新高考數(shù)學一輪復習考點精講練+易錯題型第31講 平面向量的應用（解析版）

第31講平面向量的應用【基礎(chǔ)知識全通關(guān)】一：法向量與點到直線的距離1．對于直線SKIPIF1<0是直線的方向向量，SKIPIF1<0是直線的法向量．2．已知直線SKIPIF1<0和定點SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為與SKIPIF1<0垂直的單位向量，則P到直線SKIPIF1<0的距離SKIPIF1<0=SKIPIF1<0．【微點撥】（1）如果給出的方程不是一般式，應先將方程化為一般式；（2）利用點到直線的距離公式，可以得到兩平行直線SKIPIF1<0之間的距離SKIPIF1<0，應用此公式時，要預先把兩直線中的SKIPIF1<0的系數(shù)調(diào)整到分別相同才行．二：向量在平面幾何中的應用向量在平面幾何中的應用主要有以下幾個方面：（1）證明線段相等、平行，常運用向量加法的三角形法則、平行四邊形法則，有時用到向量減法的意義．（2）證明線段平行、三角形相似，判斷兩直線（或線段）是否平行，常運用向量平行（共線）的條件：SKIPIF1<0（或x1y2－x2y1=0）．（3）證明線段的垂直問題，如證明四邊形是矩形、正方形，判斷兩直線（線段）是否垂直等，常運用向量垂直的條件：SKIPIF1<0（或x1x2+y1y2=0）．（4）求與夾角相關(guān)的問題，往往利用向量的夾角公式SKIPIF1<0．（5）向量的坐標法，對于有些平面幾何問題，如長方形、正方形、直角三角形等，建立直角坐標系，把向量用坐標表示，通過代數(shù)運算解決幾何問題．【微點撥】用向量知識證明平面幾何問題是向量應用的一個方面，解決這類題的關(guān)鍵是正確選擇基底，表示出相關(guān)向量，這樣平面圖形的許多性質(zhì)，如長度、夾角等都可以通過向量的線性運算及數(shù)量積表示出來，從而把幾何問題轉(zhuǎn)化成向量問題，再通過向量的運算法則運算就可以達到解決幾何問題的目的了．三：向量在解析幾何中的應用在平面直角坐標系中，有序?qū)崝?shù)對（x，y）既可以表示一個固定的點，又可以表示一個向量，使向量與解析幾何有了密切的聯(lián)系，特別是有關(guān)直線的平行、垂直問題，可以用向量方法解決．常見解析幾何問題及應對方法：（1）斜率相等問題：常用向量平行的性質(zhì)．（2）垂直條件運用：轉(zhuǎn)化為向量垂直，然后構(gòu)造向量數(shù)量積為零的等式，最終轉(zhuǎn)換出關(guān)于點的坐標的方程．（3）定比分點問題：轉(zhuǎn)化為三點共線及向量共線的等式條件．（4）夾角問題：利用公式SKIPIF1<0．四：向量在物理中的應用（1）利用向量知識來確定物理問題，應注意兩方面：一方面是如何把物理問題轉(zhuǎn)化成數(shù)學問題，即將物理問題抽象成數(shù)學模型；另一方面是如何利用建立起來的數(shù)學模型解釋相關(guān)物理現(xiàn)象．（2）明確用向量研究物理問題的相關(guān)知識：①力、速度、位移都是向量；②力、速度、位移的合成與分解就是向量的加減法；③動量mv是數(shù)乘向量；④功即是力F與所產(chǎn)生位移s的數(shù)量積．（3）用向量方法解決物理問題的步驟：一是把物理問題中的相關(guān)量用向量表示；二是轉(zhuǎn)化為向量問題的模型，通過向量運算解決問題；三是把結(jié)果還原為物理結(jié)論．【考點研習一點通】考點一：點到直線的距離公式1．求經(jīng)過P（-1，2）與直線SKIPIF1<0平行的直線的方程．【點撥】由于兩線平行，它們的方向向量共線，只要求出已知直線的方向向量即為所求直線的方向向量，從而可求出直線方程．【答案】SKIPIF1<0【解析】方法一：直線SKIPIF1<0的方向向量為SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0是所求直線上任意一點，則SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0為所求直線方程．方法二：由直線SKIPIF1<0的方向向量為SKIPIF1<0，故所求直線的斜率為-1，由點斜式可得過點P（-1，2）的直線方程為SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0．【總結(jié)】方法二是大家通常能想到的方法，方法一是利用向量來解決問題，若能熟練使用，可達到事半功倍的效果．【變式1-1】已知直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的方程分別為SKIPIF1<0，直線SKIPIF1<0平行于SKIPIF1<0，直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的距離為SKIPIF1<0，與SKIPIF1<0的距離為SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，求直線SKIPIF1<0的方程．