數(shù)學(xué)學(xué)案：課堂導(dǎo)學(xué)反證法

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精課堂導(dǎo)學(xué)三點剖析一，熟悉反證法證明不等式的步驟【例1】設(shè)f（x)、g(x）是定義在[0,1］上的函數(shù)，求證:存在x0、y0∈［0,1］，使|x0y0-f(x0)-g(y0）|≥。證明:用反證法。假設(shè)對［0，1］內(nèi)的任意實數(shù)x，y均有|xy-f(x)-g(y)|〈,考慮對x,y在［0,1]內(nèi)取特殊值:(1)取x=0,y=0時，有｜0×0—f（0)—g（0)|<，∴|f（0）+g(0)｜〈；(2)取x=1,y=0時，有|1×0-f(1）-g（0）｜〈，∴|f（1）+g（0)|<；(3）取x=0，y=1時，有|0×1-f(0）-g(1)｜<，∴|f（0）+g（1)|<;（4)取x=1,y=1時，有｜1×1-f(1）-g(1）|<,∴|1—f(1）—g（1）|<?！?=1-f(1）-g（1）+f（0)+g（1)+f（1)+g(0）—f（0）-g(0）,∴1≤｜1—f(1)-g（1）｜+|f（0)+g(1）｜+｜f(1）+g(0)｜+|f（0）+g(0)|<+++=1?！?〈1，矛盾，說明假設(shè)不能成立.故要證結(jié)論成立。各個擊破類題演練1求證：如果a〉b>0，那么(n∈N且n〉1)。證明:假設(shè)不大于有兩種情況:或者.由推論2和定理1，當(dāng)時，有a〈b；當(dāng)時，有a=b，這些都與已知a>b>0矛盾，所以.變式提升1求證：如果a>b〉0,那么〈.證明:假設(shè)≥,則-=≥0?！遖>b〉0,∴a2b2〉0?！郻2-a2=（b+a)(b—a)≥0.∵a>b〉0，∴b+a〉0?！郻-a≥0,即b≥a.這與已知a〉b矛盾.∴假設(shè)不成立，原結(jié)論〈成立。二、什么時候用反證法證明不等式【例2】設(shè)0<a、b、c<1,求證：(1-a)b，(1—b）c,(1-c)a三個數(shù)不可能同時大于。思路分析:此命題為否定式，直接證明比較困難，可以考慮反證法.假設(shè)命題不成立，則三個數(shù)都大于，然后從這個結(jié)論出發(fā)，推出與題設(shè)矛盾的結(jié)果來。證明:假設(shè)（1—a)b，（1—b)c,（1-c)a三個數(shù)都大于，即（1—a)b〉,（1—b）c>,（1-c)a〉.以上三式相乘得(1-a）b5（1—b）c5（1-c）a>，亦即（1—a）a5（1-b)b5(1-c)c>。①又∵0〈a<1,∴0〈(1-a）a≤［］2=。同理,0〈(1-b）b≤,0〈(1-c)c≤。以上三式相乘得（1—a）a·(1-b）b·(1-c)c≤,與①矛盾?！嗉僭O(shè)不成立，故命題獲證。類題演練2已知x〉0,y〉0,且x+y>2,求證：與中至少有一個小于2。證明：假設(shè)、都不小于2,則≥2，≥2.∵x>0,y〉0,∴1+y≥2x，1+x≥2y,2+x+y≥2(x+y）.∴x+y≤2，這與已知x+y>2矛盾。故假設(shè)不成立，原題得證.變式提升2設(shè)a,b，c均為正數(shù)且a+b+c=1，求證：a2+b2+c2≥.證明：∵ab≤，bc≤，ca≤,三式相加得ab+bc+ca≤a2+b2+c2.假設(shè)a2+b2+c2〈,由1=a+b+c，∴1=（a+b+c）2=a2+b2+c2+2（ab+bc+ca）≤a2+b2+c2+2（a2+b2+c2)=3(a2+b2+c2）〈3×=1，即1〈1，顯然不成立.三、體會反證法證明不等式的優(yōu)越性【例3】若△ABC三邊a,b，c的倒數(shù)成等差數(shù)列，則∠B〈.證明:假設(shè)∠B≥，則b邊最大，有b>a,b〉c?！唷?，>。兩式相加得+〉,這與題設(shè)+=相矛盾。因此,假設(shè)是錯誤的，∴∠B<。溫馨提示證明過程就那么簡單，推出矛盾也這般容易！用反證法證明不等式思路清清爽爽，有化難為易的功效。類題演練3若|a｜<1，｜b|<1,求證:||<1.證明：假設(shè)|｜≥1，則｜a+b|≥|1+ab｜.∴a2+b2+2ab≥1+2ab+a2b2?！郺2+b2-a2b2-1≥0?！郺2-1—b2（a2-1）≥0?！啵╝2—1)（1-b2）≥0。∴即a2≥1,b2≤1或a2≤1,b2≥1，與已知矛盾.∴｜|<1.變式提升3已知f(x）=x2+px+q,求證：|f(1)|，|f（2)|，｜f（3)|中至少有一個不小于.證明：用反證法。假設(shè)｜f（1)|，|f（2)｜,|f（3）|都小于,則｜f（1)|+2|f(2）｜+｜f(3)|<2,而|f（1）|+2｜f(2)