2025高考數(shù)學專項復(fù)習第三章 函數(shù)與基本初等函數(shù)第1節(jié) 函數(shù)的概念及其表示含答案

2025高考數(shù)學專項復(fù)習第三章函數(shù)與基本初等函數(shù)第一節(jié)函數(shù)的概念及其表示課標解讀考向預(yù)測1.了解構(gòu)成函數(shù)的要素，能求簡單函數(shù)的定義域.2.在實際情境中，會根據(jù)不同的需要選擇恰當?shù)姆椒?如圖象法、列表法、解析法)表示函數(shù)，理解函數(shù)圖象的作用.3.通過具體實例，了解簡單的分段函數(shù)，并能簡單應(yīng)用.以基本初等函數(shù)為載體，考查函數(shù)的表示法、定義域；分段函數(shù)以及函數(shù)與其他知識的綜合是高考的熱點，題型既有選擇題、填空題，又有解答題，難度中等偏上．預(yù)計2025年高考函數(shù)的定義域、值域、解析式仍會出題，一般在選擇題或填空題中出現(xiàn)，分段函數(shù)的考查比較靈活，各種題型都可能涉及.必備知識——強基礎(chǔ)1．函數(shù)的概念一般地，設(shè)A，B是eq\x(\s\up1(01))非空的實數(shù)集，如果對于集合A中的eq\x(\s\up1(02))任意一個數(shù)x，按照某種確定的對應(yīng)關(guān)系f，在集合B中都有eq\x(\s\up1(03))唯一確定的數(shù)y和它對應(yīng)，那么就稱f：A→B為從集合A到集合B的一個函數(shù)，記作y＝f(x)，x∈A.2．函數(shù)的定義域、值域(1)在函數(shù)y＝f(x)，x∈A中，x叫做自變量，x的取值范圍A叫做函數(shù)的eq\x(\s\up1(04))定義域；與x的值相對應(yīng)的y值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合{f(x)|x∈A}叫做函數(shù)的eq\x(\s\up1(05))值域．(2)函數(shù)的三要素：eq\x(\s\up1(06))定義域、對應(yīng)關(guān)系、eq\x(\s\up1(07))值域．(3)如果兩個函數(shù)的eq\x(\s\up1(08))定義域相同，并且eq\x(\s\up1(09))對應(yīng)關(guān)系完全一致，即相同的自變量對應(yīng)的函數(shù)值也相同，那么這兩個函數(shù)是同一個函數(shù)．3．函數(shù)的表示法表示函數(shù)的常用方法有eq\x(\s\up1(10))解析法、eq\x(\s\up1(11))列表法和圖象法．4．分段函數(shù)(1)若函數(shù)在其定義域的不同子集上，因?qū)?yīng)關(guān)系不同而分別用幾個不同的式子來表示，這種函數(shù)稱為分段函數(shù)．(2)分段函數(shù)的定義域等于各段函數(shù)的定義域的eq\x(\s\up1(12))并集，其值域等于各段函數(shù)的值域的eq\x(\s\up1(13))并集，分段函數(shù)雖由幾個部分組成，但它表示的是一個函數(shù)．(3)各段函數(shù)的定義域區(qū)間端點應(yīng)不重不漏．1．直線x＝a(a是常數(shù))與函數(shù)y＝f(x)的圖象有0個或1個交點．2．在函數(shù)的定義中，非空數(shù)集A，B，A即為函數(shù)的定義域，值域為B的子集．3．分段函數(shù)無論分成幾段，都是一個函數(shù)，求分段函數(shù)的函數(shù)值，如果自變量的范圍不確定，要分類討論．4．判斷兩個函數(shù)是否相同，要抓住的兩點(1)定義域是否相同．(2)對應(yīng)關(guān)系是否相同，當解析式可以化簡時，要注意化簡過程的等價性．5．常見函數(shù)的定義域(1)一次函數(shù)、二次函數(shù)的定義域為R.(2)分式函數(shù)中分母不等于0.(3)偶次根式函數(shù)的被開方式大于或等于0.(4)零次冪的底數(shù)不能為0.1．概念辨析(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)若兩個函數(shù)的定義域和值域相同，則這兩個函數(shù)是同一個函數(shù)．()(2)對于函數(shù)f：A→B，其值域是集合B.()(3)函數(shù)f(x)＝eq\r(x－3)＋eq\r(2－x)的定義域為?.()(4)若A＝R，B＝{x|x＞0}，f：x→y＝|x|，其對應(yīng)是從A到B的函數(shù)．()答案(1)×(2)×(3)×(4)×2．小題熱身(1)若函數(shù)y＝f(x)的定義域為M＝{x|－2≤x≤2}，值域為N＝{y|0≤y≤2}，則函數(shù)y＝f(x)的圖象可能是()答案B解析A中函數(shù)的定義域不是[－2，2]；C中圖象不表示函數(shù)；D中函數(shù)的值域不是[0，2]．故選B.(2)設(shè)f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋3，x>10，,f（x＋5），x≤10，))則f(5)的值為()A．16 B．18C．21 D．24答案B(3)(人教A必修第一冊3.1.1例3改編)下列函數(shù)中與函數(shù)y＝x(x∈R)是同一個函數(shù)的是()A．y＝(eq\r(x))2 B．u＝eq\r(3,v3)C．y＝eq\r(x2) D．m＝eq\f(n2,n)答案B解析對于A，兩函數(shù)定義域不相同，所以不是同一個函數(shù)；對于B，兩函數(shù)對應(yīng)關(guān)系、定義域都相同，所以是同一個函數(shù)；對于C，y＝eq\r(x2)＝|x|＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－x，x<0，,x，x≥0，))當x<0時，它的對應(yīng)關(guān)系與函數(shù)y＝x(x∈R)不相同，所以與函數(shù)y＝x(x∈R)不是同一個函數(shù)；對于D，兩函數(shù)定義域不相同，所以不是同一個函數(shù)．故選B.(4)函數(shù)f(x)＝eq\f(3x,x＋4)＋eq\r(16－x2)的定義域是________．答案(－4，4]考點探究——提素養(yǎng)考點一函數(shù)的概念例1(1)設(shè)集合M＝{x|0≤x≤2}，N＝{y|0≤y≤2}，那么下列四個圖象中，能表示集合M到集合N的函數(shù)關(guān)系的是()A．①②③④ B．①②③C．②③ D．②答案C解析對于①，定義域為{x|0≤x≤1}，不符合題意；對于④，集合M中有的元素在集合N中對應(yīng)兩個值，不符合函數(shù)定義；②③符合題意．故選C.(2)(多選)(2023·山東濟南高三期末)下列各組函數(shù)是同一個函數(shù)的是()A．f(x)＝x2－2x－1，g(s)＝s2－2s－1B．f(x)＝x－1，g(x)＝eq\f(x2－1,x＋1)C．f(x)＝eq\r(x2)，g(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x，x≥0，,－x，x<0))D．f(x)＝eq\r(－x3)，g(x)＝xeq\r(－x)答案AC解析同一個函數(shù)應(yīng)滿足①定義域相同，②對應(yīng)關(guān)系相同，只有A，C滿足．【通性通法】(1)函數(shù)的定義要求非空數(shù)集A中的任何一個元素在非空數(shù)集B中有且只有一個元素與之對應(yīng)，即可以“多對一”，不能“一對多”，而B中有可能存在與A中元素不對應(yīng)的元素．(2)構(gòu)成函數(shù)的三要素中，若定義域和對應(yīng)關(guān)系相同，則值域一定相同．【鞏固遷移】1．下列四個圖象中，是函數(shù)圖象的是()A．①② B．①②③C．①③④ D．①②③④答案C解析根據(jù)函數(shù)的定義，一個自變量值對應(yīng)唯一一個函數(shù)值，或者多個自變量值對應(yīng)唯一一個函數(shù)值，顯然只有②不滿足．故選C.2．(2024·黑龍江佳木斯四校聯(lián)合體高三第一次調(diào)研)下列各組函數(shù)中，表示同一個函數(shù)的是()A．f(x)＝x0與g(x)＝1B．f(x)＝x與g(x)＝eq\f(x2,x)C．f(x)＝eq\r(（x－2024）2)與g(x)＝x－2024D．f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1，x≥0，,－1，x<0))與g(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(x,|x|)，x≠0，,1，x＝0))答案D解析對于A，二者定義域不同，不是同一個函數(shù)；對于B，二者定義域不同，不是同一個函數(shù)；對于C，因為f(x)＝eq\r(（x－2024）2)＝|x－2024|與g(x)＝x－2024的對應(yīng)關(guān)系不同，故二者不是同一個函數(shù)；對于D，g(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(x,|x|)，x≠0，,1，x＝0))＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1，x>0，,1，x＝0，,－1，x<0))＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1，x≥0，,－1，x<0))與f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1，x≥0，,－1，x<0))的定義域以及對應(yīng)關(guān)系都相同，故二者是同一個函數(shù)．