《走向高考》高考總復(fù)習(xí)·數(shù)學(xué)-10833職業(yè)教育

《走向高考》高考總復(fù)第九章

直線、平面、簡單幾何體(A)知識梳理律方法提煉后強(qiáng)化作業(yè)堂題型設(shè)計(jì)首頁上頁下頁末頁《走向高考》高考總復(fù)第九章

直線、平面、簡單幾何體(A)識梳理方法提煉強(qiáng)化作業(yè)題型設(shè)計(jì)基礎(chǔ)知識一、直線和平面的位置關(guān)系一條直線a和平面α的位置關(guān)系有且只有三種:作

；；3.直線和平面平行——沒有公共點(diǎn)，記作.1.直線在平面內(nèi)——有無數(shù)個(gè)公共點(diǎn)，記首頁上頁下頁末頁a?α且只有一個(gè)a∩2α.＝直A線和平面相交——有 公共點(diǎn),記作a∥α第九章

直線、平面、簡單幾何體(A)識梳理方法提煉題型設(shè)計(jì)首頁上頁下頁末頁二、直線與平面平行的判定和性質(zhì)1.直線和平面平行的判定直線和平面平行的判定,除用定義外,主要是用判定定理，此外還用到其它特殊位置關(guān)系的性質(zhì)定理.《走向高考》高考總復(fù)①(定義)如果一條直線和一個(gè)平面沒有公共點(diǎn)，那么這條直線和這個(gè)平面平行.②(判定定理)如果平面外一條直線和這個(gè)平面內(nèi)的一條直線平行，那么這條直線和這個(gè)平面平行.用符號語言強(qiáng)化作業(yè)表示，即a?α，b?α，a∥b，則a∥α .第九章

直線、平面、簡單幾何體(A)識梳理方法提煉強(qiáng)化作業(yè)③如果平面外的兩條平行直線中有一條和這個(gè)平面平行，那么另一條也和這個(gè)平面平行.題型設(shè)計(jì)④如果兩個(gè)平面平行，那么一個(gè)平面內(nèi)的任何一條直《走向高考》高考總復(fù)線都平行于另一個(gè)平面.首頁上頁下頁末頁⑤一個(gè)平面和不在這個(gè)平面內(nèi)的一條直線都垂直于另一個(gè)平面，那么這條直線平行于這個(gè)平面.第九章

直線、平面、簡單幾何體(A)識梳理強(qiáng)化作業(yè)題型設(shè)計(jì)2.直線和平面平行的性質(zhì)如果一條直線和一個(gè)平面平行，經(jīng)過這條直線的平面《走向高考》高考總復(fù)和這個(gè)平面相交，那么這條直線和交線平行．用符號語言方法提煉表示為:a∥α，a?β，α∩β＝b，則a∥b .首頁上頁下頁末頁第九章

直線、平面、簡單幾何體(A)識梳理三、直線與平面垂直的判定和性質(zhì)1.直線和平面垂直的判定首頁上頁下頁末頁垂直,那—強(qiáng)化作業(yè)為:

.①(定義)如果一條直線和平面內(nèi)所有直線都題型設(shè)計(jì)么這條直線和這個(gè)平面垂直.②(判定定理1)如果一條直線和一個(gè)平面內(nèi)的兩《走條向高考》高考總復(fù)相交直線都 垂直，那么這條直線垂直于這個(gè)平面．用符號語言方法提煉為:a?α,b?α,a∩b＝O,l⊥a, .l⊥b,則l③⊥(α判定定理2)如果兩條平行直線中的一條個(gè)平面，那么另一條也垂直于這個(gè)平面.用符號垂語直言于表示a∥b,a⊥α,則b⊥α《走向高考》高考總復(fù)第九章

直線、平面、簡單幾何體(A)識梳理方法提煉題型設(shè)計(jì)首頁上頁下頁末頁④(面面垂直的性質(zhì)定理)如果兩個(gè)平面垂直,那么在第一個(gè)平面內(nèi)垂直于它們交線的直線垂直于另一個(gè)平

