《應用數值分析》課件數值分析1.1-1.2緒論、誤差

?數值分析是科學與工程計算的基礎，它研究在計算機上解決數學問題的理論和可行的數值方法。數值分析又叫計算方法、數值計算方法，什么是數值分析?（NumericalAnalysis）2024/11/23數學理論和計算機應用的緊密結合§1.1緒論2024/11/231.可行的數值方法有可計算性：面向計算機，根據計算機的

特點提供有效的算法有低的計算復雜性：時間和空間的復雜性有可靠的理論分析：算法的穩(wěn)定性、

收斂性和誤差分析只有滿足這三個條件的算法，才是可行的！2024/11/231）可計算性符號計算超出了數值計算的范疇不具有可計算性2024/11/232）低的計算復雜性可行的算法!2024/11/233）可靠的理論分析穩(wěn)定性收斂性誤差分析理論可靠精度可達算法收斂數值穩(wěn)定誤差可析有的方法雖理論上不夠嚴格,但實際計算、對比分析證實行之有效，也采用。例3計算2024/11/23造成這種情況的原因是：算法不穩(wěn)定(初始數據誤差在計算中傳播使計算結果誤差增長很快！)在我們今后的討論中，誤差將不可回避，算法的穩(wěn)定性會是一個非常重要的話題。2024/11/23對給定的數學問題，構造一個可行的數值方法。要求具有三個特點：可計算性低的計算復雜性可靠的理論分析數值分析的核心問題2024/11/232.本課程研究的范圍?數值分析是科學與工程計算的基礎，它研究在計算機上解決數學問題的理論和可行的數值方法。?數值分析要解決的數學問題：“高等數學”中的微積分計算“線性代數”中的矩陣計算，例如：線性方程組的求解，矩陣特征值計算，等等數值分析輸入復雜問題或運算

計算機近似解數值分析解決的問題？2024/11/232024/11/23數值分析數值逼近數值代數插值法最佳逼近數值積分和數值微分求解線性方程組非線性方程的求根法代數特征值問題的數值解法微分方程數值解常（偏）微分方程數值解?

泛函分析：在集合的基礎上，把客觀世界中研究對

象抽象為元素和空間，建立空間到空間的映射。

泛函分析將表面上彼此不相關的學科統一在它的普遍規(guī)律和共同框架之下。?空間到空間的映射：算子?空間到數集的映射：泛函

特別地，數集到數集的映射——函數，

函數空間到數集的映射——函數的函數什么是泛函分析？（FunctionalAnalysis）

2024/11/23?

泛函分析是進行數值算法研究的理論基礎，屬于分析數學。對數值算法而言，運用泛函分析的觀點與語言可使數值算法中很多定理與方法的推導變得簡潔、直觀。?本課程只介紹與數值算法有密切關系的泛函分析的基本概念和理論。（范數、內積、不動點理論等等）泛函分析與數值算法的關系2024/11/2313構造數值算法的基本思想近似替代離散化遞推化Chapter0Introduction14例415例516例62024/11/234.學習本課程的重要性數值分析是科學與工程計算的基礎，它研究在計算機上解決數學問題的理論和可行的數值方法。數值分析是科學與工程計算的基礎科學與工程計算是繼理論分析和實驗后的第三種科學研究手段科學與工程計算正在突飛猛進的發(fā)展學習“計算方法”需注意如下幾點1.掌握算法的原理和思想。2.注意算法的處理技巧及與計算機結合,掌握步驟和計算公式。3.重視誤差分析、收斂性及穩(wěn)定性的基本理論。4.做一定的理論分析證明與計算練習5.上機實踐2024/11/23§2誤差理論2024/11/232024/11/231.誤差的來源與分類

從實際問題中抽象(簡化)出數學模型,模型與實際問題之間存在誤差——模型誤差通常假定模型合理，誤差可忽略不計2024/11/23

模型中有許多物理量，如溫度、長度、電壓、電流等，通過測量得到模型中參數的值，觀測產生誤差

——觀測誤差觀測誤差是不可避免的，可根據測量工具的精度估計誤差。2024/11/23

采用數值方法求模型的近似解，近似解與精確解之間有誤差——方法誤差(或截斷誤差)這是數值分析中要研究的對象2024/11/23

機器字長有限,數據在計算機中表示和計算過程產生誤差——舍入誤差2024/11/23大家一起猜？11/e解：將作Taylor展開后再積分S4R4取則稱為截斷誤差|

舍入誤差

|=0.747……由截去部分引起由留下部分引起2024/11/23例7記注：本課程“計算方法(數值分析)”主要研究截斷誤差和舍入誤差在計算過程中的傳播和對計算結果的影響，以提高計算的精度。2024/11/232.傳播與積累“蝴蝶效應”

一只南美洲亞馬孫河流域熱帶雨林中的蝴蝶,偶爾扇動幾下翅膀,可能在兩周后引起美國德克薩斯的一場龍卷風.

