數(shù)學(xué)學(xué)案：課堂探究2空間中的垂直關(guān)系第2課時(shí)

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專(zhuān)精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專(zhuān)精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專(zhuān)精課堂探究探究一面面垂直的判定(1)面面垂直的定義，判定的方法是：①證明第三個(gè)平面與兩個(gè)相交平面的交線(xiàn)垂直；②證明這兩個(gè)平面與第三個(gè)平面相交所得的兩條交線(xiàn)互相垂直;③根據(jù)定義，這兩個(gè)平面互相垂直．(2）面面垂直的判定定理．在證明兩個(gè)平面垂直時(shí)，一般先從現(xiàn)有的直線(xiàn)中尋找平面的垂線(xiàn)，若這樣的直線(xiàn)在現(xiàn)有的圖中不存在,則可通過(guò)作輔助線(xiàn)來(lái)解決．【典型例題1】在正方體AC1中，求證：平面BDD1B1⊥平面ACC1A1．證明：如圖所示，因?yàn)锳A1⊥平面ABCD,BD?平面ABCD，所以AA1⊥BD．又在底面ABCD內(nèi)，對(duì)角線(xiàn)AC⊥BD，且AA1∩AC＝A，所以BD⊥平面ACC1A1．又BD?平面BDD1B1，所以平面BDD1B1⊥平面ACC1A1．【典型例題2】如圖，在四面體ABCD中，BD＝，AB＝AD＝CB＝CD＝AC＝a，求證:平面ABD⊥平面BCD．思路分析:圖形中的垂直關(guān)系較少，不妨考慮利用定義法證明．證明：取BD的中點(diǎn)為E，連接AE，CE，因?yàn)镃B＝CD＝AB＝AD，所以AE⊥BD，CE⊥BD,則有BD⊥平面AEC．因?yàn)锳B＝AD＝CB＝CD＝AC＝a,BD＝，所以△ABD和△BCD都是等腰直角三角形,AE,CE都是斜邊上的中線(xiàn)．所以AE＝CE＝BD＝．又AC＝a,所以AE2＋CE2＝AC2．所以AE⊥CE．又AE,CE分別是平面AEC與平面ABD、平面BCD的交線(xiàn),所以平面ABD⊥平面BCD．探究二面面垂直的性質(zhì)(1）當(dāng)所給的題目中有面面垂直的條件時(shí)，一般要注意是否有垂直于兩個(gè)平面交線(xiàn)的垂線(xiàn)，如果有，可利用性質(zhì)定理將面面垂直轉(zhuǎn)化為線(xiàn)面垂直或線(xiàn)線(xiàn)垂直；如果沒(méi)有，一般需作輔助線(xiàn)，基本作法是過(guò)其中一個(gè)平面內(nèi)一點(diǎn)作交線(xiàn)的垂線(xiàn)，這樣把面面垂直轉(zhuǎn)化為線(xiàn)面垂直或線(xiàn)線(xiàn)垂直．(2)面面垂直性質(zhì)定理的常用推論：①兩相交平面同時(shí)垂直于第三個(gè)平面，那么兩相交平面的交線(xiàn)也垂直于第三個(gè)平面．②兩個(gè)互相垂直的平面的垂線(xiàn)也互相垂直．③如果兩個(gè)平面互相垂直，那么其中一個(gè)平面的垂線(xiàn)與另一個(gè)平面平行或在另一個(gè)平面內(nèi)．【典型例題3】(1）如圖所示，三棱錐P.ABC的底面在平面α內(nèi)，且AC⊥PC，平面PAC⊥平面PBC，點(diǎn)P，A,B是定點(diǎn),則動(dòng)點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)形成的圖形是（)A．一條線(xiàn)段B．一條直線(xiàn)C．一個(gè)圓D．一個(gè)圓，但要去掉兩個(gè)點(diǎn)．解析：因?yàn)槠矫鍼AC⊥平面PBC，AC⊥PC，AC?平面PAC,且平面PAC∩平面PBC＝PC，所以AC⊥平面PBC．又因?yàn)锽C?