2025屆廣東省湛江一中高三（最后沖刺）數(shù)學(xué)試卷含解析

2025屆廣東省湛江一中高三（最后沖刺）數(shù)學(xué)試卷注意事項：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號、考場號和座位號填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目選項的答案信息點(diǎn)涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4．考生必須保證答題卡的整潔。考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．設(shè)，隨機(jī)變量的分布列是01則當(dāng)在內(nèi)增大時，（）A．減小，減小 B．減小，增大C．增大，減小 D．增大，增大2．已知函數(shù)，則的最小值為()A． B． C． D．3．框圖與程序是解決數(shù)學(xué)問題的重要手段，實(shí)際生活中的一些問題在抽象為數(shù)學(xué)模型之后，可以制作框圖，編寫程序，得到解決，例如，為了計算一組數(shù)據(jù)的方差，設(shè)計了如圖所示的程序框圖，其中輸入，，，，，，，則圖中空白框中應(yīng)填入（）A．， B． C．， D．，4．若變量，滿足，則的最大值為（）A．3 B．2 C． D．105．的展開式中，含項的系數(shù)為（）A． B． C． D．6．已知函數(shù)的圖象的一條對稱軸為，將函數(shù)的圖象向右平行移動個單位長度后得到函數(shù)圖象，則函數(shù)的解析式為（）A． B．C． D．7．設(shè)雙曲線的一條漸近線為，且一個焦點(diǎn)與拋物線的焦點(diǎn)相同，則此雙曲線的方程為（）A． B． C． D．8．已知純虛數(shù)滿足，其中為虛數(shù)單位，則實(shí)數(shù)等于（）A． B．1 C． D．29．若均為任意實(shí)數(shù)，且，則的最小值為（）A． B． C． D．10．已知向量，，當(dāng)時，（）A． B． C． D．11．若的內(nèi)角滿足，則的值為（）A． B． C． D．12．已知是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，是的左、右頂點(diǎn)，點(diǎn)在過且斜率為的直線上，為等腰三角形，，則的漸近線方程為（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．記Sk＝1k+2k+3k+……+nk，當(dāng)k＝1，2，3，……時，觀察下列等式：S1n2n，S2n3n2n，S3n4n3n2，……S5＝An6n5n4+Bn2，…可以推測，A﹣B＝_____．14．若變量，滿足約束條件，則的最大值為__________．15．在某批次的某種燈泡中，隨機(jī)抽取200個樣品.并對其壽命進(jìn)行追蹤調(diào)查，將結(jié)果列成頻率分布表如下：壽命（天）頻數(shù)頻率40600.30.4200.1合計2001某人從燈泡樣品中隨機(jī)地購買了個，如果這個燈泡的壽命情況恰好與按四個組分層抽樣所得的結(jié)果相同，則的最小值為______.16．已知圓柱的兩個底面的圓周在同一個球的球面上，圓柱的高和球半徑均為2，則該圓柱的底面半徑為__________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）如圖，在四棱錐中，平面，四邊形為正方形，點(diǎn)為線段上的點(diǎn)，過三點(diǎn)的平面與交于點(diǎn).將①，②，③中的兩個補(bǔ)充到已知條件中，解答下列問題：（1）求平面將四棱錐分成兩部分的體積比；（2）求直線與平面所成角的正弦值.18．（12分）已知數(shù)列的前項和為，且滿足（）.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）設(shè)（），數(shù)列的前項和.若對恒成立，求實(shí)數(shù)，的值.19．（12分）設(shè)函數(shù).（1）當(dāng)時，求不等式的解集；（2）若恒成立，求的取值范圍.20．（12分）如圖，已知橢圓C:x24+y2=1，F(xiàn)為其右焦點(diǎn)，直線l:y=kx+m(km<0)與橢圓交于P(x1(I)試用x1表示|PF|(II)證明：原點(diǎn)O到直線l的距離為定值.21．（12分）已知曲線的參數(shù)方程為為參數(shù)),以直角坐標(biāo)系原點(diǎn)為極點(diǎn),以軸正半軸為極軸并取相同的單位長度建立極坐標(biāo)系.（1）求曲線的極坐標(biāo)方程,并說明其表示什么軌跡；（2）若直線的極坐標(biāo)方程為,求曲線上的點(diǎn)到直線的最大距離.22．（10分）已知函數(shù)．（1）當(dāng)時，解關(guān)于x的不等式；（2）當(dāng)時，若對任意實(shí)數(shù)，都成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】

