng)反射聚焦到焦點(diǎn)處，已知衛(wèi)星接收天線的口徑（直徑）為，深度為，則該衛(wèi)星接收天線軸截面所在的拋物線的焦點(diǎn)到頂點(diǎn)的距離為（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】如圖，設(shè)口徑的軸截面為.以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，以的垂直平分線為軸，過點(diǎn)作的平行線為軸，建立平面直角坐標(biāo)系.則由已知可設(shè)拋物線的方程為，點(diǎn)坐標(biāo)為，將點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線方程可得，解得.所以拋物線的焦點(diǎn)到頂點(diǎn)的距離為.故選：D.2．（2023秋·山東德州·高二統(tǒng)考期末）如圖是一座拋物線型拱橋，拱橋是拋物線的一部分且以拋物線的軸為對(duì)稱軸，當(dāng)水面在l時(shí)，拱頂離水面2米，水面寬4米．當(dāng)水位下降，水面寬為6米時(shí)，拱頂?shù)剿娴木嚯x為米．【答案】4.5/【詳解】如圖，建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)拋物線方程為，將代入，得，所以．設(shè)，代入，得．所以拱橋到水面的距離為．故答案為：4.5.第四部分：數(shù)學(xué)文化題1．（2023春·江蘇鎮(zhèn)江·高二統(tǒng)考期中）青花瓷是中華陶乲燒制工藝的珍品，屬秞下彩瓷.一只內(nèi)壁光滑的青花瓷大碗水平放置在桌面上，瓷碗底座高為，碗口直徑為，碗深.瓷碗的軸截面輪廓可以近似地看成拋物線，碗里有一根長度為的筷子，筷子過瓷碗軸截面輪廓曲線的焦點(diǎn)，且兩端在碗的內(nèi)壁上.則筷子的中點(diǎn)離桌面的距離為（

）

A． B． C． D．【答案】B【詳解】建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示，設(shè)拋物線的方程為，其焦點(diǎn)為，碗口直徑為，碗深，所以拋物線過點(diǎn)，所