專題07解三角形圖形類問題

專題07解三角形圖形類問題【方法技巧與總結(jié)】解決三角形圖形類問題的方法：方法一：兩次應(yīng)用余弦定理是一種典型的方法，充分利用了三角形的性質(zhì)和正余弦定理的性質(zhì)解題；方法二：等面積法是一種常用的方法，很多數(shù)學(xué)問題利用等面積法使得問題轉(zhuǎn)化為更為簡(jiǎn)單的問題，相似是三角形中的常用思路；方法三：正弦定理和余弦定理相結(jié)合是解三角形問題的常用思路；方法四：構(gòu)造輔助線作出相似三角形，結(jié)合余弦定理和相似三角形是一種確定邊長(zhǎng)比例關(guān)系的不錯(cuò)選擇；方法五：平面向量是解決幾何問題的一種重要方法，充分利用平面向量基本定理和向量的運(yùn)算法則可以將其與余弦定理充分結(jié)合到一起；方法六：建立平面直角坐標(biāo)系是解析幾何的思路，利用此方法數(shù)形結(jié)合充分挖掘幾何性質(zhì)使得問題更加直觀化.【題型歸納目錄】題型一：妙用兩次正弦定理題型二：兩角使用余弦定理題型三：張角定理與等面積法題型四：角平分線問題題型五：中線問題題型六：高問題【典例例題】題型一：妙用兩次正弦定理例1．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖，在梯形中，，，，．(1)若，求梯形的面積；(2)若，求．【解析】(1)設(shè)，在中，由余弦定理得：，即，而x>0，解得，所以，則的面積，梯形中，，與等高，且，所以的面積，則梯形的面積；(2)在梯形中，設(shè)，而，則，，，，在中，由正弦定理得：，在中，由正弦定理得：，兩式相除得：，整理得，即解得或，因?yàn)?，則，即．例2．（2022·河南安陽·模擬預(yù)測(cè)（理））如圖，在平面四邊形ABCD中，，，．(1)若，求的面積；(2)若，求BC．【解析】(1)由可得，又故，故(2)設(shè)，則，，在中，由正弦定理可得，即，交叉相乘化簡(jiǎn)得，即，利用降冪公式有，利用輔助角公式有，故，利用誘導(dǎo)公式可得，故，又，解得，又由正弦定理有，故例3．（江蘇省南京市寧海中學(xué)2023屆高三下學(xué)期4月模擬考試數(shù)學(xué)試題）在中，內(nèi)角的對(duì)邊分別為，，點(diǎn)在邊上，滿足，且．(1)求證：；(2)求．【解析】(1)，，；在中，由正弦定理得：；在中，由正弦定理得：；又，，即，.(2)在中，由余弦定理得：；在中，由余弦定理得：；，，即，整理可得：；在中，由余弦定理得：，則，，，即；.例4．（2023·湖北武漢·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在平面四邊形中，，，.(1)當(dāng)，時(shí)，求的面積；(2)當(dāng)，時(shí)，求.【解析】(1)當(dāng)時(shí)，在中，由余弦定理得，即，解得，，因?yàn)?，則，又，所以的面積是.(2)在中，由正弦定理得，即，在中，由正弦定理得，即，則，整理得，而，為銳角，所以.題型二：兩角使用余弦定理例5．（2023·湖北·襄陽四中模擬預(yù)測(cè)）在中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，角A的平分線AD交BC邊于點(diǎn)D.(1)證明：，；(2)若，，求的最小值.【解析】(1)在和中，可得，，所以，，由正弦定理，得，，兩式相除得，可得，，又由，根據(jù)余弦定理得所以代入可得.(2)解：由，及，可得根據(jù)基本不等式得，解得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，又由，，可得，所以的最小值是3.例6．（2023·湖北武漢·二模）如圖，內(nèi)一點(diǎn)滿足.(1)若，求的值；(2)若，求的長(zhǎng).【解析】(1)，此時(shí).在中，，又，故所以(2)設(shè)，在中，.在中，，代入得：.又，故.即，解得：，所以.例7．（2021·全國(guó)·高考模擬）記是內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，.