2024北京八十中高二（上）期中數(shù)學(xué)（教師版）

第1頁/共1頁2024北京八十中高二（上）期中數(shù)學(xué)2024年10月（考試時(shí)間120分鐘滿分150分）提示：試卷答案請(qǐng)一律填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效.在答題卡上，選擇題用2B鉛筆作答，其他試題用黑色簽字筆作答.一、選擇題共10小題，每小題5分，共50分.在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng).1.已知，則與的夾角為（）A. B. C. D.2.圓：與圓：的位置關(guān)系為（）A.相交 B.相離 C.外切 D.內(nèi)切3.雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)是（）A. B. C. D.4.下列命題中，正確的是（）.A.若，則 B.若，則C.若，則 D.若，則5.兩平行直線與之間的距離為（）A. B. C.0 D.6.已知橢圓的方程為，則此橢圓的離心率為（）A. B. C. D.7.若構(gòu)成空間的一個(gè)基底，則下列向量可以構(gòu)成空間的另一個(gè)基底的是（）A. B. C. D.8.設(shè)，直線，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件9.已知直線與曲線有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的范圍是（）A. B.或C.或 D.10.如圖，在直三棱柱中，，是線段的中點(diǎn)，在內(nèi)有一動(dòng)點(diǎn)（包括邊界），則的最小值是（）A. B. C. D.二、填空題共6小題，每小題5分，共30分.11.已知向量，，且，則x的值為___________.12.方程表示一個(gè)圓，則m的取值范圍是．13.雙曲線的離心率為______，漸近線方程為____________．14.已知橢圓，則此橢圓的焦距長為__________；設(shè)為的兩個(gè)焦點(diǎn)，過的直線交橢圓于兩點(diǎn)，若，則__________.15.已知實(shí)數(shù)a，b滿足，則的最小值為___________.16.如圖，正方形ABCD的邊長為20米，圓O的半徑為1米，圓心足正方形的中心，點(diǎn)P、Q分別在線段AD、CB上，若線段PQ與圓O有公共點(diǎn)，則稱點(diǎn)Q在點(diǎn)P的“盲區(qū)”中.已知點(diǎn)P以1.5米/秒的速度從A出發(fā)向D移動(dòng)，同時(shí)，點(diǎn)Q以1米/秒的速度從C出發(fā)向B移動(dòng)，則點(diǎn)P從A移動(dòng)到D的過程中，點(diǎn)Q在點(diǎn)P的育區(qū)中的時(shí)長約為________秒（精確到0.1）三、解答題共5小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程.17.如圖，四棱錐的底面是正方形，側(cè)棱底面，，E是的中點(diǎn).（1）證明：平面；（2）求二面角的平面角的余弦值.18.已知圓C的圓心是直線與直線的交點(diǎn)，且和直線相切，直線，直線l與圓C相交于P，Q兩點(diǎn)．（1）求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）求直線l所過的定點(diǎn)；（3）當(dāng)?shù)拿娣e最大時(shí)，求直線l的方程．19.如圖，正方體的棱長為2，E為的中點(diǎn).點(diǎn)M在上.（1）求證：平面；（2）從下列三個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，使點(diǎn)M唯一確定.求直線與平面所成角的大小，及點(diǎn)E到平面的距離.條件①：條件②：條件③：平面注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.20.已知和為橢圓上的兩點(diǎn).（1）求橢圓C的方程和離心率；（2）設(shè)直線與橢圓C交于A、B兩點(diǎn)，求三角形AOB面積的取值范圍.21.設(shè)有限集合，對(duì)于集合，給出兩個(gè)性質(zhì)：①對(duì)于集合A中任意一個(gè)元素，當(dāng)時(shí)，在集合A中存在元素，使得，則稱A為的封閉子集；②對(duì)于集合A中任意兩個(gè)元素，都有，則稱A為的開放子集.（1）若，集合，判斷集合為的封閉子集還是開放子集；（直接寫出結(jié)論）（2）若，且集合A為的封閉子集，求的最小值；（3）若，且為奇數(shù)，集合A為的開放子集，求的最大值.

