2025年中考數(shù)學(xué)思想方法復(fù)習(xí)系列 【分類討論】直角三角形中的分類討論思想（原卷版）

直角三角形中的分類討論思想知識(shí)方法精講1．直角三角形的性質(zhì)（1）有一個(gè)角為90°的三角形，叫做直角三角形．（2）直角三角形是一種特殊的三角形，它除了具有一般三角形的性質(zhì)外，具有一些特殊的性質(zhì)：性質(zhì)1：直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方（勾股定理）．性質(zhì)2：在直角三角形中，兩個(gè)銳角互余．性質(zhì)3：在直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半．（即直角三角形的外心位于斜邊的中點(diǎn)）性質(zhì)4：直角三角形的兩直角邊的乘積等于斜邊與斜邊上高的乘積．性質(zhì)5：在直角三角形中，如果有一個(gè)銳角等于30°，那么它所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半；在直角三角形中，如果有一條直角邊等于斜邊的一半，那么這條直角邊所對(duì)的銳角等于30°．2．勾股定理（1）勾股定理：在任何一個(gè)直角三角形中，兩條直角邊長的平方之和一定等于斜邊長的平方．如果直角三角形的兩條直角邊長分別是a，b，斜邊長為c，那么a2+b2＝c2．（2）勾股定理應(yīng)用的前提條件是在直角三角形中．（3）勾股定理公式a2+b2＝c2的變形有：a＝，b＝及c＝．（4）由于a2+b2＝c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜邊大于該直角三角形中的每一條直角邊．3．勾股定理的逆定理（1）勾股定理的逆定理：如果三角形的三邊長a，b，c滿足a2+b2＝c2，那么這個(gè)三角形就是直角三角形．說明：①勾股定理的逆定理驗(yàn)證利用了三角形的全等．②勾股定理的逆定理將數(shù)轉(zhuǎn)化為形，作用是判斷一個(gè)三角形是不是直角三角形．必須滿足較小兩邊平方的和等于最大邊的平方才能做出判斷．（2）運(yùn)用勾股定理的逆定理解決問題的實(shí)質(zhì)就是判斷一個(gè)角是不是直角．然后進(jìn)一步結(jié)合其他已知條件來解決問題．注意：要判斷一個(gè)角是不是直角，先要構(gòu)造出三角形，然后知道三條邊的大小，用較小的兩條邊的平方和與最大的邊的平方比較，如果相等，則三角形為直角三角形；否則不是．4．等腰直角三角形（1）兩條直角邊相等的直角三角形叫做等腰直角三角形．（2）等腰直角三角形是一種特殊的三角形，具有所有三角形的性質(zhì)，還具備等腰三角形和直角三角形的所有性質(zhì)．即：兩個(gè)銳角都是45°，斜邊上中線、角平分線、斜邊上的高，三線合一，等腰直角三角形斜邊上的高為外接圓的半徑R，而高又為內(nèi)切圓的直徑（因?yàn)榈妊苯侨切蔚膬蓚€(gè)小角均為45°，高又垂直于斜邊，所以兩個(gè)小三角形均為等腰直角三角形，則兩腰相等）；（3）若設(shè)等腰直角三角形內(nèi)切圓的半徑r＝1，則外接圓的半徑R＝+1，所以r：R＝1：+1．5.分類討論思想每個(gè)HYPERLINK\t"/item/%E5%88%86%E7%B1%BB%E8%AE%A8%E8%AE%BA%E6%80%9D%E6%83%B3/_blank"數(shù)學(xué)結(jié)論都有其成立的條件，每一種數(shù)學(xué)方法的使用也往往有其適用范圍，在我們所遇到的數(shù)學(xué)問題中，有些問題的結(jié)論不是唯一確定的，有些問題的結(jié)論在解題中不能以統(tǒng)一的形式進(jìn)行研究，還有些問題的已知量是用字母表示數(shù)的形式給出的，這樣HYPERLINK\t"/item/%E5%88%86%E7%B1%BB%E8%AE%A8%E8%AE%BA%E6%80%9D%E6%83%B3/_blank"字母的取值不同也會(huì)影響問題的解決，由上述幾類問題可知，就其解題方法及轉(zhuǎn)化手段而言都是一致的，即把所有研究的問題根據(jù)題目的特點(diǎn)和要求，分成若干類，轉(zhuǎn)化成若干個(gè)小問題來解決，這種按不同情況分類，然后再逐一研究解決的HYPERLINK\t"/item/%E5%88%86%E7%B1%BB%E8%AE%A8%E8%AE%BA%E6%80%9D%E6%83%B3/_blank"數(shù)學(xué)思想，稱之為分類討論思想。一．選擇題（共4小題）1．（2021?大慶模擬）已知，，，則的面積為A．6或 B．6或 C．12或 D．12或2．有一個(gè)三角形兩邊長為4和5，要使三角形為直角三角形，則第三邊長為A．3 B． C．3或 D．3或3．