已知，點(diǎn)在邊上，.（1）證明：；（2）若，求.【解析】（1）設(shè)的外接圓半徑為R，由正弦定理，得，因?yàn)?，所以，即．又因?yàn)?，所以．?）[方法一]【最優(yōu)解】：兩次應(yīng)用余弦定理因?yàn)椋鐖D，在中，，①在中，．②由①②得，整理得．又因?yàn)?，所以，解得或，?dāng)時(shí)，（舍去）．當(dāng)時(shí)，．所以．[方法二]：等面積法和三角形相似如圖，已知，則，即，而，即，故有，從而．由，即，即，即，故，即，又，所以，則．[方法三]：正弦定理、余弦定理相結(jié)合由（1）知，再由得．在中，由正弦定理得．又，所以，化簡(jiǎn)得．在中，由正弦定理知，又由，所以．在中，由余弦定理，得．故．[方法四]：構(gòu)造輔助線利用相似的性質(zhì)如圖，作，交于點(diǎn)E，則．由，得．在中，．在中．因?yàn)?，所以，整理得．又因?yàn)?，所以，即或．下同解?．[方法五]：平面向量基本定理因?yàn)?，所以．以向量為基底，有．所以，即，又因?yàn)?，所以．③由余弦定理得，所以④?lián)立③④，得．所以或．下同解法1．[方法六]：建系求解以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線為x軸，過點(diǎn)D垂直于的直線為y軸，長(zhǎng)為單位長(zhǎng)度建立直角坐標(biāo)系，如圖所示，則．由（1）知，，所以點(diǎn)B在以D為圓心，3為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)．設(shè)，則．⑤由知，，即．⑥聯(lián)立⑤⑥解得或（舍去），，代入⑥式得，由余弦定理得．題型三：張角定理與等面積法例8．（廣東省2023屆高三三模數(shù)學(xué)試題）已知△ABC中，分別為內(nèi)角的對(duì)邊，且.(1)求角的大?。?2)設(shè)點(diǎn)為上一點(diǎn)，是的角平分線，且，，求的面積.【解析】(1)在△ABC中，由正弦定理及得：，..由余弦定理得，又，所以(2)是的角平分線，，由可得因?yàn)?，，即有，，故?．（2023·湖北武漢·模擬預(yù)測(cè)）在中，設(shè)角，，所對(duì)的邊分別為，，，且(1)求；(2)若為上的點(diǎn)，平分角，且，，求.【解析】(1)因?yàn)?，所以由正弦定理可得：，整理?由余弦定理得：又因?yàn)樗?2)由（1）知.又因?yàn)槠椒纸?，所?由得.即.又因?yàn)?，，所?再由角平分線的性質(zhì)可知：例10．（2022·黑龍江·哈爾濱三中高三階段練習(xí)（理））在中，角A，B，C的對(duì)邊分別是a，b，c，且．(1)求角B的大小；(2)若，D為AC邊上的一點(diǎn)，，且______，求的面積．①BD是的平分線；②D為線段AC的中點(diǎn)．（從①，②兩個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在上面的橫線上并作答）．【解析】(1)由正弦定理知：又：代入上式可得：，則故有：又，則故的大小為：(2)若選①：由BD平分得：則有：，即在中，由余弦定理可得：又，則有：聯(lián)立可得：解得：（舍去）故若選②：可得：，，可得：在中，由余弦定理可得：，即聯(lián)立解得：故題型四：角平分線問題例11．（2022·河南·模擬預(yù)測(cè)（理））如圖，在中，D為邊BC的中點(diǎn)，的平分線分別交AB，AD于E，F(xiàn)兩點(diǎn)．(1)證明：；(2)若，，，求DE．【解析】(1)在中，由正弦定理可知，且在中，由正弦定理可知，因?yàn)镈為BC中點(diǎn)，即，所以，即．(2)當(dāng)時(shí)，可知，，又因?yàn)?，且為銳角，所以，所以，，因?yàn)椋?，，，，，由余弦定理可知，可得．?2．（2022·廣東佛山·三模）設(shè)的內(nèi)角、、的對(duì)邊分別為、、，已知，的平分線交于點(diǎn)，且．(1)求；(2)若，求．【解析】(1)解：由及正弦定理可得，、，則，所以，，解得，所以.(2)解：因?yàn)?，即，所以，因?yàn)?