2024北京房山高三（上）期中數(shù)學(xué)（教師版）

第1頁(yè)/共1頁(yè)2024北京房山高三（上）期中數(shù)學(xué)第一部分（選擇題共40分）一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng).1.已知集合或，集合，則為（）A. B.或x≥4C. D.2.下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)又在（0，+∞）上單調(diào)遞減的是（）A.y＝x﹣2 B.y＝|lnx| C.y＝2﹣x D.y＝xsinx3.函數(shù)的最小正周期為（）A. B. C. D.4.已知兩條不同的直線，和兩個(gè)不同的平面，，下列四個(gè)命題中正確的是（）A.若，，則 B.若，，則C.若，，則 D.若，，則5.設(shè)，則的大小關(guān)系為（）A. B.C. D.6.已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，將該函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)的圖象.若函數(shù)為奇函數(shù)，則的最小值是（）A. B. C. D.7.已知，，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件8.已知函數(shù)，下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（）A.的定義域?yàn)?B.的圖象關(guān)于軸對(duì)稱C.的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱 D.在上單調(diào)遞增9.沙漏是古代的一種計(jì)時(shí)裝置，它由兩個(gè)形狀完全相同的容器和一個(gè)狹窄的連接管道組成，開(kāi)始時(shí)細(xì)沙全部在上部容器中，利用細(xì)沙全部流到下部容器所需要的時(shí)間進(jìn)行計(jì)時(shí).如圖，某沙漏由上、下兩個(gè)圓錐組成.這兩個(gè)圓錐的底面直徑和高分別相等，細(xì)沙全部在上部時(shí)，其高度為圓錐高度（h）的（細(xì)管長(zhǎng)度忽略不計(jì)）.假設(shè)細(xì)沙全部漏入下部后，恰好堆成一個(gè)蓋住沙漏底部的圓錐形沙堆.這個(gè)沙堆的高與圓錐的高h(yuǎn)的比值為（）A. B. C. D.10.對(duì)于函數(shù)﹐若集合中恰有個(gè)元素，則稱函數(shù)是“階準(zhǔn)偶函數(shù)”.若函數(shù)是“階準(zhǔn)偶函數(shù)”，則的取值范圍是（）A.-∞,0 B. C. D.第二部分（非選擇題共110分）二、填空題共5小題，每小題5分，共25分.11.函數(shù)的定義域?yàn)開(kāi)_______．12.已知角的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊在軸的正半軸上，終邊與單位圓交于第二象限的點(diǎn)，且點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，則____________．13.已知命題：若，為第二象限角，且，則.能說(shuō)明為假命題的一組，的值為_(kāi)_________，________.14.已知函數(shù)，若關(guān)于的方程有兩個(gè)不同的實(shí)根，則數(shù)的取值范圍是______.15.如圖，在邊長(zhǎng)為1的正方體中，是棱上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，給出下列四個(gè)結(jié)論：①三棱錐的體積為定值；②存在點(diǎn)，使得平面；③對(duì)每一個(gè)點(diǎn)，在棱上總存在一點(diǎn)，使得平面；④是線段上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的截面垂直于，則截面的面積的最小值為．其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是____________．三、解答題共6小題，共85分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，演算步驟或證明過(guò)程.16.在中，，，.（1）求，的值和的面積；（2）求的值.17.已知函數(shù)在點(diǎn)處取得極大值5，其導(dǎo)函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，，如圖所示.求：（1）的值；（2），，的值；（3）函數(shù)在區(qū)間上的最大值和最小值.18.已知函數(shù).從下列四個(gè)條件中選擇兩個(gè)作為已知，使函數(shù)存在且唯一確定.（1）求的解析式；（2）設(shè)，求的單調(diào)遞增區(qū)間以及在區(qū)間上的最大值.條件①：；條件②：為偶函數(shù)；條件③：的最大值為1；條件④：圖象的相鄰兩條對(duì)稱軸之間的距離為.注：如果選擇的條件不符合要求，此題得0分；如果選擇多個(gè)符合要求的條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.19.如圖，四棱柱的底面是邊長(zhǎng)為2的正方形，側(cè)面底面，，是的中點(diǎn).