湖南省邵陽(yáng)市武岡市2024-2025學(xué)年高一上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題 含解析

2024年下學(xué)期期中考試試卷高一數(shù)學(xué)注意事項(xiàng)：1.本試卷考試時(shí)量120分鐘，滿(mǎn)分150分；2.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在答題卡上；3.請(qǐng)將答案填寫(xiě)在答題卡上，寫(xiě)在本試卷上無(wú)效，請(qǐng)勿折疊答題卡，答題卡上不得使用涂改液、涂改膠和貼紙，保持字體工整、筆跡清晰、卡面清潔.一、單項(xiàng)選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.）1.命題“”的否定是（）A. B.C D.【答案】B【解析】【分析】利用特稱(chēng)命題的否定規(guī)則即可得到所給命題的否定形式.【詳解】命題“”的否定是故選：B2.若，則集合可用列舉法表示為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】利用列舉法表示集合，可得結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，則.故選：D.3.“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】解方程可求得的解，根據(jù)充分必要條件定義可得結(jié)論.【詳解】將代入成立，即“”是“”的充分條件；由得：或，所以“”不是“”的必要條件，故“”是“”的充分不必要條件.故選：A.4.已知函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù)，則（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】由得，利用給定解析式求出，再由函數(shù)奇偶性，即可得出結(jié)果.【詳解】因?yàn)椋?dāng)時(shí)，，所以，又函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù)，所以，因此.故選：D.5.已知函數(shù)分別由下表給出：123123131321則滿(mǎn)足的的值是（）A.1 B.2 C.3 D.1和2【答案】B【解析】【分析】由題意按照、、分類(lèi)討論，先求出內(nèi)函數(shù)的函數(shù)值，再求出外函數(shù)的函數(shù)值，逐個(gè)判斷即可得解.【詳解】當(dāng)時(shí)，，，不合題意；當(dāng)時(shí)，，，符合題意；當(dāng)時(shí)，，，不合題意；綜上，滿(mǎn)足的的值為2.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)的表示法：列表法的應(yīng)用，考查了運(yùn)算求解能力，要注意先求出內(nèi)函數(shù)的函數(shù)值后再求外函數(shù)的函數(shù)值，屬于基礎(chǔ)題.6.已知函數(shù)（，且）的圖象恒過(guò)定點(diǎn)，若點(diǎn)在冪函數(shù)的圖象上，則冪函數(shù)的圖象大致是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】由指數(shù)函數(shù)性質(zhì)求得定點(diǎn)坐標(biāo)，由定點(diǎn)求得冪函數(shù)解析式，確定圖象．【詳解】由得，，即定點(diǎn)為，設(shè)，則，，所以，圖象為B．故選：B．7.已知函數(shù)，，則不等式的解集為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】作出函數(shù)圖象，數(shù)形結(jié)合即可得出結(jié)論.【詳解】由題知同一坐標(biāo)系下畫(huà)出，圖象如下所示：由圖可知的解集為.故選：A.8.已知函數(shù)，若對(duì)于任意，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】確定是增函數(shù)，奇函數(shù)，利用這兩個(gè)性質(zhì)變形不等式，再由分離參數(shù)法化為，然后利用勾形函數(shù)的單調(diào)性求得右邊的最大值即得．【詳解】是上的增函數(shù)，又，即是奇函數(shù)，所以不等式可化為，所以，又，所以，由勾形函數(shù)的性質(zhì)知在上是增函數(shù)，所以時(shí)，，所以，故選：D．二、選擇題（本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.）9.若函數(shù)是冪函數(shù)，則一定（）A.是偶函數(shù) B.是奇函數(shù)C.在上單調(diào)遞減 D.在上單調(diào)遞增【答案】BD【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)是冪函數(shù)，由求得m，再逐項(xiàng)判斷.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)是冪函數(shù)，所以，解得或，所以或，由冪函數(shù)性質(zhì)知是奇函數(shù)且單調(diào)遞增，故選：BD.10.已知a、b都是正實(shí)數(shù)，則（）A. B.C. D.