2025年中考數(shù)學(xué)思想方法復(fù)習(xí)系列 【分類討論】等腰三角形中的分類討論思想（原卷版）

等腰三角形中的分類討論思想知識方法精講1．三角形三邊關(guān)系（1）三角形三邊關(guān)系定理：三角形兩邊之和大于第三邊．（2）在運用三角形三邊關(guān)系判定三條線段能否構(gòu)成三角形時并不一定要列出三個不等式，只要兩條較短的線段長度之和大于第三條線段的長度即可判定這三條線段能構(gòu)成一個三角形．（3）三角形的兩邊差小于第三邊．（4）在涉及三角形的邊長或周長的計算時，注意最后要用三邊關(guān)系去檢驗，這是一個隱藏的定時炸彈，容易忽略．2．三角形內(nèi)角和定理（1）三角形內(nèi)角的概念：三角形內(nèi)角是三角形三邊的夾角．每個三角形都有三個內(nèi)角，且每個內(nèi)角均大于0°且小于180°．（2）三角形內(nèi)角和定理：三角形內(nèi)角和是180°．（3）三角形內(nèi)角和定理的證明證明方法，不唯一，但其思路都是設(shè)法將三角形的三個內(nèi)角移到一起，組合成一個平角．在轉(zhuǎn)化中借助平行線．（4）三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用主要用在求三角形中角的度數(shù)．①直接根據(jù)兩已知角求第三個角；②依據(jù)三角形中角的關(guān)系，用代數(shù)方法求三個角；③在直角三角形中，已知一銳角可利用兩銳角互余求另一銳角．3．三角形的外角性質(zhì)（1）三角形外角的定義：三角形的一邊與另一邊的延長線組成的角，叫做三角形的外角．三角形共有六個外角，其中有公共頂點的兩個相等，因此共有三對．（2）三角形的外角性質(zhì)：①三角形的外角和為360°．②三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內(nèi)角的和．③三角形的一個外角大于和它不相鄰的任何一個內(nèi)角．（3）若研究的角比較多，要設(shè)法利用三角形的外角性質(zhì)②將它們轉(zhuǎn)化到一個三角形中去．（4）探究角度之間的不等關(guān)系，多用外角的性質(zhì)③，先從最大角開始，觀察它是哪個三角形的外角．4．等腰三角形的性質(zhì)（1）等腰三角形的概念有兩條邊相等的三角形叫做等腰三角形．（2）等腰三角形的性質(zhì)①等腰三角形的兩腰相等②等腰三角形的兩個底角相等．【簡稱：等邊對等角】③等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高相互重合．【三線合一】（3）在①等腰；②底邊上的高；③底邊上的中線；④頂角平分線．以上四個元素中，從中任意取出兩個元素當(dāng)成條件，就可以得到另外兩個元素為結(jié)論．5．等腰三角形的判定判定定理：如果一個三角形有兩個角相等，那么這兩個角所對的邊也相等．【簡稱：等角對等邊】說明：①等腰三角形是一個軸對稱圖形，它的定義既作為性質(zhì)，又可作為判定辦法．②等腰三角形的判定和性質(zhì)互逆；③在判定定理的證明中，可以作未來底邊的高線也可以作未來頂角的角平分線，但不能作未來底邊的中線；④判定定理在同一個三角形中才能適用．6．勾股定理（1）勾股定理：在任何一個直角三角形中，兩條直角邊長的平方之和一定等于斜邊長的平方．如果直角三角形的兩條直角邊長分別是a，b，斜邊長為c，那么a2+b2＝c2．（2）勾股定理應(yīng)用的前提條件是在直角三角形中．（3）勾股定理公式a2+b2＝c2的變形有：a＝，b＝及c＝．（4）由于a2+b2＝c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜邊大于該直角三角形中的每一條直角邊．7.分類討論思想每個HYPERLINK\t"/item/%E5%88%86%E7%B1%BB%E8%AE%A8%E8%AE%BA%E6%80%9D%E6%83%B3/_blank"數(shù)學(xué)結(jié)論都有其成立的條件，每一種數(shù)學(xué)方法的使用也往往有其適用范圍，在我們所遇到的數(shù)學(xué)問題中，有些問題的結(jié)論不是唯一確定的，有些問題的結(jié)論在解題中不能以統(tǒng)一的形式進行研究，還有些問題的已知量是用字母表示數(shù)的形式給出的，這樣HYPERLINK\t"/item/%E5%88%86%E7%B1%BB%E8%AE%A8%E8%AE%BA%E6%80%9D%E6%83%B3/_blank"字母的取值不同也會影響問題的解決，由上述幾類問題可知，就其解題方法及轉(zhuǎn)化手段而言都是一致的，即把所有研究的問題根據(jù)題目的特點和要求，分成若干類，轉(zhuǎn)化成若干個小問題來解決，這種按不同情況分類，然后再逐一研究解決的HYPERLINK\t"/item/%E5%88%86%E7%B1%BB%E8%AE%A8%E8%AE%BA%E6%80%9D%E6%83%B3/_blank"數(shù)學(xué)思想，稱之為分類討論思想。一．選擇題（共7小題）1．（2021秋?昌平區(qū)期末）如圖，已知中，，，在直線上取一點，使得是等腰三角形，則符合條件的點有A．1個 B．2個 C．3個 D．4個2．（2021秋?