26957942精講練10不等式解法-2020-2021學(xué)年六年級(jí)數(shù)學(xué)寒假精講練專題滬

精講練10不等式解法【理解概念不透致錯(cuò)】例1、下列給出四個(gè)式子，①x>2②a≠0③5<3④a≥b其中是不等式的是（）A、①④B、①②④C、①③④D、①②③④錯(cuò)解、選A分析、不等式是指形式上用“<”、“>”、“≤”、“≥”、“≠”連接的式子，不受其是否成立的影響，5<3是不等式，只不過這個(gè)不等式不成立，另外a≠0也是不等式，因?yàn)椤啊佟币彩遣坏忍?hào)，正解、選D【符號(hào)意義不清致錯(cuò)】例2、下列不等式①2a>a②a2+1>0③8≥6④x2≥0一定成立的是（）A、②④B、②C、①②④D、②③④錯(cuò)解、選A分析、導(dǎo)致本題錯(cuò)誤的原因是對(duì)“≥”理解不正確，“≥”的意義是“>”或“=”，有選擇功能，二者成立之一即可，事實(shí)上也只能二者取一，不等號(hào)兩邊的量不會(huì)既“>”又“=”，所以，對(duì)8≥6的理解應(yīng)是“8大于6”，對(duì)x2≥0的理解應(yīng)是，“當(dāng)x=0時(shí)，x2=0；當(dāng)x≠0時(shí)，x2>0”正解、選DCDAB例3CDAB錯(cuò)解，選A分析、對(duì)不等式的解集在數(shù)軸上的表示方法不清出錯(cuò)，在數(shù)軸上表示不等式的解集時(shí)，實(shí)心圓點(diǎn)，表示將該位置點(diǎn)取上，慮心圓點(diǎn)，表示將位置點(diǎn)挖去不要，同時(shí)應(yīng)注意畫線的方向，按數(shù)軸從左到右方向看時(shí)，x>a、x≥a時(shí)向右畫，反之向左畫正解，選C例4、若，則下列不等式成立的是（）A、B、C、D、錯(cuò)解、B分析、本題錯(cuò)解屬于對(duì)“<”、“≤”的應(yīng)用不當(dāng)，只考慮了這一情況，而忽略了x3=0時(shí),原式也成立，正解、選D【性質(zhì)運(yùn)用不當(dāng)致錯(cuò)】例5、對(duì)不等式變形正確的是()A、兩邊同除以3，得B、兩邊同除以3，得C、兩邊同除以3，得D、兩邊同除以3，得錯(cuò)解、選A分析、根據(jù)不等式的性質(zhì)，不等式兩邊同除以一個(gè)不為0的正數(shù)時(shí)，不改變不等號(hào)的方向；但同除以一個(gè)不為0的負(fù)數(shù)時(shí)，要改變不等號(hào)的方向，本題變形是不等式兩邊同除以3，所以要改變不等號(hào)的方向，正解、選B【不等式和方程的對(duì)比】不等式和方程都是用來研究現(xiàn)實(shí)生活中數(shù)量關(guān)系的數(shù)學(xué)模型，它們既有區(qū)別又有聯(lián)系，若能加強(qiáng)它們之間的對(duì)比，則會(huì)收到事半功倍的學(xué)習(xí)效果.同時(shí)，又能在一元一次方程的基礎(chǔ)上學(xué)好不等式.概念的對(duì)比一元一次方程的一般形式為ax+b=0（a≠0）、標(biāo)準(zhǔn)形式為ax=b（a≠0）；一元一次不等式的一般形式為ax+b＞0或ax+b＜0（a≠0）、標(biāo)準(zhǔn)形式為ax＞b或ax＜b（a≠0）.兩者的相同點(diǎn)是化簡后都只有一個(gè)未知數(shù),且未知數(shù)的次數(shù)都是1;不同點(diǎn)是一元一次方程是用等號(hào)表示相等關(guān)系的式子,一元一次不等式是用不等號(hào)“＞”“＜”“≥”“≤”“≠”等表示不等關(guān)系的式子.