《微控制器原理及應(yīng)用技術(shù)》課件第1章

第1章計(jì)算機(jī)的數(shù)制及其轉(zhuǎn)換1.1計(jì)算機(jī)的數(shù)制及其轉(zhuǎn)換

1.2計(jì)算機(jī)中數(shù)與字符的編碼1.3微型計(jì)算機(jī)的性能分析及分類(lèi)教學(xué)提示：任何數(shù)據(jù)在計(jì)算機(jī)中都用二進(jìn)制表示，而數(shù)據(jù)又有數(shù)值數(shù)據(jù)和非數(shù)值數(shù)據(jù)兩種。數(shù)值數(shù)據(jù)常用的編碼有原碼、反碼和補(bǔ)碼。由于補(bǔ)碼編碼有許多優(yōu)點(diǎn)，因此大多數(shù)微機(jī)數(shù)字與字符采用補(bǔ)碼進(jìn)行編碼。在計(jì)算機(jī)內(nèi)部的十進(jìn)制數(shù)的編碼通常是BCD碼。對(duì)于非數(shù)值數(shù)據(jù)，英文字母及符號(hào)通常用ASCII編碼，而漢字則需要兩個(gè)字節(jié)來(lái)進(jìn)行編碼。數(shù)制及其轉(zhuǎn)換、數(shù)與字符的編碼是計(jì)算機(jī)的基礎(chǔ)。

教學(xué)要求：本章主要介紹計(jì)算機(jī)的數(shù)制及其轉(zhuǎn)換，數(shù)與字符的編碼，微型計(jì)算機(jī)的性能等相關(guān)知識(shí)。通過(guò)本章的學(xué)習(xí)使學(xué)生了解微型計(jì)算機(jī)的特點(diǎn)、分類(lèi)、主要技術(shù)指標(biāo)；掌握計(jì)算機(jī)中的數(shù)制及其轉(zhuǎn)換，計(jì)算機(jī)數(shù)據(jù)和字符的編碼。電子計(jì)算機(jī)(Computer)是20世紀(jì)人類(lèi)最重要的科技發(fā)明與成果之一。計(jì)算機(jī)是一種能夠自動(dòng)、高速、精確地進(jìn)行信息處理的現(xiàn)代化電子設(shè)備，具有算術(shù)運(yùn)算和邏輯判斷能力，并能通過(guò)預(yù)先編好的程序來(lái)自動(dòng)完成數(shù)據(jù)的處理。自1946年世界上第一臺(tái)計(jì)算機(jī)問(wèn)世以來(lái)，計(jì)算機(jī)經(jīng)歷了迅速的發(fā)展，獲得了廣泛的應(yīng)用，極大地改變著人們的工作、學(xué)習(xí)和生活方式，并對(duì)國(guó)民經(jīng)濟(jì)的發(fā)展和科學(xué)技術(shù)的進(jìn)步產(chǎn)生了巨大的推動(dòng)作用。它的廣泛應(yīng)用是信息時(shí)代到來(lái)的主要標(biāo)志。

計(jì)算機(jī)按其性能、體積和價(jià)格分為巨型機(jī)、大型機(jī)、中型機(jī)、小型機(jī)和微型機(jī)五類(lèi)。微型計(jì)算機(jī)屬于第四代電子計(jì)算機(jī)產(chǎn)品，即大規(guī)模及超大規(guī)模集成電路計(jì)算機(jī)，是電路技術(shù)不斷發(fā)展、芯片集成度不斷提高的產(chǎn)物。它誕生于20世紀(jì)70年代，由于它體積小，性?xún)r(jià)比高，因此廣泛地應(yīng)用在各行各業(yè)和家庭中，大大推廣和普及了計(jì)算機(jī)及其技術(shù)的應(yīng)用，加速了信息化社會(huì)的進(jìn)程。

計(jì)算機(jī)的最基本功能是進(jìn)行數(shù)據(jù)的計(jì)算和加工處理。計(jì)算機(jī)中的數(shù)是以器件的兩個(gè)不同物理狀態(tài)來(lái)表示的，一個(gè)具有兩種不同的穩(wěn)定狀態(tài)且能相互轉(zhuǎn)換的器件即可用來(lái)表示一位二進(jìn)制數(shù)。計(jì)算機(jī)中采用的就是二進(jìn)制數(shù)字系統(tǒng)。凡是需要由計(jì)算機(jī)處理的各種信息，無(wú)論是文本、字符、圖形，還是聲音、圖像，在輸入計(jì)算機(jī)內(nèi)部時(shí)，都必須以二進(jìn)制編碼(不是數(shù))來(lái)表示，以方便存儲(chǔ)、傳送和處理。1.1計(jì)算機(jī)的數(shù)制及其轉(zhuǎn)換計(jì)算機(jī)內(nèi)部的信息分為兩大類(lèi)：控制信息和數(shù)據(jù)信息?？刂菩畔⑹且幌盗锌刂泼睿糜诳刂朴?jì)算機(jī)進(jìn)行相應(yīng)的操作；數(shù)據(jù)信息是計(jì)算機(jī)操作的對(duì)象，通常又可分為數(shù)值數(shù)據(jù)和非數(shù)值數(shù)據(jù)。數(shù)值數(shù)據(jù)用于表示數(shù)量的大小，有確定的數(shù)值；非數(shù)值數(shù)據(jù)不表示數(shù)量的大小，而表示字符、漢幀⒙輯數(shù)據(jù)等信息。

計(jì)算機(jī)所要處理的信息都要用“0”和“1”兩個(gè)基本符號(hào)(即基2碼)來(lái)編碼表示，這是因?yàn)橐韵氯齻€(gè)原因：

(1)基2碼在物理上最易實(shí)現(xiàn)。例如，可用“1”和“0”分別表示高、低兩個(gè)電位，或表示脈沖的有無(wú)或正負(fù)極性等，其可靠性較高。

(2)采用基2碼表示二進(jìn)制數(shù)，其編碼、加減等運(yùn)算規(guī)則簡(jiǎn)單。

(3)基2碼的兩個(gè)符號(hào)“1”和“0”正好可用來(lái)表示邏輯數(shù)據(jù)的“真”與“假”，可使計(jì)算機(jī)的邏輯運(yùn)算簡(jiǎn)單方便。

因此，計(jì)算機(jī)內(nèi)部的各種信息都是用二進(jìn)制編碼來(lái)表示的。1.1.1數(shù)與數(shù)制

1.數(shù)制的基本概念

人們?cè)陂L(zhǎng)期的生產(chǎn)實(shí)踐和日常生活中創(chuàng)造了應(yīng)用各種數(shù)字符號(hào)表示事物數(shù)量的方法，這些數(shù)的表示方法稱(chēng)為數(shù)制。數(shù)制是以表示數(shù)值所用的數(shù)字符號(hào)的個(gè)數(shù)來(lái)命名的，數(shù)制有多種形式，例如人們最常用到的十進(jìn)制。生活中也常常用到其它進(jìn)制，如十二進(jìn)制、十六進(jìn)制、六十進(jìn)制，以及計(jì)算機(jī)中使用的二進(jìn)制等。進(jìn)位計(jì)數(shù)制,又稱(chēng)位置計(jì)數(shù)制，是用一組固定的數(shù)字符號(hào)和統(tǒng)一的進(jìn)位規(guī)則進(jìn)行計(jì)數(shù)的科學(xué)方法，簡(jiǎn)稱(chēng)進(jìn)位制。凡是按進(jìn)位的方法計(jì)數(shù)的數(shù)制都是進(jìn)位計(jì)數(shù)制，它有一個(gè)規(guī)則，就是N進(jìn)制必須逢N進(jìn)一。進(jìn)位制中還有數(shù)碼、基數(shù)、權(quán)三個(gè)常用術(shù)語(yǔ)。

數(shù)碼：數(shù)制中表示數(shù)值大小的不同數(shù)字符號(hào)。例如，十進(jìn)制中有0、1、2、3、4、5、6、7、8、9共10個(gè)數(shù)碼。

基數(shù)：也稱(chēng)基，是指某進(jìn)位計(jì)數(shù)制中每個(gè)數(shù)位(數(shù)字位置)上允許選用的基本數(shù)碼的個(gè)數(shù)。如二進(jìn)制數(shù)的基數(shù)為2，N進(jìn)制數(shù)的基數(shù)為N?；鶖?shù)體現(xiàn)了該數(shù)制中進(jìn)位和借位的原則：當(dāng)在某一位數(shù)上計(jì)夠一個(gè)基數(shù)時(shí)需要向上進(jìn)1；反之，從上位借1在下位當(dāng)一個(gè)整基數(shù)來(lái)使用。權(quán)：數(shù)制中每一個(gè)數(shù)位所具有的基值(即此數(shù)位上所表示出來(lái)的最小數(shù)值)稱(chēng)為該位上的權(quán)，也稱(chēng)位權(quán)。由于存在進(jìn)位，同一數(shù)字符號(hào)在不同的數(shù)位上所代表的數(shù)值是不同的。權(quán)一般以相應(yīng)進(jìn)位制的基數(shù)冪的形式來(lái)表示。例如，十進(jìn)制數(shù)1234.56，每個(gè)數(shù)位上的權(quán)是10的某次冪，從左到右各位上的權(quán)分別為：103、102、101、100、10－1、10－2。每個(gè)數(shù)位上的數(shù)字所表示的數(shù)值是這個(gè)數(shù)字和該數(shù)位的權(quán)的乘積。因此，對(duì)任意進(jìn)位制數(shù)都可以寫(xiě)成按權(quán)展開(kāi)的冪的多項(xiàng)式和的形式：

式(1.1)中,i是數(shù)位；n和m為正整數(shù)，n表示小數(shù)點(diǎn)左邊的位數(shù)，m表示小數(shù)點(diǎn)右邊的位數(shù)；ai是任意進(jìn)位制數(shù)N的第i位的數(shù)碼；R為基數(shù)，Ri為第i位的權(quán)。

總的來(lái)看，各種進(jìn)位計(jì)數(shù)制均有以下幾個(gè)主要特點(diǎn)：

(1)每種計(jì)數(shù)制有一個(gè)確定的基數(shù)R，其數(shù)碼個(gè)數(shù)等于基數(shù)，最大數(shù)碼比基數(shù)小1。

(2)每個(gè)數(shù)位上的數(shù)碼乘以該數(shù)位的權(quán)就得到該數(shù)位上的數(shù)字所表示的數(shù)值。

(3)低位向高位的進(jìn)位規(guī)則是“逢基數(shù)R進(jìn)一”。在混合小數(shù)中，小數(shù)點(diǎn)右移一位相當(dāng)于乘以R；反之,相當(dāng)于除以R。

為了區(qū)別各種計(jì)數(shù)制的數(shù)據(jù)，常采用下述兩種方法來(lái)表達(dá)：

(1)在數(shù)字后面加相應(yīng)的英文字母來(lái)表示該數(shù)的數(shù)制。如：十進(jìn)制數(shù)用D(Decimal)表示，通常計(jì)算機(jī)操作中默認(rèn)使用的是十進(jìn)制，所以十進(jìn)制數(shù)的后綴可以省略；二進(jìn)制數(shù)用B(Binary)表示，如101110B；八進(jìn)制數(shù)用O(Octal)表示，為了不和0混淆，也可以用Q來(lái)表示八進(jìn)制數(shù)，如346Q；十六進(jìn)制數(shù)用H(Hexadecimal)表示，如19H。

