第10章空間直線與平面（單元提升卷）

第10章空間直線與平面（單元提升卷）（滿分150分，完卷時(shí)間120分鐘）考生注意：1．本試卷含三個(gè)大題，共21題．答題時(shí)，考生務(wù)必按答題要求在答題紙規(guī)定的位置上作答，在草稿紙、本試卷上答題一律無(wú)效．2．除第一、二大題外，其余各題如無(wú)特別說(shuō)明，都必須在答題紙的相應(yīng)位置上寫(xiě)出解題的主要步驟．一、填空題1．已知直線和平面，若，則與的位置關(guān)系是________【答案】【詳解】?jī)蓷l直線同時(shí)垂直于一個(gè)平面，則這兩條直線互相平行，可以用反證法進(jìn)行證明：設(shè)于點(diǎn)，于點(diǎn)，假設(shè)與不平行，則過(guò)作直線，使，在平面內(nèi)取相交直線，與所成角等于與所成角，即且，是平面內(nèi)的相交直線，，這樣經(jīng)過(guò)點(diǎn)有兩條直線與與平面垂直，這是不可能的，所以假設(shè)不成立，可得，故答案為.2．三條不同的直線a、b、c，若，c與a、b都相交，則a、b、c三條直線能確定的平面的個(gè)數(shù)是______個(gè)．【答案】【分析】根據(jù)平面的基本性質(zhì)，即可得到a、b、c三條直線能確定唯一的平面，即可得到答案.【詳解】由直線，可得直線可以唯一確定一個(gè)平面，設(shè)該平面為，設(shè)，可得，因?yàn)?，所以，所以a、b、c三條直線能確定的平面的個(gè)數(shù)是個(gè).故答案為：.3．已知角的大小為150°,且異面直線分別與角的兩邊平行,則異面直線所成角的大小為_(kāi)________.【答案】30°【分析】根據(jù)異面直線所成角的定義可知.【詳解】因?yàn)楫惷嬷本€分別與角的兩邊平行，所以角（或其補(bǔ)角）為異面直線所成的角，由的大小為150°知，異面直線所成角的大小為30°故答案為30°【點(diǎn)睛】本題主要考查了異面直線所成的角，所成角的范圍，屬于容易題.4．線段AB在平面α的同側(cè)，A，B到α的距離分別為3和5，則AB的中點(diǎn)到α的距離為_(kāi)_______．【答案】4【分析】設(shè)AB的中點(diǎn)為M，分別過(guò)A，M，B向α作垂線，利用梯形中位線可得.【詳解】如圖，設(shè)AB的中點(diǎn)為M，分別過(guò)A，M，B向α作垂線，垂足分別為A1，M1，B1，則由線面垂直的性質(zhì)可知，AA1∥MM1∥BB1，且A，M，B共線，所以四邊形AA1B1B為直角梯形，AA1＝3，BB1＝5，MM1為其中位線，∴MM1＝4．故答案為：45．如圖，平面平面，，，是正三角形，O為的中點(diǎn)，則圖中直角三角形的個(gè)數(shù)為_(kāi)_____.【答案】6【解析】由面面垂直的性質(zhì)定理可得：平面，再逐一判斷即可得解.【詳解】解：，O為的中點(diǎn)，.又平面平面，且交線為，平面.平面，，為直角三角形.∴圖中的直角三角形有，，，，，，共6個(gè).故答案為：6.【點(diǎn)睛】本題考查了面面垂直的性質(zhì)定理，重點(diǎn)考查了空間想象能力，屬基礎(chǔ)題.6．如果直線與平面所成的角為，那么直線與平面內(nèi)的直線所成的角的取值范圍是______；【答案】【分析】由已知中一條直線與平面成角，根據(jù)“最小角定理”，可得這條直線與平面內(nèi)的直線所成角中最小值為，再根據(jù)線線夾角的定義，求出條直線與平面內(nèi)的直線所成角中最大值，即可求出這條直線與平面內(nèi)的直線所成角的取值范圍．【詳解】一條直線與平面成角，則這條直線與平面內(nèi)的直線所成角中，最小的角為，當(dāng)兩直線垂直時(shí)，最大值為故這條直線與平面內(nèi)的直線所成角的取值范圍是故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是直線與平面所成的角，其中確定直線與平面所成的角，是這條直線與平面內(nèi)的直線所成角的最小值，是解答本題的關(guān)鍵．7．