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河北省邯鄲市2023-2024學(xué)年高三下學(xué)期4月考數(shù)學(xué)試題注意事項(xiàng):1.答卷前,考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考場(chǎng)號(hào)和座位號(hào)填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型(B)填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2.作答選擇題時(shí),選出每小題答案后,用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑;如需改動(dòng),用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3.非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答,答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上;如需改動(dòng),先劃掉原來的答案,然后再寫上新答案;不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4.考生必須保證答題卡的整潔。考試結(jié)束后,請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.臺(tái)球是一項(xiàng)國(guó)際上廣泛流行的高雅室內(nèi)體育運(yùn)動(dòng),也叫桌球(中國(guó)粵港澳地區(qū)的叫法)、撞球(中國(guó)地區(qū)的叫法)控制撞球點(diǎn)、球的旋轉(zhuǎn)等控制母球走位是擊球的一項(xiàng)重要技術(shù),一次臺(tái)球技術(shù)表演節(jié)目中,在臺(tái)球桌上,畫出如圖正方形ABCD,在點(diǎn)E,F(xiàn)處各放一個(gè)目標(biāo)球,表演者先將母球放在點(diǎn)A處,通過擊打母球,使其依次撞擊點(diǎn)E,F(xiàn)處的目標(biāo)球,最后停在點(diǎn)C處,若AE=50cm.EF=40cm.FC=30cm,∠AEF=∠CFE=60°,則該正方形的邊長(zhǎng)為()A.50cm B.40cm C.50cm D.20cm2.已知集合,,,則()A. B. C. D.3.已知數(shù)列的前項(xiàng)和為,且,,,則的通項(xiàng)公式()A. B. C. D.4.設(shè)等比數(shù)列的前項(xiàng)和為,若,則的值為()A. B. C. D.5.港珠澳大橋于2018年10月2刻日正式通車,它是中國(guó)境內(nèi)一座連接香港、珠海和澳門的橋隧工程,橋隧全長(zhǎng)55千米.橋面為雙向六車道高速公路,大橋通行限速100km/h,現(xiàn)對(duì)大橋某路段上1000輛汽車的行駛速度進(jìn)行抽樣調(diào)查.畫出頻率分布直方圖(如圖),根據(jù)直方圖估計(jì)在此路段上汽車行駛速度在區(qū)間[85,90)的車輛數(shù)和行駛速度超過90km/h的頻率分別為()A.300, B.300, C.60, D.60,6.函數(shù)的圖象大致是()A. B.C. D.7.已知,則()A. B. C. D.8.已知l,m是兩條不同的直線,m⊥平面α,則“”是“l(fā)⊥m”的()A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件9.已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為,若,且公比為2,則與的關(guān)系正確的是()A. B.C. D.10.已知復(fù)數(shù)滿足,且,則()A.3 B. C. D.11.設(shè)是定義在實(shí)數(shù)集上的函數(shù),滿足條件是偶函數(shù),且當(dāng)時(shí),,則,,的大小關(guān)系是()A. B. C. D.12.已知的部分圖象如圖所示,則的表達(dá)式是()A. B.C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.《九章算術(shù)》第七章“盈不足”中第一題:“今有共買物,人出八,盈三錢;人出七,不足四,問人數(shù)物價(jià)各幾何?”借用我們現(xiàn)在的說法可以表述為:有幾個(gè)人合買一件物品,每人出8元,則付完錢后還多3元;若每人出7元,則還差4元才夠付款.問他們的人數(shù)和物品價(jià)格?答:一共有_____人;所合買的物品價(jià)格為_______元.14.已知函數(shù),若,則___________.15.已知拋物線的焦點(diǎn)和橢圓的右焦點(diǎn)重合,直線過拋物線的焦點(diǎn)與拋物線交于、兩點(diǎn)和橢圓交于、兩點(diǎn),為拋物線準(zhǔn)線上一動(dòng)點(diǎn),滿足,,當(dāng)面積最大時(shí),直線的方程為______.16.設(shè),若關(guān)于的方程有實(shí)數(shù)解,則實(shí)數(shù)的取值范圍_____.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)在平面直角坐標(biāo)系中,已知橢圓的左、右頂點(diǎn)分別為、,焦距為2,直線與橢圓交于兩點(diǎn)(均異于橢圓的左、右頂點(diǎn)).當(dāng)直線過橢圓的右焦點(diǎn)且垂直于軸時(shí),四邊形的面積為6.(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)設(shè)直線的斜率分別為.①若,求證:直線過定點(diǎn);②若直線過橢圓的右焦點(diǎn),試判斷是否為定值,并說明理由.18.(12分)已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列的前項(xiàng)和為,且是與的等差中項(xiàng).(1)證明:為等差數(shù)列,并求;(2)設(shè),數(shù)列的前項(xiàng)和為,求滿足的最小正整數(shù)的值.19.(12分)如圖,在三棱柱中,,,,為的中點(diǎn),且.(1)求證:平面;(2)求銳二面角的余弦值.20.(12分)已知函數(shù),且曲線在處的切線方程為.(1)求的極值點(diǎn)與極值.(2)當(dāng),時(shí),證明:.21.(12分)在中,角的對(duì)邊分別為,且滿足.(Ⅰ)求角的大?。唬á颍┤舻拿娣e為,,求和的值.22.(10分)如圖,已知四棱錐,平面,底面為矩形,,為的中點(diǎn),.(1)求線段的長(zhǎng).(2)若為線段上一點(diǎn),且,求二面角的余弦值.