【答案】SKIPIF1<0【解析】因為直線SKIPIF1<0平行于SKIPIF1<0，可設(shè)SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0上取一點SKIPIF1<0，平行線間距離處處相等，所以點SKIPIF1<0到直線SKIPIF1<0的距離為SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0．同理，在SKIPIF1<0上取點SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，于是直線SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0．考點二：向量在平面幾何中的應用2．用向量法證明：直徑所對的圓周角是直角．已知：如下圖，AB是⊙O的直徑，點P是⊙O上任一點（不與A、B重合），求證：∠APB＝90°．證明：聯(lián)結(jié)OP，設(shè)向量SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，即∠APB＝90°．【總結(jié)】解決垂直問題，一般的思路是將目標線段的垂直轉(zhuǎn)化為向量的數(shù)量積為零，而在此過程中，則需運用向量運算，將目標向量用基底表示，通過基底的數(shù)量積運算式使問題獲解，如本題便是將向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0由基底SKIPIF1<0，SKIPIF1<0線性表示．當然基底的選取應以方便運算為準，即它們的夾角是明確的，且長度易知．【變式2-1】如下圖，正三角形ABC中，D、E分別是AB、BC上的一個三等分點，且AE、CD交于點P．求證：BP⊥CD．【點撥】將向量SKIPIF1<0和SKIPIF1<0用基底表示，然后把證明線段垂直問題，轉(zhuǎn)化成SKIPIF1<0的問題．【解析】設(shè)SKIPIF1<0，正三角形ABC的邊長為a，則SKIPIF1<0．又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．∴SKIPIF1<0．于是有SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0．∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，從而SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，故BP⊥CD．【總結(jié)】解決垂直問題，一般的思路是將目標線段的垂直轉(zhuǎn)化為向量的內(nèi)積為零，而在此過程中，則需運用向量運算，將目標向量用基底表示，通過基底的內(nèi)積運算式使問題獲解，如本題便是將向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0由基底SKIPIF1<0，SKIPIF1<0線性表示．當然基底的選取應以方便運算為準，即它們的夾角是明確的，且長度易知．【變式2-2】如圖所示，四邊形ADCB是正方形，P是對角線DB上一點，PFCE是矩形，證明：SKIPIF1<0.【點撥】如果我們能用坐標表示SKIPIF1<0與SKIPIF1<0，則要證明結(jié)論，只要用兩向量垂直的充要條件進行驗證即可.因此只要建立適當?shù)淖鴺讼?，得到點A、B、E、F的坐標后，就可進行論證.【解析】以點D為坐標原點，DC所在直線為SKIPIF1<0軸建立如圖所示坐標系，設(shè)正方形的邊長為1，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，，，SKIPIF1<0，于是SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0.【變式2-3】在平面直角坐標系xOy中，已知點A（―1，―2），B（2，3），C（―2，―1）．（1）求以線段AB、AC為鄰邊的平行四邊形的兩條對角線的長；（2）設(shè)實數(shù)t滿足SKIPIF1<0，求t的值．【答案】（1）SKIPIF1<0，SKIPIF1<0（2）SKIPIF1<0【解析】（1）由題設(shè)知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．故所求的兩條對角線長分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．