已知m和n是兩條不同的直線，和是兩個(gè)不重合的平面，那么下面給出的條件中一定能推出的是______．①，且；②，且；③，且；④，且．【答案】②【分析】根據(jù)空間中線面、面面垂直的性質(zhì)定理與判定定理一一判斷即可；【詳解】解：由，是兩條不同的直線，，是兩個(gè)不重合的平面，知：在①中，且，則與相交、平行或，故①錯(cuò)誤；在②中，且，由直線與平面垂直的判定定理得，故②正確．在③中，且，則與相交、平行或，故③錯(cuò)誤；在④中，且，則與相交、平行或，故④錯(cuò)誤；故答案為：②．8．如圖，矩形ABCD的長(zhǎng)AB=2，寬AD=x，若PA⊥平面ABCD，矩形的邊CD上至少有一個(gè)點(diǎn)Q,使得PQ⊥BQ，則x的范圍是____________．【答案】0<x≤1試題分析：由PA⊥平面ABCD，PQ⊥BQ，可得BQ⊥AQ，從而問(wèn)題可轉(zhuǎn)化為以AB為直徑的圓與與線段CD有公共點(diǎn)．解：如圖所示：連接AQ，因?yàn)镻A⊥平面ABCD，BQ⊥PQ，BQ?平面ABCD，所以BQ⊥AQ，矩形的邊CD上至少有一個(gè)點(diǎn)Q，可轉(zhuǎn)化為以AB為直徑的圓與與線段CD有公共點(diǎn)，所以圓心到CD的距離小于等于半徑，即0＜x≤1．故答案0<x≤1考點(diǎn)：空間直線與直線的垂直關(guān)系點(diǎn)評(píng)：本題考查空間直線與直線的垂直關(guān)系，考查推理論證能力．9．如圖，水平放置的的斜二測(cè)直觀圖是圖中的，若，，則邊的實(shí)際長(zhǎng)度為_(kāi)__________【答案】【分析】由斜二測(cè)畫(huà)法的原理作出的原圖，即可求解.【詳解】由斜二測(cè)畫(huà)法的原理可得：，，且，所以，故答案為：.10．若空間中有兩條直線，則“這兩條直線為異面直線”是“這兩條直線沒(méi)有公共點(diǎn)”的___________條件.【答案】充分非必要【分析】準(zhǔn)確把握異面直線的定義“不同在任一平面內(nèi)的兩條直線”，即可得出結(jié)果.【詳解】若空間中有兩條直線，則“這兩條直線為異面直線”?“這兩條直線沒(méi)有公共點(diǎn)”；反之“這兩條直線沒(méi)有公共點(diǎn)”不能推出“這兩條直線為異面直線”，因?yàn)椤斑@兩條直線可能平行，可能為異面直線”；所以“這兩條直線為異面直線”是“這兩條直線沒(méi)有公共點(diǎn)”的充分非必要條件，故答案為：充分非必要.11．如圖，已知平面，，，，PB=，則二面角的大小為_(kāi)_______【答案】45°【分析】由平面，，可得，因此是二面角的平面角，利用線面垂直的性質(zhì)與勾股定理可得，，即可得出二面角的大小．【詳解】解：平面，平面，則又，且平面，平面，而平面，，是二面角的平面角，，，，．，PB=，．又，，二面角為.故答案為：.12．如圖，平面平面，，，AB與兩平面、所成的角分別為45°和30°，過(guò)A、B分別作兩平面交線的垂線，垂足為、，若AB＝12，則______．【答案】6【分析】要求，需要把它放入三角形中,連接,，則在中，分別利用和求得,，進(jìn)而利用勾股定理求解即可.【詳解】在中,,則，在中,,則，所以在中,，故答案為：.二、單選題13．設(shè)m?n是兩條不同的直線，?是兩個(gè)不同的平面，則下列命題正確的是（

）A．若，，則 B．若，則C．若，，則 D．若，，則【答案】C【分析】根據(jù)線線、線面、面面位置關(guān)系有關(guān)知識(shí)對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行分析，從而確定正確選項(xiàng).【詳解】A選項(xiàng)，，，則可能異面，A選項(xiàng)錯(cuò)誤.B選項(xiàng)，，則與不一定平行，B選項(xiàng)錯(cuò)誤.C選項(xiàng)，根據(jù)兩條平行線中的一條直線垂直一個(gè)平面，則另一條也垂直該面，C選項(xiàng)正確.D選項(xiàng)，，，可能，D選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：C14．在正方形中，、分別是及的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)．現(xiàn)在沿、及把這個(gè)正方形折成一個(gè)空間四邊形，使、、三點(diǎn)重合，重合后的點(diǎn)記為，那么，在空間四邊形中必有（

