湖北省部分省級(jí)示范高中2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期期中測(cè)試數(shù)學(xué)試卷（含解析）

湖北省部分省級(jí)示范高中2024～2025學(xué)年上學(xué)期高二期中測(cè)試數(shù)學(xué)試卷考試時(shí)間：2024年11月14日試卷滿(mǎn)分：150分★?？荚図樌镒⒁馐马?xiàng)：1.答題前，先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在試卷和答題卡上，并將準(zhǔn)考證號(hào)條形碼粘貼在答題卡上的指定位置.2.選擇題的作答：每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.寫(xiě)在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無(wú)效.3.非選擇題的作答：用黑色簽字筆直接答在答題卡上對(duì)應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi).寫(xiě)在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無(wú)效.4.考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并上交.一、選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.）1.天氣預(yù)報(bào)甲地的降雨概率是0.2，乙地的降雨概率是0.3，假定在這段時(shí)間內(nèi)兩地是否降雨相互之間沒(méi)有影響，則至少有一地降雨的概率（）A.0.06 B.0.94 C.0.56 D.0.44【答案】D解析：設(shè)事件“甲地降雨”，事件“乙地降雨”，則事件與相互獨(dú)立.由題意知，則，所以至少有一地降雨概率為，.故選：D.2.如果，，則直線不經(jīng)過(guò)（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】C解析：由，得，又，，則符號(hào)相反，符號(hào)相反，所以符號(hào)相同，所以直線的斜率，在軸上的截距，所以直線不通過(guò)第三象限.故選：C.3.與圓同圓心，且過(guò)點(diǎn)的圓的方程是（）A. B.C. D.【答案】B解析：設(shè)所求圓的方程為，由該圓過(guò)點(diǎn)，得m＝4，所以所求圓的方程為.故選：B4.從長(zhǎng)度為2，4，6，8，10的5條線段中任取3條，這三條線段能夠成一個(gè)三角形的概率（）A. B. C. D.【答案】B解析：從條線段中任取3條，則有，，，，，，，，，，共10個(gè)基本事件；其中三條線段能夠成三角形的基本事件有：，，，共3個(gè)；三條線段能夠成一個(gè)三角形的概率概率.故選：B.5.已知，，經(jīng)過(guò)作直線，若直線與線段恒有公共點(diǎn)，則直線傾斜角的范圍（）A. B.C. D.【答案】C解析：設(shè)直線的斜率為，直線的傾斜角為，則，因?yàn)橹本€的斜率為，直線的斜率為，因?yàn)橹本€經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且與線段總有公共點(diǎn)，所以，即，因?yàn)?，所以或，故直線的傾斜角的取值范圍是．故選：C．6.在《線性代數(shù)》中定義：對(duì)于一組向量，，存在一組不全為0的實(shí)數(shù)，，使得：成立，那么則稱(chēng)，，線性相關(guān)，只有當(dāng)時(shí)，才能使成立，那么就稱(chēng)，，線性無(wú)關(guān).若為一組不共面的空間向量，則以下向量組線性無(wú)關(guān)的是（）A.，， B.，，C.，， D.，，【答案】D解析：因?yàn)闉橐唤M不共面的空間向量，則不能用，線性表示，即只有當(dāng)時(shí)，.對(duì)于A：設(shè)，整理得：，所以有，取，所以，，線性相關(guān)，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B：設(shè)，整理得：，所以有，取，所以，，線性相關(guān)，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C：設(shè)，整理得：，所以有，取，所以，，線性相關(guān)，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D：設(shè)，整理得：，所以有，解得，所以，，線性無(wú)關(guān)，故D正確.故選：D7.