.⑤(兩平面平行的性質(zhì)定理)如果兩個(gè)平面平行,那么與其中一個(gè)平面垂直的直線也與另一個(gè)平面垂直.用符號.⑥如果兩個(gè)相交平面都垂直于第三個(gè)平面，那么它們強(qiáng)化作業(yè)的交線也垂直于第三個(gè)平面．用符號語言表示為:.面．用符號語言表示為:α⊥β，α∩β＝b，α?β，a⊥b,則a⊥α語言表示為:α∥β，a⊥β，則a⊥αβ⊥α,γ⊥α,β∩γ＝a,則a⊥α第九章

直線、平面、簡單幾何體(A)識梳理強(qiáng)化作業(yè)題型設(shè)計(jì)首頁上頁下頁末頁⑦如果三條共點(diǎn)直線兩兩垂直，那么其中一條直線垂《走向高考》高考總復(fù)直于另兩條直線確定的平面．用符號語言表示為:a⊥b，a⊥c，b⊥c，a、b、c交于一點(diǎn)A，b?α，c?α，方法提煉則a⊥α《走向高考》高考總復(fù)第九章

直線、平面、簡單幾何體(A)識梳理方法提煉題型設(shè)計(jì)首頁上頁下頁末頁2.直線與平面垂直的性質(zhì)如果兩條直線同垂直于一個(gè)平面,那么這兩條直線平.3.斜線在平面內(nèi)的射影射影.從斜線上斜足以外的一點(diǎn)向平面引垂線，過行．用符號語言表示為:a⊥α，b⊥α，則a∥b①過一點(diǎn)向平面引垂線,垂足叫做這點(diǎn)在這個(gè)平面內(nèi)的垂足和斜的足直線叫做斜線在這個(gè)平面內(nèi)的射影．②射影長定理:從平面外一點(diǎn)向這個(gè)平面所引的垂線強(qiáng)化作業(yè)段和斜線段中:《走向高考》高考總復(fù)第九章

直線、平面、簡單幾何體(A)識梳理強(qiáng)化作業(yè)題型設(shè)計(jì)首頁上頁下頁末頁都短.射影相等的兩條斜線段相等,射影較長的斜線段也較長；相等的斜線段的射影相等,較長的斜線段的射方法提煉影 也較長；(3)垂線段比任何一條斜線段第九章

直線、平面、簡單幾何體(A)識梳理方法提煉強(qiáng)化作業(yè)題型設(shè)計(jì)首頁上頁下頁末頁，那么它也和這條斜線垂直.②三垂線定理的逆定理:在平面內(nèi)的一條直線，如果4．三垂線定理①三垂線定理:在平面內(nèi)的一條直線，如果和這個(gè)《走向高考》高考總復(fù)平面的一條斜線的射影垂直和這個(gè)平面的一條斜線垂直，那么它也和這條斜線的射影垂直.第九章

直線、平面、簡單幾何體(A)識梳理強(qiáng)化作業(yè)題型設(shè)計(jì)首頁上頁下頁末頁5.“三余弦”定理如圖所示，AB和平面M所成的角是α，AC在平面M內(nèi)，AC和AB在平面M內(nèi)的射影AB1所成的角是β，設(shè)∠BAC《走向高考》高考總復(fù)＝θ，則α、β、θ滿足關(guān)系為cosθ＝cosαcosβ.這就叫做“三余方法提煉弦”定理(別名:爪子定理)．注意定理中的條件是“從一定點(diǎn)出發(fā)的三條射線組成的三個(gè)面中有兩個(gè)面相互垂直”．《走向高考》高考總復(fù)第九章

直線、平面、簡單幾何體(A)識梳理方法提煉強(qiáng)化作業(yè)題型設(shè)計(jì)首頁上頁下頁末頁易錯(cuò)知識一、性質(zhì)理解錯(cuò)誤1.如果α、β是兩個(gè)不重合的平面，在下列條件下，(

)可判定α∥β的是A.α、β都平行于直線l、mB.α內(nèi)有三個(gè)不共線的點(diǎn)到β的距離相等C.l、m是α內(nèi)的兩條直線且l∥β，m∥βD.l、m是兩條異面直線且l∥α，m∥α，l∥β，m∥β《走向高考》高考總復(fù)第九章