(2)在括號(hào)外邊加數(shù)字下標(biāo)，這種表示方法比較直觀。例如二進(jìn)制數(shù)10101可以寫(xiě)成(10101)2。

2.幾種常用的進(jìn)位計(jì)數(shù)制

計(jì)算機(jī)中采用的是二進(jìn)制計(jì)數(shù)制。但是，由于書(shū)寫(xiě)、鍵入、讀出二進(jìn)制數(shù)時(shí)極易出差錯(cuò)，而微機(jī)的字長(zhǎng)又都是4的整數(shù)倍數(shù)(分別為4位、8位、16位、32位和64位等)，考慮到23＝8、24＝16，因此在編程時(shí)，為了使書(shū)寫(xiě)和閱讀既方便又不易出錯(cuò)，還常常采用八進(jìn)制計(jì)數(shù)和十六進(jìn)制計(jì)數(shù)。此外，人們對(duì)十進(jìn)制計(jì)數(shù)最為熟悉，因此輸入和輸出計(jì)算機(jī)的數(shù)經(jīng)常使用十進(jìn)制數(shù)來(lái)表示。這樣各種進(jìn)位計(jì)數(shù)制之間就存在著一種對(duì)應(yīng)轉(zhuǎn)換關(guān)系。

(1)十進(jìn)制數(shù)(DecimalNotation)。

人們習(xí)慣使用的十進(jìn)制數(shù)有以下特點(diǎn)：

①10個(gè)數(shù)碼，即0、1、2、3、4、5、6、7、8和9。十進(jìn)制數(shù)的基數(shù)是10，可以用0～9十個(gè)數(shù)字和一個(gè)小數(shù)點(diǎn)符號(hào)來(lái)表示任意十進(jìn)制數(shù)。②每個(gè)數(shù)碼表示的值不僅取決于數(shù)碼本身，還取決于它所處的位置。相同的數(shù)碼在不同位置的權(quán)不同，所表示的數(shù)值不同。十進(jìn)制數(shù)各位的權(quán)是10的整數(shù)次冪。例如，個(gè)位的權(quán)為100，十位的權(quán)為101，百位的權(quán)為102等。

③遵從“逢十進(jìn)一，借一當(dāng)十”的規(guī)則。

例1.1333.33＝333.33D＝(333.33)10

＝3×102＋3×101＋3×100＋3×10－1＋3×10－2

(2)二進(jìn)制數(shù)(BinaryNotation)。

二進(jìn)制數(shù)有以下特點(diǎn)：

①2個(gè)數(shù)碼，即0和1，二進(jìn)制數(shù)的基數(shù)是2。

②二進(jìn)制數(shù)各數(shù)位上的權(quán)是2的整數(shù)次冪。小數(shù)點(diǎn)左邊的權(quán)是2的正次冪，小數(shù)點(diǎn)右邊的權(quán)是2的負(fù)次冪。二進(jìn)制數(shù)的值可以用它的按權(quán)展開(kāi)式表示。

③遵從“逢二進(jìn)一，借一當(dāng)二”的規(guī)則。

例1.21011.01B＝(1011.01)2

＝1×23＋0×22＋1×21＋1×20＋0×2－1＋1×2－2另外，二進(jìn)制數(shù)還具有一些獨(dú)特的性質(zhì)，這些性質(zhì)奠定了當(dāng)代計(jì)算機(jī)的設(shè)計(jì)基礎(chǔ)。這些性質(zhì)是：

①具有兩個(gè)不同的數(shù)碼，很容易在自然界中找到兩個(gè)不同的穩(wěn)定狀態(tài)來(lái)表示。

②小數(shù)點(diǎn)向右移一位，數(shù)值增大一倍；反之，即小數(shù)點(diǎn)向左移一位，數(shù)值減小一半。

③對(duì)于二進(jìn)制的整數(shù)而言，若其最低位為1,則值為奇數(shù);最低位為0，則值為偶數(shù)。

④二進(jìn)制數(shù)的運(yùn)算規(guī)則簡(jiǎn)單。如：0＋0＝0；0＋1＝1；1＋0＝1；1＋1＝0(此時(shí)向上進(jìn)位1)。

可見(jiàn)，兩個(gè)一位的二進(jìn)制數(shù)相加運(yùn)算，其本位和的運(yùn)算正好是二值異或邏輯運(yùn)算的關(guān)系，進(jìn)位則是二值與邏輯運(yùn)算的關(guān)系。所以，在計(jì)算機(jī)中，二進(jìn)制數(shù)的運(yùn)算是用邏輯運(yùn)算來(lái)實(shí)現(xiàn)的。

(3)八進(jìn)制數(shù)(OctalNotation)。

八進(jìn)制數(shù)有以下特點(diǎn)：

①8個(gè)數(shù)碼，即0、1、2、3、4、5、6和7，八進(jìn)制數(shù)的基數(shù)是8。

②八進(jìn)制數(shù)各數(shù)位上的權(quán)是8的整數(shù)次冪。八進(jìn)制數(shù)的值也可以用它的按權(quán)展開(kāi)式來(lái)表示。

③遵從“逢八進(jìn)一，借一當(dāng)八”的規(guī)則。

例1.3248.15Q＝(248.15)8

＝2×82＋4×81＋8×80＋1×8－1＋5×8－2

(4)十六進(jìn)制數(shù)(HexadecimalNotation)。

十六進(jìn)制數(shù)有以下特點(diǎn)：

①16個(gè)數(shù)碼，即0、1、2、3、4、5、6、7、8、9、A、B、C、D、E和F，其中A~F表示10~15這六個(gè)數(shù)，十六進(jìn)制數(shù)的基數(shù)是16。

②十六進(jìn)制數(shù)各數(shù)位上的權(quán)是16的整數(shù)次冪。十六進(jìn)制數(shù)的值也可以用它的按權(quán)展開(kāi)式來(lái)表示。

③遵從“逢十六進(jìn)一，借一當(dāng)十六”的規(guī)則。

例1.469C.B5H＝(69C.B5)16

＝6×162＋9×161＋12×160＋11×16－1＋5×16－2

注意：在實(shí)際表示時(shí)，一個(gè)十六進(jìn)制數(shù)如果最高位數(shù)字為字母(A~F)，則在字母前面必須加一個(gè)0，以便與指令名、變量名、數(shù)據(jù)等相區(qū)別,如0E0H。

二進(jìn)制數(shù)、八進(jìn)制數(shù)和十六進(jìn)制數(shù)之間存在特殊的關(guān)系，即一位八進(jìn)制數(shù)恰好可以用三位二進(jìn)制數(shù)來(lái)表示；一位十六進(jìn)制數(shù)恰好可以用四位二進(jìn)制數(shù)來(lái)表示，即八進(jìn)制數(shù)和十六進(jìn)制數(shù)可作為二進(jìn)制數(shù)的縮寫(xiě)形式，且它們之間的關(guān)系是唯一的。計(jì)算機(jī)中常用的二進(jìn)制數(shù)、八進(jìn)制數(shù)、十進(jìn)制數(shù)和十六進(jìn)制數(shù)之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系如表1.1所示。表1.1二進(jìn)制、八進(jìn)制、十進(jìn)制和十六進(jìn)制的對(duì)應(yīng)關(guān)系1.1.2不同數(shù)制間的轉(zhuǎn)換

由于人們習(xí)慣用十進(jìn)制計(jì)數(shù)，在研究問(wèn)題或討論解題的過(guò)程時(shí)，總是用十進(jìn)制來(lái)考慮和書(shū)寫(xiě)的。當(dāng)考慮成熟后，要把問(wèn)題變成計(jì)算機(jī)能夠“看得懂”的形式時(shí)，就需把問(wèn)題中的所有十進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換成二進(jìn)制數(shù)，這就需要用到“十進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換成二進(jìn)制數(shù)的方法”。在計(jì)算機(jī)運(yùn)算得到二進(jìn)制數(shù)的結(jié)果時(shí)，又需要用到“二進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換為十進(jìn)制數(shù)的方法”，才能把運(yùn)算結(jié)果用十進(jìn)制形式顯示出來(lái)。同樣，有時(shí)我們也需要實(shí)現(xiàn)十進(jìn)制數(shù)和其它進(jìn)位制數(shù)之間的轉(zhuǎn)換以及二進(jìn)制數(shù)和八進(jìn)制數(shù)、十六進(jìn)制數(shù)之間的轉(zhuǎn)換。所有這些不同進(jìn)制的數(shù)碼之間的轉(zhuǎn)換都叫做數(shù)制轉(zhuǎn)換。

1.二進(jìn)制數(shù)與十進(jìn)制數(shù)之間的轉(zhuǎn)換

1)二進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換成十進(jìn)制數(shù)

將一個(gè)二進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換成十進(jìn)制數(shù)十分簡(jiǎn)單，只要將二進(jìn)制數(shù)的每一位(0或1)分別乘以它所對(duì)應(yīng)的權(quán)，然后把各乘積項(xiàng)加起來(lái)就可以求得二進(jìn)制數(shù)的十進(jìn)制數(shù)值。簡(jiǎn)單地說(shuō)就是“按權(quán)展開(kāi)后相加求和”。例1.5將二進(jìn)制數(shù)1101.101轉(zhuǎn)換為十進(jìn)制數(shù)。

其轉(zhuǎn)換過(guò)程如下：

1101.101B＝(1101.101)2

＝1×23＋1×22＋0×21＋1×20＋1×2－1＋0×2－2＋1×2－3

＝8＋4＋1＋0.5＋0.125

＝13.625

故

1101.101B＝13.625

2)十進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換成二進(jìn)制數(shù)

十進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換為任意非十進(jìn)制數(shù)時(shí)，整數(shù)和純小數(shù)的轉(zhuǎn)換方法不同。一個(gè)既有整數(shù)部分又有小數(shù)部分的十進(jìn)制數(shù)，則須對(duì)整數(shù)和小數(shù)兩部分分別進(jìn)行轉(zhuǎn)換，然后再組合起來(lái)。

①十進(jìn)制整數(shù)轉(zhuǎn)換為二進(jìn)制整數(shù)。

十進(jìn)制整數(shù)轉(zhuǎn)換為二進(jìn)制整數(shù)通常采用以下兩種方法：

方法一：減權(quán)定位法，也稱(chēng)降冪法。具體做法是將十進(jìn)制數(shù)作為被減數(shù)，依次同距它最近的二進(jìn)制高位權(quán)值比較，若夠減則減去該位權(quán)值，并使對(duì)應(yīng)位數(shù)碼為1，再將差值作為被減數(shù)往下比較；若不夠減,對(duì)應(yīng)位數(shù)碼為0，然后越過(guò)該位與低一位權(quán)值比較，重復(fù)此過(guò)程，直到差為0或達(dá)到所需精度(對(duì)應(yīng)小數(shù)轉(zhuǎn)換時(shí))為止。此種方法既可用于整數(shù)的轉(zhuǎn)換，又可用于小數(shù)的轉(zhuǎn)換。該方法也可用于十進(jìn)制數(shù)和八進(jìn)制數(shù)、十進(jìn)制數(shù)和十六進(jìn)制數(shù)的轉(zhuǎn)換。例1.6用減權(quán)定位法將163.75轉(zhuǎn)換為二進(jìn)制數(shù)。

