數(shù)學(xué)學(xué)案：課堂導(dǎo)學(xué)絕對(duì)值三角不等式

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專(zhuān)精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專(zhuān)精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專(zhuān)精課堂導(dǎo)學(xué)三點(diǎn)剖析一、利用絕對(duì)值三角不等式證明不等式【例1】已知|x-a｜〈，0〈|y-b｜〈，y∈（0，M)，求證:|xy-ab|<ε。思路分析:由于題設(shè)和結(jié)論相差很遠(yuǎn)，為了能整體運(yùn)用上條件,應(yīng)先對(duì)結(jié)論式的左端進(jìn)行配湊.證明：｜xy-ab｜=|xy—ya+ya-ab|=｜y(x—a)+a(y-b）｜≤｜y||x—a｜+｜a|｜y—b|〈M·+｜a｜·=ε。溫馨提示先“配湊”再利用絕對(duì)值三角不等式進(jìn)行轉(zhuǎn)化,從而整體運(yùn)用條件,這是證題的關(guān)鍵。【例2】求證:(ab≠0）.證明：右邊>,左邊=,∵｜a+b｜≤｜a｜+|b|，∴.∴+1。從而有≤∴左邊〈右邊.溫馨提示先把右邊放縮,再轉(zhuǎn)化用絕對(duì)值三角不等式與左邊“掛鉤”。也可構(gòu)造函數(shù)f（x)=在x∈［0，+∞)上f（x)單調(diào)遞增，從而證明之。各個(gè)擊破類(lèi)題演練1求證:〈c的充要條件是|a|<c且|b｜〈c.證明:先證必要性?！遼a|=||≤<c，∴｜a|〈c.∵|b｜=||≤〈c，∴|b|〈c。再證充分性。（1)當(dāng)｜a|≥|b｜時(shí),a2≥b2,即(a+b)(a—b)≥0,此時(shí)與同號(hào)或其中之一為0，則=|｜=|a|〈c.(2)當(dāng)|a|<|b｜時(shí),a2〈b2，即(a+b)（a—b）〈0，即與異號(hào)，∴||+｜｜=｜—|=|b|<c?！喈?dāng)｜a|〈c,｜b｜<c時(shí),||+｜|<c。故||+||〈c|a|<c且|b｜〈c。變式提升1已知a、b、c∈R,求證:.證明:設(shè)f（x)=(x≥0)，可知當(dāng)x≥0時(shí)，f(x）為增函數(shù)?！?≤|a+b+c|≤｜a｜+｜b｜+|c|,∴f(|a|+|b｜+｜c(diǎn)｜）≥f(｜a+b+c｜)，得二、應(yīng)用絕對(duì)值三角不等式等號(hào)成立的條件解題【例3】(1）設(shè)a、b∈R且|a+b+1｜≤1，|a+2b+4｜≤4，求|a|+｜b｜的最大值。解析：｜a+b｜=|（a+b+1）—1|≤｜a+b+1｜+｜—1｜≤1+1=2，|a-b｜=|3（a+b+1)-2(a+2b+4）+5|≤3｜a+b+1|+2|a+2b+4｜+5≤3×1+2×4+5=16.（1)當(dāng)ab≥0時(shí)，|a|+｜b｜=|a+b｜≤2;(2)當(dāng)ab<0時(shí)，則a(—b)>0，｜a|+|b｜=｜a｜+|-b|=|a+(-b）|≤16.總之，恒有|a｜+｜b|≤16.而a=8，b=-8時(shí),滿(mǎn)足|a+b+1｜=1，｜a+2b+4|=4，且|a|+｜b|=16.因此|a|+｜b|的最大值為16.（2）若f（x)=x2—2x+c，｜x1-x2｜<2，｜x2｜〈1，求證：|f(x1）—f（x2）｜<12。證明:｜f（x1）—f（x2)|=｜x12-2x1+c—x22+2x2—c｜=｜（x1-x2)(x1+x2—2）｜=|x1—x2｜·｜x1+x2-2|<2｜x1+x2-2|=2|(x1-x2）+(2x2-2）|≤2（｜x1—x2｜+|2x2-2|)<4+2｜2x2—2｜≤4+2（|2x2｜+|-2|）〈4+4+4=12?！啵黤(x1)—f(x2）｜<12。類(lèi)題演練2已知|a|〈1，｜b｜<1,求證:｜|〈1。證明:由|a｜〈1，｜b｜<1，得1±a>0，1±b〉0,則｜|==1,從而｜｜〈1.變式提升2證明對(duì)于任意實(shí)數(shù)t,復(fù)數(shù)z=+i的模r，適合不等式r≤。證明：r=,為證對(duì)于任意實(shí)數(shù)t有r≤，只要證｜c(diǎn)ost｜+｜sint｜≤即可。（1）當(dāng)kπ≤t≤kπ+(k∈Z)時(shí)，則sint·cost≥0,依推論1，｜c(diǎn)ost｜+|sint|=|sint+cost|=｜sin(t+）|≤(2)當(dāng)kπ+<t<（k+1）π（k∈Z）時(shí)，sint·cost〈0，sint·（-cost)>0，依推論1，｜c(diǎn)ost｜+｜sint|=|-cost｜+｜sint｜=｜sint-cost｜=｜sin（t-）｜≤?？傊瑢?duì)于任意實(shí)數(shù)t，有|cost｜+｜sint｜≤成立,即有r≤成立.三、絕對(duì)值三角不等式的其他應(yīng)用【例4】（1）若不等式|x-4|+｜x—3｜〉a對(duì)一切實(shí)數(shù)x恒成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍。解析：由|x-4｜+|x—3｜≥|(x—4)-(x—3）|=1,得[|x-4|+｜x—3｜］min=1,故a的取值范圍是{a|a〈1｝.（2）已知|cosx—cosy｜=|cosx|+｜c(diǎn)osy|,且y∈（,2π),則等于(）A。cosx—cosyB.cosy-cosxC.cosx+cosyD.以上均不對(duì)解析：由｜a-b｜≤|a｜+|b｜知等號(hào)成立的條件是ab≤0.因?yàn)閨cosx—cosy｜=｜c(diǎn)osx|+|cosy｜,所以cosx·cosy≤0。又因y∈（,2π），所以cosy>0且cosx≤0,則上式=|cosx—cosy｜=cosy-cosx,故應(yīng)選B。答案:B(3)解方程｜x｜+｜logax｜=|x+logax|(a〉1).解析：由當(dāng)且僅當(dāng)ab≥0，|a+b|=｜a｜+｜b|知原方程等價(jià)于x·logax≥0,又x〉0，即logax≥0,解得x≥1.所以原方程的解集是{x｜x〉1｝.類(lèi)題演練3（1）方程|2x—1|+｜x—2|=｜x+1｜的實(shí)數(shù)解為_(kāi)______________解析：原方程可化為｜2x-1|+｜2—x｜=｜（2x-1)+（2-x）|,依推論1,它等價(jià)于(2x—1）（2—x)≥0,∴≤x≤2。答案:≤x≤2（2)解不等式｜x2—2x—3｜+|x2-2x—8|〉5。解析：原不等式可化為|x2—2x-3|+｜8+2x—x2|〉｜（x2-2x—3)+(8+2x—x2）｜,依推論2，它等價(jià)于(x2-2x-3）(8+2x-x2）<0,∴(x+2)(x+1）(x-3)(x—4）>0.∴x〈—2或-1〈x<3或x〉4。變式提升3已知f(x）=x2+ax+b(a、b∈R)的定義域?yàn)椋?1,1],且｜f（x)|≤M成立,求M的最小值.解：由題意知M是｜