《應用數(shù)值分析》課件數(shù)值分析2.3牛頓插值法

第1.3節(jié)牛頓插值法差商Newton插值由

組不同數(shù)據(jù)

構造的

次多項式其中拉格朗日插值多項式含義直觀形式對稱優(yōu)點：缺點：增加一個節(jié)點時，全部基函數(shù)

都需重新算過。公式不具有繼承性，不利于編程。分析：在n次多項式空間中另找一組合適的基函數(shù)希望：每增加一個節(jié)點時，只需重算一個基函數(shù)Newton插值：系數(shù)是多少？疑問：kc容易求嗎？

差商(亦稱均差)/*divideddifference*/差商表f(x3)x3f(x2)x2f(x1)x1f(x0)x0f[x1,x2,x3]f[x0,x1,x2]二階差商f[x2,x3]f[x1,x2]f[x0,x1]一階差商f(x)xf[x0,x1,x2,x3]三階差商由差商定義可知：高階差商是兩個低一階差商的差商。(差商可用函數(shù)值的線性組合表示)：性質1(差商具有對稱性)：性質2差商值與節(jié)點順序無關(差商與導數(shù)的關系)：性質3Newton插值：系數(shù)是多少？疑問：kc容易求嗎？Newton插值：…………(n)(n-1)…(2)(1)(1)(2)(3)(n)是n次多項式滿足插值條件Newton插值：優(yōu)點：每增加一個節(jié)點，只要再增加一項即可即有遞推公式例:已知函數(shù)的數(shù)值表試求的四次Newton插值多項式，并計算的近似值。解：取節(jié)點,則的差商表如下二階差商一階差商三階差商四階差商例:已知函數(shù)的數(shù)值表試求的四次Newton插值多項式，并計算的近似值。解：取節(jié)點,則的差商表如下由Newton插值公式，依次可得例:已知函數(shù)的數(shù)值表試求的四次Newton插值多項式，并計算的近似值。解：取節(jié)點,則的差商表如下由Newton插值公式，依次可得例:已知函數(shù)的數(shù)值表試求的四次Newton插值多項式，并計算的近似值。解：取節(jié)點,則的差商表如下由Newton插值公式，依次可得例:已知函數(shù)的數(shù)值表試求的四次Newton插值多項式，并計算的近似值。解：取節(jié)點,則的差商表如下由Newton插值公式，依次可得例:已知函數(shù)的數(shù)值表試求的四次Newton插值多項式，并計算的近似值。解：取節(jié)點,則的差商表如下由Newton插值公式，依次可得例:已知函數(shù)的數(shù)值表試求的四次Newton插值多項式，并計算的近似值。解：取節(jié)點,則的差商表如下由Newton插值公式，依次可得例M3.m例M3.m例M3.m例M3.m例M3.m缺點：當插值點個數(shù)取得較多時，可能會使得插值多項式產(chǎn)生很大的擾動，進而導致插值余項不收斂，拉格朗日多項式插值的這種振蕩現(xiàn)象叫Runge現(xiàn)象

采用拉格朗日多項式插值：選取不同插值節(jié)點個數(shù)n+1，其中n為插值多項式的次數(shù)，當n分別取2,4,6,8,10時，繪出插值結果圖形.例M3.m分段線性插值

xjxj-1xj+1x0xnxoy分段線性插值

xjxj-1xj+1x0xnxoy分段線性插值的余項例用分段線性插值法求插值.在[-6,6]中平均選取41個點作插值M4.m比分段線性插值更光滑

xyxi-1xiab

在數(shù)學上，光滑程度的定量描述是：函數(shù)(曲線)的k階導數(shù)存在且連續(xù)，則稱該曲線具有k階光滑性。三次樣條插值三次樣條函數(shù)滿足：在每個子區(qū)間上是一個三次多項式。(1)(2)在每個內節(jié)點上具有二階連續(xù)導數(shù)。(3)三次樣條插值例用三次樣條插值選取11個基點計算插值M5.m用MATLAB作插值計算一維插值函數(shù)：yi=interp1(x，y，xi，‘method’,‘extrap’)插值方法被插值點已知數(shù)據(jù)xi處的插值結果‘nearest’

：最鄰近插值‘linear’

