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專題07立體幾何之角度的范圍與最值問題一、解答題1.如圖,在中,.O為的外心,平面,且.(1)求證:平面;(2)設(shè)平面平面;若點(diǎn)M在線段上運(yùn)動(dòng),且,當(dāng)直線l與平面所成角取最大值時(shí),求的值2.如圖,在梯形中,,,,四邊形為矩形,平面平面,.(1)求證:平面,平面;(2)點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng),設(shè)平面與平面所成銳二面角為,試求的最小值.3.如圖,在多面體中,側(cè)面為菱形,平面,平面,,是的中點(diǎn),為棱上的動(dòng)點(diǎn),.(1)證明:平面平面;(2)當(dāng)點(diǎn)位于棱的什么位置時(shí),面與面,所成的二面角的正弦值最小?4.如圖,在四棱錐中,底面是邊長為2的菱形,平面,,為的中點(diǎn),為邊上的一個(gè)點(diǎn).(1)求證:平面平面;(2)記平面平面,求直線與直線所成的角;(3)若為上的動(dòng)點(diǎn),與平面所成角的正切值的最大值為,求平面與平面所成的銳二面角的正切值.5.如圖所示,正方形ABCD和矩形ADEF所在的平面互相垂直,動(dòng)點(diǎn)P在線段EF(包含端點(diǎn)E,F(xiàn))上,M,N分別為AB,BC的中點(diǎn),AB=2DE=2.(1)若P為EF的中點(diǎn),求點(diǎn)N到平面PDM的距離;(2)設(shè)平面PDM與平面ABCD所成的夾角為θ,求cosθ的最大值并求出此時(shí)點(diǎn)P的位置.6.在四棱錐中,平面,底面是直角梯形,其中,,,為棱上的點(diǎn),且.(1)求證:平面;(2)若二面角的平面角的正切值為,求的長;(3)在(2)的條件下,若為線段上一點(diǎn),求與面所成角為,求的最大值.7.如圖,在梯形ABCD中,,,,四邊形BFED為矩形,,平面平面ABCD.(1)求證:平面BDEF;(2)點(diǎn)P在線段EF上運(yùn)動(dòng),設(shè)平面PAB與平面ADE所成的夾角為,試求的最小值.8.如圖,在矩形ABCD中,M、N分別是線段AB、CD的中點(diǎn),,,將沿DM翻折,在翻折過程中A點(diǎn)記為P點(diǎn).(1)從翻折至的過程中,求點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的軌跡長度;(2)翻折過程中,二面角P?BC?D的平面角為θ,求的最大值.9.如圖,在平行四邊形中,,,,四邊形為矩形,平面平面,,點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng),且.(1)當(dāng)時(shí),證明;(2)設(shè)平面與平面的夾角為,求的取值范圍.10.如圖,在中,,,,將繞邊翻轉(zhuǎn)至,使面面,是的中點(diǎn).(1)求二面角的平面角的余弦值;(2)設(shè)是線段上的動(dòng)點(diǎn),當(dāng)與所成角取得最小值時(shí),求線段的長度.11.如圖,在直角三角形中,,斜邊,直角三角形可以通過以直線為軸旋轉(zhuǎn)得到,且二面角是直二面角,動(dòng)點(diǎn)在斜邊上.(1)求證:平面平面;(2)當(dāng)為的中點(diǎn)時(shí),求異面直線與所成角的正切值;(3)求與平面所成角的正切值的最大值.12.如圖,在中,,,為的外心,平面,且.(1)求證:平面;并計(jì)算與平面之間的距離;(2)設(shè)平面面,若點(diǎn)在線段(不含端點(diǎn))上運(yùn)動(dòng),當(dāng)直線與平面所成角取最大值時(shí),求二面角的正弦值.13.如圖,在正三棱柱中,D為的中點(diǎn).(1)證明:平面.(2)已知二面角的大小為,求的取值范圍.14.