變形依據(jù)的對(duì)比一元一次方程的變形依據(jù)是等式的性質(zhì)，一元一次不等式的變形依據(jù)是不等式的性質(zhì)，見表名稱等式的性質(zhì)不等式的性質(zhì)對(duì)稱性若a=b，則b=a若a＞b，則b＜a傳遞性若a=b，b=c，則a=c若a＞b，b＞c，則a＞c性質(zhì)1若a=b，則a±c=b±c若a＞b，則a±c＞b±c性質(zhì)2若a=b，c≠0，則ac=bc，若a＞b，且c＞0，則ac＞bc，若a＞b，且c＜0，則ac＜bc，可見：等式兩邊都乘以（或除以）同一個(gè)數(shù)時(shí)，只須考慮這個(gè)數(shù)是否為零；而不等式兩邊都乘以（或除以）同一個(gè)數(shù)時(shí)，除了考慮這個(gè)數(shù)不能為零外，還必須考慮該數(shù)的正負(fù)性.求解過程的對(duì)比解題步驟完全類似,都經(jīng)過五個(gè)步驟：“去分母”“去括號(hào)”“移項(xiàng)”“合并”“系數(shù)化為1”.由于兩者變形依據(jù)不同,所以在解不等式的過程中“去分母”或“系數(shù)化為1”時(shí)，如果兩邊乘以（或除以）的數(shù)是一個(gè)負(fù)數(shù)，則改變不等號(hào)的方向.解題思路相同都是首先通過化簡，轉(zhuǎn)化為最簡方程ax=b（a≠0）或最簡不等式ax＞b或ax＜b（a≠0），然后系數(shù)化1.解和解集的對(duì)比一般地，一元一次方程的解通常只有一個(gè)，而一元一次不等式的解有無數(shù)個(gè)，由它們組成的解的集合簡稱為一元一次不等式的解集.它們的共同點(diǎn)是：不論是一元一次方程的解，還是一元一次不等式的解，都能使方程或不等式成立.它們在數(shù)軸上表示時(shí)不同:方程的解ｘ＝ａ在數(shù)軸上表示為一個(gè)點(diǎn)；不等式的解集ｘ≥ａ在數(shù)軸上表示為一條射線.標(biāo)準(zhǔn)的一元一次方程(ax=b)和標(biāo)準(zhǔn)的一元一次不等式（以ax＞b為例）解的比較ax=b的解有三種可能：⑴當(dāng)a≠0時(shí),有惟一解;⑵當(dāng)a=b=0時(shí),有無數(shù)個(gè)解;⑶當(dāng)a=0,b≠0時(shí),無解.對(duì)于形如ax＞b的不等式,我們可分以下幾種情況來研究它的解.⑴若a＞0,則x＞;⑵若a＜0,則x＜;⑶若a=0,①b≥0時(shí),不等式無解;②b＜0時(shí),不等式的解為任意數(shù).通過上述對(duì)比,可以發(fā)現(xiàn)盡管一元一次方程和一元一次不等式有著本質(zhì)的區(qū)別,但它們也存在許多相似之處.類比方程學(xué)習(xí)不等式,可以充分利用已有的解方程的經(jīng)驗(yàn),來實(shí)現(xiàn)知識(shí)的正遷移.將不等式與方程對(duì)比學(xué)習(xí),這樣更有利于弄清兩者的區(qū)別與聯(lián)系,更能深入,透徹理解這兩部分的知識(shí).【如何學(xué)好不等式的性質(zhì)】我們知道等式有兩個(gè)基本性質(zhì)，而不等式卻有三個(gè)重要性質(zhì).不等式的三條性質(zhì)和等式的性質(zhì)一樣，不等式的性質(zhì)是不等式變形的重要依據(jù).所以同學(xué)們必須深刻理解，熟練掌握，才會(huì)靈活運(yùn)用.因此同學(xué)們在學(xué)習(xí)不等式的性質(zhì)時(shí)，應(yīng)注意以下三個(gè)問題：一、注意不等式的性質(zhì)與等式的性質(zhì)區(qū)別和聯(lián)系不等式的性質(zhì)與等式的性質(zhì)既有本質(zhì)的區(qū)別，又有著內(nèi)在的聯(lián)系.其聯(lián)系在于：不等式兩邊加（或減）同一個(gè)數(shù)或式子，都乘（或除以）同一個(gè)正數(shù)，不等號(hào)的方向不變；而等式兩邊加（或減）同一個(gè)數(shù)或式子，都乘（或除以）同一個(gè)正數(shù)，結(jié)果仍相等.