參考答案一、選擇題共10小題，每小題5分，共50分.在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng).1.【答案】C【分析】利用空間向量夾角的坐標(biāo)運(yùn)算公式計(jì)算即可.【詳解】解：，又，.故選：C.2.【答案】A【分析】根據(jù)圓心距以及圓的半徑確定正確選項(xiàng).【詳解】圓：的圓心為，半徑為.圓：的圓心為，半徑為.，，所以兩圓相交.故選：A3.【答案】C【分析】根據(jù)雙曲線方程可得實(shí)半軸長a，虛半軸長b，再由關(guān)系式求解即得.【詳解】雙曲線實(shí)半軸長a，虛半軸長b，依題意得，設(shè)雙曲線半焦距為c，則，解得，又雙曲線焦點(diǎn)在x軸上，所以焦點(diǎn)坐標(biāo)是.故選：C4.【答案】C【分析】利用絕對(duì)值的意義結(jié)合特殊值法判定即可.【詳解】若，即，但，故A、D錯(cuò)誤；若，即，但，故B錯(cuò)誤；顯然，則，故C正確.故選：C5.【答案】A【分析】先將直線的方程變形，然后利用兩平行線間的距離公式求解即可【詳解】由，得，所以兩直線間的距離為，故選：A6.【答案】B【分析】橢圓方程化成標(biāo)準(zhǔn)形式后求出代入離心率公式可得答案.【詳解】由得，所以，，.故選：B.7.【答案】D【分析】利用空間向量基本定理逐個(gè)判斷各個(gè)選項(xiàng)即可．【詳解】解：對(duì)于選項(xiàng)A：因?yàn)?，所以，，共面，不能?gòu)成基底，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤，對(duì)于選項(xiàng)B：因?yàn)?，所以，，共面，不能?gòu)成基底，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤，對(duì)于選項(xiàng)C：因?yàn)?，，，共面，不能?gòu)成基底，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤，對(duì)于選項(xiàng)D：若，，共面，則，即，則，無解，所以，，不共面，可以構(gòu)成空間的另一個(gè)基底，故選項(xiàng)D正確.故選：D．8.【答案】A【分析】求出的值，再利用充分條件和必要條件的判斷方法，即可求解.【詳解】因?yàn)橹本€，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，即可以推出，當(dāng)時(shí)，，解得或，又時(shí)，，此時(shí)，所以推不出，所以“”是“”的充分不必要條件，故選：A.9.【答案】C【分析】把曲線方程整理后可知表示半圓，進(jìn)而畫出圖象來，要使直線與曲線有且僅有一個(gè)交點(diǎn)，那么很容易從圖上看出其三個(gè)極端情況分別是：直線在第四象限與曲線相切，交曲線于和另一個(gè)點(diǎn)，及與曲線交于點(diǎn)0,1，分別求出，則的范圍可得．【詳解】曲線，即，表示一個(gè)半圓（單位圓位于軸及軸右側(cè)的部分）．

如圖，、、，當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)時(shí)，，求得；當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)、點(diǎn)時(shí)，，求得；當(dāng)直線和半圓相切時(shí)，由圓心到直線的距離等于半徑，可得，求得，或（舍去），故要求的實(shí)數(shù)的范圍為或，故選：C．10.【答案】C【分析】由題意建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)A關(guān)于平面的對(duì)稱點(diǎn)為，求出、和平面的法向量，進(jìn)而利用A與到平面的距離相等得①，再由得②從而求出，接著由結(jié)合兩點(diǎn)間距離公式即可得解.