直線、平面、簡單幾何體(A)識梳理強(qiáng)化作業(yè)題型設(shè)計(jì)首頁上頁下頁末頁解題思路:對于A，l和m應(yīng)相交；對于B，應(yīng)考慮三個(gè)點(diǎn)在β的同側(cè)或異側(cè)兩種情況；對于C，l和m應(yīng)相交.故選D.失分警示:對于A，實(shí)際上是面面平行的判定定理，方法提煉但直線必須相交；對于B，只考慮三點(diǎn)在同側(cè)而沒有考慮異側(cè)；對于C易丟l和m相交這一條件．答案:D《走向高考》高考總復(fù)第九章

直線、平面、簡單幾何體(A)識梳理題型設(shè)計(jì)首頁上頁下頁末頁二、對線面垂直的定義、定理或性質(zhì)理解不透2.一條直線垂直于一個(gè)平面內(nèi)的無數(shù)條直線，則這個(gè)平面內(nèi)的無數(shù)條直線的位置關(guān)系是 .答案:平行或相交三、三垂線定理應(yīng)用錯(cuò)誤斜線上任意一點(diǎn)在平面上的射影，一定在方法提煉 ．答案:斜線的射影上已知在四面體ABCD中，AB⊥CD，AC⊥BD，則AD強(qiáng)化作業(yè)與BC的關(guān)系是 ．答案:垂直《走向高考》高考總復(fù)第九章

直線、平面、簡單幾何體(A)識梳理方法提煉強(qiáng)化作業(yè)題型設(shè)計(jì)首頁上頁下頁末頁(

)回歸教材1.若直線a在平面外，則有A.a∩α＝?B.a與α有且僅有一個(gè)交點(diǎn)C.a與α平行D.a與α的交點(diǎn)至多有一個(gè)解析：直線在平面外包括兩種情況：①直線與平面平行，②直線與平面相交，因此可排除A、B.C，選D.答案:D《走向高考》高考總復(fù)第九章

直線、平面、簡單幾何體(A)識梳理方法提煉強(qiáng)化作業(yè)題型設(shè)計(jì)首頁上頁下頁末頁2.(教材改編題)兩條直線a、b滿足a∥b，b?α，則a與平面α的關(guān)系是(

)A.a∥αB.a與α相交C.a∥α或a?αD．a(chǎn)?α解析:a∥b，b?α，則a與α的關(guān)系有兩種:①a∥α，②a?α，故C正確．答案:C《走向高考》高考總復(fù)第九章

直線、平面、簡單幾何體(A)識梳理方法提煉強(qiáng)化作業(yè)題型設(shè)計(jì)首頁上頁下頁末頁3.(2009·北京豐臺一模)已知直線m?平面α，直線n?平面α,“直線c⊥m,直線c⊥n”是“直線c⊥平面α”的(

)A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件第九章

直線、平面、簡單幾何體(A)識梳理強(qiáng)化作業(yè)題型設(shè)計(jì)首頁上頁下頁末頁解析:若“直線c⊥平面α”，則直線c垂直于平面α內(nèi)的所有直線，而m?平面α，直線n?平面α，所以“直線c⊥m，《走向高考》高考總復(fù)直線c⊥n”必要性成立．若直線m?平面α，直線n?平面α，方法提煉“直線c⊥m，直線c⊥n”當(dāng)m∥n時(shí)，直線c與平面α不一定垂直，充分性不成立．答案:B《走向高考》高考總復(fù)第九章

直線、平面、簡單幾何體(A)識梳理方法提煉強(qiáng)化作業(yè)4.設(shè)a、b是兩條不同的直線，α、β是兩個(gè)不同的平首頁上頁下頁末頁(

)面,則下列命題正確的是題型設(shè)計(jì)若a∥b,a∥α,則b∥α若α⊥β,a∥α,則a⊥βC．若α⊥β，a⊥β，則a∥αD．若a⊥b，a⊥α，b⊥β，則α⊥β解析：易知A、B.C不正確，D正確．答案:D《走向高考》高考總復(fù)第九章

直線、平面、簡單幾何體(A)識梳理方法提煉強(qiáng)化作業(yè)題型設(shè)計(jì)首頁上頁下頁末頁1

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15.在直四棱柱ABCD－ABCD中，當(dāng)?shù)酌嫠倪呅? 1