區(qū)別在于：對(duì)于等式來說，在兩邊乘（或除以）同一個(gè)負(fù)數(shù)，結(jié)果仍相等；而對(duì)于不等式來說，在用負(fù)數(shù)乘以（或除以）不等式的兩邊時(shí)，不等號(hào)的方向卻要改變．正是因?yàn)椴坏仁降男再|(zhì)與等式的性質(zhì)的這種聯(lián)系及區(qū)別，導(dǎo)致了解一元一次不等式與解一元一次方程的聯(lián)系及區(qū)別.二、注意對(duì)不等式性質(zhì)3的理解與運(yùn)用不等式的基本性質(zhì)3是指：不等式的兩邊都乘以（或除以）同一個(gè)正數(shù)，不等號(hào)的方向不變.用字母表示為：如果a＞b，且c＜0，那么ac＜bc或＜.就是說，在不等式的兩邊可以隨意加（或減）同一個(gè)式子，卻不能在不等式的兩邊任意乘（或除以）同一個(gè)式子.這是因?yàn)椴坏仁絻蛇呁艘裕ɑ虺裕┩粋€(gè)負(fù)數(shù)，不等號(hào)的方向不變.這條性質(zhì)對(duì)初學(xué)者來說最容易忽視，導(dǎo)致不等式變形錯(cuò)誤，應(yīng)加以重視.三、注意對(duì)不等號(hào)的方向變與不變的理解為了能清楚地說明不等號(hào)的方向變與不變，我們還是通過例題來說明：由不等式5＞2可以得到5±3＞2±3，或許有的同學(xué)會(huì)認(rèn)為，在不等式都加上或減去3，不等號(hào)的方向并不發(fā)生改變，這是利用不等式的性質(zhì)1，但若不等式5＞2可以得到2±3＜5±3，仍然成立，這個(gè)好象同學(xué)們不理解，事實(shí)上，這與不等式的性質(zhì)1仍然是一致的，關(guān)鍵在于，判斷一個(gè)不等式的不等號(hào)方向變與不變，應(yīng)將原不等式的左右兩邊經(jīng)過變形后仍然放在不等式的左、右兩邊，然后再根據(jù)不等式的性質(zhì)來確定不等號(hào)的方向變與不變.又如由不等式5≥2可以得到5×(－2)≤2×(－2)，這時(shí)由于在不等式兩邊同乘以了一個(gè)“－2”，所以不等號(hào)的方向要改變.再如，已知關(guān)于x的不等式2＜(1－a)x的解集為x＜，則a的取值范圍應(yīng)該是a＞1.這是因?yàn)閷?duì)照已知條件中兩個(gè)不等式，可以發(fā)現(xiàn)，已知不等式左、右兩邊經(jīng)過變形后位置發(fā)生了改變，即2在原不等式的左邊，經(jīng)過變形后在右邊，含x的項(xiàng)在已知不等式的右邊，經(jīng)過變形后在左邊，因此應(yīng)先將2＜(1－a)x變形為(1－a)x＞2，再根據(jù)不等式的性質(zhì)確定a的取值范圍.即根據(jù)不等式的性質(zhì)3，得1－a＜0，所以a＞1.總之正確理解與運(yùn)用不等式的基本性質(zhì)，尤其是基本性質(zhì)3，是學(xué)好不等式的關(guān)鍵，同學(xué)們在學(xué)習(xí)時(shí)不妨多運(yùn)用具體問題加以鞏固和訓(xùn)練.【感悟“不等式的基本性質(zhì)3”】不等式的基本性質(zhì)3：如果，并且c<0，那么ac<bc．我們以“同乘一個(gè)負(fù)數(shù)（如－2）”為例加以驗(yàn)證．（1）若a，b同為負(fù)數(shù)，如－3>－4，而（－3）×(－2)=6，（－4）×（－2）=8．因?yàn)?<8，所以（－3）×（－2）<（－4）×（－2）．（2）若a=0，b<0，如0>－3，而0×(－2)=0，(－3)×(－2)=6．因?yàn)?<6，所以0×（－2）<(－3)×(－2)．（3）若a，b為一正數(shù)一負(fù)數(shù)，如2>－3，而2×(－2)=－4，(－3)×(－2)=6．因?yàn)椋?