故選D.考點二函數(shù)的定義域(多考向探究)考向1具體函數(shù)的定義域例2(1)(2024·湖北部分省級示范高中高三期中聯(lián)考)函數(shù)y＝eq\r(lgx)＋lg(5－3x)的定義域是()A.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(5,3))) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(5,3)))C.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(5,3))) D.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1，\f(5,3)))答案C解析由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x>0，,lgx≥0，,5－3x>0，))得1≤x<eq\f(5,3)，故所求函數(shù)的定義域為eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(5,3))).故選C.(2)已知函數(shù)f(x)＝eq\f(3x－1,ax2＋ax－3)的定義域是R，則實數(shù)a的取值范圍是________．答案(－12，0]解析由題意可知ax2＋ax－3≠0對任意實數(shù)x都成立．當a＝0時，顯然成立；當a≠0時，需Δ＝a2＋12a<0，解得－12<a<0.綜上所述，實數(shù)a的取值范圍為(－12，0]．【通性通法】1．已知解析式的函數(shù)，其定義域是使解析式有意義的自變量的取值集合，求解時只要根據(jù)函數(shù)解析式列出自變量滿足的不等式(組)，得出不等式(組)的解集即可．2．求函數(shù)定義域的注意點(1)不要對解析式進行化簡變形，以免定義域發(fā)生變化．(2)定義域是一個集合，要用集合或區(qū)間表示，若用區(qū)間表示數(shù)集，不能用“或”連接，而應(yīng)該用并集符號“∪”連接．3．已知函數(shù)的定義域求參數(shù)問題的解題步驟(1)調(diào)整思維方向，根據(jù)已知函數(shù)，將給出的定義域問題轉(zhuǎn)化為方程或不等式的解集問題．(2)根據(jù)方程或不等式的解集情況確定參數(shù)的取值或范圍．【鞏固遷移】3．(2024·江蘇淮安高三期中聯(lián)考)函數(shù)f(x)＝eq\f(1,x－1)＋eq\r(2－x)的定義域是________．答案(－∞，1)∪(1，2]解析由已知，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－1≠0，,2－x≥0，))解得x≤2且x≠1，即函數(shù)f(x)＝eq\f(1,x－1)＋eq\r(2－x)的定義域是(－∞，1)∪(1，2]．4．若函數(shù)y＝eq\r(x2＋2x＋a)＋ln(x＋2)的定義域為[1，＋∞)，則a＝________．答案－3解析由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2＋2x＋a≥0，,x＋2>0，))得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2＋2x＋a≥0，,x>－2，))則上式的解集為[1，＋∞)，所以x＝1為方程x2＋2x＋a＝0的一個根，即1＋2＋a＝0，解得a＝－3.經(jīng)檢驗符合題意，故a＝－3.考向2抽象函數(shù)的定義域例3(1)已知函數(shù)f(x)的定義域為[1，2]，求函數(shù)y＝f(2x＋1)的定義域；(2)已知函數(shù)y＝f(2x＋1)的定義域為[1，2]，求函數(shù)f(x)的定義域；(3)已知函數(shù)y＝f(2x＋1)的定義域為[1，2]，求函數(shù)y＝f(2x－1)的定義域．解(1)由1≤2x＋1≤2，得0≤x≤eq\f(1,2)，所以函數(shù)y＝f(2x＋1)的定義域為eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2))).(2)因為y＝f(2x＋1)的定義域為[1，2]，即1≤x≤2，所以3≤2x＋1≤5，即函數(shù)f(x)的定義域為[3，5]．(3)因為函數(shù)y＝f(2x＋1)的定義域為[1，2]，所以3≤2x＋1≤5.由3≤2x－1≤5，得2≤x≤3，所以函數(shù)y＝f(2x－1)的定義域為[2，3]．【通性通法】求抽象函數(shù)的定義域的策略(1)若f(x)的定義域為[m，n]，則在f(g(x))中，由m≤g(x)≤n解得x的范圍，即為f(g(x))的定義域．(2)若f(g(x))的定義域為[m，n]，則由m≤x≤n得到g(x)的范圍，即為f(x)的定義域．口訣：定義域指的是x的范圍，括號內(nèi)范圍相同．【鞏固遷移】5．已知函數(shù)y＝f(x－1)的定義域為[1，3]，則函數(shù)y＝f(log3x)的定義域為()A．[0，1] B．[1，9]C．[0，2] D．[0，9]答案B解析由x∈[1，3]，得x－1∈[0，2]，所以log3x∈[0，2]，所以x∈[1，9]．故選B.6．(2024·黑龍江牡丹江三中高三月考)若函數(shù)y＝f(x)的定義域是[0，2]，則函數(shù)g(x)＝eq\f(f（2x）,x－1)的定義域為________．答案[0，1)解析由題意知eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(0≤2x≤2，,x－1≠0，))解得0≤x<1，所以g(x)的定義域是[0，1)．考點三函數(shù)的解析式例4(1)已知f(|x－1|)＝x2－2x＋3，求f(x)的解析式；(2)已知f(x)是二次函數(shù)，且f(0)＝0，f(x＋1)＝f(x)＋x＋1，求f(x)的解析式；(3)已知函數(shù)f(x)滿足f(cosx－1)＝cos2x－1，求f(x)的解析式；(4)已知f(x)滿足2f(x)＋f(－x)＝3x，求f(x)的解析式．解(1)(配湊法)因為f(|x－1|)＝x2－2x＋3＝(x－1)2＋2＝|x－1|2＋2，所以f(x)＝x2＋2(x≥0)．(2)(待定系數(shù)法)設(shè)f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，由f(0)＝0，知c＝0，所以f(x)＝ax2＋bx.又由f(x＋1)＝f(x)＋x＋1，得a(x＋1)2＋b(x＋1)＝ax2＋bx＋x＋1，即ax2＋(2a＋b)x＋a＋b＝ax2＋(b＋1)x＋1，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2a＋b＝b＋1，,a＋b＝1，))解得a＝b＝eq\f(1,2).所以f(x)＝eq\f(1,2)x2＋eq\f(1,2)x，x∈R.(3)(換元法)f(cosx－1)＝cos2x－1＝2cos2x－1－1＝2cos2x－2，設(shè)cosx－1＝t，則cosx＝t＋1，由cosx∈[－1，1]知t∈[－2，0]，故原函數(shù)可轉(zhuǎn)化為f(t)＝2(t＋1)2－2＝2t2＋4t，t∈[－2，0]，即f(x)的解析式為f(x)＝2x2＋4x(－2≤x≤0)．(4)(解方程組法)因為2f(x)＋f(－x)＝3x，①所以將x用－x替換，得2f(－x)＋f(x)＝－3x，②由①②解得f(x)＝3x.【通性通法】求函數(shù)解析式的常用方法配湊法由已知條件f(g(x))＝F(x)，可將F(x)改寫成關(guān)于g(x)的表達式，然后以x替代g(x)，便得f(x)的表達式待定系數(shù)法若已知函數(shù)的類型(如一次函數(shù)、二次函數(shù)等)，則可用待定系數(shù)法換元法主要用于解決已知復(fù)合函數(shù)f(g(x))的解析式，求解函數(shù)f(x)的解析式的問題，先令g(x)＝t解出x并用含t的代數(shù)式表示x，然后代入f(x)中即可求得f(t)，從而求得f(x)，要注意新元的取值范圍解方程組法已知關(guān)于f(x)與feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))或f(－x)等的表達式，可根據(jù)已知條件再構(gòu)造出另外一個等式組成方程組，通過解方程組求出f(x)【鞏固遷移】7．已知函數(shù)f(x2＋1)＝x4，則函數(shù)y＝f(x)的解析式是()A．f(x)＝(x－1)2，x≥0B．f(x)＝(x－1)2，x≥1C．f(x)＝(x＋1)2，x≥0D．f(x)＝(x＋1)2，x≥1答案B解析f(x2＋1)＝x4＝(x2＋1)2－2(x2＋1)＋1，且x2＋1≥1，所以f(x)＝x2－2x＋1＝(x－1)2，x≥1.故選B.8．已知f(x)是一次函數(shù)，且f(f(x))＝4x＋3，則f(x)的解析式為________．答案f(x)＝－2x－3或f(x)＝2x＋1解析設(shè)f(x)＝ax＋b(a≠0)，則f(f(x))＝f(ax＋b)＝a(ax＋b)＋b＝a2x＋ab＋b＝4x＋3.所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a2＝4，,ab＋b＝3，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝－2，,b＝－3))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝2，,b＝1.))