方法二：十進(jìn)制整數(shù)轉(zhuǎn)換為二進(jìn)制整數(shù)更多的采用“除2取余，逆序排列”法。具體做法是將十進(jìn)制整數(shù)除以二進(jìn)制的基數(shù)2，得到一個(gè)商和一個(gè)余數(shù)；取其余數(shù)(必定是0或1)作為相應(yīng)二進(jìn)制整數(shù)的最低位A0，然后繼續(xù)用商除以2，又得到一個(gè)商和一個(gè)余數(shù)；取其余數(shù)作為二進(jìn)制整數(shù)的次低位A1，依次重復(fù)此過(guò)程，直到商為0為止。

注意：第一次得到的余數(shù)為二進(jìn)制數(shù)的最低位，最后得到的余數(shù)為二進(jìn)制數(shù)的最高位。依次從最高位到最低位寫(xiě)出，就是整數(shù)部分的二進(jìn)制數(shù)。

②十進(jìn)制小數(shù)轉(zhuǎn)換為二進(jìn)制小數(shù)。

十進(jìn)制小數(shù)轉(zhuǎn)換成二進(jìn)制小數(shù)采用“乘2取整，順序排列”法。具體做法是用二進(jìn)制基數(shù)2乘以十進(jìn)制小數(shù)，可以得到積的整數(shù)和小數(shù)部分，將積的整數(shù)部分(當(dāng)十進(jìn)制小數(shù)大于0.5時(shí)整數(shù)位為1，當(dāng)該小數(shù)小于0.5時(shí)整數(shù)位為0)取出，作為二進(jìn)制小數(shù)的小數(shù)點(diǎn)后的第一位(小數(shù)部分的最高位)A－1，然后再用2乘以余下的小數(shù)部分，又得到一個(gè)積，再將積的整數(shù)部分取出作為小數(shù)部分的第二位A－2，如此重復(fù)該過(guò)程，直到積中的小數(shù)部分為0，或者達(dá)到所要求的精度為止(有乘不盡的可能)。然后把每次取出的整數(shù)部分(必定是0或1)按先后順序從左到右排列起來(lái)，就得到轉(zhuǎn)換后的二進(jìn)制小數(shù)。注意：第一次取出的整數(shù)為二進(jìn)制小數(shù)的最高位，最后一次所取得的整數(shù)為其最低位。

例1.7將十進(jìn)制數(shù)139.8125轉(zhuǎn)換成二進(jìn)制數(shù)。

其轉(zhuǎn)換過(guò)程如下：

整數(shù)部分的轉(zhuǎn)換：

139÷2＝69……余數(shù)為1，對(duì)應(yīng)二進(jìn)制位A0＝1(最低位)

69÷2＝34……余數(shù)為1，對(duì)應(yīng)二進(jìn)制位A1＝1

34÷2＝17……余數(shù)為0，對(duì)應(yīng)二進(jìn)制位A2＝0

17÷2＝8……余數(shù)為1，對(duì)應(yīng)二進(jìn)制位A3＝1

8÷2＝4……余數(shù)為0，對(duì)應(yīng)二進(jìn)制位A4＝0

4÷2＝2……余數(shù)為0，對(duì)應(yīng)二進(jìn)制位A5＝0

2÷2＝1……余數(shù)為0，對(duì)應(yīng)二進(jìn)制位A6＝0

1÷2＝0……余數(shù)為1，對(duì)應(yīng)二進(jìn)制位A7＝1(最高位)

整數(shù)部分的轉(zhuǎn)換結(jié)果：(139)10＝(10001011)2

小數(shù)部分的轉(zhuǎn)換：

0.8125×2＝1.625……整數(shù)為1，對(duì)應(yīng)二進(jìn)制位A－1＝1(最高位)

0.625×2＝1.25……整數(shù)為1，對(duì)應(yīng)二進(jìn)制位A－2＝1

0.25×2＝0.5……整數(shù)為0，對(duì)應(yīng)二進(jìn)制位A－3＝0

0.5×2＝1.0……整數(shù)為1，對(duì)應(yīng)二進(jìn)制位A－4＝1(最低位)

小數(shù)部分的轉(zhuǎn)換結(jié)果：(0.8125)10＝(0.1101)2

最后轉(zhuǎn)化結(jié)果為：(139.8125)10＝(10001011.1101)2或139.8125D＝10001011.1101B

例1.8將十進(jìn)制數(shù)27.3轉(zhuǎn)換為二進(jìn)制數(shù)，要求其精度為4%。

其轉(zhuǎn)換過(guò)程如下：

整數(shù)部分的轉(zhuǎn)換：

27÷2＝13……余數(shù)為1，對(duì)應(yīng)二進(jìn)制位A0＝1(最低位)

13÷2＝6……余數(shù)為1，對(duì)應(yīng)二進(jìn)制位A1＝1

6÷2＝3……余數(shù)為0，對(duì)應(yīng)二進(jìn)制位A2＝0

3÷2＝1……余數(shù)為1，對(duì)應(yīng)二進(jìn)制位A3＝1

1÷2＝0……余數(shù)為1，對(duì)應(yīng)二進(jìn)制位A4＝1(最高位)

整數(shù)部分的轉(zhuǎn)換結(jié)果：(27)10＝(11011)2

小數(shù)部分的轉(zhuǎn)換：

由于精度要求為4％，故應(yīng)該令2－m≤4％＝5－2，可得2m≥52＝25，則m≥5，即要求其誤差不大于2－5。

0.3×2＝0.6……整數(shù)為0，對(duì)應(yīng)二進(jìn)制位A－1＝0(權(quán)為2－1，最高位)

0.6×2＝1.2……整數(shù)為1，對(duì)應(yīng)二進(jìn)制位A－2＝1

0.2×2＝0.4……整數(shù)為0，對(duì)應(yīng)二進(jìn)制位A－3＝0

0.4×2＝0.8……整數(shù)為0，對(duì)應(yīng)二進(jìn)制位A－4＝0

0.8×2＝1.6……整數(shù)為1，對(duì)應(yīng)二進(jìn)制位A－5＝1(權(quán)為

2－5，最低位)

小數(shù)部分的轉(zhuǎn)換結(jié)果：(0.3)10＝(0.01001)2

最后轉(zhuǎn)化結(jié)果為：(27.3)10＝(11011.01001)2

2.八進(jìn)制數(shù)與十進(jìn)制數(shù)之間的轉(zhuǎn)換

1)八進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換成十進(jìn)制數(shù)

同二進(jìn)制轉(zhuǎn)換成十進(jìn)制的方法相似，即按權(quán)展開(kāi)后相加求和。

例1.9將八進(jìn)制數(shù)126.14轉(zhuǎn)換為十進(jìn)制數(shù)。

其轉(zhuǎn)換過(guò)程如下：

126.14Q＝(126.14)8

＝1×82＋2×81＋6×80＋1×8－1＋4×8－2

＝64＋16＋6＋0.125＋0.0625

＝86.1875

即(126.14)8＝86.1875

2)十進(jìn)制整數(shù)轉(zhuǎn)換成八進(jìn)制整數(shù)

十進(jìn)制整數(shù)轉(zhuǎn)換為八進(jìn)制整數(shù)采用“除8取余，逆序排列”法。具體做法是將十進(jìn)制整數(shù)除以八進(jìn)制的基數(shù)8，得到一個(gè)商和一個(gè)余數(shù)；取其余數(shù)(必定是小于8的整數(shù))作為相應(yīng)八進(jìn)制整數(shù)的最低位A0，然后繼續(xù)用商除以8，又得到一個(gè)商和一個(gè)余數(shù)；取其余數(shù)作為八進(jìn)制整數(shù)的次低位A1，依次重復(fù)此過(guò)程，直到商為0為止。

注意：第一次得到的余數(shù)為八進(jìn)制數(shù)的最低位，最后得到的余數(shù)為八進(jìn)制數(shù)的最高位。依次從最高位到最低位寫(xiě)出，就是整數(shù)部分的八進(jìn)制數(shù)。

3)十進(jìn)制小數(shù)轉(zhuǎn)換為八進(jìn)制小數(shù)

十進(jìn)制小數(shù)轉(zhuǎn)換成八進(jìn)制小數(shù)采用“乘8取整，順序排列”法。具體做法是用八進(jìn)制基數(shù)8乘以十進(jìn)制小數(shù)，可以得到積的整數(shù)和小數(shù)部分，將積的整數(shù)部分(必定是小于8的整數(shù))取出，作為八進(jìn)制小數(shù)部分的最高位A－1，然后再用8乘以余下的小數(shù)部分，又得到一個(gè)積，再將積的整數(shù)部分取出作為八進(jìn)制小數(shù)部分的第二位A－2，如此重復(fù)該過(guò)程，直到積中的小數(shù)部分為0，或者達(dá)到所要求的精度為止。然后把每次的整數(shù)部分按先后順序從左到右排列起來(lái)，就得到轉(zhuǎn)換后的八進(jìn)制小數(shù)。例1.10將十進(jìn)制數(shù)239.32轉(zhuǎn)換成八進(jìn)制數(shù)(轉(zhuǎn)換結(jié)果取4位小數(shù))。

其轉(zhuǎn)換過(guò)程如下：

整數(shù)部分的轉(zhuǎn)換：

239÷8＝29……余數(shù)為7，對(duì)應(yīng)八進(jìn)制位A0＝7(最低位)

29÷8＝3……余數(shù)為5，對(duì)應(yīng)八進(jìn)制位A1＝5

3÷8＝0……余數(shù)為3，對(duì)應(yīng)八進(jìn)制位A2＝3(最高位)

整數(shù)部分的轉(zhuǎn)換結(jié)果：(239)10＝(357)8小數(shù)部分的轉(zhuǎn)換：

0.32×8＝2.56……整數(shù)為2，對(duì)應(yīng)八進(jìn)制位A－1＝2(最高位)

0.56×8＝4.48……整數(shù)為4，對(duì)應(yīng)八進(jìn)制位A－2＝4

0.48×8＝3.84……整數(shù)為3，對(duì)應(yīng)八進(jìn)制位A－3＝3

0.84×8＝6.72……整數(shù)為6，對(duì)應(yīng)八進(jìn)制位A－4＝6(最低位)小數(shù)部分的轉(zhuǎn)換結(jié)果：(0.32)10≈(0.2436)8

最后轉(zhuǎn)化結(jié)果為：(239.32)10＝(357.2436)8或239.32D＝357.2436Q

3.十六進(jìn)制數(shù)與十進(jìn)制數(shù)之間的轉(zhuǎn)換

1)十六進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換成十進(jìn)制數(shù)

同二進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換成十進(jìn)制數(shù)的方法相似，按權(quán)展開(kāi)后相加求和。

例1.11將十六進(jìn)制數(shù)5F6.C8轉(zhuǎn)換為十進(jìn)制數(shù)。其轉(zhuǎn)換過(guò)程如下：

5F6.C8H＝(5F6.C8)16

＝5×162＋15×161＋6×160＋12×16－1＋8×16－2

＝1280＋240＋6＋0.75＋0.03125

＝1526.78125

即

5F6.C8H＝1526.78125D

2)十進(jìn)制整數(shù)轉(zhuǎn)換成十六進(jìn)制整數(shù)十進(jìn)制整數(shù)轉(zhuǎn)換為十六進(jìn)制整數(shù)采用“除16取余，逆序排列”法。具體做法是將十進(jìn)制整數(shù)除以十六進(jìn)制的基數(shù)16，得到一個(gè)商和一個(gè)余數(shù)；取其余數(shù)(必定是小于F的數(shù))作為相應(yīng)十六進(jìn)制整數(shù)的最低位A0，然后繼續(xù)用商除以16，又得到一個(gè)商和一個(gè)余數(shù)；取其余數(shù)作為十六進(jìn)制整數(shù)的次低位A1，依次重復(fù)此過(guò)程，直到商為0為止。

