2024北京北師大實(shí)驗(yàn)中學(xué)高二（上）期中數(shù)學(xué)（教師版）

第1頁/共1頁2024北京北師大實(shí)驗(yàn)中學(xué)高二（上）期中數(shù)學(xué)2024年11月本試卷共4頁，共150分．考試時(shí)長(zhǎng)120分鐘．考生務(wù)必將答案答在答題卡上，在試卷上作答無效．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回．第一部分（選擇題，共40分）一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分，在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng)．1．已知直線l的傾斜角為，則l的斜率為（）A. B. C. D.2．已知點(diǎn)P在橢圓上，點(diǎn)，，則（）A.2 B. C. D.3．已知圓關(guān)于直線對(duì)稱，則實(shí)數(shù)（）A.－2 B.－1 C.1 D.24．以為圓心，并且與x軸相切的圓的方程為（）A. B.C. D.5．已知點(diǎn)Q為直線l∶上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P滿足，記P的軌跡為E，則（）A.E上的點(diǎn)到l的距離均為 B.E是一條與l相交的直線C.E是一個(gè)半徑為的圓 D.E是兩條平行直線6．如圖，三棱錐中，平面ABC，，且為邊長(zhǎng)等于2的正三角形，則DA與平面DBC所成角的正弦值為（）A. B. C. D.7．已知點(diǎn)M是直線上的動(dòng)點(diǎn)，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，則以O(shè)M為直徑的圓一定經(jīng)過點(diǎn)（）A.和 B.和 C.和 D.和8．已知橢圓C：的離心率為e，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件9．布達(dá)佩斯的伊帕姆維澤蒂博物館收藏的達(dá)·芬奇方磚，在正六邊形上畫了具有視覺效果的正方體圖案（如圖1），把三片這樣的達(dá)·芬奇方磚形成圖2的組合，這個(gè)組合表達(dá)了圖3所示的幾何體．若圖3中每個(gè)正方體的棱長(zhǎng)為1，則點(diǎn)P到平面QGC的距離是（）A. B. C. D.110．如圖，已知正方體的棱長(zhǎng)為1，點(diǎn)M為棱AB的中點(diǎn)，點(diǎn)P在正方形的邊界及其內(nèi)部運(yùn)動(dòng)．以下四個(gè)結(jié)論中錯(cuò)誤的是（）A.存在點(diǎn)P滿足 B.存在點(diǎn)P滿足C.滿足的點(diǎn)P的軌跡長(zhǎng)度為 D.滿足的點(diǎn)P的軌跡長(zhǎng)度為第二部分（非選擇題，共110分）二、填空題共5小題，每小題5分，共25分．11．橢圓的離心率為______．12．已知直線：，：．若，則實(shí)數(shù)m的值為______．13．在正三棱柱中，，，則異面直線與所成角的大小為______．14．已知點(diǎn)P是圓上的動(dòng)點(diǎn)，直線：，：，記P到直線，的距離分別為，（若P在直線上，則記距離為0），（1）的最大值為______；（2）若當(dāng)點(diǎn)P在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，為定值，則m的取值范圍是______．15．伯努利雙紐線（簡(jiǎn)稱雙紐線）是瑞士數(shù)學(xué)家伯努利（1654-1705）在1694年提出的．伯努利將橢圓的定義作了類比處理，指出是到兩個(gè)定點(diǎn)距離之積為定值的點(diǎn)的軌跡是雙紐線．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，到定點(diǎn)，的距離之積為的點(diǎn)的軌跡C就是伯努利雙紐線，C的方程為，其形狀類似于符號(hào)∞，若點(diǎn)是軌跡C上一點(diǎn)，給出下列四個(gè)結(jié)論：①曲線C關(guān)于原點(diǎn)中心對(duì)稱；②恒成立；③曲線C上任一點(diǎn)到原點(diǎn)的距離不超過；④當(dāng)時(shí)，取得最大值或最小值．其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是______．三、解答題共6小題，共85分．解答題應(yīng)寫出文字說明、驗(yàn)算步驟或證明過程．16．（13分）已知直線l：，．（Ⅰ）當(dāng)直線l與直線垂直時(shí)，求的值；（Ⅱ）設(shè)直線l恒過定點(diǎn)P，求P的坐標(biāo)；（Ⅲ）若對(duì)任意的實(shí)數(shù)，直線l與圓總有公共點(diǎn)，直接寫出r的取值范圍．17．（13分）已知經(jīng)過點(diǎn)，，并且圓心C在直線上，（Ⅰ）求的方程；（Ⅱ）設(shè)過點(diǎn)的直線l與交于M，N兩點(diǎn)，若，求l的方程．18．（14分）已知橢圓C：的左、右焦點(diǎn)分別為和，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4．