專題01平行垂直問題的證明（第三篇）

備戰(zhàn)2020年高考數(shù)學(xué)大題精做之解答題題型全覆蓋高端精品第三篇立體幾何專題01平行、垂直問題的證明類型對應(yīng)典例證明線線平行典例1證明線面平行典例2證明面面平行典例3證明線線垂直典例4證明線面垂直典例5證明面面垂直典例6【典例1】【2020屆北京市通州區(qū)三?？荚嚒咳鐖D，在四棱錐中，平面平面，四邊形為正方形，△為等邊三角形，是中點(diǎn)，平面與棱交于點(diǎn).（Ⅰ）求證：；（Ⅱ）求證：平面；（III）記四棱錐的體積為，四棱錐的體積為，直接寫出的值.【思路引導(dǎo)】（Ⅰ）由為正方形，可得．再由線面平行的判定可得平面.．再由面面平行的性質(zhì)可得；

（Ⅱ）由為正方形，可得．結(jié)合面面垂直的性質(zhì)可得平面．從而得到.．再由已知證得．由線面垂直的判定可得平面；

（Ⅲ）由（Ⅰ）知，，利用等積法把用表示，則的值可求．解：（I）證明：因為正方形，所以.因為平面，平面，所以平面.因為平面，平面平面，所以.（II）證明：因為正方形，所以.因為平面平面，平面平面，平面，所以平面.因為平面，所以.因為為等邊三角形，是中點(diǎn)，所以.因為平面，平面，，所以平面.（III）解：由（Ⅰ）知，則．【典例2】【2020屆湖北省沙市中學(xué)期末考試】在如圖所示的幾何體中，四邊形是菱形，是矩形，平面平面，，，，為的中點(diǎn)．（1）求證：∥平面；（2）在線段上是否存在點(diǎn)，使二面角的大小為？若存在，求出的長；若不存在，請說明理由．【思路引導(dǎo)】利用與交于，連接．證明，通過直線與平面平行的判定定理證明平面；對于存在性問題，可先假設(shè)存在，即假設(shè)在線段上是否存在點(diǎn)，使二面角的大小為．再通過建立空間直角坐標(biāo)系，求出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，利用坐標(biāo)法進(jìn)行求解判斷．解：與交于，連接．由已知可得四邊形是平行四邊形，所以是的中點(diǎn)．因為是的中點(diǎn)，所以．又平面，平面，所以平面．由于四邊形是菱形，，是的中點(diǎn)，可得．又四邊形是矩形，面面，面，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則，0，，，0，，，2，，，，，，，，，，，設(shè)平面的法向量為，，．則，，令，，，，又平面的法向量，0，，，，解得，，在線段上不存在點(diǎn)，使二面角的大小為．【典例3】【2020屆河北省衡水中學(xué)高三上學(xué)期九?！咳鐖D，在長方體中，分別為的中點(diǎn)，是上一個動點(diǎn)，且.（1）當(dāng)時，求證：平面平面；（2）是否存在，使得？若存在，請求出的值；若不存在，請說明理由.【思路引導(dǎo)】（1）當(dāng)時，為中點(diǎn)，因為是的中點(diǎn)，所以，則四邊形是平行四邊形，所以.又平面平面，所以平面.因為分別是中點(diǎn)，所以，因為平面平面，所以平面.因為平面平面，所以平面平面.（2）如圖，連接與，因為平面平面，所以.若又平面，且，所以平面.因為平面，所以.在矩形中，由，得，所以.又，所以，則，即.【典例4】【福建省龍巖市2019年5月高中畢業(yè)班教學(xué)質(zhì)量檢查】如圖，菱形中，，，是的中點(diǎn)，以為折痕，將折起，使點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)的位置，且平面平面，（1）求證：；（2）若為的中點(diǎn)，求四面體的體積．【思路引導(dǎo)】（1）先在左圖中證明，再結(jié)合右圖，根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理，證明平面，進(jìn)而可得出結(jié)論；（2）先計算出，再由題意得到，即可得出結(jié)果．解：（1）證明：在左圖中，∵四邊形是菱形，，是的中點(diǎn)，∴，故在右圖中，，∵平面平面，平面平面，∴平面，又平面，所以.（2）解：在左圖中，∵四邊形是菱形，，，∴，且，在右圖中，連接，則，∵為的中點(diǎn)，∴．【典例5】【2020屆陜西咸陽模擬】如圖，在四棱錐中，四邊形為正方形，平面，，是上一點(diǎn)，且.（1）求證：平面；（2）求直線與平面所成角的正弦值.【思路引導(dǎo)】（1）連接，由線面垂直的性質(zhì)定理可得，且，故平面，，又，利用線面垂直的判斷定理可得平面.