（1）求證：平面；（2）再?gòu)臈l件①、條件②、條件③這三個(gè)條件中選擇一個(gè)條件作為已知，使二面角唯一確定，（i）求二面角的余弦值；（ii）判斷直線是否在平面內(nèi)，說(shuō)明理由.條件①：；條件②：；條件③：.注：如果選擇的條件不符合要求，第（2）問(wèn)得0分；如果選擇多個(gè)符合要求的條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.20.已知函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（2）求的單調(diào)區(qū)間；（3）當(dāng)時(shí)，求證：時(shí)，成立.參考數(shù)據(jù).21.已知{an}是由正整數(shù)組成的無(wú)窮數(shù)列，該數(shù)列前n項(xiàng)的最大值記為An，最小值記為Bn，令．（Ⅰ）若an＝2n（n＝1，2，3，…），寫出b1，b2，b3的值；（Ⅱ）證明：bn+1≥bn（n＝1，2，3，???）；（Ⅲ）若{bn}是等比數(shù)列，證明：存在正整數(shù)n0，當(dāng)n≥n0時(shí)，an，an+1，an+2，…是等比數(shù)列．

參考答案第一部分（選擇題共40分）一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng).1.【答案】C【分析】利用交集的運(yùn)算求解.【詳解】因?yàn)榧匣?，集合，所以，故選:C.2.【答案】A【分析】根據(jù)基本函數(shù)的性質(zhì)，分別判斷函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性即可.【詳解】A.f（x）是偶函數(shù)，且在（0，+∞）上是減函數(shù)，滿足條件.B.函數(shù)的定義域?yàn)椋?，+∞），函數(shù)為非奇非偶函數(shù)，不滿足條件.C.函數(shù)為非奇非偶函數(shù)，不滿足條件.D.f（﹣x）＝﹣xsin（﹣x）＝xsinx＝f（x），f（x）為偶函數(shù)，在（0，+∞）不具備單調(diào)性，不滿足條件.故選：A.【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的應(yīng)用，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性和奇偶性的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵.屬于基礎(chǔ)題..3.【答案】C【分析】根據(jù)正切三角函數(shù)的周期公式求解即可【詳解】由題意得，利用函數(shù)的最小正周期為，得出結(jié)論.解：函數(shù)的最小正周期為，故選：C.4.【答案】D【分析】根據(jù)直線與平面內(nèi)直線平行，判斷直線與平面的關(guān)系可判斷A，由線面平行的性質(zhì)可判斷B，由平面垂直的性質(zhì)可判斷C，根據(jù)線面平行的性質(zhì)及面面垂直的判定判斷D.【詳解】若，，則或，故A錯(cuò)誤；若，，則或?yàn)楫惷嬷本€，故B錯(cuò)誤；若，，則或或與斜交，故C錯(cuò)誤；若，則內(nèi)必有一直線滿足，又，所以，又，所以，故D正確.故選：D5.【答案】B【分析】利用正弦函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)判定即可.【詳解】易知.故選：B6.【答案】B【分析】結(jié)合函數(shù)圖像求出函數(shù)的圖像距離原點(diǎn)最近的點(diǎn)的坐標(biāo)，即可確定的值.【詳解】如圖設(shè)函數(shù)的部分圖像與軸的交點(diǎn)為，由圖可知，所以，所以點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，設(shè)，則，解得，因?yàn)閷⒑瘮?shù)函數(shù)的圖象向左平移（）個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)的圖象，且圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以平移后的函數(shù)為奇函數(shù)，即相當(dāng)于把的圖象與軸最近的交點(diǎn)平移到坐標(biāo)原點(diǎn)即可，由圖可知此點(diǎn)為，所以，故選：B.7.【答案】A【分析】通過(guò)基本不等式可得充分性成立，舉出反例說(shuō)明必要性不成立.【詳解】當(dāng)，時(shí)，，則當(dāng)時(shí)，有，解得，充分性成立；當(dāng)，時(shí)，滿足，但此時(shí)，必要性不成立，綜上所述，“”是“”的充分不必要條件.故選：A.8.【答案】B【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)一一判斷即可.【詳解】函數(shù)，則，即，解得，所以函數(shù)的定義域?yàn)?，故A正確；又，所以的奇函數(shù)，則函數(shù)圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，故B錯(cuò)誤，C正確；因?yàn)椋衷谏蠁握{(diào)遞增，在定義域上單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞增，故D正確.故選：B9.【答案】A【分析】細(xì)沙全部在上部時(shí)，沙漏上部分圓錐中的細(xì)沙的高為，設(shè)圓錐的底面半徑為r，則細(xì)沙形成的圓錐的底面半徑為，求出細(xì)沙的體積，再設(shè)細(xì)沙漏入下部后，圓錐形沙堆的高為，求出細(xì)沙的體積，由體積相等求解，則答案可求.