，，判斷其在內(nèi)的單調(diào)性即可．【詳解】解：根據(jù)題意在內(nèi)遞增，，是以為對稱軸，開口向下的拋物線，所以在上單調(diào)遞減，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了利用隨機(jī)變量的分布列求隨機(jī)變量的期望與方差，屬于中檔題．2、C【解析】

利用三角恒等變換化簡三角函數(shù)為標(biāo)準(zhǔn)正弦型三角函數(shù)，即可容易求得最小值.【詳解】由于，故其最小值為：.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查利用降冪擴(kuò)角公式、輔助角公式化簡三角函數(shù)，以及求三角函數(shù)的最值，屬綜合基礎(chǔ)題.3、A【解析】

依題意問題是，然后按直到型驗(yàn)證即可.【詳解】根據(jù)題意為了計算7個數(shù)的方差，即輸出的，觀察程序框圖可知，應(yīng)填入，，故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查算法與程序框圖，考查推理論證能力以及轉(zhuǎn)化與化歸思想，屬于基礎(chǔ)題.4、D【解析】

畫出約束條件的可行域，利用目標(biāo)函數(shù)的幾何意義求解最大值即可．【詳解】解：畫出滿足條件的平面區(qū)域，如圖示：如圖點(diǎn)坐標(biāo)分別為，目標(biāo)函數(shù)的幾何意義為，可行域內(nèi)點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)的距離的平方，由圖可知到原點(diǎn)的距離最大，故.故選：D【點(diǎn)睛】本題考查了簡單的線性規(guī)劃問題，考查數(shù)形結(jié)合思想，屬于中檔題．5、B【解析】

在二項展開式的通項公式中，令的冪指數(shù)等于，求出的值，即可求得含項的系數(shù)．【詳解】的展開式通項為，令，得，可得含項的系數(shù)為.故選：B.【點(diǎn)睛】本題主要考查二項式定理的應(yīng)用，二項展開式的通項公式，二項式系數(shù)的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．6、C【解析】

根據(jù)輔助角公式化簡三角函數(shù)式，結(jié)合為函數(shù)的一條對稱軸可求得，代入輔助角公式得的解析式.根據(jù)三角函數(shù)圖像平移變換，即可求得函數(shù)的解析式.【詳解】函數(shù)，由輔助角公式化簡可得，因?yàn)闉楹瘮?shù)圖象的一條對稱軸，代入可得，即，化簡可解得，即，所以將函數(shù)的圖象向右平行移動個單位長度可得，則，故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查了輔助角化簡三角函數(shù)式的應(yīng)用，三角函數(shù)對稱軸的應(yīng)用，三角函數(shù)圖像平移變換的應(yīng)用，屬于中檔題.7、C【解析】

求得拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)，可得雙曲線方程的漸近線方程為，由題意可得，又，即，解得，，即可得到所求雙曲線的方程.【詳解】解：拋物線的焦點(diǎn)為可得雙曲線即為的漸近線方程為由題意可得，即又，即解得，.即雙曲線的方程為.故選：C【點(diǎn)睛】本題主要考查了求雙曲線的方程，屬于中檔題.8、B【解析】

先根據(jù)復(fù)數(shù)的除法表示出，然后根據(jù)是純虛數(shù)求解出對應(yīng)的的值即可.【詳解】因?yàn)?，所以，又因?yàn)槭羌兲摂?shù)，所以，所以.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算以及根據(jù)復(fù)數(shù)是純虛數(shù)求解參數(shù)值，難度較易.若復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，則有.9、D【解析】

