備戰(zhàn)2025年中考數(shù)學(xué)（全國）搶分秘籍11 幾何圖形中求線段線段和面積等最值問題（4題型）（原卷版）

搶分秘籍11幾何圖形中求線段，線段和，面積等最值問題（壓軸通關(guān)）目錄【中考預(yù)測】預(yù)測考向，總結(jié)常考點及應(yīng)對的策略【誤區(qū)點撥】點撥常見的易錯點【搶分通關(guān)】精選名校模擬題，講解通關(guān)策略（含新考法、新情境等）幾何圖形中求線段、線段和、面積最值題是全國中考的熱點內(nèi)容，更是全國中考的必考內(nèi)容。每年都有一些考生因為知識殘缺、基礎(chǔ)不牢、技能不熟、答欠規(guī)范等原因?qū)е率Х帧?．從考點頻率看，幾何圖形中的性質(zhì)綜合問題，是高頻考點、也是必考點。2．從題型角度看，以解答題的最后一題或最后二題為主，分值12分左右，著實不少！題型一線段最值問題【例1】（2024·四川成都·一模）如圖1，在四邊形中，，點為線段上一點，使得，，此時，連接，，且．

(1)求的長度；(2)如圖2，點為線段上一動點（點不與，重合），連接，以為斜邊向右側(cè)作等腰直角三角形．①當(dāng)時，試求的長度；②如圖3，點為的中點，連接，試問是否存在最小值，如果存在，請求出最小值；如果不存在，請說明理由．本題考查了相似三角形的性質(zhì)與判定，等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)與判定，解直角三角形本題考查了相似三角形的性質(zhì)與判定，等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)與判定，解直角三角形.【例2】（2024·天津紅橋·一模）在平面直角坐標(biāo)系中，點，，)，C，D分別為，的中點．以點O為中心，逆時針旋轉(zhuǎn)得點C，D的對應(yīng)點分別為點，．(1)填空∶如圖①，當(dāng)點落在y軸上時，點的坐標(biāo)為_____，點的坐標(biāo)為______；(2)如圖②，當(dāng)點落在上時，求點的坐標(biāo)和的長；(3)若M為的中點，求的最大值和最小值(直接寫出結(jié)果即可)．1．（2024·山東濟寧·模擬預(yù)測）已知，四邊形是正方形，繞點D旋轉(zhuǎn)（），，，連接．(1)如圖1，求證：；(2)直線與相交于點G．①如圖2，于點M，于點N，求證：四邊形是正方形；②如圖3，連接，若，，直接寫出在旋轉(zhuǎn)的過程中，線段長度的最小值為．2．（2024·重慶·一模）在中，點為線段上一動點，點為射線上一動點，連接，．(1)若，當(dāng)點在線段上時，交于點，點為中點．①如圖1，若，求的長度；②如圖2，點為線段上一點，連接并延長交的延長線于點．若點為中點，，求證：．(2)如圖3，若．當(dāng)點在線段的延長線上時，連接，將沿所在直線翻折至所在平面內(nèi)得到，連接，當(dāng)取得最小值時，內(nèi)存在點，使得，當(dāng)取得最小值時，請直接寫出的值．3．（2024·陜西西安·一模）問題提出：（1）如圖①，在中，點，分別是，的中點，若，則的長為__________．問題探究：（2）如圖②，在正方形中，，點為上的靠近點的三等分點，點為上的動點，將折疊，點的對應(yīng)點為點，求的最小值．