【詳解】由題意可以為原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，所以，設(shè)A關(guān)于平面的對(duì)稱點(diǎn)為，則，，設(shè)平面的法向量，則，，令，則，所以，所以A與到平面的距離即①，又，所以②，所以由①②得，所以由可得，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)取等號(hào)，所以的最小值為.故選：C.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法解決，設(shè)A關(guān)于平面的對(duì)稱點(diǎn)為，利用A與到平面的距離相等和求出，接著由結(jié)合兩點(diǎn)間距離公式求出即可得解.二、填空題共6小題，每小題5分，共30分.11.【答案】【分析】根據(jù)給定條件利用空間向量垂直的坐標(biāo)表示計(jì)算作答.【詳解】因向量，，且，則有，解得，所以x的值為.故答案為：12.【答案】【詳解】試題分析：由題表示一個(gè)圓，可得；考點(diǎn)：圓的方程.13.【答案】①.②.【分析】將雙曲線化成標(biāo)準(zhǔn)方程求解進(jìn)而得到離心率和漸近線即可【詳解】由題，雙曲線中，即，故，故離心率，漸近線方程為，即故答案為：；14.【答案】①.8②.8【分析】利用橢圓的定義可得，兩式相加即可求解.【詳解】由橢圓方程可知：，，則，橢圓的焦距長為；由橢圓的定義得，，兩式相加得，即，可得．故答案為：8；8．15.【答案】5【分析】由題可知，表示的是直線上一點(diǎn)到定點(diǎn)，的距離之和，然后求出點(diǎn)N關(guān)于直線對(duì)稱的點(diǎn)為，再根據(jù)三點(diǎn)共線時(shí)，最小，即最小，即可求出結(jié)果.【詳解】由題可知，表示的是直線上一點(diǎn)到定點(diǎn)，的距離之和.如圖，設(shè)點(diǎn)N關(guān)于直線對(duì)稱的點(diǎn)為，則，解得，當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，最小，即最小所以的最小值為.故答案為：5.16.【答案】4.4【分析】以為坐標(biāo)原點(diǎn),建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系,求得的坐標(biāo)和直線的方程,圓方程,運(yùn)用點(diǎn)到直線的距離公式,以及直線和圓相交的條件,解不等式即可得到所求時(shí)長.【詳解】以為坐標(biāo)原點(diǎn),建立如圖所示的直角坐標(biāo)系：由題意可設(shè)，所以直線的方程為：，圓方程為：，因?yàn)橹本€與圓有交點(diǎn)，所以，化為，解得，所以點(diǎn)在點(diǎn)的盲區(qū)中的時(shí)長約為秒.故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查直線和圓的方程的應(yīng)用，直線和圓的位置關(guān)系,坐標(biāo)法和二次不等式的解法,屬于中檔題.三、解答題共5小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程.17.【答案】（1）證明見解析（2）【分析】（1）連接，交于點(diǎn)，根據(jù)中位線定理和線面平行的判定定理進(jìn)行證明.（2）利用線面垂直的判定定理和性質(zhì)定理及平面幾何的知識(shí)，證明得到是二面角的平面角，從而計(jì)算得到結(jié)果.【小問1詳解】連接，交于點(diǎn)，由底面是正方形，可知為的中點(diǎn)，又是的中點(diǎn)，是的中位線，，又平面，平面，平面.【小問2詳解】設(shè)，，底面，底面，，即是直角三角形，，又E是的中點(diǎn)，，同理可得，且，，平面，平面，，在直角中，，，，又，二面角的平面角為，.二面角的平面角的余弦值為.18.【答案】（1）（2）（3）或【分析】（1）依次求出圓心和半徑即可得解；（2）由題意列出方程組即可求解；（3），當(dāng)時(shí)，面積最大，此時(shí)為等腰直角三角形，圓心到直線l的距離，據(jù)此即可求出m.