注意：第一次得到的余數(shù)為十六進(jìn)制數(shù)的最低位，最后得到的余數(shù)為十六進(jìn)制數(shù)的最高位。依次從最高位到最低位寫(xiě)出，就是整數(shù)部分的十六進(jìn)制數(shù)。

3)十進(jìn)制小數(shù)轉(zhuǎn)換為十六進(jìn)制小數(shù)

十進(jìn)制小數(shù)轉(zhuǎn)換成十六進(jìn)制小數(shù)采用“乘16取整，順序排列”法。具體做法是用十六進(jìn)制基數(shù)16乘以十進(jìn)制小數(shù)，可以得到積的整數(shù)和小數(shù)部分，將積的整數(shù)部分(必定是小于F的數(shù))取出，作為十六進(jìn)制小數(shù)部分的最高位A－1，然后再用16乘以余下的小數(shù)部分，又得到一個(gè)積，再將積的整數(shù)部分取出作為十六進(jìn)制小數(shù)部分的第二位A－2，如此重復(fù)該過(guò)程，直到積中的小數(shù)部分為0，或者達(dá)到所要求的精度為止。然后把每次獲得的整數(shù)部分按先后順序從左到右排列起來(lái)，就得到轉(zhuǎn)換后的十六進(jìn)制小數(shù)。

例1.12將十進(jìn)制數(shù)58312.46轉(zhuǎn)換成十六進(jìn)制數(shù)(轉(zhuǎn)換結(jié)果取4位小數(shù))。

其轉(zhuǎn)換過(guò)程如下：

整數(shù)部分的轉(zhuǎn)換：

58312÷16＝3644……余數(shù)為8，對(duì)應(yīng)十六進(jìn)制位A0＝8(最低位)

3644÷16＝227……余數(shù)為12，對(duì)應(yīng)十六進(jìn)制位A1＝C

227÷16＝14……余數(shù)為3，對(duì)應(yīng)十六進(jìn)制位A2＝3

14÷16＝0……余數(shù)為14，對(duì)應(yīng)十六進(jìn)制位A3＝E(最高位)

整數(shù)部分的轉(zhuǎn)換結(jié)果：(58312)10＝(E3C8)16小數(shù)部分的轉(zhuǎn)換：

0.46×16＝7.36……整數(shù)為7，對(duì)應(yīng)十六進(jìn)制位A－1＝7(最高位)

0.36×16＝5.76……整數(shù)為5，對(duì)應(yīng)十六進(jìn)制位A－2＝5

0.76×16＝12.16……整數(shù)為12，對(duì)應(yīng)十六進(jìn)制位A－3＝C

0.16×16＝2.56……整數(shù)為2，對(duì)應(yīng)十六進(jìn)制位A－4＝2(最低位)

小數(shù)部分的轉(zhuǎn)換結(jié)果：(0.46)10≈(0.75C2)16

最后轉(zhuǎn)化結(jié)果為：(58312.46)10＝(E3C8.75C2)16或58312.46D＝0E3C8.75C2H

4.二進(jìn)制數(shù)、八進(jìn)制數(shù)和十六進(jìn)制數(shù)之間的轉(zhuǎn)換

由于23＝8，24＝16，3位二進(jìn)制數(shù)可以有8個(gè)狀態(tài)，即000~111，正好是八進(jìn)制，而4位二進(jìn)制數(shù)可以有16個(gè)狀態(tài)，即0000～1111，正好是十六進(jìn)制。這說(shuō)明每三位二進(jìn)制數(shù)對(duì)應(yīng)一位八進(jìn)制數(shù)；每四位二進(jìn)制數(shù)對(duì)應(yīng)一位十六進(jìn)制數(shù)，因此二進(jìn)制數(shù)與八進(jìn)制數(shù)和十六進(jìn)制數(shù)之間的相互轉(zhuǎn)換很容易實(shí)現(xiàn)。

1)二進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換成八進(jìn)制數(shù)

二進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換成八進(jìn)制數(shù)的方法是將二進(jìn)制數(shù)從小數(shù)點(diǎn)所在位開(kāi)始，向左每三位分成一組，然后寫(xiě)出每一組的等值八進(jìn)制數(shù)，若小數(shù)點(diǎn)左側(cè)的位數(shù)不是3的整數(shù)倍，則在二進(jìn)制數(shù)的最左側(cè)補(bǔ)0，這樣得到整數(shù)部分的八進(jìn)制數(shù)；向右也每三位分成一組，然后寫(xiě)出每一組的等值八進(jìn)制數(shù)，若小數(shù)點(diǎn)右側(cè)的位數(shù)不是3的整數(shù)倍，則在二進(jìn)制數(shù)的最右側(cè)補(bǔ)0，得到小數(shù)部分的八進(jìn)制數(shù)，最后把整數(shù)部分和小數(shù)部分順序排列起來(lái)就得到所要求的八進(jìn)制數(shù)。例1.13將二進(jìn)制數(shù)10100011.11B轉(zhuǎn)換成八進(jìn)制數(shù)。

其轉(zhuǎn)換過(guò)程如下：

先分組010100011. 110

↓ ↓ ↓ ↓

2 4 3 . 6

所以，轉(zhuǎn)換的結(jié)果為：

10100011.11B＝243.6Q

2)八進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換成二進(jìn)制數(shù)

八進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換成二進(jìn)制數(shù)的方法是將每一位八進(jìn)制數(shù)分別轉(zhuǎn)換成對(duì)應(yīng)的三位二進(jìn)制數(shù)，按順序排列后即為八進(jìn)制數(shù)所對(duì)應(yīng)的二進(jìn)制數(shù)。

例1.14將八進(jìn)制數(shù)146.703Q轉(zhuǎn)換成二進(jìn)制數(shù)。

其轉(zhuǎn)換過(guò)程如下：

1 4 6 . 7 0 3

↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓

001 100 110 . 111 000 011所以，轉(zhuǎn)換的結(jié)果為：

146.703Q＝1100110.111000011B

3)二進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換成十六進(jìn)制數(shù)

二進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換成十六進(jìn)制數(shù)的方法是將二進(jìn)制數(shù)從小數(shù)點(diǎn)所在位開(kāi)始，向左每四位分成一組，然后寫(xiě)出每一組的等值十六進(jìn)制數(shù)，若小數(shù)點(diǎn)左側(cè)的位數(shù)不是4的整數(shù)倍，則在二進(jìn)制數(shù)的最左側(cè)補(bǔ)0，這樣得到整數(shù)部分的十六進(jìn)制數(shù)；向右也每四位分成一組，然后寫(xiě)出每一組的等值十六進(jìn)制數(shù)，若小數(shù)點(diǎn)右側(cè)的位數(shù)不是4的整數(shù)倍，則在二進(jìn)制數(shù)的最右側(cè)補(bǔ)0，得到小數(shù)部分的十六進(jìn)制數(shù)，最后把整數(shù)部分和小數(shù)部分順序排列起來(lái)就得到所要求的十六進(jìn)制數(shù)。

例1.15將二進(jìn)制數(shù)10100011.111001B轉(zhuǎn)換成十六進(jìn)制數(shù)。

其轉(zhuǎn)換過(guò)程如下：

先分組 10100011.11100100

↓ ↓ ↓ ↓

A 3. E 4

所以，轉(zhuǎn)換的結(jié)果為：

10100011.111001B＝0A3.E4H

4)十六進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換成二進(jìn)制數(shù)

十六進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換成二進(jìn)制數(shù)的方法是將每一位十六進(jìn)制數(shù)分別轉(zhuǎn)換成對(duì)應(yīng)的四位二進(jìn)制數(shù)，按順序排列后即為十六進(jìn)制數(shù)所對(duì)應(yīng)的二進(jìn)制數(shù)。

例1.16將十六進(jìn)制數(shù)75A.88H轉(zhuǎn)換成二進(jìn)制數(shù)。

其轉(zhuǎn)換過(guò)程如下：

7 5 A . 8 8

↓ ↓ ↓ ↓ ↓

0111 0101 1010 . 1000 1000

所以，轉(zhuǎn)換的結(jié)果為：

75A.88H＝11101011010.10001B

八進(jìn)制數(shù)和十六進(jìn)制數(shù)主要用來(lái)簡(jiǎn)化二進(jìn)制數(shù)的書(shū)寫(xiě)。由于采用八進(jìn)制數(shù)和十六進(jìn)制數(shù)表示的二進(jìn)制數(shù)較短，且便于記憶，所以在PC機(jī)中主要使用十六進(jìn)制數(shù)表示和編碼二進(jìn)制數(shù)，所以必須十分熟悉二進(jìn)制數(shù)與十六進(jìn)制數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系。

另外，十六進(jìn)制數(shù)和八進(jìn)制數(shù)之間也可以進(jìn)行相互轉(zhuǎn)換，一般可通過(guò)先將十六進(jìn)制數(shù)(或八進(jìn)制數(shù))轉(zhuǎn)換成二進(jìn)制數(shù)，然后再將二進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換成八進(jìn)制數(shù)(或十六進(jìn)制數(shù))。若要將十進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換成八進(jìn)制或十六進(jìn)制數(shù)，除采用前面介紹過(guò)的方法外，還可先將其轉(zhuǎn)換成二進(jìn)制數(shù)，然后再分組，進(jìn)而轉(zhuǎn)換成八進(jìn)制數(shù)或十六進(jìn)制數(shù)。

5.二進(jìn)制數(shù)的算術(shù)運(yùn)算

采用二進(jìn)制實(shí)現(xiàn)各種算術(shù)與邏輯運(yùn)算，是因?yàn)槎M(jìn)制數(shù)中每一位都只有0和1兩個(gè)數(shù)。它們表示兩種不同狀態(tài)，所以其物理過(guò)程很容易實(shí)現(xiàn)，如它很好地對(duì)應(yīng)著電位的高與低、電流的有與無(wú)及半導(dǎo)體的飽和與截止等。而且，二進(jìn)制數(shù)的算術(shù)運(yùn)算規(guī)則也比十進(jìn)制數(shù)的要簡(jiǎn)單得多，了解到二進(jìn)制數(shù)加法規(guī)則是“逢二進(jìn)一”、減法規(guī)則是“借一當(dāng)二”，再根據(jù)十進(jìn)制數(shù)算術(shù)運(yùn)算的方法，很容易理解和完成二進(jìn)制數(shù)的算術(shù)運(yùn)算。