故f(x)＝－2x－3或f(x)＝2x＋1.9．已知f(x6)＝log2x，則f(8)＝________．答案eq\f(1,2)解析令x6＝t，t>0，則x＝teq\s\up7(\f(1,6))，則f(t)＝log2teq\s\up7(\f(1,6))＝eq\f(1,6)log2t，故f(8)＝eq\f(1,6)log28＝eq\f(3,6)＝eq\f(1,2).10．(2024·福建泉州高三模擬)設(shè)函數(shù)f(x)對x≠0的一切實數(shù)均有f(x)＋2feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2024,x)))＝3x，則f(2024)＝________．答案－2022解析∵f(x)＋2feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2024,x)))＝3x，∴feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2024,x)))＋2f(x)＝eq\f(3×2024,x)，聯(lián)立，得－3f(x)＝3x－eq\f(3×2×2024,x)，∴f(x)＝－x＋eq\f(2×2024,x)，∴f(2024)＝－2024＋2＝－2022.考點四分段函數(shù)(多考向探究)考向1分段函數(shù)求值問題例5(1)(2024·福建三明高三模擬)已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3x，x≤0，,log3x，x>0，))則f(f(－2))＝________．答案－2解析f(f(－2))＝f(3－2)＝log33－2＝－2.(2)已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x－1，x≤0，,xeq\s\up7(\f(1,2))，x>0，))若f(m)＝3，則m＝________．答案9解析由題意可知eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2m－1＝3，,m≤0))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(meq\s\up7(\f(1,2))＝3，,m>0，))解得m＝9.【通性通法】“分段函數(shù)——分段看”，遇到分段函數(shù)要時刻盯住自變量的范圍，并根據(jù)自變量的范圍選擇合適的解析式代入，若自變量的范圍并不完全在某一段中，要注意進行分類討論．解題思路如下：(1)求函數(shù)值：當出現(xiàn)f(f(a))的形式時，應(yīng)從內(nèi)到外依次求值．(2)求自變量的值：先假設(shè)所求的值在分段函數(shù)定義區(qū)間的各段上，然后求出相應(yīng)自變量的值，切記要代入檢驗．【鞏固遷移】11．已知f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋3，x≤0，,\r(x)，x>0，))若f(a－3)＝f(a＋2)，則f(a)＝()A．2 B.eq\r(2)C．1 D．0答案B解析由題意知a－3≤0，a＋2>0，所以a－3＋3＝eq\r(a＋2)，即a2＝a＋2且a≥0，解得a＝2，所以f(a)＝f(2)＝eq\r(2).故選B.考向2分段函數(shù)與方程、不等式問題例6(1)已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x，x>0，,x＋1，x≤0.))若f(a)＋f(1)＝0，則實數(shù)a的值為()A．－3 B．－1C．1 D．3答案A解析∵f(1)＝21＝2，∴f(a)＋2＝0，∴f(a)＝－2.當a≤0時，f(a)＝a＋1＝－2，∴a＝－3；當a＞0時，f(a)＝2a＝－2，方程無解．綜上，a＝－3.故選A.(2)已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－x2＋2，x≤1，,x＋\f(1,x)－1，x>1，))則feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))))＝________；若當x∈[a，b]時，1≤f(x)≤3，則b－a的最大值是________．答案eq\f(37,28)3＋eq\r(3)解析由已知得feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(2)＋2＝eq\f(7,4)，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,4)))＝eq\f(7,4)＋eq\f(4,7)－1＝eq\f(37,28)，所以feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))))＝eq\f(37,28).當x≤1時，由1≤f(x)≤3可得1≤－x2＋2≤3，所以－1≤x≤1；當x>1時，由1≤f(x)≤3可得1≤x＋eq\f(1,x)－1≤3，所以1<x≤2＋eq\r(3).所以1≤f(x)≤3等價于－1≤x≤2＋eq\r(3)，所以[a，b]?[－1，2＋eq\r(3)]，所以b－a的最大值為3＋eq\r(3).【通性通法】求參數(shù)或自變量的值(范圍)的解題思路(1)解決此類問題時，先在分段函數(shù)的各段上分別求解，然后將求出的值或范圍與該段函數(shù)的自變量的取值范圍求交集，最后將各段的結(jié)果合起來(取并集)即可．(2)如果分段函數(shù)的圖象易得，也可以畫出函數(shù)圖象后結(jié)合圖象求解．【鞏固遷移】12．(多選)已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋2，x≤－1，,x2，－1<x<2，))則下列關(guān)于函數(shù)f(x)的結(jié)論正確的是()A．f(x)的值域為(－∞，4)B．f(1)＝3C．若f(x)＝3，則x的值是eq\r(3)D．f(x)<1的解集為(－1，1)答案AC解析當x≤－1時，f(x)的取值范圍是(－∞，1]，當－1<x<2時，f(x)的取值范圍是[0，4)，因此f(x)的值域為(－∞，4)，故A正確；f(1)＝1≠3，故B錯誤；當x≤－1時，由x＋2＝3，解得x＝1(舍去)，當－1<x<2時，由x2＝3，解得x＝eq\r(3)或x＝－eq\r(3)(舍去)，故C正確；當x≤－1時，由x＋2<1，解得x<－1，當－1<x<2時，由x2<1，解得－1<x<1，因此f(x)<1的解集為(－∞，－1)∪(－1，1)，故D錯誤．故選AC.課時作業(yè)一、單項選擇題1．若M＝{x|y＝eq\r(x2－1)}，N＝{y|y＝－x2}，則M∩N＝()A．(－∞，－1] B．[－1，0]C．(－∞，0] D．[0，1]答案A解析由題設(shè)得M＝{x|x≥1或x≤－1}，N＝{y|y≤0}，所以M∩N＝(－∞，－1]．故選A.2．下列各曲線表示的y與x之間的關(guān)系中，y不是x的函數(shù)的是()答案C解析根據(jù)函數(shù)意義：對任意x值，y都有唯一值與之對應(yīng)，只有C不滿足．故選C.3．函數(shù)f(x)＝eq\f(\r(3－x),lgx)的定義域是()A．(0，3) B．(0，1)∪(1，3)C．(0，3] D．(0，1)∪(1，3]答案D解析∵f(x)＝eq\f(\r(3－x),lgx)，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3－x≥0，,x>0，,lgx≠0，))解得0<x<1或1<x≤3，故函數(shù)的定義域為(0，1)∪(1，3]．故選D.4．下列各組函數(shù)中，表示同一個函數(shù)的是()A．f(x)＝elnx，g(x)＝xB．f(x)＝eq\f(x2－4,x＋2)，g(x)＝x－2C．f(x)＝eq\f(sin2x,2cosx)，g(x)＝sinxD．f(x)＝|x|，g(x)＝eq\r(x2)答案D解析對于A，f(x)的定義域是(0，＋∞)，g(x)的定義域是R，故不是同一個函數(shù)；對于B，f(x)的定義域是(－∞，－2)∪(－2，＋∞)，g(x)的定義域是R，故不是同一個函數(shù)；對于C，f(x)的定義域是eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(x≠\f(π,2)＋kπ，k∈Z))))，g(x)的定義域是R，故不是同一個函數(shù)；D中的函數(shù)是同一個函數(shù)．故選D.5．已知函數(shù)f(x)的定義域為[0，1]，值域為[1，2]，那么函數(shù)f(x＋2)的定義域和值域分別是()A．[0，1]，[1，2] B．[2，3]，[3，4]C．[－2，－1]，[1，2] D．[－1，2]，[3，4]答案C解析令x＋2∈[0，1]，得x∈[－2，－1]，即為函數(shù)y＝f(x＋2)的定義域，而將函數(shù)y＝f(x)的圖象向左平移2個單位長度即得y＝f(x＋2)的圖象，故其值域不變．故選C.6．已知函數(shù)f(x)＝eq\r(（m＋1）x2－（m＋1）x＋\f(3,4))的定義域為R，則實數(shù)m的取值范圍是()A．(－1，2) B．(－1，2]C．[－1，2] D．[－1，2)答案C解析由題意得(m＋1)x2－(m＋1)x＋eq\f(3,4)≥0在R上恒成立．