<6，所以2×（－2）<（－3）×（－2）．（4）若a>0，b=0，如2>0，而2×(－2)=－4，0×(－2)=0，因?yàn)椋?<0，所以2×（－2）<0×（－2）．（5）若a，b同為正數(shù)，如3>2，而3×(－2)=－6，2×(－2)=－4．因?yàn)椋?<－4，所以3×（－2）<2×(－2)．總之，如果a>b，c<0，無論a，b取哪種情況下的數(shù)，都有ac<bc．例用不等號(hào)填空，并簡要說明理由．（1）若，則．（2）若a>b，則．解：（1）>；依據(jù)不等式的性質(zhì)3，在不等式的兩邊都乘以－2，得．（2）≤；因?yàn)椋?dāng)時(shí)，依據(jù)不等式的性質(zhì)3，在不等式的兩邊都乘以，得；當(dāng)，得．總之，．注：此題在解答中，易忽視c=0的情況，而錯(cuò)填“<”【不等式解集表示四法】我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了不等式，那么，不等式的解集有哪些表示形式呢？大的方面講主要有：“不等號(hào)法”，即用不等號(hào)（≠、≤、≥、＜、＞）表示解集，其特點(diǎn)是準(zhǔn)確；“圖示法”，即用數(shù)軸加折線表示解集，其顯著的特點(diǎn)是直觀；“列舉法”，即把解集列舉出來，其特點(diǎn)具體；“綜合法”為了發(fā)揮它們的各自的特點(diǎn)，通常綜合運(yùn)用上述的方法.一、不等號(hào)表示法例1、不等式2x≥3的解集是__________簡析移項(xiàng)得23≥x,合并得x≤1.所以填x≤1.例2、若a>b則3a－2_______3a－2(填“>”“=”“<”)分析因?yàn)閍>b所以3a>3b,3a－2>3b－2應(yīng)填“>”號(hào).二、圖示表示法例3、不等式≥3的解集在數(shù)軸上表示正確的是()DBDBAC圖1析解移項(xiàng)得:2x≥31;合并得：2x≥2；兩邊同除以2得x≥1；所以選如圖1中的D.三、列舉表示法例4、不等式的負(fù)整數(shù)解是.簡析移項(xiàng)得x＞3解得x＞6,所以不等式的負(fù)整數(shù)解是5、4、3、2、1.102102圖231解集如圖2所示，則這個(gè)不等式的正整數(shù)解是＿＿簡析由圖可知不等式的正整數(shù)解是1.四、綜合表示法例6、在數(shù)軸上表示不等式2x6≥0的解集，正確的是（）··03O·O3O33O·····BACD圖3簡解由不等式移項(xiàng)得2x≥6,解得x≥3;由圖3知:A的解集是x＞3,C的解集是x≥3,D的解集是x≤3,所以選B.例7、已知實(shí)數(shù)在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)如圖4所示，則下列式子正確的是（）．·····x圖4·····x圖4C．D．簡析：因?yàn)?<a<1b<－1所以ab<0|b|>|a|a+b<0A、B、D均不正確，選C.不等式的解集還有其它的表是方法.如不等號(hào)與文字結(jié)合表示(x＞3的整數(shù))等,請(qǐng)同學(xué)們注意總結(jié).【不等式的運(yùn)算口訣】一、不等式性質(zhì)不等式的三條基本性質(zhì)是不等式變形的依據(jù)，它不僅表明了不等號(hào)的方向變與不變，更重要的是，變形后的不等式與原來不等式的解集完全相同，只是形式上發(fā)生了變化.特別注意的是基本性質(zhì)3，不等式兩邊同或除以一個(gè)負(fù)數(shù)，不等號(hào)的方向一定要改變.為了好記，不等式的三條基本性質(zhì)可以濃縮成下面一句話：加減不變乘除負(fù)變正不變.