1)加法運(yùn)算規(guī)則

0＋0＝0

0＋1＝1

1＋0＝1

1＋1＝0,且向高位產(chǎn)生進(jìn)位1，逢二進(jìn)一

例1.17計(jì)算10110101B＋1101001B。

加法過(guò)程如下：

可得

10110101B＋1101001B＝100011110B

2)減法運(yùn)算規(guī)則

0－0＝0

1－0＝1

1－1＝0

0－1＝1,且向高位產(chǎn)生借位1，借一當(dāng)二例1.18計(jì)算10110101B－1101001B。

減法過(guò)程如下：

可得10110101B－1101001B＝1001100B

3)乘法運(yùn)算規(guī)則

0×0＝0

0×1＝0

1×0＝0

1×1＝1

可見(jiàn)，僅當(dāng)兩個(gè)1相乘時(shí)結(jié)果為1，否則結(jié)果為0。因此，二進(jìn)制數(shù)的乘法非常簡(jiǎn)單。

若乘數(shù)位為0，則乘積為0；若乘數(shù)位為1，則乘積結(jié)果等于被乘數(shù)。

例1.19計(jì)算10110B×11001B。乘法過(guò)程如下：

可得

10110B×11001B＝1000100110B

二進(jìn)制數(shù)乘法過(guò)程從乘數(shù)的低位開(kāi)始，用乘數(shù)的每一位分別去乘以被乘數(shù)，每次相乘所得中間結(jié)果稱(chēng)為部分積，把部分積的最低有效位與相應(yīng)乘數(shù)位對(duì)齊后，同時(shí)相加得到乘積。兩個(gè)8位二進(jìn)制數(shù)相乘，結(jié)果為16位，如果乘積不足16位，則在乘積的前面補(bǔ)0(補(bǔ)足16位)。

4)除法運(yùn)算規(guī)則

0÷1＝0

1÷1＝1除法運(yùn)算是乘法的逆運(yùn)算，其方法與十進(jìn)制除法是一樣的。

例1.20計(jì)算1110101B÷1001B。

除法過(guò)程如下：

可得1110101B÷1001B＝1101B

5)計(jì)算機(jī)中的四則運(yùn)算

二進(jìn)制數(shù)也可完成加、減、乘、除四則運(yùn)算，筆算時(shí)，運(yùn)算過(guò)程不但很清楚而且很方便，但對(duì)計(jì)算機(jī)來(lái)說(shuō)，實(shí)現(xiàn)起來(lái)很不方便。在計(jì)算機(jī)中二進(jìn)制數(shù)的四則運(yùn)算最終都可以轉(zhuǎn)化為帶符號(hào)的加法運(yùn)算，所以在CPU內(nèi)部只有加法器。可把乘法運(yùn)算通過(guò)部分積右移加被乘數(shù)或0的辦法來(lái)實(shí)現(xiàn)，也可采用被乘數(shù)左移加部分積的方法實(shí)現(xiàn)，乘法實(shí)質(zhì)上是做移位加法；而除法實(shí)質(zhì)則是做移位減法，把除法運(yùn)算通過(guò)部分余數(shù)左移加除數(shù)補(bǔ)碼來(lái)實(shí)現(xiàn)，也可采用被除數(shù)右移加除數(shù)補(bǔ)碼或0的方法來(lái)實(shí)現(xiàn)；把減法運(yùn)算通過(guò)加補(bǔ)碼來(lái)實(shí)現(xiàn)，其方法是將減數(shù)B變成其補(bǔ)碼后，再與被減數(shù)A相加，其和(如有進(jìn)位的話，則舍去進(jìn)位)就是兩數(shù)之差。補(bǔ)碼將在1.2小節(jié)討論,此處僅對(duì)實(shí)現(xiàn)乘法運(yùn)算加以說(shuō)明。

例1.21計(jì)算1011B×1101B。

被乘數(shù)a＝1011乘數(shù)b＝1101①乘數(shù)末位b0為1，所以在s的初值0000上加被乘數(shù)，得到新部分積，然后部分積向右移一位。②此時(shí)乘數(shù)位為b1＝0，所以給部分積加0000，得到新部分積，然后將部分積向右移一位。③此時(shí)乘數(shù)位為b2＝1，所以給部分積加被乘數(shù)1011，得到新部分積，然后將部分積向右移一位。④此時(shí)乘數(shù)位為b3＝1，所以給部分積加被乘數(shù)1011，得到新部分積，然后將部分積向右移一位。可見(jiàn)，4位數(shù)乘4位數(shù)變成了4次相加、4次移位，每次相加都是兩個(gè)4位數(shù)相加。

部分積s

計(jì)算結(jié)果為：1011B×1101B＝10001111B

6.二進(jìn)制數(shù)的邏輯運(yùn)算

邏輯表示輸入與輸出的一種因果關(guān)系。用字母和符號(hào)代替文字來(lái)進(jìn)行運(yùn)算推理的方法稱(chēng)為邏輯代數(shù)或布爾代數(shù)，也稱(chēng)開(kāi)關(guān)代數(shù)。邏輯代數(shù)和一般代數(shù)不同，一般代數(shù)變量的值是連續(xù)的，而計(jì)算機(jī)中的邏輯關(guān)系是一種二值邏輯，其邏輯代數(shù)中變量的值只有兩個(gè)：1和0。盡管在邏輯代數(shù)中某些運(yùn)算規(guī)則和普通代數(shù)相同，但邏輯代數(shù)中的0和1與普通代數(shù)中的數(shù)值0和1不同，它只代表邏輯分析的兩種對(duì)立狀態(tài)，不表示數(shù)學(xué)中0和1的數(shù)值大小。邏輯運(yùn)算的特征是對(duì)二進(jìn)制數(shù)按對(duì)應(yīng)位獨(dú)立進(jìn)行運(yùn)算，而和其它位的運(yùn)算結(jié)果無(wú)關(guān)，各位之間無(wú)高、低位之分，不存在進(jìn)位和借位關(guān)系，其邏輯運(yùn)算結(jié)果也是邏輯值。

邏輯代數(shù)有三種基本的運(yùn)算關(guān)系：邏輯加法(“或”運(yùn)算)、邏輯乘法(“與”運(yùn)算)、邏輯否定(“非”運(yùn)算或稱(chēng)“反”運(yùn)算)。其它復(fù)雜的組合邏輯關(guān)系都可以由這三種基本邏輯關(guān)系組合而成。下面介紹常用的“與”、“或”、“非”及“異或”四種運(yùn)算。

1)“與”運(yùn)算(AND)

“與”運(yùn)算又稱(chēng)邏輯乘，運(yùn)算符號(hào)可用“AND”、“∧”、“·”或“×”表示，其運(yùn)算規(guī)則如下：

0·0＝0

0·1＝0

1·0＝0

1·1＝1

即兩個(gè)邏輯位進(jìn)行“與”運(yùn)算，只要有一位為0，則運(yùn)算結(jié)果為0;只有當(dāng)兩個(gè)邏輯變量都為1時(shí)，“與”運(yùn)算結(jié)果才為1。例1.22計(jì)算10011101B∧10111011B。

步驟如下：

結(jié)果：10011101B∧10111011B＝10011001B

2)“或”運(yùn)算(OR)

“或”運(yùn)算又稱(chēng)邏輯加，運(yùn)算符號(hào)用“OR”、“∨”或“＋”表示，其運(yùn)算規(guī)則如下：

0＋0＝0

0＋1＝1

1＋0＝1

1＋1＝1

即兩個(gè)邏輯位進(jìn)行“或”運(yùn)算，只要有一位為1，則運(yùn)算結(jié)果就為1;只有當(dāng)兩個(gè)邏輯變量都為0時(shí)，“或”運(yùn)算結(jié)果才為0。

例1.23計(jì)算10011001B∨10111011B。

步驟如下：

結(jié)果：10011001B∨10111011B＝10111011B

3)“非”運(yùn)算(NOT)

“非”運(yùn)算的運(yùn)算符號(hào)是在邏輯變量上方加一橫線表示，即對(duì)邏輯位求反。其運(yùn)算規(guī)則為按位取反，即1的“非”為0，0的“非”為1。

例1.24求二進(jìn)制數(shù)10010111B的“非”。

對(duì)10010111按位取反即可，運(yùn)算結(jié)果為01101000B。

4)“異或”運(yùn)算(XOR)

“異或”運(yùn)算的運(yùn)算符號(hào)用“”或“”來(lái)表示。其運(yùn)算規(guī)則為：

即兩個(gè)邏輯位進(jìn)行“異或”運(yùn)算時(shí)，當(dāng)兩個(gè)邏輯變量取值相同時(shí)，它們“異或”的結(jié)果為0；當(dāng)兩個(gè)邏輯變量取值不相同時(shí)，它們“異或”的結(jié)果才為1。

例1.25計(jì)算11010011B⊕10100110B。

步驟如下：

結(jié)果：

7.十六進(jìn)制數(shù)的算術(shù)運(yùn)算

十六進(jìn)制數(shù)運(yùn)算的種類(lèi)和二進(jìn)制數(shù)的相同，并且所有運(yùn)算都可以轉(zhuǎn)化為二進(jìn)制數(shù)或十進(jìn)制數(shù)進(jìn)行，經(jīng)計(jì)算后再把所得的結(jié)果轉(zhuǎn)換成十六進(jìn)制數(shù)。當(dāng)然，只要按照逢十六進(jìn)一的規(guī)則，也可以直接用十六進(jìn)制數(shù)來(lái)計(jì)算。

例1.26計(jì)算0B5F0H＋0A427H。

加法過(guò)程如下：

結(jié)果：0B5F0H＋0A427H＝15A17H

注意：進(jìn)行十六進(jìn)制數(shù)加法運(yùn)算時(shí),逢16進(jìn)1，若兩個(gè)一位數(shù)之和M小于16，則和的相應(yīng)位為M本身，若兩個(gè)一位數(shù)之和M大于16，則用M－16來(lái)取代M，同時(shí)向高位進(jìn)1。例1.27計(jì)算0B5F0H－0A427H。

減法過(guò)程如下：

結(jié)果：0B5F0H－0A427H＝11C9H

注意：十六進(jìn)制數(shù)減法運(yùn)算與十進(jìn)制數(shù)相類(lèi)似，夠減時(shí)，直接相減；不夠減時(shí),從高位借1(相當(dāng)于本位的十進(jìn)制數(shù)16)。例1.28計(jì)算07D5H×5CH。

乘法過(guò)程如下：

結(jié)果：07D5H×5CH＝2D08CH

注意：十六進(jìn)制數(shù)乘、除法運(yùn)算沒(méi)有十進(jìn)制數(shù)那種“乘法九九口訣表”，通常先化為二進(jìn)制數(shù)比較方便，但也可直接用十進(jìn)制數(shù)的乘法規(guī)則來(lái)計(jì)算，只是結(jié)果必須轉(zhuǎn)化成十六進(jìn)制數(shù)來(lái)表示。

計(jì)算機(jī)的基本功能是對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行運(yùn)算和加工處理。數(shù)據(jù)有兩類(lèi)，一種是數(shù)值數(shù)據(jù)，如8.9、－2.56等；另一種是非數(shù)值數(shù)據(jù)(信息)，如A、＋、&等。不論是哪種數(shù)據(jù)，在計(jì)算機(jī)中都必須用二進(jìn)制代碼來(lái)編碼表示，數(shù)值數(shù)據(jù)的正、負(fù)號(hào)也用二進(jìn)制代碼表示。1.2計(jì)算機(jī)中數(shù)與字符的編碼1.2.1數(shù)值數(shù)據(jù)的編碼及運(yùn)算