平面PBC，所以AC⊥BC，所以∠ACB＝90°，所以動(dòng)點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)形成的圖形是以AB為直徑的圓，除去A和B兩點(diǎn),故選D．答案：D(2)如圖，AB是⊙O的直徑，C是圓周上不同于A,B的任意一點(diǎn)，平面PAC⊥平面ABC，①判斷BC與平面PAC的位置關(guān)系，并證明．②判斷平面PBC與平面PAC的位置關(guān)系．解：①BC⊥平面PAC．證明:因?yàn)锳B是⊙O的直徑，C是圓周上不同于A，B的任意一點(diǎn),所以∠ACB＝90°，所以BC⊥AC．又因?yàn)槠矫鍼AC⊥平面ABC,平面PAC∩平面ABC＝AC,BC?平面ABC，所以BC⊥平面PAC．②因?yàn)锽C?平面PBC，所以平面PBC⊥平面PAC．探究三探索型問(wèn)題（1)垂直關(guān)系的相互轉(zhuǎn)化：（2）探究型問(wèn)題的兩種解題方法：①(分析法)即從問(wèn)題的結(jié)論出發(fā),探求問(wèn)題成立的條件．②(反證法）先假設(shè)使結(jié)論成立的條件存在，然后進(jìn)行推證，推出矛盾,否定假設(shè)，確定使結(jié)論成立的條件不存在．【典型例題4】如圖,在三棱錐A。BCD中，∠BCD＝90°，BC＝CD＝1，AB⊥平面BCD，∠ADB＝60°，E，F(xiàn)分別是AC,AD上的動(dòng)點(diǎn)，且＝＝λ(0<λ<1）．（1）求證：不論λ為何值,總有平面BEF⊥平面ABC．(2)當(dāng)λ為何值時(shí)，平面BEF⊥平面ACD．解：（1）因?yàn)锳B⊥平面BCD，所以AB⊥CD．因?yàn)镃D⊥BC,且AB∩BC＝B，所以CD⊥平面ABC．又因?yàn)椋剑溅?0<λ〈1）,所以不論λ為何值,恒有EF∥CD．所以EF⊥平面ABC，EF?平面BEF．所以不論λ為何值，恒有平面BEF⊥平面ABC．(2)由（1)知，BE⊥EF,因?yàn)槠矫鍮EF⊥平面ACD,所以BE⊥平面ACD，所以BE⊥AC．因?yàn)锽C＝CD＝1，∠BCD＝90°，∠ADB＝60°，所以BD＝，AB＝tan60°＝．所以AC＝＝．由AB2＝AE·AC，得AE＝．所以λ＝＝．探究四易錯(cuò)辨析易錯(cuò)點(diǎn)1：忽略了幾何體的所屬范圍而致誤【典型例題5】已知在四邊形ABCD中，四個(gè)角∠ABC，∠BCD，∠CDA，∠DAB都是直角．求證：四邊形ABCD是矩形．錯(cuò)解：根據(jù)初中所學(xué)知識(shí)，可知四邊形ABCD是矩形．錯(cuò)因分析：上述說(shuō)明不嚴(yán)謹(jǐn)，忽略了四邊形是空間四邊形的檢驗(yàn)與討論．正解：(1）當(dāng)四邊形ABCD是平面四邊形時(shí),易得其是矩形．(2)若四邊形ABCD是空間四邊形，可設(shè)點(diǎn)C在平面ABD之外，如圖所示，設(shè)C′是點(diǎn)C在平面ABD內(nèi)的射影,因?yàn)锳D?平面ABD，CC′⊥平面ABD,所以CC′⊥AD．又CD⊥AD,CC′∩CD＝C，所以AD⊥平面CC′D，所以C′D⊥AD．同理C′B⊥AB．?CD2＋CB2〉C′D2＋C′B2．①連接BD，在△BCD中，∠BCD＝90°，故CD2＋CB2＝BD2．②在平面四邊形ABC′D中，因?yàn)椤螪AB＝∠ABC′＝∠ADC′＝90°，所以∠BC′D＝90°，所以C′D2＋C′B2＝BD2．③將②③代入①得BD2〉BD2，矛盾，故四邊形ABCD不可能是空間四邊形,只能是平面四邊形，所以四邊形ABCD是矩形．易錯(cuò)點(diǎn)2:忽略了問(wèn)題的唯一性而致誤【典型例題6】已知直線(xiàn)a不垂直于平面α,如圖所示,求證：過(guò)a有且只有一個(gè)平面與α垂直．錯(cuò)解：記A∈a，過(guò)A作b⊥α，a∩b＝A，則可得a,b確定一個(gè)平面β，由b⊥α，b?β，得α⊥β，這說(shuō)明過(guò)a有且只有一個(gè)平面β與α垂直．錯(cuò)因分析：僅證明了命題的存在性，而忽略了唯一性．正解:(1）存在