【小問1詳解】，圓C的圓心的圓心坐標(biāo)為，且和直線相切，所以圓C的半徑為，所以圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為；【小問2詳解】由，得，由，∴直線l過定點(diǎn)；【小問3詳解】∵，∴當(dāng)時(shí)，面積最大，此時(shí)為等腰直角三角形，故圓心到直線l的距離，∴，解得，∴此時(shí)l的方程為：或.19.【答案】（1）證明見解析（2）直線與平面所成角為；點(diǎn)E到平面的距離為【分析】（1）根據(jù)正方體的特征得到側(cè)棱垂直于底面，即側(cè)棱垂直于底面中的任意一條直線，對(duì)角線互相垂直平分，即可得到線面垂直；（2）分別選條件①②③，結(jié)合線面平行位置關(guān)系的判定定理和性質(zhì)定理，即可得到條件①不符合題意，②③均可使點(diǎn)M唯一確定，再根據(jù)建立空間直角坐標(biāo)系集合向量，利用向量的夾角公式求得結(jié)果.【小問1詳解】證明：∵是正方體，∴平面，，即，∵，∴平面，又點(diǎn)M在上，所以平面；【小問2詳解】選條件①：由，根據(jù)正方體的對(duì)稱性可知，此時(shí)為上的任意一點(diǎn)，不符合題意；選條件②：，連接，在正方體中，根據(jù)平面，∵平面，∴，又，∴，∵平面，∴，又為中點(diǎn)，∴為中點(diǎn)，即此時(shí)為上確定的一點(diǎn)；，選條件③：平面，連接，∵平面，平面，且平面平面，∴，∵為中點(diǎn)，∴為中點(diǎn)，即此時(shí)為上確定的一點(diǎn)；根據(jù)題意條件①不符合題意，條件②③均可使點(diǎn)M唯一確定，并且可得到為中點(diǎn)，根據(jù)正方體的特征建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示：，則，∴，則，設(shè)平面法向量為，則，令，則，∴，即，，設(shè)直線與平面所成角為，則，∴直線與平面所成角為；點(diǎn)E到平面的距離為.20.【答案】（1），；（2）【分析】（1）利用，兩點(diǎn)坐標(biāo)，求出，再利用求出，進(jìn)而得到橢圓方程與離心率；（2）聯(lián)立橢圓方程與直線方程，求出AB弦長，再求出點(diǎn)O到AB的距離，求出三角形AOB面積，研究該函數(shù)的最值即可.【小問1詳解】解：和為橢圓上的兩點(diǎn)，所以，解之得，，又因?yàn)?，所?所以橢圓C的方程為，離心率.【小問2詳解】解：聯(lián)立方程，消去得，因?yàn)椋栽O(shè)交點(diǎn)，，則，，所以.又因?yàn)辄c(diǎn)到直線的距離為，所以三角形AOB面積令，則（當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)，等號(hào)成立），也就是當(dāng)時(shí)，三角形AOB面積取最大值又因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，所以三角形AOB面積的取值范圍是.21.【答案】（1）A為的封閉子集，B為E的開放子集（2）9（3）【分析】對(duì)于（1），利用封閉子集，開放子集定義可得答案；對(duì)于（2），，設(shè).因集合A中任意一個(gè)元素，當(dāng)時(shí)，在集合A中存在元素，使得，則，其中.據(jù)此可得，得，后排除8，再說明9符合題意即可；對(duì)于（3），因，且為奇數(shù)，當(dāng)時(shí)，得；當(dāng)，將里面的奇數(shù)組成集合A，說明集合A為E開放子集，且為最大值即可.【小問1詳解】對(duì)于A，因，且，則A為E的封閉子集；對(duì)于B，由題可得，注意到其中任意兩個(gè)元素相加之和都不在B中，任意元素也不是其他兩個(gè)元素之和，且，故B為E的開放子集；【小問2詳解】由題：，設(shè).因集合A中任意一個(gè)元素，當(dāng)時(shí)，在集合A中存在元素，使得，則，其中.得，，，.因，則.若，則，則在A中存在元素，使它們的和為.又，則當(dāng)時(shí)，，得，則在A中存在元素，使它們的和為.又當(dāng)時(shí)，，得，則在A中存在元素，使它們的和為.注意到奇數(shù)，且，故不存在元素，使，這與集合A為的封閉子集矛盾，