1.帶符號(hào)數(shù)的編碼及運(yùn)算規(guī)則

1)機(jī)器數(shù)與真值

計(jì)算機(jī)中的數(shù)值數(shù)據(jù)分為帶符號(hào)數(shù)(有符號(hào)數(shù))和無(wú)符號(hào)數(shù)(不帶符號(hào)數(shù))。在算術(shù)運(yùn)算中，數(shù)據(jù)是有正有負(fù)的，稱(chēng)之為帶符號(hào)數(shù)，其最高位表示正、負(fù)符號(hào)；若數(shù)據(jù)是非負(fù)的，稱(chēng)之為無(wú)符號(hào)數(shù)，其最高位表示數(shù)值。在計(jì)算機(jī)內(nèi)部表示二進(jìn)制數(shù)的方法通常稱(chēng)為數(shù)值編碼，由于計(jì)算機(jī)不能識(shí)別正、負(fù)號(hào)，因此計(jì)算機(jī)將正、負(fù)等符號(hào)數(shù)碼化，以便運(yùn)算時(shí)識(shí)別。這種連同正、負(fù)號(hào)數(shù)碼化的采用二進(jìn)制編碼形式表示的數(shù)，在計(jì)算機(jī)中統(tǒng)稱(chēng)為機(jī)器數(shù)或機(jī)器碼。機(jī)器數(shù)按一定編碼方式所代表的實(shí)際數(shù)值稱(chēng)為該魘惱嬤(簡(jiǎn)稱(chēng)真值)，通常用＋、－前綴表示數(shù)的正、負(fù)，用十進(jìn)制數(shù)表示數(shù)值的大小。簡(jiǎn)單地說(shuō)，把一個(gè)數(shù)在機(jī)器中的表示形式稱(chēng)為機(jī)器數(shù)，而這個(gè)數(shù)本身就是該機(jī)器數(shù)的真值。機(jī)器數(shù)的含義有以下兩點(diǎn)：

(1)機(jī)器數(shù)所能表示的數(shù)的范圍由計(jì)算機(jī)的字長(zhǎng)來(lái)決定。字長(zhǎng)確定后，機(jī)器數(shù)所表示的數(shù)值的范圍大小被限定。例如,當(dāng)計(jì)算機(jī)使用8位寄存器時(shí)，其字長(zhǎng)為8位，所以一個(gè)無(wú)符號(hào)整數(shù)的最大值是：(11111111)B＝(255)D，此時(shí)機(jī)器數(shù)的范圍是0~255；當(dāng)使用16位寄存器時(shí)，字長(zhǎng)為16位，所以一個(gè)無(wú)符號(hào)整數(shù)的最大值是：(1111111111111111)B＝(65535)D，此時(shí)機(jī)器數(shù)的范圍是0~65535。

(2)機(jī)器數(shù)可以是帶符號(hào)數(shù)，也可以是無(wú)符號(hào)數(shù)。帶符號(hào)數(shù)是指機(jī)器數(shù)由符號(hào)位和數(shù)值位兩部分組成，且都用二進(jìn)制代碼表示，通常規(guī)定其最高位為符號(hào)位，用來(lái)表示數(shù)的正、負(fù)號(hào)，余下位為數(shù)值位，且符號(hào)位為0表示正數(shù)，符號(hào)位為1表示負(fù)數(shù)。與帶符號(hào)數(shù)對(duì)應(yīng)的是無(wú)符號(hào)數(shù)，無(wú)符號(hào)數(shù)沒(méi)有符號(hào)位，所有位數(shù)全部為數(shù)值位，因此不能表示負(fù)數(shù)，只能表示0和正數(shù)。使用8位二進(jìn)制數(shù)D7～D0表示帶符號(hào)數(shù)，規(guī)定D7為符號(hào)位，D6～D0為數(shù)值位。同樣對(duì)于16位二進(jìn)制數(shù)D15～D0，規(guī)定D15為符號(hào)位，D14～D0為數(shù)值位。帶符號(hào)數(shù)表示如下：

01011011B＝＋91,11011011B＝－91

上式中等號(hào)左邊為機(jī)器數(shù)，等號(hào)右邊為該機(jī)器數(shù)的真值。

注意：8位帶符號(hào)數(shù)和8位無(wú)符號(hào)數(shù)所能表示的數(shù)的范圍是不同的，8位帶符號(hào)正數(shù)的最大值是01111111B，相當(dāng)于十進(jìn)制數(shù)的127；而8位無(wú)符號(hào)數(shù)的最大值是11111111B，相當(dāng)于十進(jìn)制數(shù)的255。為了簡(jiǎn)化二進(jìn)制數(shù)值數(shù)據(jù)的運(yùn)算，機(jī)器數(shù)在計(jì)算機(jī)中有三種常用的編碼表示法：原碼、反碼和補(bǔ)碼。它們共同的特點(diǎn)是都通過(guò)符號(hào)位來(lái)表示數(shù)的正、負(fù)，但數(shù)的大小的表示方法是不同的。由于補(bǔ)碼編碼有許多優(yōu)點(diǎn)，因此大多數(shù)微機(jī)數(shù)字與字符采用補(bǔ)碼進(jìn)行編碼。

2)原碼表示法

對(duì)一個(gè)二進(jìn)制數(shù)而言，若用最高位為符號(hào)位，規(guī)定正數(shù)的符號(hào)位為0，負(fù)數(shù)的符號(hào)位為1，其余數(shù)值位部分是其絕對(duì)值的二進(jìn)制形式，則稱(chēng)這種表示方法為該二進(jìn)制數(shù)的原碼表示法，這樣得到的機(jī)器數(shù)就是二進(jìn)制數(shù)的原碼。一個(gè)數(shù)X的原碼記為［X］原。

例如，X＝＋1011100，Y＝－1011100，則［X］原＝01011100，［Y］原＝11011100。其中［X］原和［Y］原分別為X和Y的原碼。

例1.29假設(shè)某機(jī)器為8位機(jī)，即一個(gè)數(shù)據(jù)用8位二進(jìn)制來(lái)表示，若X＝＋23，Y＝－23，求［X］原和［Y］原。因?yàn)閄＝＋23＝＋0010111B，Y＝－23＝－0010111B，根據(jù)原碼表示法，有

原碼［X］原和真值X之間的關(guān)系如下：

(1)正數(shù)的原碼表示。設(shè)X＝＋Xn－2Xn－3…X1X0(即n－1位二進(jìn)制正數(shù))，則X的原碼表示為：

［X］原＝0Xn－2Xn－3…X1X0＝X(為n位二進(jìn)制數(shù)，其中最高位為符號(hào)位)

(2)負(fù)數(shù)的原碼表示。

設(shè)X＝－Xn－2Xn－3…X1X0(即n－1位二進(jìn)制負(fù)數(shù))，則X的原碼表示為：［X］原＝1Xn－2Xn－3…X1X0

＝2n－1＋Xn－2Xn－3…X1X0

＝2n－1－(－Xn－2Xn－3…X1X0)

＝2n－1－X(它也是一個(gè)n位二進(jìn)制數(shù)，其中最高位為符號(hào)位)

(3)零的原碼表示。

在二進(jìn)制數(shù)原碼表示中有正零和負(fù)零之分，即真值0的原碼可表示為兩種不同的形式，＋0和－0。具體表示為：

［＋0］原＝000…000B，［－0］原＝100…000B(n位二進(jìn)制數(shù)，最高位為符號(hào)位)

當(dāng)n＝8時(shí)

［＋0］原＝00000000B＝00H,［－0］原＝10000000B＝80H綜上所述，若二進(jìn)制數(shù)X＝Xn－1Xn－2Xn－3…X1X0，則原碼表示的嚴(yán)格定義可用以下數(shù)學(xué)式表示：

(1.2)原碼表示法的優(yōu)點(diǎn)是簡(jiǎn)單直觀，易于理解，且與真值間的轉(zhuǎn)換非常方便，只要將真值中的符號(hào)位數(shù)字化即可。它的缺點(diǎn)是0有兩種表示形式，給使用帶來(lái)了不便；另外，原碼進(jìn)行加、減運(yùn)算時(shí)較麻煩，在使用原碼作兩數(shù)相加時(shí)，計(jì)算機(jī)必須對(duì)兩個(gè)數(shù)的符號(hào)是否相同作出判斷，當(dāng)兩數(shù)符號(hào)相同時(shí)，則進(jìn)行加法運(yùn)算，否則就要作減法運(yùn)算;而且對(duì)于減法運(yùn)算要比較出兩個(gè)數(shù)的絕對(duì)值大小，然后從絕對(duì)值大的數(shù)中減去絕對(duì)值小的數(shù)而得其差值，差值的符號(hào)取決于絕對(duì)值大的數(shù)的符號(hào)。為了完成這些操作，計(jì)算機(jī)的結(jié)構(gòu)，特別是控制電路隨之復(fù)雜化，而且運(yùn)算速度也變得較低。為此在微機(jī)中都不采用原碼形式表示數(shù)，而引進(jìn)了反碼表示法和補(bǔ)碼表示法。

原碼表示的整數(shù)范圍是：－(2n－1－1)~＋(2n－1－1)，其中n為機(jī)器字長(zhǎng)。則一個(gè)字節(jié)所表示的8位二進(jìn)制原碼表示的數(shù)據(jù)范圍為－127~＋127，16位二進(jìn)制原碼表示的數(shù)據(jù)范圍為－32767~＋32767。

3)反碼表示法

反碼表示的帶符號(hào)數(shù)，也是把最高位規(guī)定為符號(hào)位。對(duì)于正數(shù)，它的反碼與其原碼相同(最高位為0表示正數(shù)，其余數(shù)值位是正數(shù)的絕對(duì)值)。對(duì)于負(fù)數(shù)，其反碼用對(duì)應(yīng)正數(shù)的原碼連同符號(hào)位在內(nèi)按位取反來(lái)求得，取反的含義就是將0變?yōu)?，將1變?yōu)?。也可以認(rèn)為，負(fù)數(shù)的反碼表示為負(fù)數(shù)的原碼除符號(hào)位外其余各數(shù)值位按位取反。可見(jiàn)，正數(shù)和負(fù)數(shù)的符號(hào)位與原碼定義都相同。一個(gè)數(shù)X的反碼記為［X］反。例1.30假設(shè)某機(jī)器為8位機(jī)，若X＝＋31，Y＝－31，求［X］反和［Y］反。

因?yàn)閄＝＋31＝＋0011111B，Y＝－31＝－0011111B，則有

［X］原＝00011111B＝1FH

［X］反＝［X］原＝00011111B＝1FH

［Y］原＝10011111B＝9FH

［Y］反＝11100000B＝0E0H

可見(jiàn)，若X為8位帶符號(hào)二進(jìn)制數(shù)的真值，則［X］反

＋［－X］反＝11111111B＝FFH。即對(duì)于n位帶符號(hào)二進(jìn)制數(shù)，有［X］反＋［－X］反＝2n－1。

反碼［X］反和真值X之間的關(guān)系如下：

(1)正數(shù)的反碼表示。

設(shè)X＝＋Xn－2Xn－3…X1X0(即n－1位二進(jìn)制正數(shù))，則X的反碼表示為：

［X］反＝［X］原＝0Xn－2Xn－3…X1X0＝X(為n位二進(jìn)制數(shù)，其中最高位為符號(hào)位)