若圓上總存在兩個(gè)點(diǎn)到原點(diǎn)的距離均為2，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】A解析：到原點(diǎn)的距離為2的點(diǎn)的軌跡為圓，因此問(wèn)題轉(zhuǎn)化為圓與圓有兩個(gè)交點(diǎn)，易知，，，，，所以，即，解得或，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.故選：A.8.已知點(diǎn)在直線上，過(guò)點(diǎn)作圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為，則點(diǎn)到直線距離的最大值（）A. B. C. D.【答案】A解析：設(shè)，則，則以為直徑的圓的方程為，與圓的方程相減，得到直線的方程為：，又，可得，即，可得，解得，所以直線恒過(guò)定點(diǎn)，點(diǎn)到直線距離的最大值即為點(diǎn)，之間的距離，，所以點(diǎn)到直線距離的最大值為.故選：A.二、多選題（本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對(duì)的得部分分.）9.若三條直線，，不能構(gòu)成三角形，則的值為（）A. B. C. D.【答案】ABD解析：設(shè)，，，由，解得，所以與的交點(diǎn)為，因?yàn)槿龡l直線不能?chē)扇切?，所以過(guò)與的交點(diǎn)或或，當(dāng)過(guò)與的交點(diǎn)時(shí)，，解得，當(dāng)時(shí)，，解得，當(dāng)時(shí)，，解得，綜上，的值為.故選：ABD.10.在棱長(zhǎng)為2的正方體中，，，，分別是，，，的中點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的是（）A.若為空間任意一點(diǎn)，且，則B.與所成角的大小為C.在線段上任取一點(diǎn)，三棱錐的體積為定值D.在線段上存在一點(diǎn)，使得平面【答案】AC解析：對(duì)于選項(xiàng)A，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則，設(shè)，則，，由可得，即，所以，故A正確；對(duì)于選項(xiàng)B，，設(shè)與所成角為，則，故B錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)C，因?yàn)?，且平面，平面，所以平面，又點(diǎn)在直線上，所以點(diǎn)到平面的距離為定值，且為定值，所以為定值，故C正確；設(shè)在線段上存在點(diǎn)，符合題意，對(duì)于選項(xiàng)D，設(shè)，又，則，即，所以，即，設(shè)平面的法向量為，且，所以，解得，取，則，則，方程無(wú)解，所以線段上不存在一點(diǎn)，使得平面，故D錯(cuò)誤；故選：AC11.已知圓，圓，（，且，不同時(shí)為0）交于不同的兩點(diǎn)，，下列結(jié)論正確的是（）A.，B.直線的方程為：C.若點(diǎn)是圓內(nèi)異于圓心的一點(diǎn)，以為中點(diǎn)的弦所在的直線為，直線，則且與圓相離D.，為圓上的兩動(dòng)點(diǎn)，且，則的最大值為【答案】BCD解析：對(duì)于A，因?yàn)閮蓤A半徑相等,所以的中點(diǎn)恰為的中點(diǎn)，所以，，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，將圓與圓的方程相減可得公共弦所在的直線的方程為，故B正確；對(duì)于C，由題意，以點(diǎn)為中點(diǎn)的弦所在直線，，所以，則直線為，所以，又點(diǎn)到直線的距離為，又點(diǎn)Px0,y0在圓內(nèi)，則，所以圓心到直線的距離為，則直線與圓心相離，故C正確；對(duì)于D，設(shè)的中點(diǎn)為，則，由，可得，即點(diǎn)在以點(diǎn)為圓心，為半徑的圓上，所以，所以的最大值為，故D正確.故選：BCD.三、填空題（本大題共3小題，每小題5分，共15分.把答案填寫(xiě)在答題卡上相應(yīng)位置的橫線上.）12.已知向量，向量，若，則為_(kāi)________【答案】##解析：已知向量，向量，因?yàn)?，則，所以，即，解得，所以.故答案為：.13.甲乙兩人進(jìn)行羽毛球比賽，在前三局比賽中，甲勝2局，乙勝1局，規(guī)定先勝3局者取得最終勝利，已知甲在每局比賽中獲勝的概率為，乙在每局比賽中獲勝的概率為，且各局比賽結(jié)果相互獨(dú)立，則甲取得最終勝利的概率為_(kāi)________【答案】解析：設(shè)甲取得最終勝利為事件，則.故答案為：14.集合，集合，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍__________【答案】解析：定義集合，集合表示中心為O0,0，邊長(zhǎng)為的正方形，如圖所示，集合可看作集合表示的正方形向左或向右平移個(gè)單位得到，集合表示如圖的四個(gè)半圓圍成的圖形，若，則，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.