【答案】ACD【解析】【分析】利用基本不等式判斷ABD，用作差法判斷C．【詳解】因?yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，A正確；，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，B錯(cuò)；，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以，C正確；，又，因此，從而，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，D正確．故選：ACD．11.已知函數(shù)的圖象由如圖所示的兩條線(xiàn)段組成，則A.B.C.，D.，不等式的解集為【答案】AC【解析】【分析】由，可判斷A；由，可判斷B；由圖可得時(shí)，；時(shí)，，可判斷C；由，結(jié)合圖象可判斷D.【詳解】A.因?yàn)椋?，所以，正確；B.，，所以，錯(cuò)誤；C.由圖得，當(dāng)時(shí)，設(shè)解析式為，圖象經(jīng)過(guò)，所以，解得，所以；時(shí)，設(shè)解析式為，圖象經(jīng)過(guò)，所以，解得，所以解析式為；即，，正確；D由C得，，如圖：所以不存在大于零的，使得不等式的解集為，故D錯(cuò)誤.故選：AC.【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)形結(jié)合法求函數(shù)的解析式、求函數(shù)值、求參數(shù)，關(guān)鍵是由圖象判斷出函數(shù)的類(lèi)型并求出解析式，本題考查分析問(wèn)題、解決問(wèn)題能力，運(yùn)算求解能力.三、填空題（本題共3小題，每小題5分，共15分）12.已知集合，，若，則______.【答案】【解析】【分析】根據(jù)交集結(jié)果得到，或，檢驗(yàn)后得到答案.【詳解】因?yàn)?，所以，或，?dāng)時(shí)，，與集合元素的互異性矛盾，舍去；當(dāng)時(shí)，，與集合元素的互異性矛盾，舍去；當(dāng)時(shí)，，滿(mǎn)足集合元素互異性，滿(mǎn)足要求.故答案為：.13.已知函數(shù)是定義在區(qū)間上的奇函數(shù)，則___________．【答案】【解析】【詳解】試題分析：奇函數(shù)定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，所以解得，或．當(dāng)時(shí)，,定義域?yàn)閇-6，6]，顯然x=0時(shí)函數(shù)無(wú)意義，故舍去．當(dāng)時(shí)，，定義域?yàn)閇-2，2]，顯然符合題意．考點(diǎn)：函數(shù)的奇偶性．【方法點(diǎn)睛】定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)是函數(shù)具有奇偶性的必要不充分條件．判斷奇偶性前，先看定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，如果不對(duì)稱(chēng)，則該函數(shù)既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)；如果關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)則進(jìn)一步判斷．因此本題首先得到，從而求出m的值，然后通過(guò)函數(shù)的單調(diào)性對(duì)m的值進(jìn)行取舍．14.定義區(qū)間，，，的長(zhǎng)度為，多個(gè)區(qū)間并集的長(zhǎng)度為各區(qū)間長(zhǎng)度之和，例如：的長(zhǎng)度為，設(shè)，，其中表示不超過(guò)x的最大整數(shù)，，若用d表示不等式的解集的區(qū)間長(zhǎng)度，則當(dāng)時(shí)，__________.【答案】2024【解析】【分析】先化簡(jiǎn)，再分即和即兩種情況化簡(jiǎn)，并分段、、、、討論求解不等式的解集，從而得出不等式在上的解集，進(jìn)而得解.【詳解】由題，所以即，即，（i）當(dāng)即時(shí)，不等式化為，當(dāng)，，不等式化為，符合，所以；當(dāng)，，不等式化為，不符合；當(dāng)，，不等式化為即，不符合；當(dāng)，，不等式化為即，不符合；…以此類(lèi)推至，都有，從而不存在x使不等式成立.所以不等式在上的解集為；（ii）當(dāng)即時(shí)，不等式化為，當(dāng)，，不等式化為即，所以；當(dāng)，，不等式化為即，所以；當(dāng)，，不等式化為即，所以；當(dāng)，，不等式化為即，所以；…以此類(lèi)推至，，不等式化為即，所以，所以不等式在上的解集為.綜上，不等式在上的解集為.所以.故答案為：2024.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題求解的關(guān)鍵是充分利用分類(lèi)討論思想求解問(wèn)題，先分即和即兩種情況化簡(jiǎn)，再分段、、、、討論求解不等式的解集，從而簡(jiǎn)化問(wèn)題的難度.四、解答題（本大題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.）15.若集合．（1）若，全集，試求．