該題可以看做是圓上的動點(diǎn)到曲線上的動點(diǎn)的距離的平方的最小值問題，可以轉(zhuǎn)化為圓心到曲線上的動點(diǎn)的距離減去半徑的平方的最值問題，結(jié)合圖形，可以斷定那個點(diǎn)應(yīng)該滿足與圓心的連線與曲線在該點(diǎn)的切線垂直的問題來解決，從而求得切點(diǎn)坐標(biāo)，即滿足條件的點(diǎn)，代入求得結(jié)果.【詳解】由題意可得，其結(jié)果應(yīng)為曲線上的點(diǎn)與以為圓心，以為半徑的圓上的點(diǎn)的距離的平方的最小值，可以求曲線上的點(diǎn)與圓心的距離的最小值，在曲線上取一點(diǎn)，曲線有在點(diǎn)M處的切線的斜率為，從而有，即，整理得，解得，所以點(diǎn)滿足條件，其到圓心的距離為，故其結(jié)果為，故選D.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)在一點(diǎn)處切線斜率的應(yīng)用，考查圓的程，兩條直線垂直的斜率關(guān)系，屬中檔題.10、A【解析】

根據(jù)向量的坐標(biāo)運(yùn)算，求出，，即可求解.【詳解】，.故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查向量的坐標(biāo)運(yùn)算、誘導(dǎo)公式、二倍角公式、同角間的三角函數(shù)關(guān)系，屬于中檔題.11、A【解析】

由，得到，得出，再結(jié)合三角函數(shù)的基本關(guān)系式，即可求解.【詳解】由題意，角滿足，則，又由角A是三角形的內(nèi)角，所以，所以，因?yàn)?，所?故選：A.【點(diǎn)睛】本題主要考查了正弦函數(shù)的性質(zhì)，以及三角函數(shù)的基本關(guān)系式和正弦的倍角公式的化簡、求值問題，著重考查了推理與計算能力.12、D【解析】

根據(jù)為等腰三角形，可求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，又由的斜率為可得出關(guān)系，即可求出漸近線斜率得解.【詳解】如圖，因?yàn)闉榈妊切?，，所以?，又，，解得，所以雙曲線的漸近線方程為，故選：D【點(diǎn)睛】本題主要考查了雙曲線的簡單幾何性質(zhì)，屬于中檔題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

觀察知各等式右邊各項的系數(shù)和為1，最高次項的系數(shù)為該項次數(shù)的倒數(shù)，據(jù)此計算得到答案.【詳解】根據(jù)所給的已知等式得到：各等式右邊各項的系數(shù)和為1，最高次項的系數(shù)為該項次數(shù)的倒數(shù)，∴A，A1，解得B，所以A﹣B．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了歸納推理，意在考查學(xué)生的推理能力.14、【解析】

根據(jù)約束條件可以畫出可行域，從而將問題轉(zhuǎn)化為直線在軸截距最大的問題的求解，通過數(shù)形結(jié)合的方式可確定過時，取最大值，代入可求得結(jié)果.【詳解】由約束條件可得可行域如下圖陰影部分所示：將化為，則最大時，直線在軸截距最大；由直線平移可知，當(dāng)過時，在軸截距最大，由得：，.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查線性規(guī)劃中最值問題的求解，關(guān)鍵是能夠?qū)栴}轉(zhuǎn)化為直線在軸截距的最值的求解問題，通過數(shù)形結(jié)合的方式可求得結(jié)果.15、10【解析】

先求出a，b，根據(jù)分層抽樣的比例引入正整數(shù)k表示n，從而得出的最小值.【詳解】由題意得，a=0.2，b=80，由表可知，燈泡樣品第一組有40個，第二組有60個，第三組有80個，第四組有20個，所以四個組的比例為2:3:4:1，所以按分層抽樣法，購買的燈泡數(shù)為n=2k+3k+4k+k=10k()，所以的最小值為10.【點(diǎn)睛】本題考查分層抽樣基本原理的應(yīng)用，涉及抽樣比、總體數(shù)量、每層樣本數(shù)量的計算，屬于基礎(chǔ)題.16、【解析】

由圓柱外接球的性質(zhì)，即可求得結(jié)果.【詳解】解：由于圓柱的高和球半徑均為2，,則球心到圓柱底面的距離為1，設(shè)圓柱底面半徑為，由已知有，∴，即圓柱的底面半徑為.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查由圓柱的外接球的性質(zhì)求圓柱底面半徑，屬于基礎(chǔ)題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）.【解析】

