2024北京陳經(jīng)綸九年級（上）期中數(shù)學(xué)（教師版）

第1頁/共1頁2024北京陳經(jīng)綸初三（上）期中數(shù)學(xué)時間：90分鐘滿分：100分一、選擇題：本大題共8個小題，每小題3分，共24分．在每小題給出的四個選項中，有且只有一項是符合題目要求的．1.拋物線的頂點坐標(biāo)是（）A. B. C. D.2.用配方法解方程，變形后結(jié)果正確的是（）A. B. C. D.3.圖中的五角星圖案，繞著它的中心O旋轉(zhuǎn)后，能與自身重合，則n的值至少是（）A.144 B.72 C.60 D.504.若關(guān)于x的一元二次方程有兩個相等的實數(shù)根，則實數(shù)m的值為（）A.4 B. C. D.25.將拋物線的圖象向左平移2個單位，再向下平移3個單位，得到的拋物線是（）A. B.C. D.6.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，△ABC頂點的橫、縱坐標(biāo)都是整數(shù)．若將△ABC以某點為旋轉(zhuǎn)中心，順時針旋轉(zhuǎn)90°得到△DEF，其中A、B、C分別和D、E、F對應(yīng)，則旋轉(zhuǎn)中心的坐標(biāo)是（）A.（0，0） B. C. D.7.，，三點都在二次函數(shù)的圖像上，則的大小關(guān)系為（）A. B. C. D.8.四位同學(xué)在研究二次函數(shù)時，甲同學(xué)發(fā)現(xiàn)函數(shù)圖象的對稱軸是直線；乙同學(xué)發(fā)現(xiàn)當(dāng)時，；丙同學(xué)發(fā)現(xiàn)函數(shù)的最小值為；丁同學(xué)發(fā)現(xiàn)是一元二次方程的一個根，已知這四位同學(xué)中只有一位同學(xué)發(fā)現(xiàn)的結(jié)論是錯誤的，則該同學(xué)是()A.甲 B.乙 C.丙 D.丁二、填空題：本大題共8個小題，每小題3分，共24分．9.方程的解是_____．10.請寫出一個開口向上，并且與y軸交于點的拋物線的表達式______．11.如圖，將繞點逆時針旋轉(zhuǎn)，得到，若，則的度數(shù)__________．12.如圖，已知二次函數(shù)與一次函數(shù)的圖象相交于點，則的解是_____．13.杭州亞運會的吉祥物“江南憶”出自唐朝詩人白居易的名句“江南憶，最憶是杭州”，它融合了杭州的歷史人文、自然生態(tài)和創(chuàng)新基因．經(jīng)統(tǒng)計，某商店吉祥物“江南憶”6月份的銷售量為1200件，8月份的銷售量為1452件，設(shè)吉祥物“江南憶”6月份到8月份銷售量的月平均增長率為x，則可列方程為______．14.若關(guān)于的一元二次方程的一個根為，則的值為___________．15.汽車剎車后行駛的距離（單位：）關(guān)于行駛的時間（單位：）的函數(shù)解析式是：，汽車剎車后前進了______米才能停下來．16.車間里有五臺車床同時出現(xiàn)故障．已知第一臺至第五臺修復(fù)的時間如下表：車床代號ABCDE修復(fù)時間（分鐘）15829710若每臺車床停產(chǎn)一分鐘造成經(jīng)濟損失10元，修復(fù)后即可投入生產(chǎn)．（1）若只有一名修理工，且每次只能修理一臺車床，則下列三個修復(fù)車床的順序：①；②；③中，經(jīng)濟損失最少的是______（填序號）；（2）若由兩名修理工同時修理車床，且每臺車床只由一名修理工修理，則最少經(jīng)濟損失為______元．三．解答題：共52分，第17-24題，每題5分，第25-26題，每題6分．解答應(yīng)寫出文字說明、演算步驟或證明過程．17.解方程．18.若是關(guān)于的一元二次方程的根，求代數(shù)式的值．19.如圖，是直角三角形，，將繞點C順時針旋轉(zhuǎn)．（1）試作出旋轉(zhuǎn)后的，其中B與D是對應(yīng)點；（2）在作出的圖形中，已知，求的長．20.