二、在數(shù)軸上表示不等式解集的方法用數(shù)軸表示不等式的解集一般的有下列四種情況：a圖1a圖1aa圖22.x＜a，如圖2aa圖33.x≥a，如圖3aa圖44.x≤a，如圖4用數(shù)軸表示不等式的解集體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想，是研究不等式解集的重要手段，也是學(xué)習(xí)不等式組的重要工具，而同學(xué)們往往由于記錯(cuò)而用錯(cuò)，下面的口訣會(huì)幫助你記住它.大向右，小向左，有等點(diǎn)，無等圈.三、確定不等式組解集的方法借助數(shù)軸可以確定出不等式組解集下列四種情況：不等式組（其中a＞b）的解集為：x＞a.不等式組（其中a＞b）的解集為：x＜b.3.不等式組（其中a＞b）的解集為：b＜x＜a.4.不等式組（其中a＞b）的解集為：無解.它是解不等式組的關(guān)鍵，利用數(shù)軸非常直觀的就能總結(jié)出來。但是，由于情況較多所以很容易混淆，導(dǎo)致解不等式組出錯(cuò)，下面的口訣會(huì)幫助你會(huì)幫助你記牢用準(zhǔn).大中取大，小中取小.中間正好，兩邊空了.【一元一次不等式的易錯(cuò)點(diǎn)整理】一、一元一次不等式的解法易錯(cuò)點(diǎn)歸納1.去括號(hào)時(shí)，錯(cuò)用乘法分配律【例1】解不等式3x+2（24x）＜19.錯(cuò)解：去括號(hào)，得3x+44x＜19，解得x＞15.診斷:錯(cuò)解在去括號(hào)時(shí)，括號(hào)前面的數(shù)2沒有乘以括號(hào)內(nèi)的每一項(xiàng).正解:去括號(hào)，得3x+48x＜19，5x＜15，所以x＞3.2.去括號(hào)時(shí)，忽視括號(hào)前的負(fù)號(hào)【例2】解不等式5x3（2x1）＞6.錯(cuò)解：去括號(hào)，得5x6x3＞6，解得x＜3.診斷：去括號(hào)時(shí)，當(dāng)括號(hào)前面是“”時(shí)，去掉括號(hào)和前面的“”，括號(hào)內(nèi)的各項(xiàng)都要改變符號(hào).錯(cuò)解在去括號(hào)時(shí)，沒有將括號(hào)內(nèi)的項(xiàng)全改變符號(hào).正解:去括號(hào)，得5x6x+3＞6，所以x＞9，所以x＜9.3.移項(xiàng)時(shí)，不改變符號(hào)【例3】解不等式4x5＜2x9.錯(cuò)解：移項(xiàng)，得4x+2x<95，即6x<14，所以診斷:一元一次不等式中的移項(xiàng)和一元一次方程中的移項(xiàng)一樣,移項(xiàng)就要改變符號(hào)，錯(cuò)解忽略了這一點(diǎn).正解:移項(xiàng)，得4x2x<9+5，解得2x<4，所以x<2.4.去分母時(shí)，忽視分?jǐn)?shù)線的括號(hào)作用【例4】解不等式錯(cuò)解：去分母，得，解得：診斷:去分母時(shí)，如果分子是一個(gè)整式，去掉分母后要用括號(hào)將分子括起來.錯(cuò)解在去掉分母時(shí)，忽視了分?jǐn)?shù)線的括號(hào)作用.正解:去分母，得6x（2x5）＞14，去括號(hào)，得5.不等式兩邊同除以負(fù)數(shù)，不改變方向【例5】解不等式3x－6＜1+7x.錯(cuò)解：移項(xiàng)，得3x－7x＜1+6，即－4x＜7，所以診斷：將不等式－4x＜7的系數(shù)化為1時(shí)，不等式兩邊同除以－4后，根據(jù)不等式的基本性質(zhì)：不等式兩邊同乘以或同除以同一個(gè)負(fù)數(shù)，不等號(hào)要改變方向，因此造成了錯(cuò)解.正解：移項(xiàng)，得3x－7x＜1+6，即－4x＜7，所以所以x＞6.去分母時(shí)，漏乘不含分母的項(xiàng)【例6】解不等式錯(cuò)解：去分母，得x2（x1）＞3x+1，去括號(hào)，解得診斷:去分母時(shí)，要用最簡公分母去乘不等式兩邊的每一項(xiàng).