第07講函數(shù)的零點問題

第07講函數(shù)的零點問題【典型例題】例1．（2022秋?黃岡月考）已知函數(shù)，在上沒有零點，則實數(shù)的取值范圍是A． B． C．， D．，【解析】解：設，圖象如圖，函數(shù)，在上沒有零點，轉化為圖象與函數(shù)圖象沒有交點，數(shù)形結合可得或，實數(shù)的取值范圍是．故選：．例2．（2022?鄭州模擬）函數(shù)，給出下列四個結論：①若，恰有2個零點；②存在負數(shù)，使得恰有個1零點；③存在負數(shù)，使得恰有個3零點；④存在正數(shù)，使得恰有個3零點．其中正確命題的個數(shù)為A．1 B．2 C．3 D．4【解析】解：對于函數(shù)；對于①，若，，令，整理得，，則根據(jù)函數(shù)的圖象，恰有2個零點；故①正確；對于②，對于函數(shù)，，當時，則根據(jù)函數(shù)的圖象：存在負數(shù)，使得恰有個1零點；故②正確；對于③，如上圖，把直線，以軸的交點為定點，沿逆時針方向旋轉，則只要為負數(shù)，則使得直線與曲線只有兩個交點，故③錯誤；對于④，對于函數(shù)，，當時，如圖所示：存在正數(shù)，使得恰有個3零點，故④正確．故選：．例3．（2022?和平區(qū)二模）已知函數(shù)滿足對任意的都有，且當時，，函數(shù)，若關于的方程在，恰有5個互異的實數(shù)解，則實數(shù)的取值范圍是A．， B．，， C．，， D．，，，，【解析】解：根據(jù)有，可得的周期為2．當時，，作出的圖象，從圖象不難看出，當時，與無交點；當時，，①若，，將軸下方翻折，要使與恰有5個交點，則，且，解得，且；②若，，將軸下方翻折，要使與恰有5個交點，則，且，解得，且；綜上，可得的取值范圍是，，，，；故選：．例4．已知定義域為的函數(shù)，滿足對任意，都有，且，當，時，，若函數(shù)，則函數(shù)在區(qū)間，上的零點的個數(shù)是A．18 B．19 C．20 D．21【解析】解：令，由，得到，，，為以2為周期的周期函數(shù)，，時，，當，，，作出函數(shù)與的圖象，由圖象可知，兩個圖象有19個交點，即函數(shù)在區(qū)間，上零點的個數(shù)是19個．故選：．例5．（2022?河東區(qū)校級模擬）已知函數(shù)，函數(shù)，若方程恰好有4個實數(shù)根，則實數(shù)的取值范圍是A． B． C． D．【解析】解：當時，，則，由可得或（舍去）．當時，，當時，，故在上單調遞增，在上單調遞減．因此，在同一坐標系中畫出函數(shù)與曲線的圖象如圖所示：由圖可知，若函數(shù)與恰好有4個公共點，則，即，解之得．故選：．例6．（2022秋?湖南月考）函數(shù)在區(qū)間，上的所有零點的和為A．4 B．6 C． D．【解析】解：令，得，函數(shù)的零點就是函數(shù)與函數(shù)圖象交點的橫坐標．又函數(shù)的圖象關于點對稱，函數(shù)的周期為4，其圖象也關于點對稱，畫出兩函數(shù)圖象如圖：共有4個交點，這4個點兩兩關于點對稱，故其橫坐標的和為4．故選：．例7．（2022?道里區(qū)校級二模）若函數(shù)在上有兩個不同的零點，則實數(shù)的取值范圍為，．【解析】解：令，則，令，求導可得，，故在上單調遞減，在，上單調遞增，則（1），又，（e），，，，又函數(shù)在上有兩個不同的零點，實數(shù)的取值范圍為，．故答案為：，．例8．（2022秋?荊州月考）已知函數(shù)．若關于的方程恰有4個不相等的實數(shù)根．