已知拋物線圖象上部分點的橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)的對應(yīng)值如下表：…0123……500…（1）并畫出圖象；（2）求此拋物線的解析式；（3）結(jié)合圖象，直接寫出當(dāng)時的取值范圍．21.已知關(guān)于x的一元二次方程．（1）求證：無論m取何值，方程總有兩個實數(shù)根；（2）若方程的一個實數(shù)根是另一個實數(shù)根的兩倍，求m的值．22.景區(qū)內(nèi)有一塊米的矩形郁金香園地（數(shù)據(jù)如圖所示，單位：米），現(xiàn)在其中修建一條花道（陰影所示），供游人賞花．若改造后觀花道的面積為平方米，求x的值．23.數(shù)學(xué)活動課上，老師提出一個探究問題：制作一個體積為，底面為正方形的長方體包裝盒，當(dāng)?shù)酌孢呴L為多少時，需要的材料最?。ǖ酌孢呴L不超過3，且不考慮接縫）．某小組經(jīng)討論得出：材料最省，就是盡可能使得長方體的表面積最?。旅媸撬麄兊奶骄窟^程，請補充完整：（1）設(shè)長方體包裝盒的底面邊長為x，表面積為、可以用含x的代數(shù)式表示長方體的高為．根據(jù)長方體的表面積公式：長方體表面積=2×底面積+側(cè)面積．得到y(tǒng)與x的關(guān)系式：_________（）；（2）列出y與x的幾組對應(yīng)值：（說明：表格中相關(guān)數(shù)值精確到十分位）x/…0.51.01.52.02.53.0…80.542.031.2①28.531.3（3）在下面的平面直角坐標(biāo)系xOy中，描出以補全后的表中各對對應(yīng)值為坐標(biāo)的點，畫出該函數(shù)的圖象：（4）結(jié)合畫出的函數(shù)圖象，解決問題：長方體包裝盒的底面邊長約為_______時，需要的材料最省．24.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線的對稱軸為點，，在拋物線上．（1）當(dāng)時，直接寫出m與n的大小關(guān)系；（2）若對于都有求t的取值范圍．25.在中，，，將線段繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)得到線段，連接，．（1）如圖1，當(dāng)時，則______（用含有的式子表示）；（2）如圖2，當(dāng)時，作的角平分線交的延長線于點F，交于點E，連接．①依題意在圖2中補全圖形，并求的度數(shù)；②用等式表示線段，，之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．26.對于平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的點P和圖形M，給出如下定義：如果點P繞原點O順時針旋轉(zhuǎn)得到點，點落在圖形M上或圖形M圍成的區(qū)域內(nèi)，那么稱點P是圖形M關(guān)于原點O的“伴隨點”．已知點．（1）在點中，點______是線段AB關(guān)于原點O的“伴隨點”；（2）如果點是關(guān)于原點O的“伴隨點”，直接寫出m的取值范圍；（3）已知拋物線上存在關(guān)于原點O的“伴隨點”，求n的最大值和最小值．

參考答案一、選擇題：本大題共8個小題，每小題3分，共24分．在每小題給出的四個選項中，有且只有一項是符合題目要求的．1.【答案】A【分析】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，熟練掌握利用頂點式解析式寫出頂點坐標(biāo)的方法是解題的關(guān)鍵．根據(jù)拋物線的頂點解析式寫出頂點坐標(biāo)即可．【詳解】解：頂點式頂點坐標(biāo)是，拋物線的頂點坐標(biāo)是，故選：A．2.【答案】D【分析】本題考查配方法，根據(jù)配方法的步驟：一除二移三配方，進行配方即可．【詳解】解：∴；故選D．3.【答案】B【分析】五角星圖案，可以被平分成五部分，因而每部分被分成的圓心角是，并且圓具有旋轉(zhuǎn)不變性，因而旋轉(zhuǎn)72度的整數(shù)倍，就可以與自身重合．