高等數(shù)學(xué)（第二版）課件：交錯(cuò)項(xiàng)級(jí)數(shù)與任意項(xiàng)級(jí)數(shù)

高等數(shù)學(xué)（第二版）一、交錯(cuò)項(xiàng)級(jí)數(shù)二、任意項(xiàng)級(jí)數(shù)交錯(cuò)項(xiàng)級(jí)數(shù)與任意項(xiàng)級(jí)數(shù)無(wú)窮級(jí)數(shù)一、交錯(cuò)項(xiàng)級(jí)數(shù)定義1若，則稱級(jí)數(shù)或?yàn)榻诲e(cuò)級(jí)數(shù)。1713年萊布尼茲給出了交錯(cuò)級(jí)數(shù)收斂性的下述重要結(jié)論：定理1（萊布尼茲判別法）若交錯(cuò)級(jí)數(shù)滿足（1），即單調(diào)下降。（2）則無(wú)窮級(jí)數(shù)收斂，且其和。對(duì)于上述交錯(cuò)級(jí)數(shù)而言，若極限不存在，或存在但，則交錯(cuò)級(jí)數(shù)的一般項(xiàng)的極限不存在，因此無(wú)窮級(jí)數(shù)發(fā)散。解：由于無(wú)窮級(jí)數(shù)為交錯(cuò)級(jí)數(shù)，其中，故且由萊布尼茲判別法可知：交錯(cuò)級(jí)數(shù)收斂。例1

試判斷交錯(cuò)級(jí)數(shù)的斂散性。即交錯(cuò)級(jí)數(shù)常稱之為萊布尼茲級(jí)數(shù)，以后將此無(wú)窮級(jí)數(shù)認(rèn)作為標(biāo)準(zhǔn)無(wú)窮級(jí)數(shù)。例2

試判斷交錯(cuò)級(jí)數(shù)的斂散性。解：因?yàn)?，所以，交錯(cuò)級(jí)數(shù)發(fā)散。通常地正負(fù)項(xiàng)可以任意出現(xiàn)的無(wú)窮級(jí)數(shù)稱為任意項(xiàng)無(wú)窮級(jí)數(shù)。二、任意項(xiàng)級(jí)數(shù)由此可見(jiàn)，交錯(cuò)級(jí)數(shù)是任意項(xiàng)無(wú)窮級(jí)數(shù)的一種特殊情形。由于要判斷任意項(xiàng)無(wú)窮級(jí)數(shù)的斂散性沒(méi)有一般的通用法則，故先研究的收斂性。定理2若無(wú)窮級(jí)數(shù)收斂，則無(wú)窮級(jí)數(shù)必定收斂。定義2設(shè)有任意項(xiàng)無(wú)窮級(jí)數(shù)，若無(wú)窮級(jí)數(shù)收斂，則稱該無(wú)窮級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂；若無(wú)窮級(jí)數(shù)

發(fā)散，而無(wú)窮級(jí)數(shù)收斂，則稱該無(wú)窮級(jí)數(shù)條件收斂。顯而易見(jiàn)，萊布尼茲級(jí)數(shù)為條件收斂的。例3試判斷交錯(cuò)級(jí)數(shù)的斂散性，若其收斂，那么是絕對(duì)收斂，還是條件收斂（其中）？解：

記，則，即為-級(jí)數(shù)，因此當(dāng)時(shí)，收斂，故無(wú)窮級(jí)數(shù)

絕對(duì)收斂。且由萊布尼茲判別法可知無(wú)窮級(jí)數(shù)為條件收斂。綜上所述，無(wú)窮級(jí)數(shù)，當(dāng)時(shí)，該無(wú)窮級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂；當(dāng)時(shí)，該無(wú)窮級(jí)數(shù)條件收斂。當(dāng)時(shí)，發(fā)散，即無(wú)窮級(jí)數(shù)不絕對(duì)收斂。此外，由于為交錯(cuò)級(jí)數(shù)，當(dāng)時(shí)，有定理3若任意項(xiàng)無(wú)窮級(jí)數(shù)

滿足條件（1）當(dāng)時(shí)，則該無(wú)窮級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂；（2）當(dāng)時(shí)，則該無(wú)窮級(jí)數(shù)發(fā)散。例4試判斷無(wú)窮級(jí)數(shù)的斂散性，如果它收斂，那么是絕對(duì)收斂，還是條件收斂？解：其通項(xiàng)為，而且然而為的-級(jí)數(shù)，其為收斂的。從而可知：為收斂的。即無(wú)窮級(jí)數(shù)收斂，且為絕對(duì)收斂。解：由于例5判斷無(wú)窮級(jí)數(shù)的斂散性。故當(dāng)時(shí)，無(wú)窮級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂；當(dāng)