（2）由題設(shè)知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．由SKIPIF1<0，得(3+2t，5+t)·(―2，―1)=0，從而5t=―11，所以SKIPIF1<0．【變式2-4】四邊形ABCD是正方形，BE∥AC，AC=CE，EC的延長線交BA的延長線于點F．求證：AF=AE．【點撥】建立直角坐標系，寫出向量SKIPIF1<0和SKIPIF1<0，證明SKIPIF1<0=SKIPIF1<0．【證明】如下圖，以點C為坐標原點，以DC邊所在直線為x軸，建立直角坐標系，設(shè)正方形的邊長為1，則A（－1，1），B（0，1），若設(shè)E（x，y）（x＞0），則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．因為BE∥AC，即SKIPIF1<0，所以x+y―1=0．又因為AC=CE，所以x2+y2―2=0．由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0．又設(shè)F（x＇，1），由SKIPIF1<0和SKIPIF1<0共線，得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．所以SKIPIF1<0．所以AF=AE．【總結(jié)】通過建立坐標系，將幾何問題代數(shù)化，根據(jù)向量的相關(guān)運算，使問題得以解決．考點三：向量在解析幾何中的應用3．已知平面上一定點C(2,0)和直線l：x＝8，P為該平面上一動點，作PQ⊥l，垂足為Q，且SKIPIF1<0，求動點P的軌跡方程．【點撥】設(shè)動點P的坐標，先把向量之間的關(guān)系化簡，然后代入向量坐標，化簡整理即得軌跡方程．【答案】SKIPIF1<0【解析】設(shè)PSKIPIF1<0，則SKIPIF1<0由SKIPIF1<0得：SKIPIF1<0即SKIPIF1<0化簡得SKIPIF1<0．【總結(jié)】該題的難點是向量條件的轉(zhuǎn)化與應用，解決此題應從向量的坐標運算入手，這也是解決解析幾何的基本方法——坐標法，在解題過程中應該注意結(jié)合向量的有關(guān)運算技巧，先化簡后運算．【變式3-1】已知圓C：（x-3）2+（y-3）2=4及定點A（1，1），M為圓C上任意一點，點N在線段MA上，且SKIPIF1<0，求動點N的軌跡方程．【點撥】設(shè)出動點的坐標，利用向量條件確定動點坐標之間的關(guān)系，利用M為圓C上任意一點，即可求得結(jié)論．【答案】x2+y2=1【解析】設(shè)N（x，y），M（x0，y0），則由SKIPIF1<0得（1―x0，1―y0）=2（x―1，y―1），∴SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0．代入(x―3)2+(y―3)2=4，得x2+y2=1．【總結(jié)】本題考查軌跡方程，解題的關(guān)鍵是利用向量條件確定動點坐標之間的關(guān)系，屬于中檔題．【變式3-2】已知△ABC的三個頂點A（0，―4），B（4，0），C（―6，2），點D、E、F分別為邊BC、CA、AB的中點．（1）求直線DE、EF、FD的方程；（2）求AB邊上的高CH所在直線的方程．【答案】（1）x―y+2=0，x+5y+8=0，x+y=0（2）x+y+4=0【解析】（1）由已知得點D（―1，1），E（―3，―1），F(xiàn)（2，―2），設(shè)M（x，y）是直線DE上任意一點，則SKIPIF1<0．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．∴(－2)×(x+1)―(―2)(y―1)=0，即x―y+2=0為直線DE的方程．同理可求，直線EF，F(xiàn)D的方程分別為x+5y+8=0，x+y=0．（2）設(shè)點N（x，y）是CH所在直線上任意一點，則SKIPIF1<0．∴SKIPIF1<0．又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．∴4(x+6)+4(y―2)=0，即x+y+4=0為所求直線CH的方程．【總結(jié)】（1）利用向量法來解決解析幾何問題，首先要將線段看成向量，再把坐標利用向量法則進行運算．（2）要掌握向量的常用知識：①共線；②垂直；③模；④夾角；⑤向量相等則對應坐標相等．考點四：向量在物理學中“功”的應用4．如圖所示，已知力F與水平方向的夾角為30°（斜向上），大小為50N，一個質(zhì)量為8kg的木塊受力F的作用在動摩擦因數(shù)μ=0.02的水平平面上運動了20m．問力F和摩擦力f所做的功分別為多少？（g=10m/s2）【答案】SKIPIF1<0―22【解析】設(shè)木塊的位移為s，則W=F·s=|F|·|s|cos30°=50×20×SKIPIF1<0（J）．