【詳解】該圖形被平分成五部分，旋轉(zhuǎn)72度的整數(shù)倍，就可以與自身重合，∴旋轉(zhuǎn)的度數(shù)至少為，故選：B．【點睛】本題考查旋轉(zhuǎn)對稱圖形的概念：把一個圖形繞著一個定點旋轉(zhuǎn)一個角度后，與初始圖形重合，這種圖形叫做旋轉(zhuǎn)對稱圖形，這個定點叫做旋轉(zhuǎn)對稱中心，旋轉(zhuǎn)的角度叫做旋轉(zhuǎn)角．4.【答案】A【分析】本題考查了一元二次方程根的判別式，一元二次方程的根與有如下關(guān)系：①，方程有兩個不相等的實數(shù)根，②，方程有兩個相等的實數(shù)根，③，方程沒有實數(shù)根．由題意得出，計算即可得出答案．【詳解】解：∵關(guān)于的一元二次方程有兩個相等的實數(shù)根，∴，解得：．故選：A．5.【答案】B【分析】此題主要考查了二次函數(shù)圖象與幾何變換，要求熟練掌握平移的規(guī)律：左加右減，上加下減．根據(jù)“左加右減、上加下減”的原則進行解答即可．【詳解】解：將拋物線向左平移2個單位所得直線解析式為：；再向下平移3個單位為：．故選：B．6.【答案】C【分析】根據(jù)對應(yīng)點連接線段的垂直平分線的交點即為旋轉(zhuǎn)中心，作出旋轉(zhuǎn)中心，可得結(jié)論；【詳解】如圖，點Q即為所求，；故選C．【點睛】本題主要考查了坐標(biāo)與圖形的旋轉(zhuǎn)變化，準(zhǔn)確分析判斷是解題的關(guān)鍵．7.【答案】B【分析】由二次函數(shù)解析式可得函數(shù)對稱軸和增減性，再根據(jù)離對稱軸的遠近的點的縱坐標(biāo)的大小比較，即可得出的大小關(guān)系．【詳解】解：二次函數(shù)的圖像開口向下，對稱軸為，∴關(guān)于對稱軸的對稱點為，∵在對稱軸左側(cè)，隨的增大而增大，又∵，∴．故選：B．【點睛】本題主要考查了比較函數(shù)值的大小，解決此題的關(guān)鍵是理解當(dāng)二次函數(shù)開口向下時，在函數(shù)圖像上距離對稱軸越遠的點，函數(shù)值越??；當(dāng)二次函數(shù)開口向上時，在函數(shù)圖像上距離對稱軸越遠的點，函數(shù)值越大．8.【答案】B【分析】分別根據(jù)四個人的信息得到相應(yīng)的關(guān)系式，假設(shè)其中一個不對時，判斷其它三個條件是否同時成立．【詳解】解：當(dāng)甲同學(xué)的結(jié)論正確，即當(dāng)函數(shù)的對稱軸是直線時，，即．當(dāng)乙同學(xué)的結(jié)論正確，即當(dāng)時，時，，可得．當(dāng)丙同學(xué)的結(jié)論正確，即當(dāng)函數(shù)的最小值為時，，可得．當(dāng)丁同學(xué)的結(jié)論正確，即當(dāng)是一元二次方程的一個根時，，可得．根據(jù)和不能同時成立，可知乙同學(xué)和丁同學(xué)中有一位的結(jié)論是錯誤的，假設(shè)丁同學(xué)的結(jié)論錯誤，聯(lián)立和，得，，不滿足，故假設(shè)不成立；假設(shè)乙同學(xué)的結(jié)論錯誤，聯(lián)立和，得，，此時滿足，故假設(shè)成立；故選：B．【點睛】本題主要考查二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)拋物線的對稱軸、頂點坐標(biāo)與系數(shù)的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．二、填空題：本大題共8個小題，每小題3分，共24分．9.【答案】，【分析】利用因式分解法解答即可．【詳解】解：，∴，∴或，解得：，．【點睛】本題主要考查了利用因式分解法解一元二次方程，熟練掌握因數(shù)分解法解一元二次方程是解題的關(guān)鍵．10.【答案】【分析】此題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．寫出一個二次函數(shù)，使其二次項系數(shù)為正數(shù)，常數(shù)項為即可．