）A．所在平面 B．所在平面C．所在平面 D．所在平面【答案】A【分析】注意翻折前后的角度的變與不變，根據(jù)線面垂直的判定定理、性質(zhì)定理以及反證的數(shù)學(xué)思想方法逐一判斷即可.【詳解】對(duì)于A，在正方形中，，，所以在四面體中，，，又平面，，所以平面，故選項(xiàng)A正確；對(duì)于B，若平面，結(jié)合選項(xiàng)A，則，顯然矛盾，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；對(duì)于C，因?yàn)槊?，面，所以，又，平面，，所以平面，假設(shè)平面，則平面平面，顯然矛盾，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；對(duì)于D，因?yàn)槊?，面，所以，若平面，平面，則，平面，故，顯然矛盾，故D錯(cuò)誤；故選：A.15．在矩形ABCD中，，，平面ABCD，且.若邊BC上存在兩個(gè)不同的點(diǎn)?，使得，.則a的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由已知平面，通過(guò)線面垂直的性質(zhì)得到，結(jié)合，再根據(jù)線面垂直的判定定理得到平面，所以，從而將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求以為直徑的圓與邊有兩個(gè)交點(diǎn)，從而求得的范圍．【詳解】如圖所示，若，又有平面，得到，則有平面，所以，則“邊上存在兩個(gè)點(diǎn)使得”就轉(zhuǎn)化為“邊上存在兩個(gè)點(diǎn)使得，”，即以為直徑的圓與邊有兩個(gè)交點(diǎn)，則圓的圓心到邊的距離小于半徑，即，其中，，所以，即，所以的取值范圍是.故選：C16．下列說(shuō)法正確的個(gè)數(shù)（

）（1）三點(diǎn)確定一個(gè)平面；（2）一條直線和一個(gè)點(diǎn)確定一個(gè)平面；（3）兩條直線確定一個(gè)平面；（4）三角形和梯形一定為平面圖形.A．0 B．1 C．2 D．3【答案】B【分析】根據(jù)點(diǎn)直線與平面的位置關(guān)系,即可判斷四個(gè)選項(xiàng).【詳解】對(duì)于(1),當(dāng)三個(gè)點(diǎn)在同一直線上時(shí),三個(gè)點(diǎn)不能確定一個(gè)平面,所以(1)錯(cuò)誤;對(duì)于(2),當(dāng)點(diǎn)在直線上時(shí),不能確定一個(gè)平面,所以(2)不正確;對(duì)于(3),當(dāng)兩條直線異面時(shí),不能確定一個(gè)平面,所以(3)不正確;對(duì)于(4),三角形和梯形一定是平面圖形,所以(4)正確.綜上可知,正確的為(4)故選:B【點(diǎn)睛】本題考查了空間中點(diǎn)、直線與平面的位置關(guān)系,屬于基礎(chǔ)題.三、解答題17．已知是三個(gè)平面，且.（1）若，求證：a，b，c三線共點(diǎn).（2）若，則a與c，b與c有什么關(guān)系？為什么？【答案】（1）見(jiàn)解析；（2），，見(jiàn)解析【解析】（1）根據(jù)平面的基本性質(zhì)，即可證得三線共點(diǎn)，得到答案；（2）根據(jù)平面的基本性質(zhì)和平行線的性質(zhì)，即可證得，得到答案.【詳解】（1）由題意，知，可得，，因?yàn)?，可得，又由，可得，所以為與的公共點(diǎn).又，所以，所以三線共點(diǎn).（2）由題意，因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以，同理可證.所以.