將等腰直角三角形按如圖所示放置，然后繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至△的位置，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2，則點(diǎn)的坐標(biāo)為A． B．， C． D．，4．（2021秋?陽信縣月考）在中，，，的對(duì)邊分別為，，，，，則的長為A．2 B． C．4 D．4或二．填空題（共8小題）5．（2020秋?普陀區(qū)期末）在中，，，點(diǎn)為邊上一點(diǎn)，將沿直線翻折得到，點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)，聯(lián)結(jié)，如果是以為直角邊的等腰直角三角形，那么的長等于．6．（2020秋?九江期末）已知在平面直角坐標(biāo)系中，、、．點(diǎn)在軸上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)、、三點(diǎn)中任意兩點(diǎn)構(gòu)成直角三角形時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)為．7．（2021?南潯區(qū)二模）如圖是用三張大小各不相同的正方形紙片以頂點(diǎn)相連的方式設(shè)計(jì)的“畢達(dá)哥拉斯”圖案．現(xiàn)有五張大小各不相同的正方形紙片，面積分別是1，2，3，4，5，選取其中三張，按如圖方式組成圖案，所圍成的的面積可以為．8．（2021春?柳南區(qū)校級(jí)期末）有一個(gè)三角形的兩邊長是4和5，要使這個(gè)三角形成為直角三角形，則第三邊長為．9．（2021秋?樂平市期中）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知，，以為一邊在外部作等腰直角．則點(diǎn)的坐標(biāo)為．10．（2021秋?鼓樓區(qū)校級(jí)期中）在學(xué)習(xí)完“探索全等三角形全等的條件”一節(jié)后，一同學(xué)總結(jié)出很多全等三角形的模型，他設(shè)計(jì)了以下問題給同桌解決：如圖，做一個(gè)“”字形框架，其中，，足夠長，于點(diǎn)，點(diǎn)從出發(fā)向運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)從出發(fā)向運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)，運(yùn)動(dòng)的速度之比為，當(dāng)兩點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到某一瞬間同時(shí)停止，此時(shí)在射線上取點(diǎn)，使與全等，則線段的長為．11．（2021秋?徐州期中）已知一個(gè)直角三角形的兩條邊長分別為1和2，則第三條邊長的平方是．12．（2021秋?諸暨市期中）如圖，將一張三角形紙片的一角折疊，使得點(diǎn)落在四邊形的外部的位置，且與點(diǎn)在直線的異側(cè)，折痕為，已知，．若保持△的一邊與平行，則的度數(shù)．三．解答題（共11小題）13．（2020秋?德惠市期末）如圖，是等邊三角形，．動(dòng)點(diǎn)，分別從點(diǎn)、同時(shí)出發(fā)，動(dòng)點(diǎn)以的速度沿向終點(diǎn)運(yùn)動(dòng)．動(dòng)點(diǎn)以的速度沿射線運(yùn)動(dòng)．當(dāng)點(diǎn)停止運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)．點(diǎn)出發(fā)后，過點(diǎn)作交于點(diǎn)，連結(jié)，以為邊作等邊三角形，連結(jié)，設(shè)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為．（1）用含的代數(shù)式表示的長．（2）求的周長（用含的代數(shù)式表示）．（3）求的長（用含的代數(shù)式表示）．（4）當(dāng)?shù)倪吪c垂直時(shí)，直接寫出的值．14．（2021秋?歷下區(qū)期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)坐標(biāo)為，四邊形為平行四邊形，反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，與邊交于點(diǎn)，若，．（1）求反比例函數(shù)解析式；（2）點(diǎn)是軸上一動(dòng)點(diǎn)，求最大時(shí)的值；（3）連接，在反比例函數(shù)圖象上是否存在點(diǎn)，平面內(nèi)是否存在點(diǎn)，使得四邊形為矩形，若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．