【詳解】解：根據(jù)題意得：（答案不唯一），故答案為：（答案不唯一）11.【答案】【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，，求出，再利用三角形內(nèi)角和定理求出，進而可求的度數(shù)．【詳解】解：由旋轉(zhuǎn)得：，，∵，∴，∴，∴，故答案為：．【點睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，熟練掌握旋轉(zhuǎn)前后的對應(yīng)角相等，旋轉(zhuǎn)角的定義是解題的關(guān)鍵．12.【答案】或【分析】根據(jù)圖象，的解就是二次函數(shù)與一次函數(shù)的圖象交點的橫坐標(biāo)，據(jù)此解答即可．【詳解】解：由圖形可得，的解就是二次函數(shù)與一次函數(shù)的圖象交點的橫坐標(biāo)，所以的解是或，故答案為：或【點睛】本題考查了二次函數(shù)與一次函數(shù)交點問題，解決本題的關(guān)鍵是熟練掌握用數(shù)形結(jié)合解決二次函數(shù)與一次函數(shù)交點問題．13.【答案】【分析】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用；設(shè)月平均增長率為x，根據(jù)增長率問題的等量關(guān)系列方程即可．【詳解】解：設(shè)月平均增長率為x，根據(jù)題意得：，故答案為：．14.【答案】【分析】本題考查了一元二次方程的解及定義，把x=0代入一元二次方程，再根據(jù)一元二次方程的定義可得，由此即可求解．【詳解】解：把x=0代入一元二次方程得，，且，解得，，且，∴，故答案為：

．15.【答案】【分析】本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，根據(jù)二次函數(shù)的解析式求得頂點，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)求出的最大值即可得出結(jié)論．【詳解】解：，函數(shù)有最大值．，即汽車剎車后前進了米才能停下來．故答案為：．16.【答案】①.①②.1010【分析】本題考查了有理數(shù)的混合運算，找出方案是解題的關(guān)鍵．（1）因為要經(jīng)濟損失最少，就要使總停產(chǎn)的時間盡量短，顯然先修復(fù)時間短的即可；（2）一名修理工修按D，E，C的順序修，另一名修理工修按B，A的順序修，修復(fù)時間最短，據(jù)此計算即可．【詳解】解：（1）①總停產(chǎn)時間：分鐘，②總停產(chǎn)時間：分鐘，③總停產(chǎn)時間：分鐘，故答案為：①；（2）一名修理工修按D，E，C的順序修，另一名修理工修按B，A的順序修，分鐘，（元）故答案為：1010．三．解答題：共52分，第17-24題，每題5分，第25-26題，每題6分．解答應(yīng)寫出文字說明、演算步驟或證明過程．17.【答案】，【分析】直接代入求根公式求解即可．【詳解】解：，，因為所以所以，【點晴】本題考查了一元二次方程的解法，熟練記住求根公式是解題的關(guān)鍵．18.【答案】【分析】將代入得，由即可求解；【詳解】解：將代入得，∴，【點睛】本題主要考查一元二次方程的應(yīng)用，根據(jù)所求代數(shù)式進行變換求解是解題的關(guān)鍵.19.【答案】（1）見解析（2）7【分析】（1）根據(jù)題意作出旋轉(zhuǎn)圖形即可；（2）由勾股定理得出，再由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)結(jié)合圖形求解即可．【小問1詳解】解：如圖所示；【小問2詳解】解：∵，∴，∵由旋轉(zhuǎn)而成，∴，∵，∴B、C、E共線，∴．【點睛】題目主要考查旋轉(zhuǎn)圖形的作法，勾股定理解三角形，熟練掌握運用這些基礎(chǔ)知識點是解題關(guān)鍵．20.【答案】（1）見解析；（2）；（3）．【分析】本題考查了待定系數(shù)法求拋物線解析式，描點法畫函數(shù)圖象，根據(jù)圖像求函數(shù)值范圍，熟練掌握待定系數(shù)法和描點法畫函數(shù)圖象是解題關(guān)鍵．