而錯(cuò)解只乘了含有分母的項(xiàng)，漏乘了不含有分母的項(xiàng).正解:去分母，得6x2（x1）＞3x+6，去括號(hào)，得6x2x+2＞3x+6，解得x＞4.7.忽視對(duì)有關(guān)概念的理解【例7】求不等式的非負(fù)整數(shù)解.錯(cuò)解：整理，得3x≤16，所以故其非負(fù)整數(shù)的解是1，2，3，4正解：非負(fù)整數(shù)的解是0，1，2，3，4,58.在數(shù)軸上表示解集時(shí)出現(xiàn)錯(cuò)誤【例8】解不等式：3（1－x）≥2（x+9），并把它的解集在數(shù)軸上表示出來.錯(cuò)解：整理，得－5x≥15，所以x≤－3，在數(shù)軸上表示如圖1所示.診斷：本題求得的解集并沒錯(cuò)，問題出在將解集在數(shù)軸上表示出來時(shí)出現(xiàn)了錯(cuò)誤，即有兩處錯(cuò)誤：一是方向表示錯(cuò)誤，不應(yīng)該向右，而應(yīng)該向左；二是不應(yīng)用空心圓圈表示，而應(yīng)用實(shí)心圓圈表示.正解：整理，得－5x≥15，所以x≤－3，在數(shù)軸上表示如圖2所示.注：上述三例告訴我們解一元一次不等式時(shí)一定要認(rèn)真分析題目的結(jié)構(gòu)特征，靈活運(yùn)用解一元一次不等式的步驟，正確理解有關(guān)概念，才能及時(shí)避開陷阱，準(zhǔn)確、快速的求解.9.不等式組解集忽視等號(hào)【例9】若不等式組的解集為x＞2，則a的取值范圍是（）.A.a＜2B.a≤2C.a＞2D.a≥2錯(cuò)解：原不等式組可化簡為得a＜2，故選A.診斷：當(dāng)a=2時(shí)，原不等式組變?yōu)榻饧矠閤＞2.正解：應(yīng)為a≤2，故選B.10.忽視了字母的范圍【例10】解關(guān)于x的不等式m（x2）＞x2.錯(cuò)解：化簡，得（m1）x＞2（m1），所以x＞2.診斷:錯(cuò)解在默認(rèn)為m1＞0，實(shí)際上m1還可能小于或等于0.正解:化簡，得（m1）x＞2（m1），①當(dāng)m1＞0時(shí)，x＞2；②當(dāng)m1＜0時(shí)，x＜2；③當(dāng)m1=0時(shí)，無解.【例11】解不等式（a－1）x＞3.錯(cuò)解：系數(shù)化為1，得.診斷：此題的未知數(shù)系數(shù)含有字母，不能直接在不等式兩邊同時(shí)除以這個(gè)系數(shù)，應(yīng)該分類討論.正解：①當(dāng)a－1＞0時(shí)，；②當(dāng)a＝1時(shí)，0×x＞3，不等式無解；③當(dāng)a－1＜0時(shí)，.12.套用解方程組的方法解不等式組【例12】不等式組的解集為___________.錯(cuò)解：兩個(gè)不等式相加，得x1＜0，所以x＜1.診斷：這是解法上的錯(cuò)誤，它把解不等式組與解一次方程組的方法混為一談，不等式組的解法是分別求出不等式組中各個(gè)不等式的解集，然后在數(shù)軸上表示出來，求得的公共部分就是不等式組的解集，而不能用解方程組的方法來求解.正解：解不等式組，得在同一條數(shù)軸上表示出它們的解集，如圖，以不等式組的解集為：.【例13】解不等式組錯(cuò)解：因?yàn)?x3＞4x+2，且4x+2＞3x2，所以5x3＞3x2.移項(xiàng)，得5x3x＞2+3.解得.診斷：上面的解法套用了解方程組的方法，是否正確，我們可以在的條件下，任取一個(gè)x的值，看是否正確.如取x＝1，將它代入5x3＞4x+2，得2＞6（不成立）.可知不是原方程組的解集，其造成錯(cuò)誤的原因是由原不等式組變形為一個(gè)新的不等式時(shí)，改變了不等式的解集.