1ABCD滿足條件 時(shí),有AC⊥BD(填上你認(rèn)為正確的一個(gè)條件即可).解析:要使AC⊥BD，只要BD垂直于AC在面1 11 11 1ABCD上的射影AC即可．1111 11答案:AC⊥BD(答案不唯一)第九章

直線、平面、簡單幾何體(A)識梳理強(qiáng)化作業(yè)題型設(shè)計(jì)【例1】 (2009·天津)如圖,在四棱錐P－ABCD中,《走向高考》高考總復(fù)PD⊥平面ABCD,DB平分∠ADC,E為PC的中點(diǎn),AD＝方法提煉CD.(1)證明PA∥平面BDE；(2)證明AC⊥平面PBD.首頁上頁下頁末頁第九章

直線、平面、簡單幾何體(A)識梳理方法提煉強(qiáng)化作業(yè)[命題意圖]

本小題主要考查直線與平面平行、直線與平面垂直、直線與平面所成的角等基礎(chǔ)知識，考查空間想象能力和推理論證能力．題型設(shè)計(jì)[解析] (1)證明:設(shè)AC∩BD＝H，連結(jié)EH.在△ADC《走向高考》高考總復(fù)中，因?yàn)锳D＝CD，且DB平分∠ADC，所以H為AC的中點(diǎn).又由題設(shè)，E為PC的中點(diǎn)，故EH∥PA.又EH?平面BDE且PA?平面BDE,所以PA∥平面BDE.首頁上頁下頁末頁第九章

直線、平面、簡單幾何體(A)識梳理方法提煉強(qiáng)化作業(yè)題型設(shè)計(jì)首頁上頁下頁末頁(2)證明:因?yàn)镻D⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，所《走向高考》高考總復(fù)以PD⊥AC.由(1)可得，DB⊥AC.又PD∩DB＝D，故AC⊥平面PBD.《走向高考》高考總復(fù)第九章

直線、平面、簡單幾何體(A)識梳理方法提煉強(qiáng)化作業(yè)如圖，在三棱錐P－ABC中，AB⊥BC，AB＝BC＝PA，點(diǎn)O、D分別是AC.PC的中點(diǎn)，OP⊥底面ABC.題型設(shè)計(jì)(1)求證OD∥平面PAB；(2)求直線OD與平面PBC所成角的大小.[命題意圖]本題主要考查空間線面關(guān)系與運(yùn)算等基礎(chǔ)知識，同時(shí)考查空間想象能力和推理運(yùn)算能力.首頁上頁下頁末頁《走向高考》高考總復(fù)第九章

直線、平面、簡單幾何體(A)識梳理方法提煉強(qiáng)化作業(yè)題型設(shè)計(jì)[解析](1)∵O、D分別為AC.PC的中點(diǎn)，∴OD∥PA.又PA?平面PAB，∴OD∥平面PAB.首頁上頁下頁末頁《走向高考》高考總復(fù)第九章

直線、平面、簡單幾何體(A)識梳理方法提煉強(qiáng)化作業(yè)題型設(shè)計(jì)(2)∵AB⊥BC，OA＝OC，∴OA＝OB＝OC，又∵OP⊥平面ABC，∴PA＝PB＝PC.取BC中點(diǎn)E，連結(jié)PE，則BC⊥平面POE.從而平面PBC⊥平面POE.作OF⊥PE于F，連結(jié)DF，則OF⊥平面PBC，∴∠ODF是OD與平面PBC所成的角.首頁上頁下頁末頁《走向高考》高考總復(fù)第九章

直線、平面、簡單幾何體(A)識梳理方法提煉強(qiáng)化作業(yè)題型設(shè)計(jì)在Rt△ODF中,首頁上頁下頁末頁《走向高考》高考總復(fù)第九章

直線、平面、簡單幾何體(A)識梳理方法提煉強(qiáng)化作業(yè)題型設(shè)計(jì)【例2】 Rt△ABC所在平面外一點(diǎn)S,且SA＝SB＝SC,D為斜邊AC的中點(diǎn)．(1)求證:SD⊥平面ABC.(2)若AB＝BC.求證:BD⊥平面SAC.首頁上頁下頁末頁第九章