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解析】

過點(diǎn)做正方形邊的垂線,如圖,設(shè),利用直線三角形中的邊角關(guān)系,將用表示出來,根據(jù),列方程求出,進(jìn)而可得正方形的邊長(zhǎng).【詳解】過點(diǎn)做正方形邊的垂線,如圖,設(shè),則,,則,因?yàn)?,則,整理化簡(jiǎn)得,又,得,.即該正方形的邊長(zhǎng)為.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查直角三角形中的邊角關(guān)系,關(guān)鍵是要構(gòu)造直角三角形,是中檔題.2、D【解析】

根據(jù)集合的基本運(yùn)算即可求解.【詳解】解:,,,則故選:D.【點(diǎn)睛】本題主要考查集合的基本運(yùn)算,屬于基礎(chǔ)題.3、C【解析】

利用證得數(shù)列為常數(shù)列,并由此求得的通項(xiàng)公式.【詳解】由,得,可得().相減得,則(),又由,,得,所以,所以為常數(shù)列,所以,故.故選:C【點(diǎn)睛】本小題考查數(shù)列的通項(xiàng)與前項(xiàng)和的關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí);考查運(yùn)算求解能力,邏輯推理能力,應(yīng)用意識(shí).4、C【解析】

求得等比數(shù)列的公比,然后利用等比數(shù)列的求和公式可求得的值.【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為,,,,因此,.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查等比數(shù)列求和公式的應(yīng)用,解答的關(guān)鍵就是求出等比數(shù)列的公比,考查計(jì)算能力,屬于基礎(chǔ)題.5、B【解析】

由頻率分布直方圖求出在此路段上汽車行駛速度在區(qū)間的頻率即可得到車輛數(shù),同時(shí)利用頻率分布直方圖能求行駛速度超過的頻率.【詳解】由頻率分布直方圖得:在此路段上汽車行駛速度在區(qū)間的頻率為,∴在此路段上汽車行駛速度在區(qū)間的車輛數(shù)為:,行駛速度超過的頻率為:.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查頻數(shù)、頻率的求法,考查頻率分布直方圖的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí),考查運(yùn)算求解能力,是基礎(chǔ)題.6、B【解析】

根據(jù)函數(shù)表達(dá)式,把分母設(shè)為新函數(shù),首先計(jì)算函數(shù)定義域,然后求導(dǎo),根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)判斷函數(shù)單調(diào)性,對(duì)應(yīng)函數(shù)圖像得到答案.【詳解】設(shè),,則的定義域?yàn)?,當(dāng),,單增,當(dāng),,單減,則.則在上單增,上單減,.選B.【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)圖像的判斷,用到了換元的思想,簡(jiǎn)化了運(yùn)算,同學(xué)們還可以用特殊值法等方法進(jìn)行判斷.7、C【解析】