，則，所以，所以.例13．（2022·山東濰坊·模擬預(yù)測(cè)）已知的內(nèi)角、、的對(duì)邊分別為、、，且的面積為．(1)求；(2)若，的角平分線與邊相交于點(diǎn)，延長(zhǎng)至點(diǎn)，使得，求．【解析】(1)解：由題可知，所以，由余弦定理，所以，可得，因?yàn)椋?(2)解：不妨令，因?yàn)?，可得，，又因?yàn)闉榈慕瞧椒志€，所以，，得，所以在中，由余弦定理可得，即，在中，可得，，所以，為等邊三角形，所以，在中，由余弦定理可得，得．題型五：中線問題例14．（2023·廣東佛山·高三期末）中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且.(1)求角A的大小；(2)若邊上的中線，求的面積.【解析】(1)解；因?yàn)椋?，所以，即，因?yàn)?，所以，所以?2)在中，由余弦定理得，即①，在中，由余弦定理得，在中，由余弦定理得，因?yàn)椋瑑墒较嗉拥芒?，由①②得，所?例15．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）在中．．(1)求角；(2)若，點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，于點(diǎn)，且，求的長(zhǎng)．【解析】(1)，；，，，解得：.(2)是中點(diǎn)，，又，解得：；在中，由余弦定理得：，，則，.例16．（2023·海南海口·二模）在中，角的對(duì)邊分別為已知，．(1)求；(2)若，邊的中點(diǎn)為，求．【解析】(1)在中，由正弦定理，得．(2)由及，得，中，由余弦定理，得，即，解得或（舍），所以，又因?yàn)檫叺闹悬c(diǎn)為，所以即，在中，由余弦定理得，所以．題型六：高問題例17．（2023·河南·平頂山市第一高級(jí)中學(xué)模擬預(yù)測(cè)（理））在中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且．(1)求角A的大?。?2)若，的面積為4，求BC邊上的高．【解析】(1)，即．，，．又，．(2)，．故由余弦定理可知．而，解得，所以BC邊上的高為．例18．（2023·江蘇·南京市江寧高級(jí)中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）從①為銳角且sinB－cosC＝；②b＝2asin(C＋)這兩個(gè)條件中任選一個(gè)，填入橫線上并完成解答．在三角形ABC中，已知角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，．(1)求角A；(2)若b＝c且BC邊上的高AD為2，求CD的長(zhǎng)．【解析】(1)選①因?yàn)?，所以，由余弦定理得，，所以，即由正弦定理得在中，有，故由A為銳角，得選②因?yàn)閎＝2asin(C＋)，由正弦定理得即

化簡(jiǎn)得在中，有，由A為銳角得，所以，得(2)由題意得，，所以，又b＝c，所以由余弦定理，解得所以，，所以是鈍角三角形所以，所以在直角中，例19．（2023·北京房山·二模）在中，.(1)求；(2)再從下列三個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，使存在且唯一確定，求邊上的高.條件①：；條件②：；條件③：的面積為.注：如果選擇的條件不符合要求，第（2）問得0分；如果選擇多個(gè)符合要求的條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.【解析】(1)方法一：在中，因?yàn)?，所以由正弦定理可?因?yàn)椋?所以.在中，，所以，所以.方法二：在中，因?yàn)?，由余弦定理得，整理得所以，所?(2)選條件②：由（1）知因?yàn)樵谥?，，所以又，所以所以設(shè)邊上高線的長(zhǎng)為h，則.選條件③：因?yàn)樗裕捎嘞叶ɡ淼盟?設(shè)邊上高線的長(zhǎng)為h，則例20．（2023·山東青島·一模）在中，內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，且．