正解：由5x3＞4x+2，得x＞5.由4x+2＞3x2，得x＞－4.綜合x＞5和x＞－4，得原不等式組的解集為x＞5.二、不等式的應(yīng)用問題1．市政公司為綠化一段沿江風(fēng)光帶，計(jì)劃購買甲、乙兩種樹苗共500株，甲種樹苗每株50元，乙種樹苗每株80元．有關(guān)統(tǒng)計(jì)表明：甲、乙兩種樹苗的成活率分別為90％和95％．（1）若購買樹苗共用了28000元，求甲、乙兩種樹苗各多少株?（2）若購買樹苗的錢不超過34000元，應(yīng)如何選購樹苗?（3）若希望這批樹苗的成活率不低于92％，且購買樹苗的費(fèi)用最低，應(yīng)如何選購樹苗?【分析】：由題意可知，第一題存在等量關(guān)系，考慮用方程來解決；后兩個(gè)問題存在不等關(guān)系，可用不等式來解決．【詳解】（1）設(shè)購甲種樹苗x株，則乙種樹苗為(500－x)株．依題意得50＋80(500—)＝28000解之得：＝400∴500－＝500－400＝100即：購買甲種樹苗400株，乙種樹苗100株．（2）由題意得：50＋80(500－)34000．解之得200即：購買甲種樹苗不小于200株．（3）由題意可得90%x＋95％(500—x)≥92％·500∴300設(shè)購買兩種樹苗的費(fèi)用之和為y元，則＝50＋80(500－)＝40000－30所以＝40000－30，其中的值隨的增大而減小，所以＝300時(shí)有最小值，＝40000－30300＝31000．【考點(diǎn)】本題考察了方程與不等式知識(shí)在實(shí)際問題中的應(yīng)用．2．下表給出甲、乙、丙三種食物的維生素的含量及成本：甲乙丙維生素（單位/千克）400600400維生素（單位/千克）800200400成本（元/千克）654某食物營養(yǎng)研究所將三種食物混合成110千克的混合物，使之至少需含48400單位的維生素及52800單位的維生素．求三種食物所需量與成本的關(guān)系式．【詳解】設(shè)需甲、乙兩種食物分別為千克，則丙需千克，設(shè)共需成本元，應(yīng)有【考點(diǎn)】本題考察了列不等式組的能力，解題關(guān)鍵應(yīng)抓住體現(xiàn)不等關(guān)系的關(guān)鍵詞語.如“至少”等．3.小明和小亮共下了10盤圍棋，小明勝一盤計(jì)1分，小亮勝一盤計(jì)3分．當(dāng)他倆下完第9盤后，小明的得分高于小亮；等下完第10盤后，小亮的得分高于小明．他們各勝過幾盤？（已知比賽中沒有出現(xiàn)平局）【分析】此題是一道反映不等關(guān)系的應(yīng)用題，抓住“當(dāng)他倆下完第9盤后，小明的得分高于小亮；等下完第10盤后，小亮的得分高于小明”這樣的關(guān)鍵語句表示不等關(guān)系；另外應(yīng)當(dāng)明確在比賽中，小明贏的盤數(shù)恰好等于小亮輸?shù)谋P數(shù)．【詳解】設(shè)下完10盤棋后，小亮勝了盤，根據(jù)題意得，，解得，則不等式組的正整數(shù)解為，所以小亮勝3盤，小明勝7盤．【不等式（組）在實(shí)際問題中問題的應(yīng)用】創(chuàng)設(shè)豐富多彩的密切聯(lián)系生活、旅游、商品購銷、生產(chǎn)等市場經(jīng)濟(jì)的實(shí)際問題的情景，讓學(xué)生從數(shù)學(xué)的視角探究問題的解題策略，是新課程標(biāo)準(zhǔn)設(shè)定的一個(gè)重要目標(biāo)，為了適應(yīng)這一理念，全國課改實(shí)驗(yàn)區(qū)的命題專家進(jìn)行了有益的嘗試，本文試摘取可抽象、轉(zhuǎn)化建立起與不等式（組）這一數(shù)學(xué)模型進(jìn)行解決的若干個(gè)實(shí)例加以剖析，以饗讀者.