F在豎直方向上的分力的大小為SKIPIF1<0．則SKIPIF1<0（N）．則f·s=|f|·|s|cos180°=1.1×20×(―1)=―22（J）．即F與f所做的功分別是SKIPIF1<0J與―22J．【總結(jié)】向量在物理學中的應用一般涉及力或速度的合成與分解，充分借助向量平行四邊形法則把物理問題抽象轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題．考點五：向量在力學中的應用5．如圖，用兩條同樣長的繩子拉一物體，物體受到重力為G．兩繩受到的拉力分別為F1、F2，夾角為SKIPIF1<0．（1）求其中一根繩子受的拉力|F1|與G的關(guān)系式，用數(shù)學觀點分析F1的大小與夾角SKIPIF1<0的關(guān)系；（2）求F1的最小值；（3）如果每根繩子的最大承受拉力為|G|，求SKIPIF1<0的取值范圍．【答案】（1）SKIPIF1<0增大時，|F1|也增大（2）SKIPIF1<0（3）[0°，120°]【解析】（1）由力的平衡得F1+F2+G=0，設(shè)F1，F(xiàn)2的合力為F，則F=―G，由F1+F2=F且|F1|=|F2|，|F|=|G|，解直角三角形得SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0∈[0°，180°]，由于函數(shù)y=cosSKIPIF1<0在SKIPIF1<0∈[0°，180°]上為減函數(shù)，∴SKIPIF1<0逐漸增大時，SKIPIF1<0逐漸減小，即SKIPIF1<0逐漸增大，∴SKIPIF1<0增大時，|F1|也增大．（2）由上述可知，當SKIPIF1<0=0°時，|F1|有最小值為SKIPIF1<0．（3）由題意，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0．由于y=cosSKIPIF1<0在[0°，180°]上為減函數(shù)，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0∈[0°，120°]為所求．【總結(jié)】生活中“兩人共提一桶水，夾角越大越費力”，“在單杠上做引體向上，兩臂的夾角越小就越省力”等物理現(xiàn)象，通過數(shù)學推理與分析得到了詮釋．【考點易錯】1．如圖，在△OAB中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，AD與BC交于點M，設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，試以a，b為基底表示SKIPIF1<0．【點撥】直接利用SKIPIF1<0、SKIPIF1<0表示SKIPIF1<0比較困難，可以先設(shè)SKIPIF1<0，再根據(jù)三點共線的知識尋找出SKIPIF1<0的兩個方程，聯(lián)立方程組，解之即得．【答案】SKIPIF1<0【解析】設(shè)SKIPIF1<0（m，n∈R），則SKIPIF1<0．SKIPIF1<0，∵A、M、D三點共線，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0，即m+2n=1．①而SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∵C、M、B三點共線，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0，即4m+n=1．②由SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．【總結(jié)】充分挖掘題目中的有利條件，本題中兩次使用三點共線，注重方程思想的應用；（2）用基底表示向量也是運用向量解決問題的基礎(chǔ)，應根據(jù)條件靈活應用，熟練掌握．2．已知A、B、C是不共線的三點，O是△ABC內(nèi)一點，若SKIPIF1<0，證明O是△ABC的重心．【點撥】要證明O是△ABC的重心，即證O是△ABC各邊中線的交點，可聯(lián)系重心的性質(zhì)證之．【證明】∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0是與SKIPIF1<0方向相反且長度相等的向量．如圖所示，以O(shè)B、OC為相鄰兩邊作SKIPIF1<0OBDC，則SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．在SKIPIF1<0OBDC中，設(shè)BC與OD相交于E，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴AE是△ABC的BC邊上的中線，且SKIPIF1<0．根據(jù)平面幾何知識，知O是△ABC的重心．