如圖,在四棱錐中,側(cè)棱底面ABCD,,,,,M是棱PB的中點(diǎn),E為BC的中點(diǎn).(1)證明:平面平面;(2)線段CD上是否存在動(dòng)點(diǎn)N,直線MN與平面PAB所成的角最大?如果存在,求出最大角的正弦值.并確定N的位置.15.如圖,在四棱錐PABCD中,已知PA平面ABCD,且四邊形ABCD為直角梯形,ABCBAD,PAAD2,ABBC1.(1)求平面PAB與平面PCD夾角的余弦值;(2)點(diǎn)Q是線段BP上的動(dòng)點(diǎn),當(dāng)直線CQ與DP所成的角最小時(shí),求線段BQ的長.16.如圖,在四棱錐中,平面,,,.(1)求證:平面平面;(2)若點(diǎn)M為的中點(diǎn),點(diǎn)N為線段上一動(dòng)點(diǎn),求直線與平面所成角的正弦值的取值范圍.17.如圖,在梯形中,,,四邊形為矩形,且平面,.(1)求證:平面;(2)點(diǎn)在線段(含端點(diǎn))上運(yùn)動(dòng),當(dāng)點(diǎn)在什么位置時(shí),平面與平面所成銳二面角最大,并求此時(shí)二面角的余弦值.18.如圖,在四棱錐中,底面是圓內(nèi)接四邊形.,,.(1)求證:平面平面;(2)若點(diǎn)在內(nèi)運(yùn)動(dòng),且平面,求直線與平面所成角的正弦值的最大值.19.如圖,在直三棱柱中,,M,N分別是棱的中點(diǎn),點(diǎn)P在線段上(包括兩個(gè)端點(diǎn))運(yùn)動(dòng).(1)當(dāng)P為線段的中點(diǎn)時(shí),求證:;(2)求直線與平面所成角的正弦值的取值范圍.20.如圖所示,三棱錐中,平面,,平面經(jīng)過棱的中點(diǎn),與棱,分別交于點(diǎn),,且平面,平面.(1)證明:平面;(2)若,點(diǎn)在直線上,求平面與平面所成銳二面角的余弦值的最大值.21.如圖,C是以AB為直徑的圓O上異于A,B的點(diǎn),平面平面,中,,,E,F(xiàn)分別是,的中點(diǎn).(1)求證:平面;(2)記平面與平面的交線為直線l,點(diǎn)Q為直線l上動(dòng)點(diǎn),求直線與平面所成的角的取值范圍.22.如圖1,已知三棱錐,圖2是其平面展開圖,四邊形為正方形,和均為正三角形,.(1)求二面角的余弦值;(2)若點(diǎn)在棱上,滿足,,點(diǎn)在棱上,且,求的取值范圍.23.如圖,為圓錐的頂點(diǎn),是圓錐底面的圓心,為底面直徑,為底面圓的內(nèi)接正三角形,且邊長為在母線上,且.(1)求證:平面平面;(2)設(shè)線段上動(dòng)點(diǎn)為,求直線與平面所成角的正弦值的最大值.24.如圖,在三棱臺(tái)中,底面是邊長為2的正三角形,側(cè)面為等腰梯形,且,為的中點(diǎn).(1)證明:;(2)記二面角的大小為,時(shí),求直線與平面所成角的正弦值的取值范圍.25.如圖所示,三棱柱中,所有棱長均為2,,,分別在,上(不包括兩端),.(1)求證:平面;(2)設(shè)與平面所成角為,求的取值范圍.26.如圖,在三棱錐中,、、兩兩垂直,且,過棱上的動(dòng)點(diǎn)(不同于A、兩點(diǎn))作平行于、的平面,分別交三棱錐的棱、、于、、三點(diǎn).(1)求異面直線與所成的角的大??;(2)求點(diǎn)到直線距離的最小值;(3)求直線與平面所成角的取值范圍.27.如圖,將等腰直角沿斜邊旋轉(zhuǎn),使得到達(dá)的位置,且.(1)證明:平面平面.(2)求二面角的余弦值.(3)若在棱上存在點(diǎn),使得,,在棱上存在點(diǎn),使得,且,求的取值范圍.28.如圖,在四棱錐中,,,E為棱PA的中點(diǎn),平面PCD.(1)求AD的長;(2)若,平面平面PBC,求二面角的大小的取值范圍.29.如圖所示,為圓的直徑,圓所在的平面,B為圓周上與點(diǎn)A,C均不重合的點(diǎn),于S,于N.(1)
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