直線、平面、簡單幾何體(A)識梳理方法提煉題型設(shè)計(jì)首頁上頁下頁末頁[解析] 證線面垂直的方法有:①利用定義，即證直線垂直于平面內(nèi)任一直線.②利用線面垂直的判定定理，它是判定線面垂直的最《走向高考》高考總復(fù)常用思路.③利用線面垂直的性質(zhì),即兩平行線之一垂直平面,則另一條線必垂直于該平面.④利用面面垂直的性質(zhì)定理，即兩平面互相垂直，在強(qiáng)化作業(yè)一個(gè)面內(nèi)垂直交線的直線垂直于另一平面.《走向高考》高考總復(fù)第九章

直線、平面、簡單幾何體(A)識梳理強(qiáng)化作業(yè)題型設(shè)計(jì)首頁上頁下頁末頁⑤用面面平行的性質(zhì),即一直線垂直于兩平行平面之一，則必垂直于另一平面.⑥用面面垂直的性質(zhì)，即兩相交平面都垂直于第三個(gè)方法提煉平面，則它們的交線垂直于第三個(gè)平面.《走向高考》高考總復(fù)第九章

直線、平面、簡單幾何體(A)識梳理方法提煉強(qiáng)化作業(yè)題型設(shè)計(jì)[證明] (1)取AB中點(diǎn)E，連結(jié)SE，DE，在Rt△ABC中，D.E分別為AC、AB的中點(diǎn)，故DE∥BC，且DE⊥AB，∵SA＝SB,∴△SAB為等腰三角形,∴SE⊥AB,DE⊥AB,SE∩DE＝E,∴AB⊥面SDE.而SD?面SDE,∴AB⊥SD.在△SAC中,SA＝SC,D為AC的中點(diǎn),∴SD⊥AC.∵SD⊥AC,SD⊥AB,AC∩AB＝A,∴SD⊥平面ABC.首頁上頁下頁末頁第九章

直線、平面、簡單幾何體(A)識梳理強(qiáng)化作業(yè)題型設(shè)計(jì)首頁上頁下頁末頁(2)若AB＝BC,則BD⊥AC,由(1)可知,SD⊥面ABC,而BD?面ABC,∴SD⊥BD.《走向高考》高考總復(fù)∵SD⊥BD,BD⊥AC,SD∩AC＝D,∴BD⊥平面方法提煉SAC.《走向高考》高考總復(fù)第九章

直線、平面、簡單幾何體(A)識梳理方法提煉強(qiáng)化作業(yè)題型設(shè)計(jì)1

1

1如圖所示,直三棱柱ABC－ABC中,AC＝BC＝1,∠1 1

1ACB＝90°，AA＝ D是AB的中點(diǎn).1 1

1(1)求證:CD⊥平面ABBA；1

1

1(2)在BB上找一點(diǎn)F,使AB⊥平面CDF,并說明理由.首頁上頁下頁末頁《走向高考》高考總復(fù)第九章

直線、平面、簡單幾何體(A)識梳理方法提煉強(qiáng)化作業(yè)題型設(shè)計(jì)1

1

1解析:(1)證明:∵ABC－ABC是直三棱柱，∴AA

⊥平面A

B

C

.1 1

1

1又CD?平面ABC,∴CD⊥AA,1 111 1 1又AC＝BC＝AC＝BC＝1,11 11D是AB的中點(diǎn),∴CD⊥AB,11 1 11又AA∩AB＝A,1 11 1∴C

D⊥平面ABB

A

.1 1

1首頁上頁下頁末頁《走向高考》高考總復(fù)第九章

直線、平面、簡單幾何體(A)識梳理方法提煉強(qiáng)化作業(yè)題型設(shè)計(jì)首頁上頁下頁末頁(2)作DE⊥AB于E,廷長DE交BB于F,1 1連結(jié)CF,則AB⊥平面CDF,1 1 1因?yàn)锳B⊥DF,AB⊥CD,1 1 1DF∩CD＝D,所以AB⊥平面CDF.1 1 1《走向高考》高考總復(fù)第九章

直線、平面、簡單幾何體(A)識梳理方法提煉強(qiáng)化作業(yè)題型設(shè)計(jì)1

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1【例3】 已知:正方體ABCD－ABCD(如圖)．(1)求證:BD⊥BC；1 1求證:BD⊥面ACD；1 1若BD與面ACD交于O，求證:DO1 1OB＝1:2.1首頁上頁下頁末頁《走向高考》高考總復(fù)第九章