問題解決：（3）如圖③，某地要規(guī)劃一個五邊形藝術(shù)中心，已知，，，，點處為參觀入口，的中點處規(guī)劃為“優(yōu)秀”作品展臺，求點與點之間的最小距離．4．（2024·陜西西安·一模）【問題提出】（1）如圖1，點為的邊上一點，連接，若的面積為4，則的面積為______；【問題探究】（2）如圖2，在矩形中，，在射線和射線上分別取點，使得，連接相交于點，連接，求的最小值；【問題解決】（3）如圖3，菱形是某社區(qū)的一塊空地，經(jīng)測量，米，．社區(qū)管委會計劃對該空地進行重新規(guī)劃利用，在射線上取一點，沿修兩條小路，并在小路上取點，將段鋪設(shè)成某種具有較高觀賞價值的休閑通道（通道寬度忽略不計），根據(jù)設(shè)計要求，，為了節(jié)省鋪設(shè)成本，要求休閑通道的長度盡可能小，問的長度是否存在最小值？若存在，求出長度的最小值；若不存在，請說明理由．題型二線段和的最小值問題【例1】（2024·四川達州·模擬預(yù)測）【問題發(fā)現(xiàn)】（1）如圖1，在中，，若將繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)得，連接，則________．【問題探究】（2）如圖2，已知是邊長為的等邊三角形，以為邊向外作等邊，P為內(nèi)一點，連接，將繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)，得，求的最小值；【實際應(yīng)用】（3）如圖3，在長方形中，邊，P是邊上一動點，Q為內(nèi)的任意一點，是否存在一點P和一點Q，使得有最小值？若存在，請求出此時的長，若不存在，請說明理由．本題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)與判定，矩形的性質(zhì)與判定，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，勾股定理，含本題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)與判定，矩形的性質(zhì)與判定，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，勾股定理，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵在于利用旋轉(zhuǎn)構(gòu)造等邊三角形，從而把三條不在一條直線的線段之和的問題，轉(zhuǎn)換成幾點共線求線段的最值問題是解題的關(guān)鍵．【例2】（2024·貴州畢節(jié)·一模）在學(xué)習(xí)了《圖形的平移與旋轉(zhuǎn)》后，數(shù)學(xué)興趣小組用一個等邊三角形繼續(xù)進行探究．已知是邊長為2的等邊三角形．(1)【動手操作】如圖1，若為線段上靠近點的三等分點，將線段繞點逆時針旋轉(zhuǎn)得到線段，連接，則的長為________；(2)【探究應(yīng)用】如圖為內(nèi)一點，將線段繞點逆時針旋轉(zhuǎn)得到線段，連接，若三點共線，求證：平分；(3)【拓展提升】如圖3，若是線段上的動點，將線段繞點順時針旋轉(zhuǎn)得到線段，連接．請求出點在運動過程中，的周長的最小值．1．（2024·陜西·二模）在平面直角坐標(biāo)系中，A為y軸正半軸上一點，B為x軸正半軸上一點，且，連接．