其原因在于：蝴蝶翅膀的運動,導致其身邊的空氣系統發(fā)生變化,并引起微弱氣流的產生,而微弱氣流的產生又會引起它四周空氣或其他系統產生相應的變化,由此引起連鎖反映,最終導致其他系統的極大變化.

此效應說明,事物發(fā)展的結果,對初始條件具有極為敏感的依賴性,初始條件的極小偏差,將會引起結果的極大差異。2024/11/23例：計算

公式一：記為則初始誤差2024/11/23迅速積累,誤差呈遞增走勢?？梢姵跏嫉男_動造成這種情況的原因是：算法不穩(wěn)定(初始數據誤差在計算中傳播使計算結果誤差增長很快！)2024/11/23

公式二：注意此公式與公式一在理論上等價?？扇≌`差逐步遞減,這樣的算法稱為穩(wěn)定的算法§1.2.2

絕對誤差與相對誤差1、絕對誤差、絕對誤差限2024/11/23用一把有毫米的刻度的米尺,來測量桌子的長度,讀出的長度x*=1235mm2024/11/232024/11/23有兩根卷尺，X卷尺測量一根10ｍ長的圓鋼時發(fā)生了0.5cm的誤差，Ｙ卷尺測量10cm長的圓鋼時發(fā)生了0.5cm的誤差，絕對誤差都是0.5cm，哪一個更精確？Ｘ卷尺更精確！決定一個量近似值的優(yōu)劣，除了要考慮絕對誤差的大小外，還應考慮準確值本身的大??！2024/11/23定義1.2.22、相對誤差、相對誤差限2024/11/23相對誤差比絕對誤差更能反映準確數與近似數的差異。絕對誤差限和相對誤差限均無窮多，自然越小越好。誤差估計的任務是提供好的誤差限，誤差限越小，數據越準確可靠。某一數據的準確值為

x*,其近似值為

x，x的相對誤差:x的絕對誤差:

e(x)=x*-x如果存在一個適當小的正數

,，使得

分別稱

,

為絕對誤差限和相對誤差限。

數的浮點表示一臺微機價格:￥4999.00,

浮點數表示:0.4999×104地球半徑:6378137m,(6.378137e+006)

浮點數表示:0.6378137×107光速:2.99792458e+008

浮點數表示:0.299792458×109尾數部階碼部取

的有限位數如下(

≈3.1415926)取

x1=3，誤差限不超過0.5;取

x2=3.14,誤差限不超過0.005;若近似值x

的絕對誤差限是某一位上的半個單位，該位到x

的第一位非零數字一共有n

位，則稱近似值x

有n

位有效數字.

取

x3=3.1416,誤差限不超過0.00005;有效數字的概念注：0.2300有4位有效數字，而00023只有2位有效數字。12300如果寫成0.123105，則表示只有3位有效數字。

數字末尾的0不可隨意省去！38

相對誤差限

有效數字

有效數字位數越多，相對誤差限也就越??！定理1.2.2一個有n位有效數字的數絕對誤差限滿足：相對誤差限滿足：解:a1=5,利用不等式

所以,浮點數的有效數字位數至少應取3位。例已知的十進制浮點數第一位是5，要使近似值的相對誤差限不大于0.1%，問浮點數的有效數字的位數至少應該為多少？取n≥3,有

|er(x)|≤10-3其中,正負號占1位,尾數占52位,階碼占11位.尾數階碼雙精度機器數占用64個二進制位單精度機器數占用32位二進制位其中,正負號占1位,尾數占23位,階碼占8位.例.圓面積計算的誤差估計圓面積計算公式:全微分近似:取

R=50cm,如果

cm≈2×1%=2%≈157cm2,1.一元函數

y=f(x)誤差分析(準確值

y*=f(x*))

由Taylor公式同理:所以誤差對函數計算的影響2.多元函數

z=f(x1,x2,···,xn)誤差分析(1)(3)(2)數據誤差對算術運算影響例.二次方程

x2–16x+1=0,取求

使具有4位有效數解:直接計算

x1≈8–7.937=0.063修改算法4位有效數計算出的x1

具有兩位有效數條件數很大的矩陣求逆求多項式值的秦九韶(Horner)算法

輸入

x；a0，a1，…，an

S←a0；u←1k

從

1到n循環(huán)u←x×uS←S+ak×u輸出數據S

；結束輸入

x；a0，a1，…，an

S←ank

從

n

到1

循環(huán)S←ak－1+x×S輸出數據S

；結束秦九韶算法P(x)=a0+a1x+a2x2+······+anxn

數值分析的特點：構造性近似性數值化結果泛函