浙江省溫州環(huán)大羅山聯(lián)盟2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題（含答案）

2024學(xué)年第一學(xué)期溫州環(huán)大羅山聯(lián)盟期中聯(lián)考高二年級數(shù)學(xué)學(xué)科試題考生須知：1．本卷共4頁滿分150分，考試時間120分鐘．2．答題前，在答題卷指定區(qū)域填寫班級、姓名、考場號、座位號及準(zhǔn)考證號并填涂相應(yīng)數(shù)字．3．所有答案必須寫在答題紙上，寫在試卷上無效．4．考試結(jié)束后，只需上交答題紙．選擇題部分一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一個選項是符合題目要求的．1．在平面直角坐標(biāo)系中，直線的傾斜角為（）A． B． C． D．2．在正方體中，是BD的中點，則直線和夾角的余弦值為（）A． B． C． D．3．設(shè)，則“”是“直線與直線平行”的（）A．必要不充分條件 B．充分不必要條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件4．已知正四面體的棱長為2，E是BC的中點，F(xiàn)是AE的三等分點（靠近A點），用空間向量表示，則（）A． B．C． D．5．已知A，B是橢圓長軸的兩頂點，M是橢圓上的一點，直線AM與BM斜率之積，則此橢圓的離心率取值范圍是（）A． B． C． D．6．直線分別與軸，軸交于A，B兩點，點在圓上，則面積的取值范圍是（）A． B． C． D．7．《九章算術(shù)》是我國古代數(shù)學(xué)名著．書中將底面為矩形，且有一條側(cè)棱垂直于底面的四棱錐稱為陽馬．如圖，在陽馬中，平面，底面是矩形，E、F分別為PD，PB的中點，為直線CP上的動點，，，若平面，則（）A． B． C． D．8．古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼奧斯用不同的平面截同一圓錐，得到了圓錐曲線，其中的一種如圖所示．用過M點且垂直于圓錐底面的平面截兩個全等的對頂圓錐得到雙曲線的一部分，已知高，底面圓的半徑為8，M為母線PB的中點，平面與底面的交線，則雙曲線的兩條漸近線的夾角的余弦值為（）A． B． C． D．二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9．已知圓和圓，以下結(jié)論正確的是（）A．若和只有一個公共點，則 B．若，則和關(guān)于直線對稱C．若和外離，則 D．若，則和內(nèi)含10．在空間直角坐標(biāo)系中，已知，，，，則以下正確的是（）A． B．，夾角的余弦值為C．A，B，C，D共面 D．點到直線AB的距離是11．拋物線有如下光學(xué)性質(zhì)：由其焦點射出的光線經(jīng)拋物線反射后，沿平行于拋物線對稱軸的方向射出；反之，平行于拋物線對稱軸的入射光線經(jīng)拋物線反射后必過拋物線的焦點．已知拋物線的焦點為，一束平行于軸的光線從點射入，經(jīng)過拋物線上的點反射后，再經(jīng)拋物線上另一點反射后，沿直線射出，則下列結(jié)論中正確的是（）A． B．C． D．與之間的距離為4非選擇題部分三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12．已知空間向量，，則向量在向量上的投影向量的坐標(biāo)是__________．13．已知雙曲線的左、右焦點分別為，，過的直線與的兩條漸近線分別交于A、B兩點．若，則的離心率為__________．14．如圖，正方形和正方形的邊長都是1，且它是們所在的平面所成的二面角的平面角60°，M，N分別是AC，BF上的動點，則MN的最小值是__________．四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15．（本題滿分13分）如圖，直三棱柱中，，，是的中點，N是AC的中點．（1）證明：直線直線BC；（2）求直線與平面所成的角的正弦值．16．（本題滿分15分）已知雙曲線的一個焦點為，一條漸近線方程為，為坐標(biāo)原點．（1）求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）已知傾斜角為的直線與雙曲線交于A，B兩點，且線段AB的中點的縱坐標(biāo)為4，求弦長．17．（本題滿分15分）已知拋物線的焦點F到準(zhǔn)線的距離為2．（1）求C的方程；（2）已知O為坐標(biāo)原點，點P在C上，點Q滿足，求直線OQ斜率的最大值．18．（本題滿分17分）如圖，矩形中，，，，將沿直線DE翻折成，若M為線段的點，滿足，設(shè)二面角的平面角為．（1）求證直線平面；（2）當(dāng)為直角時，求點到平面的距離；（3）在翻折過程中（點不在平面內(nèi)），求線段長的取值范圍．19．（本題滿分17分）已知橢圓的離心率為，直線與以原點為圓心、橢圓的短半軸長為半徑的圓相切．（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)橢圓的左焦點為，右焦點為，直線過點，且垂直于橢圓的長軸，動直線垂直于，垂足為點，線段的垂直平分線交于點，求點的軌跡的方程；（3）設(shè)與軸交于點，在曲線上是否存在一點，使得以QS為直徑的圓與有除Q、S外的公共點，若存在求出的取值范圍；若不存在，請說明理由．2024學(xué)年第一學(xué)期溫州環(huán)大羅山聯(lián)盟期中聯(lián)考高二年級數(shù)學(xué)學(xué)科答案一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一個選項是符合題目要求的．12345678CABCDABA二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．91011BDACDABC非選擇題部分三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12． 13．2 14．四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15．（13分）（1）不妨設(shè)，則，如圖，以為原點，，，所在直線分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，得，，，．所以，（2），．易知平面的一個法向量為，設(shè)直線與平面所成的角為，則，16．（15分）（1）由焦點可知，又一條漸近線方程為，所以，由可得，解得，故雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為．（也可以根據(jù)a，b，c各1分，結(jié)果2分，共5分）（2）法一：設(shè)直線AB的方程為，聯(lián)立得得方程．由韋達定理得：，，由已知可得：，，則，，．法二：設(shè)，，AB中點的坐標(biāo)為，則兩式子相減得：，化簡得，即，又，所以，所以AB中點的坐標(biāo)為，所以直線的方程為，即，將代入得，，則，，．17．（15分）（1）拋物線的焦點，準(zhǔn)線方程為，由題意，該拋物線焦點到準(zhǔn)線的距離為，所以該拋物線的方程為；（2）[方法一]：軌跡方程＋基本不等式法設(shè)，則，所以，由在拋物線上可得，即，所以直線OQ的斜率，當(dāng)時，；當(dāng)時，．當(dāng)時，，此時當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立；綜上，直線OQ的斜率的最大值為；[方法二]：軌跡方程+數(shù)形結(jié)合法同方法一設(shè)，則，所以，由在拋物線上可得，得到點的軌跡方程為．設(shè)直線OQ的方程為，則當(dāng)直線OQ與拋物線相切時，其斜率k取到最值．聯(lián)立得，其判別式，解得，所以直線OQ斜率的最大值為．18．（17分）（1）在線段上取點，使得，連接MN、EN、BM，，，又，，，四邊形是平行四邊形，，又平面平面，平面．（方法二：在線段在線段CD上取三等分點P，利用平面平面也可相應(yīng)給分）（2）如圖，以DE的中點O為原點，OD所在直線以及相應(yīng)的垂線分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，平面平面，此時可求得，，，，設(shè)平面的一個法向量為，則，令，得，，點到平面的距離為，（3）在翻折過程中，由題意知，二面角的平面角，則，又由（2）知，，又，，．故