（1）再利用描點法畫函數(shù)圖象；（2）根據(jù)表格得出拋物線過點、、，將點坐標(biāo)代入拋物線解析式求出、、即可，（3）分別求出，x=0，時的函數(shù)值，利用圖象可直接得到答案．【小問1詳解】解：拋物線圖象如圖，【小問2詳解】解：∵設(shè)二次函數(shù)的解析式為，由題意得：當(dāng)時，，∴∵時，，當(dāng)時，，∴，解得，∴；【小問3詳解】解：∵，∴當(dāng)x=1時，當(dāng)x=0時，，當(dāng)時，，∴由圖象可得，當(dāng)時，．21.【答案】（1）見詳解（2）或【分析】（1）根據(jù)即可證明；（2）根據(jù)公式法即可得，再根據(jù)方程的一個實數(shù)根是另一個實數(shù)根的兩倍即可求解；【小問1詳解】解：根據(jù)題意，，∴無論m取何值，方程總有兩個實數(shù)根.【小問2詳解】由題意，根據(jù)公式法得，，∴，∴，解得：．【點睛】本題主要考查一元二次方程的應(yīng)用，掌握相關(guān)知識是解題的關(guān)鍵．22.【答案】【分析】本題考查一元二次方程解決實際問題，根據(jù)面積公式可得園地修建花道后剩余的面積為平方米，根據(jù)花道面積等于整個園地面積減去剩余的面積即可列出方程，求解即可．【詳解】解：根據(jù)題意，得，整理，得，解得：，，∵園地的寬為5米，而，∴不合題意，舍去．答：x的值為1．23.【答案】（1）（2）（3）見解析（4）【分析】（1）根據(jù)長方體表面積公式即可求解；（2）將代入（1）中所得函數(shù)關(guān)系式即可；（3）描點連線即可完成作圖；（4）觀察圖象，找到圖象最低點的橫坐標(biāo)即可．【小問1詳解】解：，故答案為：；【小問2詳解】解：當(dāng)時，，故答案為：；【小問3詳解】解：如圖所示：【小問4詳解】解：觀察圖象可知，當(dāng)約為時，需要的材料最省，故答案為：．【點睛】本題考查了二次函數(shù)在幾何中的實際應(yīng)用．掌握函數(shù)的研究方法是解題關(guān)鍵．24.【答案】（1）（2）或【分析】本題考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)．熟練掌握二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)并分情況求解是解題的關(guān)鍵．（1）由，可知圖象開口向上，且拋物線上的點離對稱軸越遠，函數(shù)值越大，當(dāng)時，對稱軸為，，，由，可得；（2）分當(dāng)，，，四種情況，作函數(shù)圖象，根據(jù)拋物線上的點離對稱軸越遠，函數(shù)值越大，確定關(guān)于的不等式，然后求出滿足要求的解即可．【小問1詳解】解：∵，∴圖象開口向上，則拋物線上的點離對稱軸越遠，函數(shù)值越大，當(dāng)時，對稱軸為，，，∵，∴；【小問2詳解】解：當(dāng)時，如圖1，∴在拋物線段上，在段上，在上，∵對于，都有，∴且，且，解得：；當(dāng)時，如圖2，∵對于，都有，∴且，解得：；當(dāng)時，如圖3，∵對于，都有，又∵在圖象中已包含最小值，∴不存在的情況，即此種情況舍去；當(dāng)時，如圖4，∵對于，都有，又∵，∴，即此種情況與題意不符，舍去；綜上所述，t的取值范圍為或．25.【答案】（1）（2）①圖形見解析，．②，證明見解析．【分析】（1）本題由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，結(jié)合推出，再根據(jù)等腰三角形性質(zhì)即可求解．（2）①本題考查等腰三角形性質(zhì)，根據(jù)等腰三角形性質(zhì)用表示出和，再利用即可解題．②延長，取，連接，證明，得到，，利用為的角平分線，再證明，得到，最后結(jié)合勾股定理即可解題．【小問1詳解】解：由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，，，，，，，為等腰三角形，，故答案為：．【