：線性插值；‘spline’

：三次樣條插值；‘cubic’

：立方插值?！畃chip’

：分段三次Hermite插值缺省時：分段線性插值。

注意：所有插值方法都要求x是單調的例在1-12的11小時內，每隔1小時測量一次溫度，測得的溫度依次為：5，8，9，15，25，29，31，30，22，25，27，24。試估計每隔1/10小時的溫度值。M1.m

xy機翼下輪廓線例已知飛機下輪廓線上數(shù)據(jù)如下，求x每改變0.1時的y值。M2.m設有一個年產(chǎn)240噸的食品加工廠,需要統(tǒng)計其生產(chǎn)費用,但由于該廠各項資料不全,無法統(tǒng)計。在這種情況下,統(tǒng)計部門收集了設備、生產(chǎn)能力和該廠大致相同的五個食品加工廠的產(chǎn)量與生產(chǎn)費用資料如下表：例M6.m

如何根據(jù)已知五個食品加工廠的資料較準確地估計該廠的生產(chǎn)費用呢？作業(yè)6：

1、本節(jié)內容小結；

2、課后作業(yè)第3、7題；

3、數(shù)值實驗題第1、3題。二維插值二維插值第一種（網(wǎng)格節(jié)點）第二種（散亂節(jié)點）

xyO

yx0二維插值的定義已知n個節(jié)點互不相同，

構造一個二元函數(shù)通過全部已知節(jié)點,再用計算插值，即即

注意：最鄰近插值一般不連續(xù)。具有連續(xù)性的最簡單的插值是分片線性插值。最鄰近插值x

y(x1,y1)(x1,y2)(x2,y1)(x2,y2)O

二維或高維情形的最鄰近插值，與被插值點最鄰近的節(jié)點的函數(shù)值即為所求。網(wǎng)格節(jié)點將四個插值點（矩形的四個頂點）處的函數(shù)值依次簡記為：

分片線性插值xy

(xi,yj)(xi,yj+1)(xi+1,yj)(xi+1,yj+1)Of(xi,yj)=f1，f(xi+1,yj)=f2，f(xi+1,yj+1)=f3，f(xi,yj+1)=f4.網(wǎng)格節(jié)點f1f2f3f4分片線性插值xy

(xi,yj)(xi,yj+1)(xi+1,yj)(xi+1,yj+1)O網(wǎng)格節(jié)點f1f2f3f4插值函數(shù)為：分兩片第一片(下三角形區(qū)域)：(x,y)滿足分片線性插值xy

(xi,yj)(xi,yj+1)(xi+1,yj)(xi+1,yj+1)O網(wǎng)格節(jié)點f1f2f3f4插值函數(shù)為：分兩片第二片(下三角形區(qū)域)：(x,y)滿足注意：(x,y)應該是在插值節(jié)點所形成的矩形區(qū)域內。顯然，分片線性插值函數(shù)是連續(xù)的。雙線性插值是一片一片的空間二次曲面構成。雙線性插值函數(shù)的形如：四個待定系數(shù)雙線性插值x

y(x1,y1)(x1,y2)(x2,y1)(x2,y2)O網(wǎng)格節(jié)點四個頂點（插值節(jié)點）的函數(shù)值四個方程要求：1.x0,y0單調；z=interp2(x0,y0,z0,x,y,’method’)被插值點插值方法用MATLAB作網(wǎng)格節(jié)點數(shù)據(jù)的插值插值節(jié)點被插值點的函數(shù)值‘nearest’

最鄰近插值‘linear’

雙線性插值‘cubic’

雙三次插值缺省時,雙線性插值2.x，y可取為矩陣，或x取行向量，y取為列向量；3.x,y的值分別不能超出x0,y0的范圍。例：測得平板表面3*5網(wǎng)格點處的溫度分別為：

828180828479636165818484828586

試作出平板表面的溫度分布曲面z=f(x,y)的圖形。1.先在三維坐標畫出原始數(shù)據(jù)，畫出粗糙的溫度分布曲圖.M7.m2．以平滑數(shù)據(jù),在x、y方向上每隔0.2個單位的地方進行插值.畫出插值后的溫度分布曲面圖.

通過此例對最近鄰點