利用誘導(dǎo)公式得,,再利用倍角公式,即可得答案.【詳解】由可得,∴,∴.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查誘導(dǎo)公式、倍角公式,考查函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想,考查邏輯推理能力和運(yùn)算求解能力,求解時(shí)注意三角函數(shù)的符號(hào).8、A【解析】

根據(jù)充分條件和必要條件的定義,結(jié)合線面垂直的性質(zhì)進(jìn)行判斷即可.【詳解】當(dāng)m⊥平面α?xí)r,若l∥α”則“l(fā)⊥m”成立,即充分性成立,若l⊥m,則l∥α或l?α,即必要性不成立,則“l(fā)∥α”是“l(fā)⊥m”充分不必要條件,故選:A.【點(diǎn)睛】本題主要考查充分條件和必要條件的判斷,結(jié)合線面垂直的性質(zhì)和定義是解決本題的關(guān)鍵.難度不大,屬于基礎(chǔ)題9、C【解析】

在等比數(shù)列中,由即可表示之間的關(guān)系.【詳解】由題可知,等比數(shù)列中,且公比為2,故故選:C【點(diǎn)睛】本題考查等比數(shù)列求和公式的應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.10、C【解析】

設(shè),則,利用和求得,即可.【詳解】設(shè),則,因?yàn)?則,所以,又,即,所以,所以,故選:C【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的乘法法則的應(yīng)用,考查共軛復(fù)數(shù)的應(yīng)用.11、C【解析】∵y=f(x+1)是偶函數(shù),∴f(-x+1)=f(x+1),即函數(shù)f(x)關(guān)于x=1對(duì)稱.

∵當(dāng)x≥1時(shí),為減函數(shù),∵f(log32)=f(2-log32)=f()且==log34,log34<<3,∴b>a>c,

故選C12、D【解析】

由圖象求出以及函數(shù)的最小正周期的值,利用周期公式可求得的值,然后將點(diǎn)的坐標(biāo)代入函數(shù)的解析式,結(jié)合的取值范圍求出的值,由此可得出函數(shù)的解析式.【詳解】由圖象可得,函數(shù)的最小正周期為,.將點(diǎn)代入函數(shù)的解析式得,得,,,則,,因此,.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查利用圖象求三角函數(shù)解析式,考查分析問題和解決問題的能力,屬于中等題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、753【解析】

根據(jù)物品價(jià)格不變,可設(shè)共有x人,列出方程求解即可【詳解】設(shè)共有人,由題意知,解得,可知商品價(jià)格為53元.即共有7人,商品價(jià)格為53元.【點(diǎn)睛】本題主要考查了數(shù)學(xué)文化及一元一次方程的應(yīng)用,屬于中檔題.14、【解析】

根據(jù)題意,利用函數(shù)奇偶性的定義判斷函數(shù)的奇偶性,利用函數(shù)奇偶性的性質(zhì)求解即可.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù),其定義域?yàn)?,所以其定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,又,所以函數(shù)為奇函數(shù),因?yàn)椋?故答案為:【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)奇偶性的判斷及其性質(zhì);考查運(yùn)算求解能力;熟練掌握函數(shù)奇偶性的判斷方法是求解本題的關(guān)鍵;屬于中檔題、??碱}型.15、【解析】

根據(jù)均值不等式得到,,根據(jù)等號(hào)成立條件得到直線的傾斜角為,計(jì)算得到直線方程.【詳解】由橢圓,可知,,,,,,,(當(dāng)且僅當(dāng),等號(hào)成立),,,,,直線的傾斜角為,直線的方程為.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查了拋物線,橢圓,直線的綜合應(yīng)用,意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和綜合應(yīng)用能力.16、【解析】

先求出,從而得函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù);在區(qū)間為減函數(shù).即可得的最大值為,令,得函數(shù)取得最小值,由有實(shí)數(shù)解,,進(jìn)而得實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】解:,當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),;函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù);在區(qū)間為減函數(shù).所以的最大值為,令,所以當(dāng)時(shí),函數(shù)取得最小值,又因?yàn)榉匠逃袑?shí)數(shù)解,那么,即,所以實(shí)數(shù)的取值范圍是:.故答案為:【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)的單調(diào)性,函數(shù)的最值問題,導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用,屬于中檔題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1);(2)①證明見解析;②【解析】