則實數(shù)的取值范圍是．【解析】解：，．當或時，，當時，，在上單調遞增，在上單調遞減，在上單調遞增，作出的大致函數(shù)圖象如圖所示：令，則當時，方程有1解，當時，方程有2解，當時，方程有3解，關于的方程恰好有4個不相等的實數(shù)根，關于的方程在和上各有一解，，解得．故答案為：．【同步練習】一．選擇題1．（2022秋?貴陽期末）函數(shù)在區(qū)間，上所有零點的和等于A．2 B．4 C．6 D．8【解析】解：因為函數(shù)，令，則，則函數(shù)的零點就是與交點的橫坐標，又函數(shù)與的函數(shù)圖象都關于對稱，則交點也關于對稱，作出兩個函數(shù)的圖象如圖所示，觀察圖象可知，與在區(qū)間，上有8個交點，即有8個零點，且關于對稱，故所有零點的和為．故選：．2．（2022秋?天心區(qū)校級月考）已知函數(shù)與，則函數(shù)在區(qū)間，，上所有零點的和為A．4 B．8 C．12 D．16【解析】解：函數(shù)的圖象的對稱點為，的圖象關于點對稱，函數(shù)與的圖象都關于點點對稱，由圖知：函數(shù)與的圖象在，上4個交點，在區(qū)間，，上共有8個交點，對應每兩關于點對稱的交點橫坐標的和為4，共4對，即則共有8個零點，其和為16．故選：．3．（2022秋?深圳月考）已知是的根，是的根，則A． B． C． D．【解析】解：根據(jù)題意得，，令，則，函數(shù)在上單調遞增，，即，，故選：．4．（2022?贛州一模）已知函數(shù)，當，時，把函數(shù)的所有零點依次記為，，，，，且，記數(shù)列的前項和為，則A． B． C． D．【解析】解：的零點即，即，由，，解得，，2，4，6，8，即為的圖象的對稱軸方程，則，，，，可得，故選：．5．（2022春?蓮池區(qū)校級期末）已知函數(shù)，分別是定義在上的偶函數(shù)和奇函數(shù)，且，若函數(shù)有唯一零點，則實數(shù)的值為A．或 B．1或 C．或2 D．或1【解析】解：因為①，又函數(shù)，分別是定義在上的偶函數(shù)和奇函數(shù)，則，即②，①②可得，，由于關于直線對稱，則關于直線對稱，因為為偶函數(shù)，則關于軸對稱，所以關于對稱，由于函數(shù)有唯一零點，則必有，且，即，解得或．故選：．6．（2022?泗縣校級模擬）已知、分別是函數(shù)、的零點，則的值為A． B． C．2 D．4【解析】解：根據(jù)題意，已知、分別是函數(shù)、的零點，函數(shù)的零點為函數(shù)與的交點的橫坐標，則兩個函數(shù)圖象的交點為，函數(shù)的零點為函數(shù)與的交點的橫坐標，則兩個函數(shù)圖象的交點為，，又由函數(shù)與函數(shù)互為反函數(shù)，其圖象關于直線對稱，而直線也關于直線對稱，則點和，也關于直線對稱，則有，則有，故選：．7．（2022秋?大連期末）已知與分別是函數(shù)與的零點，則的值為A． B． C．4 D．5【解析】解：由，化簡得，設，，由，互為反函數(shù)，其圖象關于直線對稱，作直線，分別交，的圖象為，兩點，點為，的中點，聯(lián)立得；，由中點坐標公式得：，所以，故選：．8．（2022秋?海陵區(qū)校級月考）已知，函數(shù)的零點為，的極小值點為，則A．（a）（b）（c） B．（b）（a）（c） C．（b）（c）（a） D．（c）（a）（b）【解析】解：因為（1），，所以，因為，所以，，令，得，所以，又因為，所以，故，又是增函數(shù)，故（a）（b）（c），故選：．