15．（2021秋?金牛區(qū)期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線與軸交于點(diǎn)，與直線交于點(diǎn)，點(diǎn)為軸上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．（1）求直線的解析式；（2）若點(diǎn)的坐標(biāo)為，過點(diǎn)作直線軸，分別交直線，于點(diǎn)，．求的面積；（3）若以點(diǎn)、、為頂點(diǎn)的三角形為直角三角形，求點(diǎn)的坐標(biāo)．16．（2021秋?河?xùn)|區(qū)期末）在平面直角坐標(biāo)系中，直線分別交軸，軸于，，且滿足．（1），；（2）點(diǎn)在直線的右側(cè)：且；①若點(diǎn)在軸上（圖，則點(diǎn)的坐標(biāo)為；②若為直角三角形，求點(diǎn)的坐標(biāo)．17．（2021秋?嵩縣期末）如圖，點(diǎn)是等邊內(nèi)一點(diǎn)，是外的一點(diǎn)，，，．（1）求證：是等邊三角形；（2）若是直角三角形，求的度數(shù)．18．（2021秋?婺城區(qū)校級(jí)月考）如圖，在中，，，，點(diǎn)，分別在邊，上，在線段左側(cè)構(gòu)造，使．（1）如圖1，若，點(diǎn)與點(diǎn)重合，與相交于點(diǎn)．求證：．（2）當(dāng)時(shí)，連接，取的中點(diǎn)，連接．①如圖2，若點(diǎn)落在邊上，求的長．②是否存在點(diǎn)，使得是直角三角形？若存在，求的長；若不存在，試說明理由．19．（2021秋?沭陽縣校級(jí)月考）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，的坐標(biāo)分別為，，現(xiàn)同時(shí)將點(diǎn)，分別向上平移2個(gè)單位，再向右平移1個(gè)單位，分別得到點(diǎn)，的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，，連接，，．（三角形可用符號(hào)△表示，面積用符號(hào)表示）（1）直接寫出點(diǎn)，的坐標(biāo)；（2）在軸上是否存在點(diǎn)，連接，，使，若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由；（3）若動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，沿著軸正方向運(yùn)動(dòng)；當(dāng)是直角三角形時(shí)，求長．20．（2021秋?鄲城縣月考）（1）觀察猜想：如圖1，是以、為腰的等腰三角形，點(diǎn)、點(diǎn)分別在、上，且，將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)．如圖1：請(qǐng)直接寫出旋轉(zhuǎn)后與的數(shù)量關(guān)系．（2）探究證明：如圖2，是以為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，分別交與兩邊于點(diǎn)、點(diǎn)．將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至圖2所示的位置時(shí)，（1）中結(jié)論是否仍然成立？若成立，請(qǐng)給出證明；若不成立，請(qǐng)說明理由．（3）拓展延伸：如圖3，是直角三角形，，，、分別是與的中點(diǎn)，現(xiàn)將繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)（旋轉(zhuǎn)角，當(dāng)是直角三角形時(shí)，求的長．21．（2021秋?尤溪縣期中）已知組正整數(shù)：第一組：，3，；第二組：，8，；第三組：，15，；第四組：，24，；第五組：，35，；（1）寫出符合上述規(guī)律的第六組三個(gè)數(shù)：；（2）是否存在一組數(shù)，既符合上述規(guī)律，且其中一個(gè)數(shù)為80？若存在，請(qǐng)求出這組數(shù)；若不存在，請(qǐng)說明理由；（3）以任意一個(gè)大于2的偶數(shù)為一條直角邊的長，是否一定可以畫出一個(gè)直角三角形，使得該直角三角形的另兩條邊的長都是正整數(shù)？若可以，請(qǐng)說明理由；若不可以，請(qǐng)舉出反例．22．（2021秋?儀征市期中）如圖，在中，，，，若動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)開始，按的路徑運(yùn)動(dòng)，且速度為每秒，設(shè)出發(fā)的時(shí)間為秒．（1）出發(fā)2秒后，求的周長．（2）問為何值時(shí)，為