當m＋1＝0，即m＝－1時，eq\f(3,4)≥0恒成立，符合題意；當m＋1≠0時，只需eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m＋1>0，,Δ＝（m＋1）2－3（m＋1）≤0，))解得－1<m≤2.綜上，實數(shù)m的取值范圍是[－1，2]．故選C.7．(2023·廣東深圳光明中學一模)已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))\s\up12(x)－1，x<0，,－log2（x＋1），x≥0，))若f(a)＝1，則f(a＋1)＝()A．－1 B．－eq\f(1,2)C．0 D．1答案C解析當a<0時，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(a)－1＝1，解得a＝－1；當a≥0時，－log2(a＋1)＝1，解得a＝－eq\f(1,2)(舍去)，故f(a＋1)＝f(0)＝－log21＝0.故選C.8．若函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x＋3，x≤0，,（x－2）2，0<x≤a))的定義域和值域的交集為空集，則正數(shù)a的取值范圍是()A．(0，1] B．(0，1)C．(1，4) D．(2，4)答案B解析因為f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x＋3，x≤0，,（x－2）2，0<x≤a，))所以f(x)的定義域為(－∞，a]，a>0，當x≤0時，f(x)∈(3，4]．要使定義域和值域的交集為空集，顯然0<a≤3，當0<x≤a時，f(x)＝(x－2)2，若a≥2，則f(2)＝0，此時顯然不滿足定義域和值域的交集為空集，若0<a<2，f(x)∈[(a－2)2，4)，則f(x)∈[(a－2)2，4)∪(3，4]，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a<（a－2）2，,0<a<2，))解得0<a<1，即a∈(0，1)．故選B.二、多項選擇題9．下列對應(yīng)關(guān)系f滿足函數(shù)定義的是()A．f(x2)＝|x| B．f(x2)＝xC．f(cosx)＝x D．f(ex)＝x答案AD解析對于A，令t＝x2(t≥0)，f(t)＝|±eq\r(t)|＝eq\r(t)，符合函數(shù)定義；對于B，令t＝x2(t≥0)，f(t)＝±eq\r(t)，設(shè)t＝4，f(t)＝±2，一個自變量對應(yīng)兩個函數(shù)值，不符合函數(shù)定義；對于C，設(shè)t＝cosx，當t＝eq\f(1,2)時，x可以取eq\f(π,3)，－eq\f(π,3)等無數(shù)多的值，不符合函數(shù)定義；對于D，令t＝ex(t>0)，f(t)＝lnt，符合函數(shù)定義．故選AD.10．若函數(shù)f(1－2x)＝eq\f(1－x2,x2)(x≠0)，則()A．feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝15B．f(2)＝－eq\f(3,4)C．f(x)＝eq\f(4,（x－1）2)－1(x≠0)D．feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))＝eq\f(4x2,（x－1）2)－1(x≠0且x≠1)答案AD解析令1－2x＝t(t≠1)，則x＝eq\f(1－t,2)，所以f(t)＝eq\f(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1－t,2)))\s\up12(2),\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1－t,2)))\s\up12(2))＝eq\f(4,（t－1）2)－1，即f(x)＝eq\f(4,（x－1）2)－1(x≠1)，故C錯誤；feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝15，故A正確；f(2)＝3，故B錯誤；feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))＝eq\f(4,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)－1))\s\up12(2))－1＝eq\f(4x2,（x－1）2)－1(x≠0且x≠1)，故D正確．故選AD.11．(2024·湖北十堰月考)函數(shù)D(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1，x∈Q，,0，x?Q))被稱為狄利克雷函數(shù)，則下列結(jié)論成立的是()A．函數(shù)D(x)的值域為[0，1]B．若D(x0)＝1，則D(x0＋1)＝1C．若D(x1)－D(x2)＝0，則x1－x2∈QD．?x∈R，D(x＋eq\r(2))＝1答案BD解析函數(shù)D(x)的值域為{0，1}，A錯誤；若D(x0)＝1，則x0∈Q，x0＋1∈Q，則D(x0＋1)＝1，B正確；D(2π)－D(π)＝0－0＝0，但2π－π＝π?Q，C錯誤；當x＝－eq\r(2)時，D(x＋eq\r(2))＝D(－eq\r(2)＋eq\r(2))＝D(0)＝1，則?x∈R，D(x＋eq\r(2))＝1，D正確．故選BD.三、填空題12．(2023·湖北黃岡高三聯(lián)考)若函數(shù)f(x)的定義域為[－2，2]，則函數(shù)y＝f(2x)ln(x＋1)的定義域為________．答案(－1，1]解析由題意可得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－2≤2x≤2，,x＋1>0，))解得－1<x≤1，即函數(shù)y＝f(2x)ln(x＋1)的定義域為(－1，1]．13．已知函數(shù)f(x)滿足feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))＋eq\f(1,x)f(－x)＝2x(x≠0)，則f(－2)＝________．答案eq\f(7,2)解析令x＝2，可得feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＋eq\f(1,2)f(－2)＝4，令x＝－eq\f(1,2)，可得f(－2)－2feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝－1，解得f(－2)＝eq\f(7,2).14．(2023·湖南湘潭高三模擬)已知a>0，且a≠1，函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(loga（2x2＋1），x≥0，,ax，x<0，))若f(f(－1))＝2，則a＝________，f(x)≤4的解集為________．答案eq\r(2)eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，\f(\r(6),2)))解析由題可知，f(f(－1))＝f(a－1)＝loga(2a－2＋1)＝2，則a2＝2a－2＋1，即a4－a2－2＝0，解得a2＝2，故a＝eq\r(2).當x≥0時，由f(x)＝logeq\r(2)(2x2＋1)≤4，解得0≤x≤eq\f(\r(6),2)，當x<0時，f(x)＝(eq\r(2))x≤4恒成立．故不等式f(x)≤4的解集為eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，\f(\r(6),2))).15．(2024·安徽合肥八中高三質(zhì)檢)已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2－a，x≥0，,0，x＜0，))則滿足f(a)＞feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(a,3)＋\f(1,6)))的a的取值范圍是()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,8)，＋∞))B．(－∞，－1]∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,8)，\f(1,2)))C.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,8)，\f(1,2)))D.