【詳解】解：細(xì)沙全部在上部時(shí)，沙漏上部分圓錐中的細(xì)沙的高為，設(shè)圓錐的底面半徑為r，則細(xì)沙形成的圓錐的底面半徑為，∴細(xì)沙的體積為.細(xì)沙漏入下部后，圓錐形沙堆的底面半徑r，設(shè)高為，則，得.∴.故選：A.【點(diǎn)睛】此題考查圓錐體積公式的應(yīng)用，屬于中檔題10.【答案】B【分析】根據(jù)“階準(zhǔn)偶函數(shù)”定義，分，，三種情況分析即可得答案.【詳解】解：根據(jù)題意，函數(shù)是“階準(zhǔn)偶函數(shù)”，則集合中恰有個(gè)元素.當(dāng)時(shí)，函數(shù)有一段部分為，注意的函數(shù)本身具有偶函數(shù)性質(zhì)，故集合中不止有兩個(gè)元素，矛盾，當(dāng)時(shí)，根據(jù)“階準(zhǔn)偶函數(shù)”的定義得的可能取值為或，為，故當(dāng)，該方程無(wú)解，當(dāng)，解得或，故要使得集合中恰有個(gè)元素，則需要滿足，即；當(dāng)時(shí)，函數(shù)，的取值為，為，根據(jù)題意得滿足恰有兩個(gè)元素，故滿足條件.綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選：B【點(diǎn)睛】本題解題的關(guān)鍵是根據(jù)新定義的“階準(zhǔn)偶函數(shù)”，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為研究函數(shù)，可能取何值，進(jìn)而根據(jù)方程有兩個(gè)解或求解.考查運(yùn)算求解能力與綜合分析能力，是中檔題.第二部分（非選擇題共110分）二、填空題共5小題，每小題5分，共25分.11.【答案】【分析】直接解不等式組得函數(shù)的定義域.【詳解】由題得，所以函數(shù)的定義域是.故答案為12.【答案】【分析】由題設(shè)確定的坐標(biāo)，再由三角函數(shù)的定義求.【詳解】由題設(shè)知：，故.故答案為：13.【答案】①.（答案不唯一）②.（答案不唯一）【分析】根據(jù)正切函數(shù)的性質(zhì)舉出反例即可.【詳解】如，，滿足，為第二象限角，且，但是，，即，即命題為假命題，故，符合題意（答案不唯一）故答案為：；（答案不唯一）14.【答案】【分析】分類討論代入解析式，求出的兩個(gè)根為，，由且可解得結(jié)果.【詳解】當(dāng)時(shí)，即為，解得，當(dāng)時(shí)，即為，解得，因?yàn)殛P(guān)于的方程有兩個(gè)不同的實(shí)根，所以且，解得且，所以.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查了分段函數(shù)的應(yīng)用，考查了由方程根的個(gè)數(shù)求參數(shù)的取值范圍，屬于基礎(chǔ)題.15.【答案】①④【分析】根據(jù)題意作圖，并嘗試特殊位置，進(jìn)行檢驗(yàn)證明.【詳解】對(duì)于①，如下圖所示：在邊長(zhǎng)為1的正方體中，易知平面，因?yàn)辄c(diǎn)是棱上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，可設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，且，則三棱錐的體積，故①正確；對(duì)于②，連接，，因?yàn)樵谄叫兴倪呅沃?，，所以不垂直，所以使得不垂直平面，所以②不正確.對(duì)于③，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，無(wú)論點(diǎn)在何位置，直線與平面相交，故③錯(cuò)誤；對(duì)于④，根據(jù)題意，作圖如下：因?yàn)檎襟w中，易知平面，所以，設(shè)，則，，在中，，，則該截面面積，由，當(dāng)時(shí)，，故④正確；故答案為：①④.三、解答題共6小題，共85分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，演算步驟或證明過(guò)程.16.【答案】（1）（2）【分析】（1）由余弦定理結(jié)合已知可求得，結(jié)合三角形面積公式可得面積；（2）由余弦定理、平方關(guān)系依次求得，結(jié)合兩角差的正弦公式即可求解.【小問(wèn)1詳解】由余弦定理可得，注意到，，，所以，即，解得，進(jìn)一步；【小問(wèn)2詳解】由余弦定理可得，，因?yàn)?，所以，而，從?17.【答案】（1）（2），，（3），【分析】（1）根據(jù)導(dǎo)函數(shù)圖象可得原函數(shù)單調(diào)性，知在處取得極大值，求得；（2）利用，，構(gòu)造方程組可求得結(jié)果；（3）根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，可知，，求出函數(shù)值即可得到結(jié)果.【小問(wèn)1詳解】由圖象可知：在上，；在上，；在上，在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在處取得極大值，；【小問(wèn)2詳解】因?yàn)榍?，，，得：，解得：，，；【小?wèn)3詳解】由（2）得，則，可知：在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，，又，，，，，.18.