（Ⅰ）求橢圓C的方程；（Ⅱ）設(shè)P為橢圓C上一點(diǎn)，．若存在實(shí)數(shù)使得，求的取值范圍．19．（15分）如圖，在三棱臺(tái)中，平面ABC，，，，N為AB的中點(diǎn)，M為棱BC上一動(dòng)點(diǎn)（不包含端點(diǎn)）．（Ⅰ）若M為BC的中點(diǎn)，求證：平面；（Ⅱ）是否存在點(diǎn)M，使得平面與平面所成角的余弦值為?若存在，求出BM的長(zhǎng)度；若不存在，請(qǐng)說明理由．20．（15分）平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)M到點(diǎn)的距離比它到x軸的距離多1，記點(diǎn)M的軌跡為C．（Ⅰ）求軌跡C的方程；（Ⅱ）設(shè)斜率為k的直線l過定點(diǎn)，若直線l與軌跡C恰好有一個(gè)公共點(diǎn)，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．21．（15分）用一個(gè)矩形鐵皮制作成一個(gè)直角圓形彎管（如圖1）：將該矩形鐵皮圍成一個(gè)圓柱體（如圖2），再用一個(gè)與圓柱底面所成45°的平面截圓柱，將圓柱截成兩段，再將這兩段重新拼接就可以得到直角圓形彎管．現(xiàn)使用長(zhǎng)為，寬為的矩形鐵皮制作一個(gè)直角圓形彎管，當(dāng)?shù)玫降闹苯菆A形彎管的體積最大時(shí)（不計(jì)拼接損耗部分），解答下列問題．（Ⅰ）求該直角圓形彎管的體積；（Ⅱ）已知在制造直角圓形彎管時(shí)截得的截口是一個(gè)橢圓，求該橢圓的離心率；（Ⅲ）如圖3，若將圓柱被截開的一段的側(cè)面沿著圓柱的一條母線剪開，并展成平面圖形（如圖4），證明：該截口展開形成的圖形恰好是某正弦型函數(shù)的部分圖象，并指出該正弦型函數(shù)的最小正周期與振幅．

參開答案一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分，在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng)．1．D2．C3．D4．B5．A6．B7．D8．A9．B10．C二、填空題共5小題，每小題5分，共25分．11．12．－313．14．3，15．①②③注：14題第一空3分，第二空2分；15題選對(duì)1個(gè)給3分，選對(duì)兩個(gè)給4分，有錯(cuò)誤不給分．三、解答題共6小題，共85分．解答題應(yīng)寫出文字說明、驗(yàn)算步驟或證明過程．16．解：（Ⅰ）直線l的法向量為，由題知，解得．（Ⅱ）直線l：，令，解得即點(diǎn)．（Ⅲ）．17．解：（Ⅰ）由，線段AB中點(diǎn)為，可知線段AB的垂直平分線方程為，由圓的對(duì)稱性知點(diǎn)C在AB的垂直平分線上，因此聯(lián)立解得即點(diǎn)．又因?yàn)?，所以，圓C：．（Ⅱ）當(dāng)?shù)男甭什淮嬖跁r(shí)，：，此時(shí)，，滿足題意；當(dāng)?shù)男甭蚀嬖跁r(shí)，設(shè)：，即，因?yàn)?，所以C到的距離為，因此，，解得，此時(shí)，直線：，綜上，直線的方程為或．18．解：（Ⅰ）由題知解得所以，C的方程為．（Ⅱ）由橢圓的定義可知，設(shè)點(diǎn)，其中，，因?yàn)?，所以，，即?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，，時(shí)，，因?yàn)?，所以，．綜上所述，的取值范圍是．19．解：（Ⅰ）連接MN，由M，N分別為BC，AB的中點(diǎn)，知且，因此，，且，所以，是平行四邊形，故，因?yàn)槊?，面，所以，平面．（Ⅱ）因?yàn)?，AB，AC兩兩垂直，所以建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，則，，因?yàn)槠矫?，所以平面的法向量為，假設(shè)存在滿足題意的點(diǎn)M，且，則，設(shè)平面的法向量為，則有不妨設(shè)，得，所以，，兩邊平方，整理得，解得或（舍），經(jīng)檢驗(yàn)，滿足題意，因此，存在點(diǎn)M，只需，即即可．20．解：（Ⅰ）設(shè)點(diǎn)，由題知，兩邊平方，并整理得所以，軌跡C的方程為．（Ⅱ）直線l：，當(dāng)時(shí)，聯(lián)立消去y得，，當(dāng)，即或時(shí)，有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)且滿足題意；當(dāng)，即時(shí)，無公共點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，令，，當(dāng)時(shí)，無公共點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，有一個(gè)公共點(diǎn)；綜合以上可知當(dāng)時(shí)，有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，故k的取值范圍是．21．解：（Ⅰ）當(dāng)矩形的寬作為圓柱的高時(shí)，體積最