9．（2022秋?駐馬店期中）已知，函數(shù)的零點為，的極小值點為，則A． B． C． D．【解析】解：因為，所以，因為，所以，，令，得，所以，又因為，所以，故，故選：．10．（2022秋?10月份月考）已知函數(shù)，，則在，上根的個數(shù)為A．4 B．5 C．6 D．7【解析】解：根據(jù)題意，作出和的圖像：在，上根的個數(shù)為與在，上的圖像的交點個數(shù)，所以交點有5個，故選：．11．（2022春?濱海新區(qū)校級期末）已知函數(shù)若函數(shù)恰有4個零點，則的取值范圍是A． B． C． D．【解析】解：若函數(shù)恰有4個零點，則有四個根，即與有四個交點，當時，與圖象如下：兩圖象只有兩個交點，不符合題意，當時，與軸交于兩點，圖象如圖所示，當時，函數(shù)的函數(shù)值為，當時，函數(shù)的函數(shù)值為，所以兩圖象有4個交點，符合題意，當時，與軸交于兩點，在，內兩函數(shù)圖象有兩個交點，所以若有四個交點，只需與在，還有兩個交點，即可，即在，還有兩個根，即在，還有兩個根，函數(shù)，（當且僅當時，取等號），所以，且，所以，綜上所述，的取值范圍為，，．故選：．12．（2022春?海淀區(qū)校級期末）已知函數(shù)給出下列三個結論：①當時，函數(shù)的單調遞減區(qū)間為；②若函數(shù)無最小值，則的取值范圍為；③若且，則，使得函數(shù)恰有3個零點，，，且．其中，所有正確結論的個數(shù)是A．0 B．1 C．2 D．3【解析】解：對于①：當時，由，，所以函數(shù)在區(qū)間上不單調遞減，故①錯誤；對于②：若函數(shù)可轉換為，畫出函數(shù)的圖象，如圖所示：所以函數(shù)無最小值，則的取值范圍為．故②正確．對于③令，結合函數(shù)我的圖象，不妨設，則，所以，，所以，令，即，當時，，故有三個零點，且，符合題意，當時，，故有三個零點，且，符合題意，故③正確．故正確答案為：②③，故選：．二．多選題13．（2022?遼寧三模）已知函數(shù)為定義在上的單調函數(shù)，且．若函數(shù)有3個零點，則的取值可能為A．2 B． C．3 D．【解析】解：因為為定義在上的單調函數(shù)，所以存在唯一的，使得，則，，即，因為函數(shù)為增函數(shù)，且，所以，．當時，由，得；當時，由，得．結合函數(shù)的圖象可知，若有3個零點，則，．故選：．14．（2022秋?福州期中）已知函數(shù)，則下列結論正確的有A．若，則有2個零點 B．存在，使得有1個零點 C．存在，使得有3個零點 D．存在，使得有3個零點【解析】解：函數(shù)的零點的個數(shù)可轉化為函數(shù)與直線的交點的個數(shù)；作函數(shù)與直線的圖象如右圖，若，則函數(shù)與直線的圖象在與上各有一個交點，如直線，則有兩個零點，故正確；當時，當，時，，，，故在，上至少有一個零點，又（1），結合圖象知，在，上有兩個零點，即與有兩個不同的交點，故當直線繞點順時針旋轉時，存在直線與函數(shù)與直線的圖象相切，即有一個零點，如直線，故正確；當時，函數(shù)與直線的圖象至多有兩個交點，故不正確；當且足夠小時，函數(shù)與直線的圖象在與上分別有1個、2個交點，如直線，故正確；故選：．15．（2022?深圳模擬）設函數(shù)和，其中是自然對數(shù)的底數(shù)，則下列結論正確的為A．的圖象與軸相切 B．存在實數(shù)，使得的圖象與軸相切 C．若，則方程有唯一實數(shù)解 D．