2024學年保定市清苑區(qū)高二數(shù)學上學期期中考試卷附答案解析

學年保定市清苑區(qū)高二數(shù)學上學期期中考試卷一、單選題（本大題共8小題）1．直線的傾斜角是（

）A． B． C． D．2．已知雙曲線的漸近線與圓相切，則的值是（

）A． B． C．1 D．3．在四面體中，記，，，若點M、N分別為棱OA、BC的中點，則（

）A． B．C． D．4．已知直線的一個方向向量是，平面的一個法向量是，則與的位置關系是（

）A． B．C．與相交但不垂直 D．或5．若直線與圓相切，且點到直線的距離為3，則這樣的直線的條數(shù)為（

）A．4 B．3 C．2 D．16．設雙曲線，為其右頂點，直線與雙曲線交于、兩點，若，則雙曲線的離心率為（

）A． B． C． D．7．已知圓過點，，設圓心，則的最小值為（

）A． B．2 C． D．48．已知橢圓的左、右焦點分別，，是橢圓上一點，直線與軸負半軸交于點，若，且，則橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．二、多選題（本大題共3小題）9．已知，分別是橢圓的左、右焦點，為橢圓上異于長軸端點的動點，則下列結(jié)論正確的是（

）A．橢圓的焦距為6 B．的周長為10C．橢圓的離心率為 D．面積的最大值為10．在三棱錐中，△為邊長為的正三角形，，，設二面角的大小為，，為的重心，則下列說法正確的是（

）A．若，則 B．若，則C．若，則與所成的角為 D．若，則11．已知曲線，則下列說法正確的是（

）A．B．曲線關于直線對稱C．曲線圍成的封閉圖形的面積不大于D．曲線圍成的封閉圖形的面積隨的增大而增大三、填空題（本大題共3小題）12．若圓上存在兩點關于直線對稱，則的值為.13．已知點，，C1,1,0，則點到直線的距離是.14．過橢圓上一點作圓的兩條切線，切點為，，當最大時，點的縱坐標為．四、解答題（本大題共5小題）15．已知直線，圓.(1)求與直線平行且與圓相切的直線方程；(2)設直線，且與圓相交于，兩點，若，求直線的方程.16．設雙曲線：，，，分別是的左、右焦點，A是左支上一點，且與軸垂直，直線與的另一個交點為.(1)若直線的傾斜角為，求的離心率；(2)若直線在軸上的截距為2，且，求，.17．如圖，在正方體中，，分別為，的中點，點在棱上，且．(1)證明：，，，四點共面．(2)設平面與棱的交點為，求與平面所成角的正弦值．18．球面距離在地理學、導航系統(tǒng)、信息技術(shù)等多個領域有著廣泛應用．球面距離的定義：球面上兩點之間的最短連線的長度，即經(jīng)過這兩點的大圓（經(jīng)過球心的平面截球面所得的圓）在這兩點間的一段劣弧的長度．這個弧長就被稱作兩點的球面距離．