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,8)，\f(1,2)))∪(1，＋∞)答案D解析當a＜0時，f(a)＝0，－eq\f(a,3)＋eq\f(1,6)＞eq\f(1,6)，則feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(a,3)＋\f(1,6)))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(a,3)＋\f(1,6)))eq\s\up12(2)－a＝eq\f(a2,9)－eq\f(10,9)a＋eq\f(1,36)＝eq\f(1,9)(a－5)2－eq\f(11,4)＞eq\f(1,36)，故f(a)＞feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(a,3)＋\f(1,6)))無解；當a＝0時，f(a)＝f(0)＝0，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(a,3)＋\f(1,6)))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,6)))＝eq\f(1,36)，故f(a)＞feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(a,3)＋\f(1,6)))無解；當a＞0時，要使f(a)＞feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(a,3)＋\f(1,6)))，則有兩種情況：第一種情況，－eq\f(a,3)＋eq\f(1,6)≥0，即0＜a≤eq\f(1,2)時，由于函數(shù)y＝x2－a在[0，＋∞)上單調(diào)遞增，則eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(0＜a≤\f(1,2)，,a＞－\f(a,3)＋\f(1,6)，))解得eq\f(1,8)＜a≤eq\f(1,2)；第二種情況，－eq\f(a,3)＋eq\f(1,6)＜0，即a＞eq\f(1,2)時，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(a,3)＋\f(1,6)))＝0，則eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＞\f(1,2)，,f（a）＝a2－a＞0，))解得a＞1.綜上所述，a的取值范圍是eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,8)，\f(1,2)))∪(1，＋∞)．故選D.16．(多選)設(shè)函數(shù)f(x)的定義域為D，?x∈D，?y∈D，使得f(y)＝－f(x)成立，則稱f(x)為“美麗函數(shù)”．下列所給出的函數(shù)中，是“美麗函數(shù)”的是()A．f(x)＝x2B．f(x)＝eq\f(1,x－1)C．f(x)＝ln(2x＋3)D．f(x)＝2x＋3答案BCD解析函數(shù)f(x)的定義域為D，?x∈D，?y∈D，使得f(y)＝－f(x)成立，所以函數(shù)f(x)的值域關(guān)于原點對稱．對于A，函數(shù)f(x)＝x2的值域為[0，＋∞)，不關(guān)于原點對稱，不符合題意；對于B，函數(shù)f(x)＝eq\f(1,x－1)的值域為(－∞，0)∪(0，＋∞)，關(guān)于原點對稱，符合題意；對于C，函數(shù)f(x)＝ln(2x＋3)的值域為R，關(guān)于原點對稱，符合題意；對于D，函數(shù)f(x)＝2x＋3的值域為R，關(guān)于原點對稱，符合題意．故選BCD.17．(多選)(2024·江蘇南京模擬)已知函數(shù)f(x)滿足f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，x，y∈R，則()A．f(0)＝0B．f(k)＝kf(1)(k∈Z)C．f(x)＝kfeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,k)))(k≠0)D．f(－x)f(x)＜0答案ABC解析對于A，f(0)＝f(0＋0)＝f(0)＋f(0)＝2f(0)，則f(0)＝0，故A正確；對于B，f(k)＝f(k－1)＋f(1)＝f(k－2)＋f(1)＋f(1)＝…＝f(1)＋f(1)＋…＋f(1)＝kf(1)(k∈Z)，故B正確；對于C，f(x)＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(k－1,k)·x＋\f(x,k)))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(k－1,k)·x))＋feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,k)))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(k－2,k)·x))＋feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,k)))＋feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,k)))＝…＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,k)))＋feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,k)))＋…＋feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,k)))＝kfeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,k)))(k≠0)，故C正確；對于D，f(x－x)＝f(x＋(－x))＝f(x)＋f(－x)＝f(0)＝0，f(x)＝－f(－x)，f(x)f(－x)＝－[f(x)]2≤0，故D錯誤．故選ABC.18．設(shè)f(x)是定義在R上的函數(shù)，且f(x＋2)＝eq\r(2)f(x)，f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x＋a，－1＜x＜0，,be2x，0≤x≤1，))其中a，b為正實數(shù)，e為自然對數(shù)的底數(shù)，若feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(9,2)))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))，則eq\f(a,b)的取值范圍為________．答案(eq\r(2)e，＋∞)解析因為f(x＋2)＝eq\r(2)f(x)，所以feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(9,2)))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)＋4))＝(eq\r(2))2feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝2eb，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)＋2))＝eq\r(2)feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＝eq\r(2)×eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＋a))＝eq\r(2)(a－1)，因為feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(9,2)))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))，所以eq\r(2)(a－1)＝2eb，所以a＝eq\r(2)eb＋1，因為b為正實數(shù)，所以eq\f(a,b)＝eq\f(\r(2)eb＋1,b)＝eq\r(2)e＋eq\f(1,b)∈(eq\r(2)e，＋∞)．故eq\f(a,b)的取值范圍為(eq\r(2)e，＋∞)．第二節(jié)函數(shù)的單調(diào)性與最值課標解讀考向預(yù)測1.借助函數(shù)圖象，會用符號語言表達函數(shù)的單調(diào)性、最大值、最小值，理解它們的作用和實際意義.2.理解函數(shù)單調(diào)性的概念，能運用函數(shù)圖象理解和研究函數(shù)的單調(diào)性.3.會用函數(shù)單調(diào)性的定義判斷(或證明)一些函數(shù)的單調(diào)性.4.會求一些具體函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.以基本初等函數(shù)為載體，考查函數(shù)的單調(diào)性、單調(diào)區(qū)間及函數(shù)最值的確定與應(yīng)用；強化對函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想、分類討論思想的考查，題型既有選擇題、填空題，又有解答題．預(yù)計2025年高考仍會考查函數(shù)的單調(diào)性、單調(diào)區(qū)間及函數(shù)最值的確定與應(yīng)用；題型既有選擇題、填空題，又有解答題，難度中檔偏上.必備知識——強基礎(chǔ)1．(1)單調(diào)函數(shù)的定義增函數(shù)減函數(shù)定義一般地，設(shè)函數(shù)f(x)的定義域為D，區(qū)間I?D，如果?x1，x2∈I當x1<x2時，都有eq\x(\s\up1(01))f(x1)<f(x2)，那么就稱函數(shù)f(x)在區(qū)間I上單調(diào)遞增當x1<x2時，都有eq\x(\s\up1(02))f(x1)>f(x2)，那么就稱函數(shù)f(x)在區(qū)間I上單調(diào)遞減圖象描述自左向右看圖象是上升的自左向右看圖象是下降的(2)單調(diào)區(qū)間的定義如果函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間I上eq\x(\s\up1(03))單調(diào)遞增或eq\x(\s\up1(04))單調(diào)遞減，那么就說函數(shù)y＝f(x)在這一區(qū)間具有(嚴格的)單調(diào)性，區(qū)間I叫做y＝f(x)的單調(diào)區(qū)間．