故答案為：.四、解答題（本大題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟.）15.一個(gè)袋子中有標(biāo)號(hào)分別為、、、的個(gè)球，除標(biāo)號(hào)外沒(méi)有其他差異.采用不放回方式從中任意摸球兩次（1）求摸出兩球標(biāo)號(hào)互質(zhì)的概率；（2）設(shè)事件“第一次摸出球的標(biāo)號(hào)小于”，事件“第二次摸出球的標(biāo)號(hào)小于”，判斷事件與事件是否相互獨(dú)立.【答案】（1）（2）不獨(dú)立，理由見(jiàn)解析【小問(wèn)1解析】討論摸出兩球的標(biāo)號(hào)，記事件摸出兩球標(biāo)號(hào)互質(zhì)，樣本空間為，共個(gè)樣本點(diǎn)，每個(gè)樣本點(diǎn)出現(xiàn)的可能性相同，，共個(gè)樣本點(diǎn)，故.因此，摸出兩球標(biāo)號(hào)互質(zhì)的概率為.【小問(wèn)2解析】樣本空間為，共個(gè)樣本點(diǎn)，，，，則，，所以，，所以，事件與事件不獨(dú)立.16.如圖，在平行六面體中，以頂點(diǎn)為端點(diǎn)的三條棱的長(zhǎng)度都為，且.（1）求的長(zhǎng)度；（2）求直線和直線所成角的余弦值.【答案】（1）（2）【小問(wèn)1解析】設(shè)，，，由題意可知，，，由空間向量數(shù)量積的定義可得，，則，故.【小問(wèn)2解析】，則，，則.故直線和直線所成角的余弦值為.17.已知圓，直線（1）求證：直線與圓恒有兩個(gè)交點(diǎn)（2）設(shè)直線與圓交于兩點(diǎn)，當(dāng)為何值時(shí)，三角形的面積有最大值，并求出該最大值【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2），最大值為10【小問(wèn)1解析】因?yàn)橹本€，可得，所以，解得，所以直線過(guò)定點(diǎn)，將點(diǎn)代入圓方程可得，所以點(diǎn)在圓的內(nèi)部，所以直線與圓恒有兩交點(diǎn).【小問(wèn)2解析】設(shè)圓心到直線的距離為，則，，因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，三角形面積最大，最大值為.此時(shí)，且，則，即，解得.所以當(dāng)時(shí)，三角形的面積最大，最大值為.18.如圖，已知四棱錐的底面是直角梯形，，，，平面，.（1）若平面平面，求證：平面；（2）求平面與平面所成角的余弦值；（3）若是線段上動(dòng)點(diǎn)，為中點(diǎn)，試確定點(diǎn)的位置，使得直線與平面所成角最大，并求出該最大角.【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）（3），最大角為【小問(wèn)1解析】因?yàn)槠矫?，平面，所以，，因?yàn)?，所以，又因?yàn)槠矫妫?，所以平面，因?yàn)槠矫?，平面，所以平面，因?yàn)槠矫嫫矫?，所以，又因?yàn)槠矫?，所以平?【小問(wèn)2解析】以為原點(diǎn)，分別為軸正方向建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，，，設(shè)平面的法向量為，則有，取，則，因?yàn)槠矫?，所以平面一個(gè)法向量為，，所以與平面所成角的余弦值為.【小問(wèn)3解析】，，設(shè)，則，，設(shè)平面的法向量為m=x,y,z，則有，取，則，，則與平面的夾角的正弦值為，設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，取得最大值，所以的最大值為，所以當(dāng)點(diǎn)滿(mǎn)足時(shí)，與平面的夾角的最大值為.19.已知線段的端點(diǎn)的坐標(biāo)是，端點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)，記線段中點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡為曲線（1）求曲線的方程（2）過(guò)點(diǎn)作直線交曲線于兩個(gè)不同的點(diǎn)，，且不過(guò)曲線的中心，再過(guò)點(diǎn)，分別作曲線的切線，兩條切線交于點(diǎn)，求證：點(diǎn)在同一直線上，并求出該直線的方程（3）斜率為的直線與曲線相交于異于原點(diǎn)的兩點(diǎn)，，直線，的斜率分別為，，且.若，為垂足，證明：存在定點(diǎn)，使得為定值【答案】（1）（2）詳見(jiàn)解析