【總結(jié)】若SKIPIF1<0且直線AB與直線CD不重合，則AB∥CD．若SKIPIF1<0且直線AB與直線CD不重合，則以A、B、C、D為頂點的四邊形是平行四邊形．3．設(shè)SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0是三個有共同起點的不共線向量，求證：它們的終點A、B、P共線，當且僅當存在實數(shù)m、n使m+n=1且SKIPIF1<0．【點撥】本題包含兩個問題：（1）A、B、P共線SKIPIF1<0m+n=1，且SKIPIF1<0成立；（2）上述條件成立SKIPIF1<0A、B、P三點共線．【證明】（1）由三點共線SKIPIF1<0m、n滿足的條件．若A、B、P三點共線，則SKIPIF1<0與SKIPIF1<0共線，由向量共線的條件知存在實數(shù)SKIPIF1<0使SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．令SKIPIF1<0，n=SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0且m+n=1．（2）由m、n滿足m+n=1SKIPIF1<0A、B、P三點共線．若SKIPIF1<0且m+n=1，則SKIPIF1<0．則SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0．∴SKIPIF1<0與SKIPIF1<0共線，∴A、B、P三點共線．由（1）（2）可知，原命題是成立的．【總結(jié)】本例題的結(jié)論在做選擇題和填空題時，可作為定理使用，這也是證明三點共線的方法之一．【鞏固提升】1.等腰直角三角形中兩直角邊上的中線所成的鈍角的余弦值為A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【解析】如圖，分別以等腰直角三角形的兩直角邊所在的直線為x軸、y軸建立平面直角坐標系，設(shè)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0.設(shè)向量SKIPIF1<0的夾角為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0.【思路點撥】根據(jù)已知建立平面直角坐標系，將等腰直角三角形的兩直角邊所在直線作為x軸和y軸，分別設(shè)出三角形頂點和兩直角邊中點的坐標，再代入坐標求解兩中線所對應的向量的數(shù)量積和模，進而求得夾角的余弦值.2.已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，函數(shù)SKIPIF1<0.（Ⅰ）求函數(shù)fx的（Ⅱ）若銳角SKIPIF1<0的三個內(nèi)角A、B、C的對邊分別是a、b、c，且fA=1，求SKIPIF1<0的取值范圍.【解析】（Ⅰ）由條件可知:SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0.故函數(shù)fx的零點滿足SKIPIF1<0,由SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0,SKIPIF1<0．（Ⅱ）由正弦定理得SKIPIF1<0①.由（Ⅰ）知SKIPIF1<0，而fA=1，得SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0.∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，代入①化簡得：SKIPIF1<0，又在銳角SKIPIF1<0中，有SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，則有SKIPIF1<0，即：3<b+ca≤2.【名師點睛】利用向量的共線與垂直和數(shù)量積之間的關(guān)系建立三角方程或三角函數(shù)式，從而解決三角函數(shù)中的求值、求角或求最值等問題是高考考查的熱點.3．在SKIPIF1<0中,內(nèi)角SKIPIF1<0的對邊分別為SKIPIF1<0,且向量SKIPIF1<0SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0.（1）求SKIPIF1<0的值；（2）若SKIPIF1<0,求SKIPIF1<0在SKIPIF1<0方向上的投影.【解析】（1）∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的內(nèi)角，SKIPIF1<0.（2）在SKIPIF1<0中，由正弦定理SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0