(1)由題意焦距為2,設(shè)點(diǎn),代入橢圓,解得,從而四邊形的面積,由此能求出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.(2)①由題意,聯(lián)立直線與橢圓的方程,得,推導(dǎo)出,,,,由此猜想:直線過定點(diǎn),從而能證明,,三點(diǎn)共線,直線過定點(diǎn).②由題意設(shè),,,,直線,代入橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程:,得,推導(dǎo)出,,由此推導(dǎo)出(定值).【詳解】(1)由題意焦距為2,可設(shè)點(diǎn),代入橢圓,得,解得,四邊形的面積,,,橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.(2)①由題意,聯(lián)立直線與橢圓的方程,得,,解得,從而,,,同理可得,,猜想:直線過定點(diǎn),下證之:,,,,三點(diǎn)共線,直線過定點(diǎn).②為定值,理由如下:由題意設(shè),,,,直線,代入橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程:,得,,,,(定值).【點(diǎn)睛】本題考查橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的求法,考查直線過定點(diǎn)的證明,考查兩直線的斜率的比值是否為定值的判斷與求法,考查橢圓、直線方程、韋達(dá)定理等基礎(chǔ)知識(shí),考查運(yùn)算求解能力,考查化歸與轉(zhuǎn)化思想,屬于中檔題.18、(1)見解析,(2)最小正整數(shù)的值為35.【解析】

(1)由等差中項(xiàng)可知,當(dāng)時(shí),得,整理后可得,從而證明為等差數(shù)列,繼而可求.(2),則可求出,令,即可求出的取值范圍,進(jìn)而求出最小值.【詳解】解析:(1)由題意可得,當(dāng)時(shí),,∴,,當(dāng)時(shí),,整理可得,∴是首項(xiàng)為1,公差為1的等差數(shù)列,∴,.(2)由(1)可得,∴,解得,∴最小正整數(shù)的值為35.【點(diǎn)睛】本題考查了等差中項(xiàng),考查了等差數(shù)列的定義,考查了與的關(guān)系,考查了裂項(xiàng)相消求和.當(dāng)已知有與的遞推關(guān)系時(shí),常代入進(jìn)行整理.證明數(shù)列是等差數(shù)列時(shí),一般借助數(shù)列,即后一項(xiàng)與前一項(xiàng)的差為常數(shù).19、(1)證明見解析;(2).【解析】

(1)證明后可得平面,從而得,結(jié)合已知得線面垂直;(2)以為坐標(biāo)原點(diǎn),以為軸,為軸,為建立空間直角坐標(biāo)系,設(shè),寫出各點(diǎn)坐標(biāo),求出二面角的面的法向量,由法向量夾角的余弦值得二面角的余弦值.【詳解】(1)證明:因?yàn)椋瑸橹悬c(diǎn),所以,又,,所以平面,又平面,所以,又,,所以平面.(2)由已知及(1)可知,,兩兩垂直,所以以為坐標(biāo)原點(diǎn),以為軸,為軸,為建立空間直角坐標(biāo)系,設(shè),則,,,,,.設(shè)平面的法向量,則,即,令,則;設(shè)平面的法向量,則,即,令,則,所以.故銳二面角的余弦值為.【點(diǎn)睛】本題考查證明線面垂直,解題時(shí)注意線面垂直與線線垂直的相互轉(zhuǎn)化.考查求二面角,求空間角一般是建立空間直角坐標(biāo)系,用向量法易得結(jié)論.20、(1)極小值點(diǎn)為,極小值為,無極大值;(2)證明見解析【解析】

先對(duì)函數(shù)求導(dǎo),結(jié)合已知及導(dǎo)數(shù)的幾何意義可求,結(jié)合單調(diào)性即可求解函數(shù)的極值點(diǎn)及極值;令,問題可轉(zhuǎn)化為求解函數(shù)的最值,結(jié)合導(dǎo)數(shù)可求.【詳解】(1)由題得函數(shù)的定義域?yàn)?,由已知得,解得∴,令,得令,得,∴在上單調(diào)遞增.令,得∴在上單調(diào)遞減∴的極小值點(diǎn)為,極小值為,無極大值.(2

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