(1)如圖1，C為線段上一點，連接，將繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)得到，連接，求的值．(2)如圖2，當(dāng)點C在x軸上，點D位于第二象限時，，且，E為的中點，連接，試探究線段是否存在最小值？若存在，求出的最小值；若不存在，請說明理由．2．（2024·陜西西安·二模）（1）如圖，半徑為的外有一點，且，點在上，則的最大值和最小值分別是______和______；（2）如圖，在矩形中，，，點在上，點在上，且，連接、，求最小時的長；（3）如圖，在中，，，點到的距離為，動點、在邊上運動，始終保持，在邊上有一個直徑為的半圓，連接與半圓交于點，連接、，求的最小值．

3．（2024·陜西西安·三模）【問題提出】（1）如圖①，為半圓的直徑，點為半圓的上一點，切半圓于點，若，，則的最小值為；【問題探究】（2）如圖②，在矩形中，，，點為矩形內(nèi)一點，連接、，若矩形的面積是面積的3倍，求的最小值；【問題解決】（3）如圖③，平面圖形為某校園內(nèi)的一片空地，經(jīng)測量，米，，，，米，劣弧所對的圓心角為，所在圓的圓心在的延長線上，米．某天活動課上，九（1）班的同學(xué)準(zhǔn)備在這塊空地上玩游戲，每位同學(xué)在游戲開始前，在上選取一點，在弧上選取一點，并在點和點處各插上一面小旗，從點出發(fā)，先到點處拔下小旗，再到點處拔下小旗，用時最短者獲勝．已知曉雯和曉靜的跑步速度相同，要使用時最短，則所跑的總路程應(yīng)最短，問是否存在最小值？若存在，請你求出的最小值；若不存在，請說明理由．4．（2024·江西·一模）如圖1，在矩形中，，點分別是上的中點，過點分別作與交于點，連接．特例感知（1）以下結(jié)論中正確的序號有______；①四邊形是矩形；②矩形與四邊形位似；③以為邊圍成的三角形不是直角三角形；類比發(fā)現(xiàn)（2）如圖2，將圖1中的四邊形繞著點旋轉(zhuǎn)，連接，觀察與之間的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，并證明你的發(fā)現(xiàn)；拓展應(yīng)用（3）連接，當(dāng)?shù)拈L度最大時，①求的長度；②連接，若在內(nèi)存在一點，使的值最小，求的最小值．題型三面積的最小值問題【例1】（新考法，拓視野）（2024·陜西西安·一模）【問題提出】（1）如圖1，已知在邊長為5的等邊中，點D在邊上，，連接，則的面積為；【問題探究】（2）如圖2，已知在邊長為6的正方形中，點E在邊上，點F在邊上，且，若，求的面積；【問題解決】（3）如圖3是某座城市廷康大道的一部分，因自來水搶修在米，米的矩形區(qū)域內(nèi)開挖一個的工作面，其中B、F分別在邊上（不與B、C、D重合），且，為了減少對該路段的擁堵影響，要求面積最小，那么是否存在一個面積最小的？若存在，請求出面積的最小值；若不存在，請說明理由．

本題主要考查了圓周角定理，勾股定理，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，解直角三角形，正方形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)與判定，矩形的性質(zhì)與判定，全等三角形的性質(zhì)與判定等等，通過作出輔助線構(gòu)造直角三角形，全等三角形是解題的關(guān)鍵．本題主要考查了圓周角定理，勾股定理，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，解直角三角形，正方形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)與判定，矩形的性質(zhì)與判定，全等三角形的性質(zhì)與判定等等，通過作出輔助線構(gòu)造直角三角形，全等三角形是解題的關(guān)鍵．【例2】（2024·陜西西安·二模）圖形旋轉(zhuǎn)是解決幾何問題的一種重要方法．如圖1，正方形中，分別在邊上，且，連接，試探究之間的數(shù)量關(guān)系．解決這個問題可將繞點逆時針旋轉(zhuǎn)到的位置（易得出點在的延長線上），進一步證明與全等，即可解決問題．(1)如圖1，正方形中，，則______；(2)如圖2，正方形中，若，過點作交于點，請計算與的比值，寫出解答過程；(3)如圖3，若，正方形的邊長，試探究面積的最小值．1．（2023·陜西西安·一模）問題發(fā)現(xiàn)（1）在中，，，則面積的最大值為；（2）如圖1，在四邊形中，，，，求的值．問題解決（3）有一個直徑為的圓形配件，如圖2所示．現(xiàn)需在該配件上切割出一個四邊形孔洞，要求，，并使切割出的四邊形孔洞的面積盡可能小．試問，是否存在符合要求的面積最小的四邊形？若存在，請求出四邊形面積的最小值及此時的長；若不存在，請說明理由．2．問題提出：（1）如圖①，已知是面積為的等邊三角形，是的平分線，則的長為______．問題探究：（2）如圖②，在中，，，，點為的中點，點，分別在邊，上，且．證明：．問題解決：（3）如圖③，李叔叔準(zhǔn)備在一塊空地上修建一個矩形花園，然后將其分割種植三種不同的花卉．按照他的分割方案，點，分別在，上，連接、、，，、分別在、上，連接、，，，其中四邊形種植玫瑰，和種植郁金香，剩下的區(qū)域種植康乃馨，根據(jù)實際需要，要求種植玫瑰的四邊形的面積為，為了節(jié)約成本，矩形花園的面積是否存在最小值？若存在，請求出矩形的最小面積，若不存在，請說明理由．