若有兩個零點，則的取值范圍為【解析】解：對于，的導數(shù)為，由，可得，切點為，切線的方程為，則的圖象與軸相切，故正確；的導數(shù)為，由，，可得恒成立，即有在遞增，且，，所以的圖像與軸不相切，故錯誤；對于，因為，所以，令，，，可得在遞增，且（1），所以與軸只有一個交點，當時，，遞減；當時，，遞增，所以的最小值為（1），即與軸只有一個交點，故正確；對于，，，令，由題意可得，，當時，，遞增；當時，，遞減，所以的最大值為，令，，可得遞減，又，當時，，故正確．故選：．16．（2022秋?渝中區(qū)校級月考）設函數(shù)，下列選項正確的有A．當時，有5個不相等的實根 B．當時，有4個不相等的實根 C．當時，有6個不相等的實根 D．當時，有5個不相等的實根【解析】解：因為已知函數(shù)，作圖，．若，則，，，由上圖可知，有一個解，，有兩個解，共三個解，故不符合題意．．若，則，若，則或，由可得方程，由判別式大于零可知，該方程有兩個解，共有四個解，且四個解不互相同，故符合題意，．若，則，，由函數(shù)的圖像可知，或，或，，令，，，此時或或共6個解，故符合題意，．若，則，此時，所以，所以或，由函數(shù)的圖像可知，有兩個解，有三個解，共5個解，且5個解，故符合題意，故選：．17．（2022秋?南通月考）已知，分別是函數(shù)和的零點，則A． B． C． D．【解析】解：根據(jù)題意，已知，分別是函數(shù)和的零點，函數(shù)的零點為函數(shù)與的交點的橫坐標，則兩個函數(shù)圖象的交點為，函數(shù)的零點為函數(shù)與的交點的橫坐標，則兩個函數(shù)圖象的交點為，，又函數(shù)與函數(shù)互為反函數(shù)，其圖象關于直線對稱，而直線也關于直線對稱，且直線與直線的交點坐標為，則點和，也關于點對稱，，，故，正確，（1），，，，易知函數(shù)在上單調遞增，，故錯誤，，而，，，又（1），，，而，，故正確，故選：．18．（2022秋?蘇州期中）函數(shù)在上有唯一零點，則A． B． C． D．【解析】解函數(shù)在上有唯一零點，，，令，，則，此函數(shù)只有一個零點，，可知在上單調遞減，在上單調遞增；（1），，此時．故選：．19．（2022秋?新華區(qū)校級期末）函數(shù)在上有唯一零點，則下列四個結論正確的是A． B． C． D．【解析】解：函數(shù)的零點即為方程，即的根，等價于函數(shù)的圖象與直線有唯一公共點，，，因為在上單調遞增，且當時，，當時，，所以存在，使得，且當時，，，單調遞減，當時，，，單調遞增，所以，所以，正確，錯誤；又，所以，正確；令，則，當時，，，故錯誤；故選：．20．（2022秋?濰坊期末）已知函數(shù)則以下結論正確的是A． B．方程有三個實根 C．當，時， D．若函數(shù)在上有8個零點，2，3，，，則的取值范圍為【解析】解：，如圖所示，時，是周期為2的函數(shù)，圖象與一樣，中，，所以正確；中，如圖，可得由4個交點，所以不正確；中時，，所以，所以正確；中函數(shù)在上有8個零點依次可得，都相等且，，而，，，，則，可得的取值范圍為，所以正確；故選：．21．（2022?聊城模擬）用符號表示不超過的最大整數(shù)，例如：，．設有3個不同的零點，，，則A．是的一個零點 B． C．的取值范圍是， D．若，則的范圍是，【解析】解：令，則或，由解得，故選項正確；又有3個不同的零點，故有兩個不同的零點，即有兩個不同的零點，不妨設這兩個零點為，，函數(shù)的圖象與直線有兩個不同的交點，由得，令，解得，易知在單減，在單增，且，作出的大致圖象如下，由圖象可知，，顯然不關于對稱，故，，選項錯誤；又要使函數(shù)的圖象與直線有兩個不同的交點，則，注意到不是此時的零點，，即，，選項錯誤；又，，，，（3）（4），即，選項正確．