(2)負(fù)數(shù)的反碼表示。

設(shè)X＝－Xn－2Xn－3…X1X0(即n－1位二進(jìn)制負(fù)數(shù))，則X的反碼表示為：

(3)零的反碼表示。

同原碼一樣，在反碼表示法中也有正零和負(fù)零之分，即真值0的反碼可表示為兩種不同的形式，＋0和－0。具體表示為：

［＋0］反＝000…000B，［－0］反＝111…111B(為n位二進(jìn)制數(shù)，最高位為符號(hào)位)

當(dāng)n＝8時(shí)［＋0］反＝00000000B＝00H,［－0］反＝11111111B＝FFH。

綜上所述，若二進(jìn)制數(shù)X＝Xn－1Xn－2Xn－3…X1X0，則反碼表示的嚴(yán)格定義可用以下數(shù)學(xué)式表示：

(1.3)反碼表示的數(shù)字范圍同原碼相同，為－(2n－1－1)~＋(2n－1－1)，其中n為機(jī)器字長(zhǎng)。8位二進(jìn)制反碼表示的真值范圍為－127～＋127；16位反碼表示的真值范圍為－32767～＋32767。由于反碼中0的表示不唯一，使得用起來(lái)很不方便，所以在微型計(jì)算機(jī)里反碼用的很少。

4)補(bǔ)碼表示法

二進(jìn)制補(bǔ)碼表示法，是現(xiàn)在最普遍、最重要和應(yīng)用最廣泛的整數(shù)表示法。補(bǔ)碼表示的機(jī)器數(shù),其符號(hào)位能和有效數(shù)值部分一起參加數(shù)值計(jì)算，從而簡(jiǎn)化運(yùn)算規(guī)則，節(jié)省運(yùn)算時(shí)間；當(dāng)進(jìn)行二進(jìn)制減法時(shí)，可利用補(bǔ)碼將減法運(yùn)算轉(zhuǎn)換成加法運(yùn)算，而乘法和除法運(yùn)算通過(guò)移位和相加可實(shí)現(xiàn)，這樣可以使運(yùn)算電路結(jié)構(gòu)得到簡(jiǎn)化。

在討論補(bǔ)碼之前先介紹模(或模數(shù))的概念。我們把一個(gè)事物的循環(huán)周期的長(zhǎng)度叫做這個(gè)事物的?；蚰?shù)(module)。換言之，模是一個(gè)計(jì)數(shù)系統(tǒng)所能表示的最大量程(即最大容量)，其大小K等于以進(jìn)位計(jì)數(shù)制基數(shù)為底，以位數(shù)為指數(shù)的冪。凡是用器件進(jìn)行的運(yùn)算都是有模運(yùn)算，運(yùn)算結(jié)果超過(guò)模的部分被運(yùn)算器自動(dòng)丟棄(對(duì)二進(jìn)制而言，即高位的進(jìn)位被丟棄；對(duì)十進(jìn)制而言，相當(dāng)于模自動(dòng)丟棄)。例如，在鐘表上，指針正撥12小時(shí)或倒撥12小時(shí)，其所得時(shí)間值都和原時(shí)間相同，即在鐘表上X＝X＋12＝X－12(mod12)，因此12為鐘表的模。補(bǔ)碼是根據(jù)同余的概念得出的。由同余的概念可知，對(duì)一個(gè)數(shù)X，有以下關(guān)系

X＋NK＝X(modK) (1.4)式中K為模，N為任意整數(shù)。在模的意義下，數(shù)X與該數(shù)本身加上其模的任意整數(shù)倍之和相等。當(dāng)數(shù)Z和Y滿足

Z＝NK＋Y

時(shí)，稱(chēng)Z和Y互為補(bǔ)數(shù)。通常N取1，也可以取其它整數(shù)。兩個(gè)互為補(bǔ)數(shù)的數(shù)，實(shí)際上代表同一個(gè)事物。例如，要將鐘表從8點(diǎn)整調(diào)整到6點(diǎn)整，校準(zhǔn)的方法是正撥10小時(shí)或倒撥2小時(shí)，結(jié)果都正確，用式子寫(xiě)出來(lái),即：

8＋10＝6(mod12)順撥

8－2＝6(mod12)倒撥

這里10對(duì)模12來(lái)說(shuō)就是－2的補(bǔ)數(shù)，因此可用12－2＝10來(lái)求－2的補(bǔ)碼，補(bǔ)碼可以將負(fù)數(shù)轉(zhuǎn)換成正數(shù)。一個(gè)數(shù)X的補(bǔ)碼記為［X］補(bǔ)。

對(duì)一個(gè)n位二進(jìn)制數(shù)，若N＝1且以2n為模，則它的補(bǔ)碼叫做2補(bǔ)碼，2補(bǔ)碼簡(jiǎn)稱(chēng)補(bǔ)碼。若二進(jìn)制數(shù)X＝Xn－1Xn－2Xn－3…X1X0，則補(bǔ)碼表示的定義為

(1.5)

同理，一個(gè)十進(jìn)制數(shù)，若以10n為模，它的補(bǔ)碼叫做10補(bǔ)碼。而一個(gè)n位二進(jìn)制數(shù)，若以2n－1為模，它的補(bǔ)碼叫做1補(bǔ)碼。2n－1實(shí)際上就是n個(gè)1，即111…11，這是1補(bǔ)碼的由來(lái)。1補(bǔ)碼也稱(chēng)反碼，即［X］反＝2n－1＋X，它是以2n－1為模。根據(jù)［X］補(bǔ)及［X］反的定義式,可得如下關(guān)系：

當(dāng)X為正數(shù)時(shí)，有［X］補(bǔ)＝［X］反＝［X］原＝X

當(dāng)X為負(fù)數(shù)時(shí)，有［X］補(bǔ)＝［X］反＋1

用補(bǔ)碼表示帶符號(hào)數(shù)，其最高位為符號(hào)位，其余為數(shù)值位。正數(shù)的補(bǔ)碼同其原碼、反碼相同，就是它所表示的數(shù)的真值。只有負(fù)數(shù)才有求補(bǔ)的問(wèn)題，嚴(yán)格地說(shuō)，“補(bǔ)碼表示法”應(yīng)稱(chēng)為“負(fù)數(shù)的補(bǔ)碼表示法”。負(fù)數(shù)的補(bǔ)碼就是機(jī)器數(shù)符號(hào)位保持不變，其余數(shù)值位按位取反后末位加1；換言之，負(fù)數(shù)的補(bǔ)碼就是其反碼加1，即在其反碼的最低位上加1得到。負(fù)數(shù)的補(bǔ)碼部分不是它所示的數(shù)的真值。例1.31假設(shè)某機(jī)器為8位機(jī)，若X＝＋76，Y＝－76，求［X］補(bǔ)和［Y］補(bǔ)。

因?yàn)閄＝＋76＝＋1001100B，Y＝－76＝－1001100B，則有

［X］補(bǔ)＝［X］反＝［X］原＝01001100B＝4CH

［Y］補(bǔ)＝［Y］反＋1＝10110011B＋1＝10110100B＝0B4H例1.32假設(shè)某機(jī)器為16位機(jī)，若X＝＋76，Y＝－76，求［X］補(bǔ)和［Y］補(bǔ)。

因?yàn)閄＝＋76＝＋000000001001100B，Y＝－76＝－000000001001100B，則有

［X］補(bǔ)＝0000000001001100B＝004CH

［Y］補(bǔ)＝［Y］反＋1＝1111111110110011B＋1＝1111111110110100B＝0FFB4H計(jì)算機(jī)中為了擴(kuò)大數(shù)的表示范圍，常用兩個(gè)機(jī)器字表示一個(gè)機(jī)器數(shù)，把32位數(shù)稱(chēng)為雙字長(zhǎng)數(shù)或雙精度數(shù)，其表示范圍是－231≤N≤231－1。位數(shù)擴(kuò)展指一個(gè)數(shù)從較少位擴(kuò)展到較多位，用補(bǔ)碼表示的數(shù)在擴(kuò)展時(shí)只需要進(jìn)行符號(hào)位擴(kuò)展，數(shù)值位不變。正數(shù)是在符號(hào)的前面補(bǔ)0，負(fù)數(shù)是在符號(hào)的前面補(bǔ)1。在補(bǔ)碼表示法中，數(shù)0的補(bǔ)碼表示是唯一的。由補(bǔ)碼的定義，可知

［＋0］補(bǔ)＝［＋0］原＝［＋0］反＝00000000B＝00H

［－0］補(bǔ)＝［－0］反＋1＝11111111B＋1＝100000000B＝00000000B＝00H

對(duì)于8位二進(jìn)制數(shù)，最高位的進(jìn)位(28)按模256運(yùn)算被“自然丟失”。所以

［＋0］補(bǔ)＝［－0］補(bǔ)＝00000000B

另外需要注意的是，對(duì)于8位二進(jìn)制數(shù)10000000這個(gè)補(bǔ)碼編碼，其真值被定義為－128，而10000000在原碼中表示真值－0、在反碼中表示真值－127;對(duì)無(wú)符號(hào)數(shù)表示128。

補(bǔ)碼表示的數(shù)值范圍和原碼及反碼不同，其數(shù)值范圍為－2n－1~＋(2n－1－1)，其中n為機(jī)器字長(zhǎng)。8位二進(jìn)制補(bǔ)碼表示的真值范圍為－128～＋127；16位反碼表示的真值范圍為－32768～＋32767。當(dāng)運(yùn)算結(jié)果超出數(shù)值范圍時(shí)，數(shù)據(jù)就不正確了，稱(chēng)為溢出。溢出和進(jìn)位不同，出現(xiàn)溢出時(shí)，由溢出產(chǎn)生的進(jìn)位或借位將自然丟失。

8位二進(jìn)制數(shù)的原碼、反碼、補(bǔ)碼及無(wú)符號(hào)數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系如表1.2所示。表1.28位二進(jìn)制數(shù)的原碼、反碼、補(bǔ)碼及無(wú)符號(hào)數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系

5)真值與機(jī)器數(shù)之間的轉(zhuǎn)換

前面介紹了真值轉(zhuǎn)換為原碼、反碼和補(bǔ)碼的方法。下面將簡(jiǎn)單介紹如何用機(jī)器數(shù)求真值，以及補(bǔ)碼如何轉(zhuǎn)換成原碼和反碼。

(1)原碼轉(zhuǎn)換成真值。

根據(jù)原碼的定義，將原碼的數(shù)值位各位按權(quán)展開(kāi)求和，由符號(hào)位決定數(shù)的正負(fù)即可由原碼求出真值。例1.33已知［X］原＝00010111B，［Y］原＝10010001B，求X和Y的真值。

X＝＋0010111B＝1×24＋1×22＋1×21＋1×20＝＋23

Y＝－0010001B＝－(1×24＋1×20)＝－17

(2)反碼轉(zhuǎn)換成真值。

若要求反碼的真值，首先要求出反碼對(duì)應(yīng)的原碼，再按上述原碼轉(zhuǎn)換為真值的方法即可求出其真值。一個(gè)二進(jìn)制反碼表示的數(shù)，最高位為符號(hào)位，當(dāng)符號(hào)位為“0”(即正數(shù))時(shí)，它的原碼同反碼一樣。當(dāng)符號(hào)位為“1”(即負(fù)數(shù))時(shí)，則應(yīng)在反碼的基礎(chǔ)上，保持符號(hào)位不變，同時(shí)其數(shù)值位按位取反(實(shí)際上就是對(duì)表示負(fù)數(shù)的反碼再次求反)，這樣就得到了它的原碼。