（2）法1：由（1）知平面，即是直線與平面所成角，設(shè)，則，，，結(jié)合幾何關(guān)系計算可得，即直線與平面所成角的正弦值為.法2：取為原點(diǎn)，直線，，分別為，，軸，建立坐標(biāo)系，不妨設(shè)，結(jié)合(1)的結(jié)論可得平面得法向量，而，據(jù)此計算可得直線與平面所成角的正弦值為.解：（1）連接，由平面，平面得，又，，∴平面，得，又，，∴平面.（2）法1：由（1）知平面，即是直線與平面所成角，易證，而，不妨設(shè)，則，，，在中，由射影定理得，可得，所以，故直線與平面所成角的正弦值為.法2：取為原點(diǎn)，直線，，分別為，，軸，建立坐標(biāo)系，不妨設(shè)，則，，，由（1）知平面得法向量，而，∴.故直線與平面所成角的正弦值為.【典例6】【河南省鄭州市2019屆高中畢業(yè)年級第一次（1月)質(zhì)量預(yù)測】已知四棱錐中，底面為菱形，，平面，、分別是、上的中點(diǎn)，直線與平面所成角的正弦值為，點(diǎn)在上移動.（Ⅰ）證明：無論點(diǎn)在上如何移動，都有平面平面；（Ⅱ）求點(diǎn)恰為的中點(diǎn)時，二面角的余弦值.【思路引導(dǎo)】（Ⅰ）推導(dǎo)出AE⊥PA，AE⊥AD，從而AE⊥平面PAD，由此能證明無論點(diǎn)F在PC上如何移動，都有平面AEF⊥平面PAD．（Ⅱ）以A為原點(diǎn)，AE為x軸，AD為y軸，AP為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出二面角C﹣AF﹣E的余弦值．解：（Ⅰ）連接∵底面為菱形，，∴是正三角形，∵是中點(diǎn)，∴又，∴∵平面，平面，∴，又∴平面，又平面∴平面平面.（Ⅱ）由（Ⅰ）得，，，兩兩垂直，以，，所在直線分別為軸，軸，軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，∵平面，∴就是與平面所成的角，在中，，即，設(shè)，則，得，又，設(shè)，則，所以，從而，∴，則，，，，，，，所以，，，設(shè)是平面一個法向量，則取，得又平面，∴是平面的一個法向量，∴∴二面角的余弦值為.【針對訓(xùn)練】1.【2020屆湖南長郡中學(xué)月考】在如圖所示的五面體中,四邊形為菱形,且為中點(diǎn).(1)求證:平面;(2)若平面平面,求到平面的距離.【思路引導(dǎo)】(1)取中點(diǎn),連接,因為分別為的中點(diǎn),所以,且,因為四邊形為菱形,所以平面平面,所以平面.因為平面平面平面,所以.又,所以.所以四邊形為平行四邊形，所以.又平面，且平面,所以平面.(2)由(1)得平面,所以到平面的距離等于到平面的距離.取的中點(diǎn),連接,因為四邊形為菱形,且,所以,因為平面平面,平面平面,所以平面,因為,所以,所以,設(shè)到平面的距離為,又因為,所以由,得,解得.即到平面的距離為．2.【2019屆福建廈門第一中學(xué)模擬】已知空間幾何體ABCDE中，△BCD與△CDE均是邊長為2的等邊三角形，△ABC是腰長為3的等腰三角形，平面CDE⊥平面BCD，平面ABC⊥平面BCD.(1)試在平面BCD內(nèi)作一條直線，使得直線上任意一點(diǎn)F與E的連線EF均與平面ABC平行，并給出證明；(2)求三棱錐E－ABC的體積.【思路引導(dǎo)】（1）取DC的中點(diǎn)N，取BD的中點(diǎn)M，連接MN，則MN即為所求，證明EN∥AH，MN∥BC可得平面EMN∥平面ABC即可（2）因為點(diǎn)E到平面ABC的距離與點(diǎn)N到平面ABC的距離相等，求三棱錐E－ABC的體積可轉(zhuǎn)化為求三棱錐N－ABC的體積，根據(jù)體積公式計算即可.解：(1)如圖所示，取DC的中點(diǎn)N，取BD的中點(diǎn)M，連接MN，則MN即為所求.證明：連接EM，EN，取BC的中點(diǎn)H，連接AH，∵△ABC是腰長為3的等腰三角形，H為BC的中點(diǎn)，∴AH⊥BC，又平面ABC⊥平面BCD，平面ABC∩平面BCD＝BC，AH?平面ABC，∴AH⊥平面BCD，同理可證EN⊥平面BCD，∴EN∥AH，∵EN?平面ABC，AH?平面ABC，∴EN∥平面ABC.又M，N分別為BD，DC的中點(diǎn)，∴MN∥BC，∵M(jìn)N?平面ABC，BC?平面ABC，∴MN∥平面ABC.又MN∩EN＝N，MN?平面EMN，EN?平面EMN，∴平面EMN∥平面ABC，又EF?平面EMN，∴EF∥平面ABC，即直線MN上任意一點(diǎn)F與E的連線EF均與平面ABC平行.