(1)在正四棱柱（底面為正方形的直棱柱）中，，，求頂點，在該正四棱柱外接球上的球面距離．(2)如圖1，在直角梯形中，，，，．現(xiàn)將沿邊折起到，如圖2，使得點在底面的射影在上．①求點到底面的距離；②設棱錐的外接球為球，求，兩點在球上的球面距離．參考數(shù)據(jù)：，．19．在平面直角坐標系中，為坐標原點，，，，，點在線段上，點在線段上，且，設直線與交于點．(1)證明：當變化時，點始終在某個橢圓上運動，并求出橢圓的方程．(2)過點作直線與橢圓交于，不同的兩點，再過點F1,0作直線的平行線與橢圓交于，不同的兩點．①證明：為定值．②求面積的取值范圍．參考答案1．【答案】D【詳解】由題的斜率,故傾斜角的正切值為-1,又,故故選：D2．【答案】A【詳解】的漸近線為，圓的圓心為，半徑為1.由對稱性，到距離為1，則.故選：A3．【答案】B【詳解】由題意得：，故選：B.4．【答案】D【詳解】因為，，所以，則，又是直線的一個方向向量，是平面的一個法向量，所以或.故選：D.5．【答案】A【詳解】圓可化為，圓心為，半徑為1，因為直線與圓相切，當直線的斜率不存在時，則直線的方程為或，當直線的方程為時，點到直線的距離為，不滿足題意；當直線的方程為時，點到直線的距離為，不滿足題意；當直線的斜率存在時，設直線的方程為，即，則有，即，即，解得或，當時，有，解得或；當時，有，整理得，此時，即方程有兩個解，且不為或；綜上，的取值有四種情況，對應的也有四種取值，所以滿足條件的直線一共有四條.故選：A.6．【答案】C【詳解】將代入雙曲線的方程可得，解得，不妨取點、，易知點Aa,0，，，因為，則，可得，所以，，因此，該雙曲線的離心率為.故選：C.7．【答案】B【詳解】根據(jù)題意，得，又，，，所以，化簡得，故，則，當且僅當時，等號成立，所以的最小值為2.故選：B.8．【答案】C【詳解】因為，不妨設，則，由橢圓的定義與對稱性可得，，，因為，所以，則，解得，則，故，則在中，由，得，解得，所以橢圓的離心率為.故選：C.9．【答案】BD【詳解】對于A，因為橢圓，所以，所以橢圓的焦距為，故A錯誤；對于B，由橢圓的定義可知，所以的周長為，故B正確；對于C，橢圓的離心率為，故C錯誤；對于D，當點為橢圓的短軸的一個端點時，點到軸的距離最大，此時面積取得最大值，為，故D正確.故選：BD.10．【答案】ABD【詳解】如圖，取中點，過作且，連接，則平面.因為△為正三角形，所以，，因為，所以，所以，所以二面角的平面角為，則.以，，為基底向量，則，.對于項，若，即，所以.因為，所以，故正確；對于項，由知，所以，所以，所以，解得，所以，故正確；對于項，若，即，所以.由知，又，所以,，，設與所成的角為，則，所以與所成的角不是，故錯誤；對于項，若，即，所以，又，，平面，所以平面，又，所以平面，則三線兩兩垂直，建立如圖坐標系.則，，，，則根據(jù)三角形重心坐標公式得，所以，所以，故正確.故選：.11．【答案】ABD【詳解】對于A，因為曲線，所以，解得，故A正確；對于B，因為曲線，可化為，設點是曲線上任一點，則其關于對稱的點為，將代入曲線方程，得，所以曲線關于直線對稱，故B正確；對于CD，因為，所以，則，設點是曲線上任一點，則，點是曲線上的一點，則，則，，故，易知當時，在其定義域內(nèi)單調(diào)遞減，所以（當且僅當或時，等號成立），故，又在上單調(diào)遞增，所以，故當增大時，橫坐標相同的點的縱坐標的絕對值會大于或等于原來的，又曲線圍成的圖形為封閉圖形，所以該圖形會比原來的大，即曲線圍成的封閉圖形的面積隨的增大而增大，故D正確，又當時，曲線為，即其圖形是半徑為的圓，此時其面積為，則曲線圍成的封閉圖形的面積不小于，故C錯誤.故選：ABD.12．【答案】2【詳解】圓的圓心為圓心，半徑為2，圓上存在兩點關于直線對稱，則圓心在直線上，所以，解得.故答案為：2.13．【答案】/【詳解】因為點，，C1,1,0，所以，，則，，所以點到直線的距離是.故答案為：.14．【答案】/【詳解】圓的圓心，半徑，由切圓于點知，，則，因此最大，當且僅當最大，設，，則，當且僅當時取等號，所以點的縱坐標為.故答案為：

15．【答案】(1)或；(2)或【詳解】（1）依題意，設所求直線方程為，因為所求直線與圓相切，且圓心為，半徑為，，解得或，所求直線方程為或；（2）依題意，設直線的方程為，因為直線與圓相交于A，B兩點，，圓心到直線的距離為，，解得或，直線的方程為或.16．【答案】(1)(2)【詳解】（1）設，因與軸垂直，設，代入，得，又，則；（2）設AB與y軸交點為C，則，因O為，中點，，則為中點，則由中位線定理可得.因，設，則，.由雙曲線定義，.因A，B，三點共線，則，由余弦定理得，則.則或.當時，不合題意，則.則.，則.綜上，.17．【答案】(1)證明見解析；(2).【詳解】（1）在正方體中，以點為原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，令，則，則，于是，即向量共面，又向量有公共點，所以，，，四點共面.（2）設，則，由點平面，得，即，則，解得，即，，而，則，設平面的法向量，則，令，得，令與平面所成的角為，則，所以與平面所成角的正弦值為.18．【答案】(1)；(2)①；②.【詳解】（1）正四棱柱的外接球直徑，球半徑，因此球心與點構(gòu)成正三角形，弦所對球過的大圓圓心角為，弧長為，所以頂點，在該正四棱柱外接球上的球面距離為.（2）①在直角梯形中，，，，，，，則為正三角形，在棱錐中，平面，而平面，則，又，平面，則平面，而平面，因此，，在中，，，，所以點到底面的距離為.②取中點，則為外接圓圓心，令正的外接圓圓心為，連接，則，平面，平面，于是，，在中，，因此棱錐的外接球半徑，有，球的弦所對大圓的圓心角為，，即是鈍角，而，則，在大圓中所對劣弧長為，所以，兩點在球上的球面距離為.

19．【答案】(1)(2)①證明見解析；②【詳解】（1）解：設點，依題意可知，即，所以，即；同理可得.于是直線的斜率為，所以的直線方程為，直線的方程為，即，設直線與的交點坐標為，由可得，整理可得，所以當變