2．函數(shù)的最值前提設(shè)函數(shù)y＝f(x)的定義域為D，如果存在實數(shù)M滿足條件(1)?x∈D，都有eq\x(\s\up1(05))f(x)≤M；(2)?x0∈D，使得eq\x(\s\up1(06))f(x0)＝M(1)?x∈D，都有eq\x(\s\up1(07))f(x)≥M；(2)?x0∈D，使得eq\x(\s\up1(08))f(x0)＝M結(jié)論M為最大值M為最小值1．函數(shù)單調(diào)性的兩個等價結(jié)論設(shè)函數(shù)f(x)的定義域為D，區(qū)間I?D，則?x1，x2∈I(x1≠x2)，(1)eq\f(f（x1）－f（x2）,x1－x2)>0(或(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0)?f(x)在I上單調(diào)遞增；(2)eq\f(f（x1）－f（x2）,x1－x2)<0(或(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]<0)?f(x)在I上單調(diào)遞減．2．若函數(shù)f(x)，g(x)在區(qū)間I上具有單調(diào)性，則在區(qū)間I上具有以下性質(zhì)：(1)當f(x)，g(x)都是增(減)函數(shù)時，f(x)＋g(x)是增(減)函數(shù)；(2)復(fù)合函數(shù)y＝f(g(x))的單調(diào)性與y＝f(u)和u＝g(x)的單調(diào)性有關(guān)．簡記：“同增異減”．3．函數(shù)最值存在的兩個結(jié)論(1)閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)一定存在最大值和最小值．當函數(shù)在閉區(qū)間上單調(diào)時，最值一定在端點取到；(2)開區(qū)間上的“單峰”函數(shù)一定存在最大(小)值．1．概念辨析(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)若函數(shù)f(x)在[1，＋∞)上單調(diào)遞增，則函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是[1，＋∞)．()(2)因為y＝x與y＝ex都是增函數(shù)，所以y＝xex在定義域內(nèi)為增函數(shù)．()(3)若函數(shù)f(x)在區(qū)間(1，2]和(2，3)上均為增函數(shù)，則函數(shù)f(x)在區(qū)間(1，3)上為增函數(shù)．()答案(1)×(2)×(3)×2．小題熱身(1)(多選)(人教A必修第一冊習題3.2T3改編)下列函數(shù)中，在區(qū)間(0，＋∞)上單調(diào)遞減的是()A．y＝eq\f(1,x)－x B．y＝x2－xC．y＝－x2－2x D．y＝ex答案AC(2)(人教A必修第一冊3.2.1P81練習T2改編)已知函數(shù)f(x)為定義在區(qū)間[－1，1]上的增函數(shù)，則滿足f(x)<feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))的實數(shù)x的取值范圍為()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(1,2))) B.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，\f(1,2)))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，\f(1,2))) D．(－1，1]答案B解析由題意，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－1≤x≤1，,x<\f(1,2)，))解得－1≤x<eq\f(1,2).故選B.(3)(人教A必修第一冊3.2.1例5改編)已知函數(shù)f(x)＝eq\f(2,x－1)(x∈[2，6])，則函數(shù)f(x)的最大值為________，最小值為________．答案2eq\f(2,5)(4)函數(shù)f(x)＝lg(9－x2)的定義域為________，其單調(diào)遞增區(qū)間為________．答案(－3，3)(－3，0]解析對于函數(shù)f(x)＝lg(9－x2)，令t＝9－x2＞0，解得－3＜x＜3，故函數(shù)f(x)的定義域為(－3，3)．令g(x)＝9－x2，則函數(shù)f(x)＝lg(g(x))，又函數(shù)g(x)在定義域內(nèi)的單調(diào)遞增區(qū)間為(－3，0]，所以函數(shù)f(x)＝lg(9－x2)在定義域內(nèi)的單調(diào)遞增區(qū)間為(－3，0]．考點探究——提素養(yǎng)考點一函數(shù)的單調(diào)性、單調(diào)區(qū)間(多考向探究)考向1判斷或證明函數(shù)的單調(diào)性例1(1)(多選)(2023·河北石家莊模擬)下列函數(shù)在(－∞，0)上單調(diào)遞減的是()A．y＝tanx B．y＝ln(－x)C．y＝eq\f(1,2x) D．y＝－eq\f(1,x)答案BC解析函數(shù)y＝tanx在(－∞，0)上不單調(diào)，故A不滿足題意；由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可知函數(shù)y＝ln(－x)在(－∞，0)上單調(diào)遞減，故B滿足題意；函數(shù)y＝eq\f(1,2x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(x)在(－∞，0)上單調(diào)遞減，故C滿足題意；函數(shù)y＝－eq\f(1,x)在(－∞，0)上單調(diào)遞增，故D不滿足題意．故選BC.(2)判斷函數(shù)f(x)＝eq\f(x,x2＋1)在(－1，1)上的單調(diào)性，并用定義證明．解函數(shù)f(x)在(－1，1)上是增函數(shù)．證明如下：任取x1，x2∈(－1，1)且x1<x2，則f(x1)－f(x2)＝eq\f(x1,xeq\o\al(2,1)＋1)－eq\f(x2,xeq\o\al(2,2)＋1)＝eq\f(x1xeq\o\al(2,2)＋x1－xeq\o\al(2,1)x2－x2,（xeq\o\al(2,1)＋1）（xeq\o\al(2,2)＋1）)＝eq\f(x1x2（x2－x1）＋（x1－x2）,（xeq\o\al(2,1)＋1）（xeq\o\al(2,2)＋1）)＝eq\f(（x1－x2）（1－x1x2）,（xeq\o\al(2,1)＋1）（xeq\o\al(2,2)＋1）)，因為－1<x1<x2<1，所以x1－x2<0，－1<x1x2<1，1－x1x2＞0，所以f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)<f(x2)．所以函數(shù)f(x)在(－1，1)上是增函數(shù)．【通性通法】利用定義證明或判斷函數(shù)單調(diào)性的步驟(1)取值：設(shè)x1，x2是該區(qū)間內(nèi)的任意兩個值，且x1<x2.(2)作差變形：作差f(x1)－f(x2)，并通過因式分解、通分、配方、有理化等手段，轉(zhuǎn)化為易判斷正負的式子．(3)定號：確定f(x1)－f(x2)的符號．(4)結(jié)論：根據(jù)f(x1)－f(x2)的符號及定義判斷單調(diào)性．提醒：作差變形是證明單調(diào)性的關(guān)鍵，且變形的結(jié)果一般寫成幾個因式乘積的形式．【鞏固遷移】1．(多選)下列函數(shù)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增的是()A．y＝3x－3－x B．y＝|x2－2x|C．y＝x＋eq\f(1,x－1) D．y＝eq\r(x2＋x－2)答案AC解析∵y＝3x與y＝－3－x為R上的增函數(shù)，∴y＝3x－3－x為R上的增函數(shù)，故A滿足題意；由y＝|x2－2x|的圖象知，B不滿足題意；對于C，∵y＝x＋eq\f(1,x－1)＝x－1＋eq\f(1,x－1)＋1，∴由對勾函數(shù)的性質(zhì)知，y＝x＋eq\f(1,x－1)在(0，＋∞)上為增函數(shù)，故C滿足題意；y＝eq\r(x2＋x－2)的定義域為(－∞，－2]∪[1，＋∞)，D不滿足題意．故選AC.2．(2024·廣東揭陽高三摸底)用定義證明函數(shù)f(x)＝ex＋eq\f(1,ex)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增．證明設(shè)0<x1<x2，則f(x1)－f(x2)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ex1＋\f(1,ex1)))－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ex2＋\f(1,ex2)))＝(ex1－ex2)＋eq\f(ex2－ex1,ex1ex2)＝(ex1－ex2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,ex1ex2)))＝eq\f(（ex1－ex2）（ex1＋x2－1）,ex1＋x2)<0，∴f(x1)<f(x2)，∴函數(shù)f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增．