若補(bǔ)充②③根據(jù)已知可得平面，從而有，結(jié)合，可得平面，故有，而，得到，②③成立與①②相同，①③成立，可得，所以任意補(bǔ)充兩個條件，結(jié)果都一樣，以①②作為條件分析;（1）設(shè)，可得，進(jìn)而求出梯形的面積，可求出，即可求出結(jié)論；（2），以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間坐標(biāo)系，求出坐標(biāo)，由（1）得為平面的法向量，根據(jù)空間向量的線面角公式即可求解.【詳解】第一種情況：若將①，②作為已知條件，解答如下：（1）設(shè)平面為平面.∵，∴平面，而平面平面，∴，又為中點(diǎn).設(shè)，則.在三角形中，，由知平面，∴，∴梯形的面積，，，平面，，，∴，故，.（2）如圖，分別以所在直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，由（1）得為平面的一個法向量，因?yàn)?，所以直線與平面所成角的正弦值為.第二種情況：若將①，③作為已知條件，則由知平面，，又，所以平面，，又，故為中點(diǎn)，即，解答如上不變.第三種情況：若將②，③作為已知條件，由及第二種情況知，又，易知，解答仍如上不變.【點(diǎn)睛】本題考查空間點(diǎn)、線、面位置關(guān)系，以及體積、直線與平面所成的角，考查計算求解能力，屬于中檔題.18、（1）（2），.【解析】

（1）根據(jù)數(shù)列的通項與前n項和的關(guān)系式，即求解數(shù)列的通項公式；（2）由（1）可得，利用等比數(shù)列的前n項和公式和裂項法，求得，結(jié)合題意，即可求解.【詳解】（1）由題意，當(dāng)時，由，解得；當(dāng)時，可得，即，顯然當(dāng)時上式也適合，所以數(shù)列的通項公式為.（2）由（1）可得，所以.因?yàn)閷愠闪ⅲ裕?【點(diǎn)睛】本題主要考查了數(shù)列的通項公式的求解，等差數(shù)列的前n項和公式，以及裂項法求和的應(yīng)用，其中解答中熟記等差、等比數(shù)列的通項公式和前n項和公式，以及合理利用“裂項法”求和是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于中檔試題.19、(1)；(2).【解析】

分析：（1）先根據(jù)絕對值幾何意義將不等式化為三個不等式組，分別求解，最后求并集，（2）先化簡不等式為，再根據(jù)絕對值三角不等式得最小值，最后解不等式得的取值范圍．詳解：（1）當(dāng)時，可得的解集為．（2）等價于．而，且當(dāng)時等號成立．故等價于．由可得或，所以的取值范圍是．點(diǎn)睛：含絕對值不等式的解法有兩個基本方法，一是運(yùn)用零點(diǎn)分區(qū)間討論，二是利用絕對值的幾何意義求解．法一是運(yùn)用分類討論思想，法二是運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想，將絕對值不等式與函數(shù)以及不等式恒成立交匯、滲透，解題時強(qiáng)化函數(shù)、數(shù)形結(jié)合與轉(zhuǎn)化化歸思想方法的靈活應(yīng)用，這是命題的新動向．20、(I)|FP|=2-32x【解析】

(I)直接利用兩點(diǎn)間距離公式化簡得到答案.(II)設(shè)Ax3,y3，Bx4【詳解】(I)橢圓C:x24|FP|=x(II)設(shè)Ax3,y3，B4k2+1x2OA=OB，故y3PA=PF，故1+k由已知得：x3<x故1+k即1+k2?故原點(diǎn)O到直線l的距離為d=m【點(diǎn)睛】本題考查了橢圓內(nèi)的線段長度，定值問題，意在考查學(xué)生的計算能力和綜合應(yīng)用能力.21、（1），表示圓心為，半徑為的圓；（2）【解析】

（1）根據(jù)參數(shù)得到直角坐標(biāo)系方程，再轉(zhuǎn)化為極坐標(biāo)方程得到答案.（2）直線方程為，計算圓心到直線的距離加上半徑得到答案.【詳解】（1），即，化簡得到：.即，表示圓心為，半徑為的圓.（2），即，圓心到直線的距離為.故