例1.34已知［X］反＝00010111B，［Y］反＝10010001B，求X和Y的真值。

［X］原＝［X］反＝00010111B

［Y］原＝11101110B

X＝＋0010111B＝1×24＋1×22＋1×21＋1×20＝＋23

Y＝－1101110B＝－(1×26＋1×25＋1×23＋1×22＋1×21)＝－110

(3)補(bǔ)碼轉(zhuǎn)換成真值。

同理，要求補(bǔ)碼的真值，首先要求出補(bǔ)碼對(duì)應(yīng)的原碼。正數(shù)的補(bǔ)碼和原碼相同。負(fù)數(shù)的補(bǔ)碼求原碼有兩種方法：方法一是采用原碼求補(bǔ)碼的逆過(guò)程，即先將負(fù)數(shù)補(bǔ)碼的數(shù)值位減1(實(shí)現(xiàn)將補(bǔ)碼轉(zhuǎn)換為反碼)，然后再將數(shù)值位按位取反；方法二與原碼求補(bǔ)碼的步驟一致，即對(duì)補(bǔ)碼［X］補(bǔ)再求一次補(bǔ)，就是將［X］補(bǔ)除符號(hào)位外取反加1可得到它的原碼。這是因?yàn)閷?duì)于二進(jìn)制數(shù)來(lái)說(shuō)，先減1再取反和先取反再加1的結(jié)果是一樣的。

這種關(guān)系可以表示為：

［［X］補(bǔ)］補(bǔ)＝［X］原

例1.35已知［X］補(bǔ)＝01001100B，［Y］補(bǔ)＝10110100B，求X和Y的真值。

［X］原＝［X］補(bǔ)＝01001100B

［Y］原＝［［Y］補(bǔ)］補(bǔ)＝［10110100］補(bǔ)＝11001011＋1＝11001100B

X＝＋1001100B＝1×26＋1×23＋1×22＝＋76

Y＝－1001100B＝－(1×26＋1×23＋1×22)＝－76

6)補(bǔ)碼的運(yùn)算

數(shù)據(jù)在計(jì)算機(jī)中以一定的編碼方式表示，不同的編碼具有不同的運(yùn)算規(guī)則。原碼的運(yùn)算類(lèi)同于筆算，雖然直觀，但計(jì)算機(jī)處理過(guò)程非常繁瑣，要求計(jì)算機(jī)的結(jié)構(gòu)極為復(fù)雜。由于浮點(diǎn)數(shù)的有效數(shù)字常用原碼表示，所以二進(jìn)制除法運(yùn)算時(shí)，多用原碼表示法。反碼運(yùn)算很不方便，已很少用在算術(shù)運(yùn)算中，僅在求反邏輯運(yùn)算時(shí)使用。在微型計(jì)算機(jī)中，帶符號(hào)數(shù)一般都采用補(bǔ)碼形式在機(jī)器中存放和進(jìn)行運(yùn)算。當(dāng)兩個(gè)二進(jìn)制數(shù)進(jìn)行補(bǔ)碼加、減運(yùn)算時(shí)無(wú)需判斷數(shù)的正、負(fù)，一方面可以使符號(hào)位與數(shù)值位一起參加運(yùn)算，并同時(shí)獲得結(jié)果(運(yùn)算的結(jié)果仍為補(bǔ)碼，包括符號(hào)位和數(shù)值位)；另一方面還可以將兩數(shù)差的補(bǔ)碼變?yōu)闇p數(shù)負(fù)數(shù)的補(bǔ)碼與被減數(shù)補(bǔ)碼相加來(lái)實(shí)現(xiàn)，即補(bǔ)碼減法運(yùn)算可以轉(zhuǎn)換為加法運(yùn)算。因此，一般計(jì)算機(jī)中只設(shè)置加法器，減法運(yùn)算都是通過(guò)適當(dāng)求補(bǔ)，然后通過(guò)相加來(lái)實(shí)現(xiàn)的。然而，采用補(bǔ)碼法表示數(shù)時(shí)，最大的缺點(diǎn)是其表示方法與人們習(xí)慣的表示法不一致。因而，從它的表示形式來(lái)判斷一個(gè)數(shù)真值的大小很易出錯(cuò)。例如,若X＝＋10010B＝＋18，Y＝－10010B＝－18，則［X］補(bǔ)＝010010B，［Y］補(bǔ)＝101110B，故很容易按人們的習(xí)慣表示法判斷出101110B大于010010B(即－18>＋18)而出錯(cuò)。

(1)補(bǔ)碼的加法運(yùn)算。

不論兩個(gè)n位二進(jìn)制數(shù)X和Y是正數(shù)還是負(fù)數(shù)，可以證明這兩個(gè)數(shù)之和的補(bǔ)碼等于該兩數(shù)的補(bǔ)碼之和。即補(bǔ)碼的加法運(yùn)算規(guī)則為：

［X＋Y］補(bǔ)＝［X］補(bǔ)＋［Y］補(bǔ)

(1.6)

兩個(gè)帶符號(hào)數(shù)X、Y的補(bǔ)碼加法運(yùn)算的步驟如下：

①將帶符號(hào)數(shù)用補(bǔ)碼表示，即將X變換為［X］補(bǔ)，Y變換為［Y］補(bǔ)；

②對(duì)兩個(gè)補(bǔ)碼進(jìn)行加法運(yùn)算。若最高位上有進(jìn)位,則自然丟失不要；

③判斷結(jié)果是否溢出。如果溢出,則這次運(yùn)算結(jié)果不正確；

④采用補(bǔ)碼運(yùn)算的結(jié)果也是補(bǔ)碼。若沒(méi)有溢出，則對(duì)結(jié)果求補(bǔ)碼，求出對(duì)應(yīng)的真值。

例1.36試用補(bǔ)碼運(yùn)算求［＋66］補(bǔ)＋［＋51］補(bǔ)，［＋66］補(bǔ)＋［－51］補(bǔ)，［－66］補(bǔ)＋［＋51］補(bǔ)，［－66］補(bǔ)＋［－51］補(bǔ)。

先將真值變成補(bǔ)碼：

［＋66］補(bǔ)＝01000010B，［＋51］補(bǔ)＝00110011B

［－66］補(bǔ)＝10111110B，［－51］補(bǔ)＝11001101B

計(jì)算［＋66］補(bǔ)＋［＋51］補(bǔ)：

由于

［＋66］補(bǔ)＋［＋51］補(bǔ)＝［(＋66)＋(＋51)］補(bǔ)＝［＋117］補(bǔ)＝01110101B

其結(jié)果為正數(shù)，所以可直接求原碼和真值。因此,有

［(＋66)＋(＋51)］原

＝［(＋66)＋(＋51)］補(bǔ)＝01110101B

真值為

＋1110101B＝＋117計(jì)算結(jié)果正確。

計(jì)算［＋66］補(bǔ)＋［－51］補(bǔ)：

由于

［＋66］補(bǔ)＋［－51］補(bǔ)＝［(＋66)＋(－51)］補(bǔ)

＝［＋15］補(bǔ)＝00001111B

其結(jié)果為正數(shù)，所以可直接求原碼和真值。因此，有

［(＋66)＋(－51)］原

＝［(＋66)＋(－51)］補(bǔ)＝00001111B

真值為

＋0001111B＝＋15

計(jì)算結(jié)果正確。

計(jì)算［－66］補(bǔ)＋［＋51］補(bǔ)：

由于

［－66］補(bǔ)＋［＋51］補(bǔ)＝［(－66)＋(＋51)］補(bǔ)

＝［－15］補(bǔ)＝11110001B

其結(jié)果為負(fù)數(shù)，所以可求出原碼為

［(－66)＋(＋51)］原＝［［(－66)＋(＋51)］補(bǔ)］補(bǔ)＝10001110B＋1＝10001111B

真值為

－0001111B＝－15

計(jì)算結(jié)果正確。

計(jì)算［－66］補(bǔ)＋［－51］補(bǔ)：

由于

［－66］補(bǔ)＋［－51］補(bǔ)＝

［(－66)＋(－51)］補(bǔ)＝［－117］補(bǔ)＝10001011B

其結(jié)果為負(fù)數(shù)，所以可求出原碼為

［(－66)＋(－51)］原＝［［(－66)＋(－51)］補(bǔ)］補(bǔ)

＝11110100B＋1＝11110101B

真值為

－1110101B＝－117

計(jì)算結(jié)果正確。

可見(jiàn)，不論被加數(shù)、加數(shù)是正是負(fù)，只要用它們的補(bǔ)碼直接相加，當(dāng)結(jié)果不超出補(bǔ)碼所表示的范圍時(shí)，計(jì)算結(jié)果便是正確的補(bǔ)碼形式。當(dāng)計(jì)算結(jié)果超出補(bǔ)碼表示的范圍時(shí)，結(jié)果就不正確，這種情況稱(chēng)為溢出。

在計(jì)算中，當(dāng)最高位向更高位產(chǎn)生進(jìn)位時(shí)，由于機(jī)器字長(zhǎng)的限制使符號(hào)位產(chǎn)生的進(jìn)位自然丟失，但其結(jié)果不受影響，依然是正確的。

(2)補(bǔ)碼的減法運(yùn)算。

兩個(gè)n位二進(jìn)制數(shù)之差的補(bǔ)碼等于該兩數(shù)的補(bǔ)碼之差。即補(bǔ)碼的減法運(yùn)算規(guī)則是：

［X－Y］補(bǔ)＝［X］補(bǔ)－［Y］補(bǔ)＝［X］補(bǔ)＋［－Y］補(bǔ)

(1.7)

由式(1.7)可見(jiàn)，補(bǔ)碼減法運(yùn)算時(shí)，也可以利用加法的基本公式，這樣就可以將補(bǔ)碼的減法運(yùn)算轉(zhuǎn)化成加法運(yùn)算。已知［Y］補(bǔ)，求［－Y］補(bǔ)的方法是將［Y］補(bǔ)各位按位取反(包括符號(hào)位在內(nèi))后末位加1。兩個(gè)帶符號(hào)數(shù)X、Y的補(bǔ)碼減法運(yùn)算的步驟如下：

①將帶符號(hào)數(shù)用補(bǔ)碼表示，即將X變換為［X］補(bǔ)，Y變換為［Y］補(bǔ)；

②對(duì)兩個(gè)補(bǔ)碼進(jìn)行減法運(yùn)算。若最高位上有進(jìn)位(或借位),則自然丟失不要；

③判斷結(jié)果是否溢出。如果溢出,則這次運(yùn)算結(jié)果不正確;

④采用補(bǔ)碼運(yùn)算的結(jié)果也是補(bǔ)碼。若沒(méi)有溢出，則對(duì)結(jié)果求補(bǔ)碼，求出對(duì)應(yīng)的真值。例1.37試用補(bǔ)碼運(yùn)算求［＋76］補(bǔ)－［＋51］補(bǔ)，［＋76］補(bǔ)－［－51］補(bǔ)，［－76］補(bǔ)－［＋51］補(bǔ)，［－76］補(bǔ)－［－51］補(bǔ)。

先將真值變成補(bǔ)碼：

［＋76］補(bǔ)＝01001100B，［＋51］補(bǔ)＝00110011B