(2)連接DH，取CH的中點(diǎn)G，連接NG，則NG∥DH，由(1)可知EN∥平面ABC，∴點(diǎn)E到平面ABC的距離與點(diǎn)N到平面ABC的距離相等，又△BCD是邊長為2的等邊三角形，∴DH⊥BC，又平面ABC⊥平面BCD，平面ABC∩平面BCD＝BC，DH?平面BCD，∴DH⊥平面ABC，∴NG⊥平面ABC，易知DH＝，∴NG＝，又S△ABC＝·BC·AH＝×2×＝2，∴VE－ABC＝·S△ABC·NG＝.3.【江蘇省揚(yáng)州中學(xué)2019屆高三4月考試】已知三棱錐中，，.若平面分別與棱相交于點(diǎn)且平面.求證:（1）；（2）.【思路引導(dǎo)】（1）利用線面平行的性質(zhì)定理可得線線平行，最后利用平行公理可以證明出；（2）利用線面垂直的判定定理可以證明線面垂直，利用線面垂直的性質(zhì)可以證明線線垂直，利用平行線的性質(zhì)，最后證明出.解：證明（1）因為平面，平面平面,平面，所以有,同理可證出,根據(jù)平行公理，可得；（2）因為，，,平面，所以平面,而平面,所以,由（1）可知,所以.4.【河北省衡水市全國普通高中2019屆高三四月大聯(lián)考】如圖，在四邊形中，是的中點(diǎn)，為正三角形，，，.將沿直線折起，使到達(dá)處，到達(dá)處，此時平面平面.（1）求證：；（2）求點(diǎn)到平面的距離.【思路引導(dǎo)】（1）先由題證明，再證明平面則可得；（2）用等體積轉(zhuǎn)化法，求點(diǎn)到平面的距離．解：（1）由，，，可知，∴，又∵平面平面，且平面平面.∴平面，又平面，∴.（2）取的中點(diǎn)，連接.∵為正三角形，∴也為正三角形，∴.由，知.∵平面平面，平面平面，∴平面，又∵為對應(yīng)的點(diǎn)，∴為的中點(diǎn)，∴點(diǎn)到底面的距離為，，，又，，∴，又，∴，∴，∴，.設(shè)點(diǎn)到平面的距離為.∵，∴，解得，∴點(diǎn)到平面的距離為.5.【遼寧省丹東市2019屆高三總復(fù)習(xí)質(zhì)量測試】如圖，直三棱柱中，，，分別為、的中點(diǎn).（1）證明：平面；（2）已知與平面所成的角為，求二面角的余弦值.【思路引導(dǎo)】解法1：（1）建立空間直角坐標(biāo)系，利用直線的向量和平面法向量平行證明線面垂直；（2）設(shè)，利用與平面所成的角為得到的值，再求出兩個面的法向量之間的夾角余弦值，得到二面角的余弦值.解法2：（1）取中點(diǎn)，連接、，易證平面，再證明,可得平面（2）設(shè)，利用與平面所成的角為得到的值，再求出兩個面的法向量之間的夾角余弦值，得到二面角的余弦值.解法3：（1）同解法2（2）設(shè)，利用三棱錐等體積轉(zhuǎn)化，得到到面的距離，利用與平面所成的角為得到與的關(guān)系，解出，在兩個平面分別找出垂直于交線，得到二面角，求出其余弦值.【詳解】解法1：（1）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，射線為軸的正半軸，建立如圖所示的直角坐標(biāo)系．設(shè)，，則，，，，，，，，．因為，，所以，，面，面，于是平面．（2）設(shè)平面的法向量，則，，又，，故，取，得．因為與平面所成的角為，，所以，，解得，．由（1）知平面的法向量，，所以二面角的余弦值為．解法2：（1）取中點(diǎn)，連接、,，平面，平面，而平面,平面,平面．為中點(diǎn)，，，，，四邊形為平行四邊形，．平面．（2）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，射線為軸的正半軸，建立如圖所示的直角坐標(biāo)系．設(shè)，，，則，，．設(shè)平面的法向量，則，，又，，故，取，得．因為與平面所成的角為，，所以，，解得，．由（1）知平面的法向量，所以二面角的余弦值為．解法3：（1）同解法2．（2）設(shè)，，則，,，，，到平面距離，設(shè)到面距離為，由得，即．因為與平面所成的角為，所以，而在直角三角形中，所以，解得．因為平面，平面,所以，平面，平面所以，所以平面，平面,平面所以為二面角的平面角，而,可得四邊形是正方形，所以，所以二面角的余弦值為．6.【2020屆吉林遼源田家炳高級中學(xué)期末聯(lián)考】在四棱錐中，底面為正方形，.（1）證明：面⊥面；（2）若與底面所成的角為，，求二面角的余弦值．【思路引導(dǎo)】（1）要證面面垂直，一般先證線面垂直，設(shè)AC與BD交點(diǎn)為O，則PO⊥BD，而