【點(diǎn)睛】本題主要考查了平面的基本性質(zhì)和平行線的性質(zhì)的應(yīng)用，其中解答中熟記平面的基本性質(zhì)，合理推理與論證是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與論證能力，屬于基礎(chǔ)題.18.如圖，在正方體中.(1)求異面直線和所成的角的余弦值；(2)求證：直線平面.【答案】(1)(2)證明見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)已知，可將異面直線和所成的角轉(zhuǎn)化為直線和所成的角，再根據(jù)題目的邊長(zhǎng)關(guān)系，即可完成求解；（2）可通過(guò)連接，證明四邊形為平行四邊形，從而得到，再利用線面平行的判定定理即可完成證明.(1)因?yàn)?，所以就是異面直線和所成的角.又因?yàn)闉檎襟w，所以異面直線和所成的角為，所以異面直線和所成的角的余弦值為.(2)連接，因?yàn)榍遥运倪呅螢槠叫兴倪呅?，所以；平面，平面；所以直線平面.即得證.19．如圖，長(zhǎng)方體中中，，，，分別為棱的中點(diǎn).（1）證明：平面平面；（2）求點(diǎn)到平面的距離.【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）【分析】（1）先證明平面，再利用面面垂直的判定定理，即可得答案；（2）設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，利用等積法，即，即可得答案；【詳解】（1）在和中，，故，又，故

故，故，即，因?yàn)槠矫嫫矫?，所以，又，，所以平面又平面，所以平面平面?）設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，由（1）得平面，故，在中，，在中，，即故即點(diǎn)到平面的距離為．【點(diǎn)睛】本題考查空間幾何點(diǎn)線面位置關(guān)系、線面垂直的性質(zhì)和判定、面面垂直的判定、三棱錐體積的求法等基礎(chǔ)知識(shí)；考查空間想象能力、推理論證能力、運(yùn)算求解能力；考查化歸與轉(zhuǎn)化的思想；考查直觀想象、邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng)．20．如圖，已知矩形ABCD所在平面外一點(diǎn)P，PA⊥平面ABCD，E、F分別是AB、PC的中點(diǎn)．(1)求證：；(2)若∠PDA＝45°，求EF與平面ABCD所成角的大?。敬鸢浮?1)證明見(jiàn)解析(2)45°【分析】（1）取PD中點(diǎn)G，連接AG、FG，證明四邊形AEFG是平行四邊形，可得，即可證明；（2）過(guò)G作，垂足為H，則，可得，根據(jù)，可得AG與平面ABCD所成的角等于EF與平面ABCD所成的角，從而可得∠GAH即為所求，從而可得出答案.(1)證明：如圖，取PD中點(diǎn)G，連接AG、FG，∵E、F分別為AB、PC的中點(diǎn)，∴，且，又在矩形ABCD中，且AB＝CD，∴且AE＝GF，∴四邊形AEFG是平行四邊形，∴，又平面PAD，平面PAD，∴；(2)解：∵，∴AG與平面ABCD所成的角等于EF與平面ABCD所成的角，過(guò)G作，垂足為H，則，∵PA⊥平面ABCD，∴GH⊥平面ABCD，∴∠GAH為AG與平面ABCD所成的角，∵∠PDA＝45°，G為PD的中點(diǎn)，∴∠GAH＝45°，即EF與平面ABCD所成的角為45°．21．如圖1，在矩形ABCD中，AB＝1，BC＝2，點(diǎn)E為AD的中點(diǎn)，將△ABE沿直線BE折起至平面PBE⊥平面BCDE（如圖2），點(diǎn)M在線段PD上，平面CEM．(1)求證：MP＝2DM；(2)求二面角B－PE－C的大?。?3)若在棱PB、PE上分別取中點(diǎn)F、G，試判斷點(diǎn)M與平面CFG的關(guān)系，并說(shuō)明理由．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)90°(3)平面CFG，理由見(jiàn)解析【分析】（1）設(shè)