綦江區(qū)期末）如圖，正方形的網(wǎng)格中，點，是小正方形的頂點，如果點是小正方形的頂點，且使是等腰三角形，則點的個數(shù)為A．6 B．7 C．8 D．93．（2021春?鹽湖區(qū)校級期末）若等腰三角形的一個角是，則此等腰三角形的頂角為A． B． C．或 D．4．（2021秋?長春期末）若中剛好有，則稱此三角形為“可愛三角形”，并且稱作“可愛角”．現(xiàn)有一個“可愛且等腰的三角形”，那么聰明的同學(xué)們知道這個三角形的“可愛角”應(yīng)該是A．或 B．或 C．或 D．或或5．（2021秋?洪山區(qū)期末）如圖，網(wǎng)格中的每個小正方形的頂點稱作格點，圖中、在格點上，則圖中滿足為等腰三角形的格點的個數(shù)為A．7 B．8 C．9 D．106．（2019秋?蜀山區(qū)期末）在中，與相鄰的外角是，要使為等腰三角形，則的度數(shù)是A． B． C．或 D．或或7．（2020秋?河池期中）已知等腰三角形的一個外角為，則這個等腰三角形的頂角為A． B． C．或 D．二．填空題（共2小題）8．（2021秋?淮南月考）如圖，已知的半徑為2．弦的長度為2，點是上一動點，若為等腰三角形，則的長為．9．（2021秋?鹽池縣期末）已知等腰三角形的一邊長為，另一邊長為，則這個等腰三角形的周長為．三．解答題（共10小題）10．（2021?婺城區(qū)模擬）在矩形中，，點是直線上（不與點重合）的動點，連結(jié)，過點作的垂線分別交直線、直線于點、，連結(jié)．（1）如圖，當(dāng)，點是的中點時，求的值；（2）當(dāng)時，①若與相似，求的長．②若是等腰三角形，求的長．11．（2021?高郵市二模）如圖，是的高，，，，點是邊上的一個動點（與、不重合），于點，，于點，交于點，連接．（1）若點是的中點，則；（2）在點的運動過程中，①的值為；②當(dāng)點運動到何處時，線段最??？最小值是多少？③當(dāng)是等腰三角形時，求的長．12．（2021秋?南沙區(qū)期末）在平面直角坐標(biāo)系中，以坐標(biāo)原點為圓心的半徑為3．（1）試判斷點與的位置關(guān)系，并加以說明．（2）若直線與相交，求的取值范圍．（3）若直線與相交于點，．點是軸正半軸上的一個動點，以，，三點為頂點的三角形是等腰三角形，求點的坐標(biāo)．13．（2020秋?浦東新區(qū)校級期末）已知：如圖，在紙片中，，，，按圖所示的方法將沿折疊，使點恰好落在邊上的點處，點是射線上的一個動點．（1）求折痕長．（2）點在線段上運動時，設(shè)，．求關(guān)于的函數(shù)解析式，并寫出此函數(shù)的定義域．（3）當(dāng)是等腰三角形時，求的長．14．（2020秋?浦東新區(qū)校級期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點為軸正半軸上一點，過點的直線軸，且直線分別與反比例函數(shù)和的圖象交于、兩點，，．（1）求點的坐標(biāo)；（2）若軸上有一點，使得為等腰三角形，請直接寫出所有滿足條件的點的坐標(biāo)．15．（2020秋?沈北新區(qū)校級期末）如圖1，在中，，，，點以每秒個單位長度的速度從點處沿射線方向運動，點以每秒2個單位長度的速度從點出發(fā)沿邊向點運動，點，兩點同時出發(fā)，當(dāng)運動至點時，點、同時停止運動，設(shè)點運動時間為秒．（1）用含的代數(shù)式分別表示線段和的長度．則，．（2）若為等腰三角形，求值．（3）如圖2，以為對角線作正方形，在運動過程中，若正方形的一邊恰好落在的一邊上，請直接寫出所有符合條件的值．16．（2020秋?虹口區(qū)期末）如圖，中，，，的平分線與線段交于點，且有，點是線段上的動點（與、不重合），聯(lián)結(jié)，設(shè)，．（1）求的度數(shù)；（2）求關(guān)于的函數(shù)解析式（無需寫出定義域）；（3）當(dāng)是等腰三角形時，求的長．17．（2021秋?雞冠區(qū)校級期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，的斜邊在軸上，點在軸上，，、的長分別是一元二次方程的兩個根，且．（1）求點的坐標(biāo)；（2）點是線段上的一個動點（點不與點，重合），過點的直線與軸平行，直線交邊或邊于點，設(shè)點的橫坐標(biāo)為，線段的長為，求關(guān)于的函數(shù)解析式；（3）在（2）的條件下，是否存在點，使為等腰三角形？若存在，請你直接寫出點的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由．18．（2021秋?金牛區(qū)期末）如圖，已知平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，點，點，，連接．動點從點出發(fā)，沿線段向運動，到達(dá)點后立即停止，速度為每秒個單位，設(shè)運動時間為秒．（1）當(dāng)點運動到中點時，求此時的解析式；（2）在（1）的條件下，若第二象限內(nèi)有一點，當(dāng)時，求的值；（3）如圖2，當(dāng)點從點出發(fā)運動時，同時有點從出發(fā)，以每秒1個單位的速度沿直線向上運動，點停止運動，點也立即停止運動．過點作軸交于點．在運動過