一、旅游租車問題“五一”黃金周期間，某學(xué)校計(jì)劃組織385名師生租車旅游，現(xiàn)知道出租公司有42座和60座兩種客車，42座客車的租金每輛為320元，60座客車的租金每輛為460元．（1）若學(xué)校單獨(dú)租用這兩種車輛各需多少錢？（2）若學(xué)校同時(shí)租用這兩種客車8輛（可以坐不滿），而且要比單獨(dú)租用一種車輛節(jié)省租金．請(qǐng)你幫助該學(xué)校選擇一種最節(jié)省的租車方案．分析：（1）題目中已經(jīng)告訴2種不同座位的客車的每輛的租金，只需求出承載385名師生所需每種客車所需的總輛數(shù)，便可求出學(xué)校單獨(dú)租用這兩種車輛各需多少錢.有如下解法：∵385÷42≈9.2，∴單獨(dú)租用42座客車需10輛，租金為320×10＝3200元．又385÷60≈6.4，∴單獨(dú)租用60座客車需7輛，租金為460×7＝3220元．（2）本問中的不等關(guān)系我們可從2個(gè)角度探究①2種客車8輛承載的人數(shù)應(yīng)不少于385名；②租用2種客車8輛的租金應(yīng)低于3200元（這是因?yàn)樵囶}要求“要比單獨(dú)租用一種車輛節(jié)省租金”）.若設(shè)租用42座客車x輛，則60座客車（8－x）輛，便可得到如下的不等式組：；解之得：≤x<．∵x取整數(shù)，∴x＝4，5．當(dāng)x＝4時(shí)，租金為320×4＋460×（8－4）＝3120元；當(dāng)x＝5時(shí)，租金為320×5＋460×（8－5）＝2980元．比較2個(gè)方案，顯然租用42座客車5輛，60座客車3輛時(shí)，租金最少．二、優(yōu)化購車方案的設(shè)計(jì)問題曉躍汽車銷售公司到某汽車制造廠選購A、B兩種型號(hào)的轎車，用300萬元可購進(jìn)A型轎車10輛，B型轎車15輛，用300萬元也可以購進(jìn)A型轎車8輛，B型轎車18輛.(1)求A、B兩種型號(hào)的轎車每輛分別為多少萬元？(2)若該汽車銷售公司銷售1輛A型轎車可獲利8000元，銷售1輛B型轎車可獲利5000元，該汽車銷售公司準(zhǔn)備用不超過400萬元購進(jìn)A、B兩種型號(hào)的轎車共30輛，且這兩種轎車全部售出后總獲利不低于20.4萬元，問有幾種購車方案？這幾種購車方案中，該汽車銷售公司將這些轎車全部售出后，分別獲利多少萬元？分析：(1)根據(jù)題目中“用300萬元提供的2種購車方案”容易布列方程組求出A、B兩種型號(hào)的轎車的單價(jià).若設(shè)A型轎車每輛為x萬元，B型轎車每輛為y萬元，則有解得，∴A、B兩種型號(hào)的轎車每輛分別為15萬元10萬元.(2)閱讀分析本問告知的條件可以發(fā)現(xiàn)提供的2個(gè)不等關(guān)系（關(guān)鍵的標(biāo)志是：不超過、不低于2個(gè)詞語）①不超過400萬元購車資金；②全部售出后總獲利不低于20.4萬元的利潤.據(jù)此2個(gè)不等關(guān)系，若設(shè)購進(jìn)A型號(hào)轎車a輛，則購進(jìn)B種型號(hào)轎車(30－a)輛，則有解之得18≤a≤20.∵a是整數(shù)∴a=18，19，20.∴有三種購車方案.方案1：購進(jìn)A型轎車18輛，購進(jìn)B型轎車12輛；方案2：購進(jìn)A型轎車19輛，購進(jìn)B型轎車11輛；方案3：購進(jìn)A型轎車20輛，購進(jìn)B型轎車10輛；汽車銷售公司將這些車全部售出后：方案1獲利18×0.8+12×0.5=20.4(萬元)方案2獲利19×0.8+11×0.5=20.7(萬元)方案3獲利20×0.8+10×0.5=21(萬元)所以有三種購車方案.在這三種購車方案中，汽車銷售公司將這些轎車全部售出后分別獲利為20.4萬元，20.7萬元，21萬元.三、工藝品的制作問題的探