(1)求角；(2)若，邊上的高為，求邊．【解析】(1)因?yàn)?，所以，所以由正弦定理得，所以由余弦定理得，因?yàn)椋?(2)由三角形面積公式得，，所以，即，由余弦定理得，將代入上式得，解得或（舍），所以邊.【過關(guān)測(cè)試】1．（2022·山東濰坊·統(tǒng)考三模）已知的內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，且．(1)求角的大??；(2)若，，的平分線交邊于點(diǎn)，求的長(zhǎng)．【解析】(1)，，由正弦定理得：，因?yàn)椋?，即，因?yàn)椋?，所以，即，因?yàn)椋?，，解得?(2)由（1）知：，所以，即，解得：，由余弦定理得：，所以，解得：，解得：或當(dāng)?shù)茫?，則，所以，在三角形ABT中，由正弦定理得：，，即，解得：；當(dāng)時(shí)，同理可得：；綜上：2．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖，在平面四邊形ABCD中，對(duì)角線平分的內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c.已知.(1)求B；(2)若，且________，求線段的長(zhǎng).從下面①②中任選一個(gè)，補(bǔ)充在上面的空格中進(jìn)行求解.①△ABC的面積；②.【解析】（1）因?yàn)?，所以，所以，所以，因?yàn)?，所以，所以，所?（2）選①，因?yàn)榈拿娣e，所以，即，，由余弦定理得所以，所以，因?yàn)槠椒?，所以，所以，選②，因?yàn)?，在中，由余弦定理：，即，所以，因?yàn)?，所以，因?yàn)槠椒?，所以，因?yàn)?，，由正弦定理得，，所以，又，所以，所以是直角三角形，且，所?3．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知圓的內(nèi)接四邊形ABCD中，，BC=2，．(1)求四邊形ABCD的面積；(2)設(shè)邊AB，CD的中點(diǎn)分別為E，F(xiàn)，求的值．【解析】（1）在中，在中，∵A，B，C，D四點(diǎn)共圓，∴，∴，∴，因?yàn)?，所以，所以，，?）由（1）可知即外接圓的直徑，設(shè)的中點(diǎn)為，所以，．4．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖，在平面四邊形中，，，且是邊長(zhǎng)為的等邊三角形，交于點(diǎn)．(1)若，求；(2)若，設(shè)，求．【解析】（1）因?yàn)椋傻?，因?yàn)?，可得，，故中，，可得．?）設(shè)，則，，在中，由余弦定理得，所以，可得，可得，可得，解得，因?yàn)?，則，得，則，所以，得．5．（2023春·全國(guó)·高一專題練習(xí)）在平面四邊形中，，，．(1)若的面積為，求；(2)記，若，，求．【解析】（1），解得，由余弦定理得，因此，.（2）在中，，在中，，

由正弦定理得，即，所以，，即，故.6．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖，在中，分別是的中點(diǎn)．從條件①；②中選擇一個(gè)作為已知條件，完成以下問題：(1)求的余弦值；(2)若相交于點(diǎn)，求的余弦值．（注：若兩個(gè)條件都選擇作答，則按第一個(gè)條件作答內(nèi)容給分）【解析】（1）若選擇條件①：在中，由余弦定理可求得，．若選擇條件②：在中，，，由余弦定理可求得，所以，在中，由余弦定理可求得．．（2）若選擇條件①：在中，由余弦定理可求得，由于分別是的中點(diǎn)，所以，則，，，在中，由余弦定理可得．連接，由，可得，則．所以，，在中，余弦定理求得．若選擇條件②：由于分別是的中點(diǎn)，所以，則，，，在中，由余弦定理可得．連接，由，可得，則．所以，，在中，余弦定理求得．7．（2022·湖南·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，在銳角中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，已知．