故選：．22．（2022?遼寧二模）已知，，，若存在唯一零點，下列說法正確的有A．在上遞增 B．圖象關于點中心對稱 C．任取不相等的實數(shù)，均有 D．【解析】解：，則在上遞增，故正確，，則圖象關于點中心對稱，故正確，，當時，，即為增函數(shù)，即圖象下凸，此時，故錯誤，若存在唯一零點，則只有一個解，即與只有一個交點，，，由（2）（2），則、的圖象均關于點中心対稱，在的右側附近為下凸函數(shù)，為上凸函數(shù)，要時，圖象無交點，當且僅當（2）（2）成立．于是，即成立，故正確，故選：．三．填空題23．已知函數(shù)，則函數(shù)的零點個數(shù)是1．【解析】解：設，則函數(shù)等價為，由，得，若，則，即，不滿足條件．若，則，則，滿足條件．故函數(shù)的零點個數(shù)只有1個，故答案為：1．24．（2022春?海珠區(qū)校級期中）定義在上的函數(shù)，當，時，，且為偶函數(shù)．函數(shù)，則方程所有根的和為10．【解析】解：因為為偶函數(shù)，故關于對稱，容易知也關于對稱，故方程所有根的和為，為在區(qū)間，上，與交點的個數(shù)；在同一直角坐標系中畫出與的圖像如下所示：由圖可知，兩函數(shù)在，上，與有5個交點，故方程所有根的和為．故答案為：10．25．（2022秋?高郵市校級月考）已知函數(shù)，當，時，把函數(shù)的所有零點依次記為，，，，，且，記數(shù)列的前項和為，則．【解析】解：，則，即，令，的周期為，在一個周期，內有兩個根，，則在，內共有18個根，即，相鄰的兩個根都關于對稱軸對稱，而的對稱軸，，即，關于對稱，，關于對稱，，，關于對稱，所以．故答案為：．26．（2022秋?荔灣區(qū)校級期末）已知函數(shù)，分別是定義在上的偶函數(shù)和奇函數(shù)，且滿足，則函數(shù)的解析式為；若函數(shù)有唯一零點，則實數(shù)的值為．【解析】解：因為函數(shù)，分別是定義在上的偶函數(shù)和奇函數(shù)，所以，因為，①所以，即，②①②聯(lián)立，可解得．令，則，所以為偶函數(shù)，所以關于對稱，因為有唯一的零點，所以的零點只能為，即，解得或故答案為：；或．27．（2022秋?閔行區(qū)校級月考）設，分別是函數(shù)和的零點（其中，則的取值范圍是．【解析】解：由是函數(shù)的零點可知，是方程，即方程的解，同理是方程的解，則、分別為函數(shù)的圖象與函數(shù)和函數(shù)的圖象交點的橫坐標，設兩交點分別為，，，，由知，，又和以及的圖象均關于直線對稱，兩交點一定關于對稱，點，關于直線的對稱點坐標為，，，設，其中，由對勾函數(shù)的性質可知函數(shù)在上單調遞減，，的取值范圍是：，故答案為：，28．（2022秋?即墨區(qū)期中）已知，分別是函數(shù)和的零點（其中，則的取值范圍是．【解析】解：根據(jù)函數(shù)零點的定義可知是方程的根，所以也是函數(shù)的零點．同理可得是方程的根，即，所以，所以也是函數(shù)的零點．又，所以函數(shù)在上單調遞增，所以，由可知，所以在單調遞增，所以，故答案為：．29．（2022秋?墊江縣校級月考）已知在內有且僅有一個零點，當，時，函數(shù)的值域是，，則2．【解析】解：由，得：，令，解得：或，若在內有且僅有一個零點，則必有，且，