考向2求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間例2(1)(2023·四川資陽期末)函數(shù)f(x)＝eq\r(x)－x的單調(diào)遞增區(qū)間為()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,4))) B．(0，1)C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，＋∞)) D．(1，＋∞)答案A解析令t＝eq\r(x)，顯然t＝eq\r(x)在[0，＋∞)上單調(diào)遞增．又y＝t－t2＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t－\f(1,2)))eq\s\up12(2)＋eq\f(1,4)在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))上單調(diào)遞增，由0≤eq\r(x)≤eq\f(1,2)得0≤x≤eq\f(1,4)，所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,4)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(也可寫為\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,4))))).故選A.(2)設(shè)函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1，x>0，,0，x＝0，,－1，x<0，))g(x)＝x2f(x－1)，則函數(shù)g(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是________．答案[0，1)解析由題意知g(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2，x>1，,0，x＝1，,－x2，x<1，))該函數(shù)圖象如圖所示，其單調(diào)遞減區(qū)間是[0，1)．【通性通法】(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，應(yīng)先求定義域，在定義域內(nèi)求單調(diào)區(qū)間，常用方法：①定義法；②導數(shù)法；③圖象法；④性質(zhì)法．(2)求復(fù)合函數(shù)y＝f(g(x))的單調(diào)區(qū)間，一要注意先確定函數(shù)的定義域，二要利用外層函數(shù)y＝f(t)和內(nèi)層函數(shù)t＝g(x)的單調(diào)性判斷，判斷的依據(jù)是“同增異減”．注意：單調(diào)區(qū)間只能用區(qū)間表示，不能用不等式或集合表示，當函數(shù)有多個不連續(xù)的單調(diào)區(qū)間時，不能用符號“∪”連接，只能用“逗號”或“和”連接．【鞏固遷移】3．設(shè)函數(shù)f(x)＝－x2＋2x＋8，g(x)＝logax(0<a<1)，則函數(shù)y＝g(f(x))的單調(diào)遞減區(qū)間為()A．(－∞，1) B．(－2，1)C．(1，＋∞) D．(1，4)答案B解析g(f(x))＝loga(－x2＋2x＋8)，由－x2＋2x＋8>0得－2<x<4，即函數(shù)y＝g(f(x))的定義域為(－2，4)，顯然函數(shù)f(x)在(－2，1)上單調(diào)遞增，在(1，4)上單調(diào)遞減，而g(x)＝logax(0<a<1)在(0，＋∞)上單調(diào)遞減，因此函數(shù)y＝g(f(x))在(－2，1)上單調(diào)遞減，在(1，4)上單調(diào)遞增，所以函數(shù)y＝g(f(x))的單調(diào)遞減區(qū)間為(－2，1)．故選B.4．(2024·福建廈門外國語學校高三月考)已知函數(shù)f(x)＝－x|x|＋2x，則函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為________．答案[－1，1]解析因為函數(shù)f(x)＝－x|x|＋2x＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－x2＋2x，x≥0，,x2＋2x，x<0，))作出函數(shù)f(x)的圖象，如圖所示．由圖可知，函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為[－1，1]．考點二函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用(多考向探究)考向1利用函數(shù)的單調(diào)性比較大小例3(2023·重慶模擬)設(shè)函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－2x＋2－x，x>0，,－x3，x≤0，))若a＝ln2，b＝30.2，c＝log0.32，則()A．f(a)>f(b)>f(c) B．f(b)>f(a)>f(c)C．f(a)>f(c)>f(b) D．f(c)>f(a)>f(b)答案D解析顯然f(x)在R上單調(diào)遞減，又因為30.2>30＝1，即b>1，0＝ln1<ln2<lne＝1，即0<a<1，log0.32<log0.31＝0，即c<0，所以b>a>c，所以f(b)<f(a)<f(c)．故選D.【通性通法】比較函數(shù)值的大小時，若自變量的值不在同一個單調(diào)區(qū)間內(nèi)，要利用函數(shù)的性質(zhì)，轉(zhuǎn)化到同一個單調(diào)區(qū)間內(nèi)進行比較．【鞏固遷移】5．已知函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x＝1對稱，當x2>x1>1時，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)<0恒成立，設(shè)a＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))，b＝f(2)，c＝f(e)，則a，b，c的大小關(guān)系為()A．c>a>b B．c>b>aC．a(chǎn)>c>b D．b>a>c答案D解析因為f(x)的圖象關(guān)于直線x＝1對稱，所以feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2))).當x2>x1>1時，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)<0恒成立，所以f(x)在(1，＋∞)上單調(diào)遞減，因為1<2<eq\f(5,2)<e，所以f(2)>feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)))>f(e)，即b>a>c.故選D.考向2利用函數(shù)的單調(diào)性解不等式例4已知函數(shù)f(x)為定義在R上的函數(shù)，對任意的x∈R，均有f(x＋2)＝f(2－x)，且f(x)在[2，＋∞)上單調(diào)遞減，若f(－1)＝0，則不等式f(x－1)≥0的解集為()A．[－2，4] B．[0，6]C．[2，4] D．[－4，6]答案B解析由函數(shù)f(x)對任意的x∈R，均有f(x＋2)＝f(2－x)，可得函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x＝2對稱，又f(x)在[2，＋∞)上單調(diào)遞減，所以f(x)在(－∞，2)上單調(diào)遞增，因為f(－1)＝0，所以f(5)＝f(－1)＝0，則不等式f(x－1)≥0，即－1≤x－1≤5，解得0≤x≤6，所以不等式f(x－1)≥0的解集為[0，6]．故選B.【通性通法】根據(jù)題目條件，確定函數(shù)的單調(diào)性，利用函數(shù)的單調(diào)性將“f”符號脫掉，轉(zhuǎn)化為具體的不等式求解，應(yīng)注意函數(shù)的定義域．【鞏固遷移】6．(2024·江蘇泰州摸底)設(shè)定義在R上的函數(shù)f(x)滿足：當x1<x2時，總有2x1f(x2)<2x2f(x1)，且f(1)＝2，則不等式f(x)>2x的解集為()A．(－∞，1) B．(1，＋∞)C．(－1，1) D．(－∞，1)∪(1，＋∞)答案A解析由2x1f(x2)<2x2f(x1)，得eq\f(f（x2）,2x2)<eq\f(f（x1）,2x1)，令g(x)＝eq\f(f（x）,2x)，可知當x1<x2時，g(x2)<g(x1)，所以g(x)在定義域R上單調(diào)遞減，又f(x)>2x?eq\f(f（x）,2x)>1＝eq\f(f（1）,21)，即g(x)>g(1)，所以由單調(diào)性解得x<1.故選A.考向3利用函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍例5(2023·江蘇鎮(zhèn)江期中)若函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－x2＋ax，x<1，,（6－a）x－a，x≥1))滿足對任意實數(shù)x1≠x2，都有eq\f(f（x1）－f（x2）,x1－x2)>0成立，則實數(shù)a的取值范圍是()A．