（2）若，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）當(dāng)時(shí)，求得，得到和，結(jié)合集合的交并補(bǔ)運(yùn)算即可得解.（2）求得，結(jié)合題意得到，結(jié)合集合的包含關(guān)系，即可求解.【小問(wèn)1詳解】當(dāng)時(shí)，可得，因?yàn)?，可得，則，所以．【小問(wèn)2詳解】因?yàn)椋?，可得，所以，即?shí)數(shù)的取值范圍是.16.已知：關(guān)于的方程有實(shí)數(shù)根，：．（1）若命題是真命題，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）若是的必要不充分條件，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】（1）；（2）.【解析】分析】（1）由命題是真命題，可得命題是假命題，再借助，求出的取值范圍作答.（2）由是的必要不充分條件，可得出兩個(gè)集合的包含關(guān)系，由此列出不等式求解作答.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)槊}是真命題，則命題是假命題，即關(guān)于的方程無(wú)實(shí)數(shù)根，因此，解得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.【小問(wèn)2詳解】由（1）知，命題是真命題，即，因?yàn)槊}是命題的必要不充分條件，則，因此，解得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.17.心理學(xué)家通過(guò)研究學(xué)生的學(xué)習(xí)行為發(fā)現(xiàn)，學(xué)生的接受能力依賴(lài)于老師引入概念和描述問(wèn)題所用的時(shí)間：講授開(kāi)始時(shí)，學(xué)生的興趣激增；中間有一段不太長(zhǎng)的時(shí)間，學(xué)生的興趣保持較理想的狀態(tài)；隨后學(xué)生的注意力開(kāi)始分散，分析結(jié)果和實(shí)驗(yàn)表明，用表示學(xué)生掌握和接受概念的能力（的值越大，表示學(xué)生的接受能力越強(qiáng)），x表示提出和講授概念的時(shí)間（單位：min），可有以下關(guān)系式：.（1）講課開(kāi)始后的5min時(shí)刻和講課開(kāi)始后的20min時(shí)刻比較，何時(shí)學(xué)生的注意力更集中？（2）某一道數(shù)學(xué)題目，需要講解13min，并且要求學(xué)生的注意力至少達(dá)到55，那么老師能否在學(xué)生達(dá)到所需狀態(tài)下一次性連續(xù)講授完這道題目？請(qǐng)說(shuō)明理由.【答案】（1）講課開(kāi)始后的5min時(shí)刻的學(xué)生注意力更集中（2）不能，理由見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）根據(jù)函數(shù)解析式分別求出和，即可比較；（2）令，解得得到，持續(xù)時(shí)間，即可判斷.【小問(wèn)1詳解】由題意得，，，所以，講課開(kāi)始后的5min時(shí)刻的學(xué)生注意力更集中.【小問(wèn)2詳解】當(dāng)時(shí)，解，，得；當(dāng)，解，因?yàn)?，得；?dāng)，解，得.所以，僅在這一時(shí)段內(nèi)，學(xué)生的注意力至少達(dá)到55.又因，且，所以，老師不能在學(xué)生達(dá)到所需狀態(tài)下一次性連續(xù)講授完這道題目.18.（1）已知，且滿(mǎn)足.求的最小值；（2）當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的最大值；（3）已知，求的最大值.【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）由已知把變形為，展開(kāi)后用基本不等式求得最小值；（2）分離參數(shù)化為恒成立，再利用基本不等式求出不等式右邊的最小值即可得解；（3）令，，可得，代入所求式子化簡(jiǎn)整理，運(yùn)用基本不等式可得所求最大值；【詳解】（1）由，可得；當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，所以，的最小值為（2）不等式恒成立化為恒成立，又因?yàn)?，所以，因此?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，所以，即實(shí)數(shù)的最大值為9．（3）令，，可得，所以，；當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，上式取得等號(hào)，可得的最大值為．19.已知是定義在[－2,2]上的函數(shù)，若滿(mǎn)足且.（1）求的解析式；（2）判斷函數(shù)在[－2,2]上的單調(diào)性，并求使成立的實(shí)數(shù)t的取值范圍；（3）設(shè)函數(shù)，若對(duì)任意，都有恒成立，求m的取值范圍.【答案】（1）（）（2）單調(diào)遞增，（3）【解析】【分析】（1）由求得，由及求得得函數(shù)解析式；（2）由定義證明單調(diào)性，然后由奇偶性、單調(diào)性解不等式；（3）問(wèn)題