直線、平面、簡單幾何體(A)識梳理方法提煉強(qiáng)化作業(yè)題型設(shè)計(jì)首頁上頁下頁末頁1

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1[證明] (1)∵ABCD－ABCD為正方體,∴DC⊥面BCCB,BD在面BCCB內(nèi)的射影為BC.11 1 11 1∵BCCB為正方形,∴BC⊥BC.11 1 1∴BC⊥BD,即BD⊥BC.(三垂線定理)1 1 1 1(2)(1)中證明了體對角線BD與面對角線BC垂直,1 1同理可證:BD⊥AD，BD⊥AC.∴BD⊥平面ACD.1 1 1 1 1《走向高考》高考總復(fù)第九章

直線、平面、簡單幾何體(A)識梳理方法提煉強(qiáng)化作業(yè)題型設(shè)計(jì)(3)設(shè)AC與BD的交點(diǎn)為O′,則平面BBDD與平面ACD的交線為O′D,11 1 1則O′D∩BD＝O,1 1∵BD∥BD,∴△OO′D∽△ODB,11 111∴DO OB＝1:2.首頁上頁下頁末頁《走向高考》高考總復(fù)第九章

直線、平面、簡單幾何體(A)識梳理強(qiáng)化作業(yè)題型設(shè)計(jì)首頁上頁下頁末頁[反思?xì)w納] 三垂線定理及其逆定理要注意:一定平面；二定垂線；三找斜線，射影即現(xiàn).主要用來證明線線方法提煉垂直.《走向高考》高考總復(fù)第九章

直線、平面、簡單幾何體(A)識梳理方法提煉強(qiáng)化作業(yè)題型設(shè)計(jì)如圖所示,△ADB和△ADC都是以D為直角頂點(diǎn)的直角三角形,且AD＝BD＝CD,∠BAC＝60°.(1)求證:BD⊥平面ADC；(2)若H為△ABC的垂心，求證:H是D在平面ABC內(nèi)的射影；(3)若M，N分別是△ABD與△BCD的重心，求證:MN∥面ADC.首頁上頁下頁末頁《走向高考》高考總復(fù)第九章

直線、平面、簡單幾何體(A)識梳理強(qiáng)化作業(yè)題型設(shè)計(jì)首頁上頁下頁末頁[思路點(diǎn)撥](1)“射影”與“垂直”相連,“證線面垂直,先找線線垂直”；(2)“垂心”是“高”的交點(diǎn),線線垂直,由此根據(jù)三垂線方法提煉定理去找；(3)“重心”有個(gè)性質(zhì)，把中線分為2 1，“平行”當(dāng)然由平行截割定理而得到.第九章

直線、平面、簡單幾何體(A)識梳理方法提煉強(qiáng)化作業(yè)題型設(shè)計(jì)首頁上頁下頁末頁[解答](1)∵AD＝BD＝CD,∠ADB＝∠ADC＝90°,∴△ABD≌△ACD,AB＝AC.《走向高考》高考總復(fù)又∠BAC＝60°,∴△ABC為正三角形,∴AB＝BC.∴△ABD≌△BCD,∴△BDC為直角三角形,∠BDC＝90°,BD⊥CD.又BD⊥AD,AD∩CD＝D,∴BD⊥平面ADC.《走向高考》高考總復(fù)第九章

直線、平面、簡單幾何體(A)識梳理方法提煉強(qiáng)化作業(yè)題型設(shè)計(jì)(2)如圖所示,設(shè)D在△ABC內(nèi)的射影為H′,連結(jié)CH′延長并交AB于E,∵CD⊥AD,且CD⊥DB,∴CD⊥面ADB,∴CD⊥AB,由三垂線定理得CE⊥AB.同理,連結(jié)BH′并延長交AC于F,BF⊥AC∴H′為△ABC的垂心,即D在平面ABC內(nèi)射影為△ABC的垂心,∴H′與H重合，H是D在平面ABC內(nèi)的射影.首頁上頁下頁末頁《走向高考》高考總復(fù)第九章

直線、平面、簡單幾何體(A)識梳理方法提煉強(qiáng)化作業(yè)題型設(shè)計(jì)(3)連結(jié)BM,延長BM交AD于