(－∞，2] B．(1，2)C．[2，6) D.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2，\f(7,3)))答案D解析根據(jù)題意知f(x)是R上的增函數(shù)，則eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－\f(a,2×（－1）)≥1，,6－a>0，,－12＋a≤6－a－a，))解得2≤a≤eq\f(7,3).故選D.【通性通法】利用單調(diào)性求參數(shù)的范圍(或值)的策略【鞏固遷移】7．若函數(shù)f(x)＝－x2＋4ax在[1，3]上不單調(diào)，則實數(shù)a的取值范圍是________．答案eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(3,2)))解析因為函數(shù)f(x)在[1，3]上不單調(diào)，所以1<2a<3，得eq\f(1,2)<a<eq\f(3,2).8．設(shè)函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－x2＋4x，x≤4，,log2x，x>4.))若函數(shù)f(x)在區(qū)間(a，a＋1)上單調(diào)遞增，則實數(shù)a的取值范圍是________．答案(－∞，1]∪[4，＋∞)解析函數(shù)f(x)的圖象如圖所示，由圖象可知，若f(x)在(a，a＋1)上單調(diào)遞增，則a≥4或a＋1≤2，即a≤1或a≥4.考點三函數(shù)的最值、值域問題例6(1)當－3≤x≤－1時，函數(shù)y＝eq\f(5x－1,4x＋2)的最小值為()A.eq\f(6,5) B.eq\f(8,5)C．2 D．3答案B解析由y＝eq\f(5x－1,4x＋2)，可得y＝eq\f(5,4)－eq\f(7,4（2x＋1）)，因為－3≤x≤－1，所以eq\f(7,20)≤－eq\f(7,4（2x＋1）)≤eq\f(7,4)，即eq\f(8,5)≤y≤3.所以所求函數(shù)的最小值為eq\f(8,5).故選B.(2)函數(shù)f(x)＝x＋eq\r(3－2x)的值域是()A．[0，＋∞) B．[1，＋∞)C．(－∞，2] D．(－∞，1]答案C解析令eq\r(3－2x)＝t≥0，則x＝eq\f(3－t2,2)，原函數(shù)即為g(t)＝－eq\f(1,2)t2＋t＋eq\f(3,2)(t≥0)，可知g(t)max＝g(1)＝－eq\f(1,2)×12＋1＋eq\f(3,2)＝2，所以函數(shù)f(x)的值域為(－∞，2]．故選C.(3)已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(ex－1，x≤1，,\f(1,x)－x＋1，x>1，))則f(x)的最大值為________．答案1解析當x∈(－∞，1]時，f(x)＝ex－1單調(diào)遞增，f(x)≤f(1)＝e1－1＝1；當x∈(1，＋∞)時，f(x)＝eq\f(1,x)－x＋1單調(diào)遞減，f(x)<eq\f(1,1)－1＋1＝1.所以f(x)的最大值為1.【通性通法】求函數(shù)最值(或值域)的幾種常用方法及其思路(1)單調(diào)性法：先確定函數(shù)的單調(diào)性，再由單調(diào)性求最值(或值域)．(2)圖象法：先作出函數(shù)的圖象，再觀察其最高點、最低點，得出最值(或值域)．(3)換元法：對比較復(fù)雜的函數(shù)可通過換元轉(zhuǎn)化為熟悉的函數(shù)，再用相應(yīng)的方法求最值(或值域)．(4)分離常數(shù)法：求形如y＝eq\f(cx＋d,ax＋b)(ac≠0)的函數(shù)的最值(或值域)常用分離常數(shù)法求解．(5)基本不等式法：先對解析式變形，使之具備“一正二定三相等”的條件后用基本不等式求出最值(或值域)．(6)導數(shù)法：先利用導數(shù)求出函數(shù)的極大值和極小值，再確定函數(shù)的最值(或值域)．【鞏固遷移】9．(2023·山東煙臺高三專題檢測)已知f(x)＝3－2|x|，g(x)＝x2－2x，若F(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(g（x），f（x）≥g（x），,f（x），f（x）<g（x），))則F(x)的最值情況是()A．最大值為3，最小值為－1B．最大值為7－2eq\r(7)，無最小值C．最大值為3，無最小值D．無最大值，最小值為－1答案B解析根據(jù)已知條件，可以求出F(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3＋2x，x<2－\r(7)，,x2－2x，2－\r(7)≤x≤\r(3)，,3－2x，x>\r(3)，))如圖所示，F(xiàn)(x)在A處取得最大值，沒有最小值．由F(x)的解析式，得xA＝2－eq\r(7)，所以yA＝7－2eq\r(7).所以F(x)有最大值7－2eq\r(7)，無最小值．故選B.10．函數(shù)y＝eq\f(\r(x2＋4),x2＋5)的最大值為________．答案eq\f(2,5)解析令eq\r(x2＋4)＝t，則t≥2，∴x2＝t2－4，∴y＝eq\f(t,t2＋1)＝eq\f(1,t＋\f(1,t))，設(shè)h(t)＝t＋eq\f(1,t)，則h(t)在[2，＋∞)上為增函數(shù)，∴h(t)min＝h(2)＝eq\f(5,2)，∴y≤eq\f(1,\f(5,2))＝eq\f(2,5)(當x＝0時取等號)，即y的最大值為eq\f(2,5).11．函數(shù)y＝eq\r(x－3)＋eq\r(5－x)的值域為________．答案[eq\r(2)，2]解析由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－3≥0，,5－x≥0，))得3≤x≤5，則y2＝2＋2eq\r(（x－3）（5－x）)＝2＋2eq\r(－（x－4）2＋1)，3≤x≤5，又－(x－4)2＋1∈[0，1]，則2eq\r(－（x－4）2＋1)∈[0，2]，∴2≤y2≤4，又y≥0，∴eq\r(2)≤y≤2，故函數(shù)的值域為[eq\r(2)，2]．課時作業(yè)一、單項選擇題1．已知函數(shù)f(x)在(－∞，＋∞)上單調(diào)遞增，則不等式f(3x－1)>f(x＋5)的解集為()A．(－∞，3) B．(3，＋∞)C．(－∞，2) D．(2，＋∞)答案B解析原不等式等價于3x－1>x＋5，解得x>3.故選B.2．函數(shù)y＝eq\f(2x＋1＋3,2x＋1)的值域為()A．(0，2) B．[2，＋∞)C．(2，3) D．[1，2]答案C解析因為y＝eq\f(2x＋1＋3,2x＋1)＝2＋eq\f(1,2x＋1)，又0<eq\f(1,2x＋1)<1，所以2<y<3.故選C.3．已知函數(shù)f(x)的圖象如圖所示，則函數(shù)g(x)＝logeq\s\up-7(\f(1,2))f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為()A．(－∞，－3]，[0，3] B．[－3，0]，[3，＋∞)C．(－∞，－5)，[0，1) D．(－1，0]，(5，＋∞)答案C解析因為y＝logeq\s\up-7(\f(1,2))x在(0，＋∞)上為減函數(shù)，所以只求y＝f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間，且f(x)>0.由題圖可知，使得函數(shù)y＝f(x)單調(diào)遞減且滿足f(x)>0的x的取值范圍是(－∞，－5)∪[0，1)，因此函數(shù)g(x)＝logeq\s\up-7(\f(1,2))f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(－∞，－5)，[0，1)．故選C.4．(2023·北京高考)下列函數(shù)中，在區(qū)間(0，＋∞)上單調(diào)遞增的是()A．f(x)＝－lnx B．f(x)＝eq\f(1,2x)C．f(x)＝－eq\f(1,x) D．f(x)＝3|x－1|答案C解析對于A，因為y＝lnx在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，y＝－x在(0，＋∞)上單調(diào)遞減，所以f(x)＝－lnx在(0，＋∞)上單調(diào)遞減，故A不符合題意；對于B，因為y＝2x在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，y＝eq\f(1,x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞減，所以f(x)＝eq\f(1,2x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞減，故B不符合題意；對于C，因為y＝eq\f(1,x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞減，y＝－x在(0，＋∞)上單調(diào)遞減，所以f(x)＝－eq\f(1,x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，故C符合題意；對于D，因為feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝3|eq\s\up