(1)求的值；(2)在的延長(zhǎng)線上有一點(diǎn)D，使得，求．【解析】（1）在中，由正弦定理得，又在中，，所以上式可化為．因?yàn)?，所以，又因?yàn)槭卿J角三角形，．解得．（2）由（1）得：，又是銳角三角形，所以，所以．在中，由正弦定理得：，即，解得．8．（2022秋·福建福州·高三福建省福州屏東中學(xué)校考開學(xué)考試）在①，②，③這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面的問題中，使得問題成立，并求的長(zhǎng)和的面積．如圖，在中，D為邊上一點(diǎn)，，_______，求的長(zhǎng)和的面積．注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．【解析】選條件①，，所以．在中，由余弦定理，得．在中，由正弦定理，得，即，所以．所以，所以，所以．所以的面積為．選條件②，，所以，所以．在中，由正弦定理，得，得，．因?yàn)?，所以，所以，所以的面積為．選條件③，．所以．因?yàn)?，所以，在中，可得，所以．所以．在中，由正弦定理，得，得．因?yàn)?，所以，所以，所以．所以的面積為．9．（2022春·四川·高一四川省峨眉第二中學(xué)校校考期中）如圖，在平面四邊形ABCD中，，，．(1)求；(2)若，的面積為，求CD．【解析】(1)中，，．所以，所以；(2)中，由正弦定理得，，所以，又，所以，因?yàn)榈拿娣e，所以．10．（2022春·遼寧沈陽·高一沈陽市第一二〇中學(xué)?？茧A段練習(xí)）在△ABC中，，，，Q為△ABC內(nèi)一點(diǎn)，．(1)若，求；(2)若，求．【解析】(1)在△ABC中，，，，由余弦定理得：，即，則即，所以．在△QBC中，由正弦定理得：，即，解得，所以，所以，所以，在△AQC中，由余弦定理得：，即，所以．(2)因?yàn)?，，所以，設(shè)，則，所以，在Rt△AQB中，，在△QBC中，由正弦定理得：，即，所以，，解得：．11．（2022·江西南昌·南昌市實(shí)驗(yàn)中學(xué)校考一模）如圖，在中，角、、所對(duì)的邊分別為、、，．(1)求；(2)若，，，求的長(zhǎng)．【解析】（1）在中，由正弦定理得：，，，即，因?yàn)?，所?（2）∵，且，則，在中，，，，由余弦定理得，即，整理得,解得：或.經(jīng)驗(yàn)證或均滿足三角形中兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊.故的長(zhǎng)為1或3.12．（2023春·全國(guó)·高一專題練習(xí)）已知中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，點(diǎn)D在邊上，為的角平分線．．(1)求；(2)若，求的大?。窘馕觥浚?），，即由正弦定理可得，即（2），即設(shè)，則，解得13．（2022秋·湖北·高三校聯(lián)考開學(xué)考試）如圖，在平面四邊形ABCD中，，，．(1)若，求的面積；(2)若，求BC．【解析】（1）由可得，又故，故（2）設(shè)，則，，在中，由正弦定理可得，即，交叉相乘化簡(jiǎn)得，即，利用降冪公式有，利用輔助角公式有，故，利用誘導(dǎo)公式可得，故，又，解得，又由正弦定理有，故14．（2022·全國(guó)·河源市河源中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知凸四邊形ABCD滿足，點(diǎn)E為AD的中點(diǎn)，且.(1)求證：AB⊥AD；(2)若AD上一點(diǎn)F滿足，且有，求的余弦值.【解析】(1)連接AC，由余弦定理可知，化簡(jiǎn)得到，∴，△ACD為等腰三角形.∵點(diǎn)E為AD的中點(diǎn)，而等腰三角形三線合一，∴，又∵，∴AB⊥AD.(2)連接CF，由余弦定理得，將，代入上式，化簡(jiǎn)得，即，故.15．（2022春·湖北荊州·高一沙市中學(xué)?？计谥校┰谥?，，，，(1)若平分邊且交于，