3．（2024·陜西榆林·二模）（1）如圖1，，，，交于點E，若，則；（2）如圖2，矩形內(nèi)接于，，點P在上運動，求的面積的最大值；（3）為了提高居民的生活品質(zhì)，市政部門計劃把一塊邊長為120米的正方形荒地(如圖3)改造成一個戶外休閑區(qū)，計劃在邊，上分別取點P，Q，修建一條筆直的通道，要求，過點B作于點E，在點E處修建一個應(yīng)急處理中心，再修建三條筆直的道路，并計劃在內(nèi)種植花卉，內(nèi)修建老年活動區(qū)，內(nèi)修建休息區(qū)，在四邊形內(nèi)修建兒童游樂園．問種植花卉的的面積是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，請說明理由．題型四面積的最大值問題【例1】（新考法，拓視野）（2024·陜西咸陽·一模）問題提出：（1）如圖①，的半徑為4，弦，則點O到的距離是_____________．問題探究：（2）如圖②，的半徑為5，點A、B、C都在上，，求面積的最大值．問題解決：（3）如圖③，是一圓形景觀區(qū)示意圖，的直徑為，等邊的邊是的弦，頂點P在內(nèi)，延長交于點C，延長交于點D，連接．現(xiàn)準(zhǔn)備在和區(qū)域內(nèi)種植花卉，圓內(nèi)其余區(qū)域為草坪．按照預(yù)算，草坪的面積盡可能大，求草坪的最大面積．（提示：花卉種植面積盡可能小，即花卉種植面積的最小值）此題是圓的綜合題，考查了垂徑定理、圓周角定理、勾股定理、等邊三角形的判定和性質(zhì)、二次函數(shù)的性質(zhì)等知識，靈活運用這些知識并數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵．此題是圓的綜合題，考查了垂徑定理、圓周角定理、勾股定理、等邊三角形的判定和性質(zhì)、二次函數(shù)的性質(zhì)等知識，靈活運用這些知識并數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵．【例2】（2024·陜西咸陽·一模）(1).【問題情境】（1）點A是外一點，點P是上一動點．若的半徑為2，且，則點P到點A的最長距離為；(2).【直接運用】（2）如圖2，在中，，，以為直徑的半圓交于點D，P是弧上的一個動點，連接，求的最小值；(3).【靈活運用】（3）如圖3，的直徑為8，弦，點C為優(yōu)弧上的一動點，，交直線于點M，求面積的最大值．1．（2024·陜西寶雞·一模）提出問題：（1）如圖1，在中，，，，則BC邊上的高AD的長為______；問題探究：（2）如圖2，內(nèi)接于，弦，半徑為6，求面積的最大值；問題解決：（3）如圖3，某園區(qū)內(nèi)有一塊直角三角形的空地，在空地邊的中點D處修建了一個兒童游樂場，為了吸引更多人來園區(qū)，在空地外E處修建一個大型商場，且滿足游樂場D到商場E的路線與商場E到點C處的路線垂直（即），連接，在處種植綠植，其中，測得米，米，請問綠植面積能否取到最大？若能，請求出面積的最大值，若不能，請說明理由．2．（2024·廣東深圳·一模）如圖1，在等腰三角形中，，，點分別在邊上，，連接，點分別為的中點．

(1)觀察猜想：圖中，線段與的數(shù)量關(guān)系是_______，的大小是_______；(2)探究證明：把繞點順時針方向旋轉(zhuǎn)到圖的位置，連接，判斷的形狀，試說明理由；(3)拓展延伸：把繞點在平面內(nèi)自由旋轉(zhuǎn)，若，，請直接寫出面積的最大值．3．（2024·浙江杭州·一模）如圖，在正方形中，是邊上