【答案】（1）條件選擇見(jiàn)解析，（2）單調(diào)遞增區(qū)間為，，【分析】（1）由二倍角公式易得，函數(shù)為奇函數(shù)，故②不能選，若①和③同時(shí)選，不滿足函數(shù)存在且唯一；選擇條件①④，由相鄰兩條對(duì)稱軸之間的距離可得周期，即得的值，由代入即可得的值；選擇條件③④，由最大值得的值，進(jìn)而得解析式.（2）通過(guò)公式化簡(jiǎn)可得，再根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算可得.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)?，則為奇函數(shù)，故②不能選，選擇條件①③：因?yàn)楹瘮?shù)的最大值為1，所以，即，因?yàn)?，所以，的值不唯一，故不能選.選擇條件①④：因?yàn)楹瘮?shù)圖象的相鄰兩條對(duì)稱軸之間的距離為，所以，即，所以，因?yàn)?，所以，即，所?選擇條件③④：因?yàn)楹瘮?shù)圖象的相鄰兩條對(duì)稱軸之間的距離為，所以，即，因?yàn)楹瘮?shù)的最大值為1，所以，即，所以.【小問(wèn)2詳解】因?yàn)?，令，，解得，，所以函?shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，，當(dāng)時(shí)，，所以，所以當(dāng)，即時(shí)取得最大值，且.19.【答案】（1）證明過(guò)程見(jiàn)解析（2）（i）答案見(jiàn)解析（ii）平面，理由見(jiàn)解析.【分析】（1）利用線面平行的判定定理找到可證；（2）（i）選①：說(shuō)明條件不能確定棱柱特點(diǎn)即可求解；選②③：證明平面，建立空間坐標(biāo)系，求得二面角；（ii）只需證明直線與直線異面即可.【小問(wèn)1詳解】在四棱柱中，連結(jié)，設(shè)，連結(jié)，在中，因?yàn)?、分別為的中點(diǎn)，所以，又因?yàn)槠矫?，平面，所以平?【小問(wèn)2詳解】（i）選擇條件①：因?yàn)榈酌媸钦叫?，所以，?cè)面平面，且側(cè)面平面，平面，故平面，又平面，則，即四邊形為矩形，因?yàn)?，則，與選擇條件①：等價(jià)，故條件不能進(jìn)一步確定的夾角大小，故二面角不能確定；選擇條件②：連結(jié)，因?yàn)榈酌媸钦叫?，所以，又因?yàn)閭?cè)面平面，且側(cè)面平面，平面，所以平面，又平面，所以，在中，因?yàn)椋?，所以，在中，因?yàn)椋?，所以，又平面，所以平面，又，所以如圖建立空間直角坐標(biāo)系，其中，，，，且，，易知為平面的一個(gè)法向量，設(shè)為平面面的一個(gè)法向量，則即.不妨設(shè)，則，可得，所以，因?yàn)槎娼堑钠矫娼鞘氢g角，設(shè)為，故，所以二面角的余弦值為.選擇條件③：因?yàn)榈酌媸钦叫危?，因?yàn)椋移矫?，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以，因?yàn)閭?cè)面平面，且側(cè)面平面，平面，所以平面，又，所以如圖建立空間直角坐標(biāo)系，（下面同選擇條件②）.（ii）如圖所示，平面，理由如下：，與相交，所以直線與直線異面，這表明四點(diǎn)不共面，即平面.20.【答案】（1）（2）答案見(jiàn)詳解（3）證明見(jiàn)詳解【分析】（1）求出函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)值，即切線的斜率，從而可得出切線方程；（2）求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，分，，，四種情況討論，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)即可得出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（3）由（2）可得，構(gòu)建，利用導(dǎo)數(shù)可得，對(duì)比分析即可.【小問(wèn)1詳解】解：當(dāng)時(shí)，，，則，，所以曲線y=fx在點(diǎn)1,f1處的切線方程為，即.【小問(wèn)2詳解】由題意可知：的定義域?yàn)椋?，（i）當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，f'x<0，當(dāng)時(shí)，f所以在0,+∞上遞減，在上遞增；（ⅱ）當(dāng)時(shí)，令，則或，①當(dāng)，即時(shí)，，所以函數(shù)在上遞增；②當(dāng)時(shí)，即時(shí)，當(dāng)時(shí)，f'x<0，當(dāng)和時(shí)，f'所以在上遞減，在和上遞增；③當(dāng)時(shí)，即時(shí)，當(dāng)時(shí)，f'x<0，當(dāng)和時(shí)，f'所以在上遞減，在和0,+∞上遞增.【小問(wèn)3詳解】當(dāng)時(shí)，由（2）可知：在0,1上遞減，在1,+∞上遞增，則，構(gòu)建，則，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；可知在0,1內(nèi)單調(diào)遞增，在1,+∞內(nèi)單調(diào)遞減，則，可得，即當(dāng)時(shí)，成立.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用導(dǎo)數(shù)證明不等式的基本步驟（1）作