指數(shù)與指數(shù)函數(shù)-2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)（原卷版+解析版）

專題06指數(shù)與指數(shù)函數(shù)5題型分類

彩題如工總

題型1：指數(shù)運(yùn)算及指數(shù)方程、指數(shù)不等式

題型5：指數(shù)函數(shù)中的恒成立問題

題型2：求指數(shù)函數(shù)的定義域、值域

專題06指數(shù)與指數(shù)函數(shù)5

題型分類

題型4：指數(shù)函數(shù)單調(diào)性及應(yīng)用

題型3：指數(shù)函數(shù)圖象及其應(yīng)用

彩先祗寶庫

1、指數(shù)及指數(shù)運(yùn)算

（1）根式的定義：

一般地，如果無"="，那么尤叫做。的"次方根，其中（〃>1,〃wN*）,記為標(biāo)，〃稱為根指數(shù)，。稱為根

底數(shù).

（2）根式的性質(zhì)：

當(dāng)”為奇數(shù)時(shí)，正數(shù)的〃次方根是一個(gè)正數(shù)，負(fù)數(shù)的〃次方根是一個(gè)負(fù)數(shù).

當(dāng)”為偶數(shù)時(shí)，正數(shù)的〃次方根有兩個(gè)，它們互為相反數(shù).

（3）指數(shù)的概念：指數(shù)是嘉運(yùn)算屋（a/0）中的一個(gè)參數(shù)，。為底數(shù)，〃為指數(shù)，指數(shù)位于底數(shù)的右上角，累

運(yùn)算表示指數(shù)個(gè)底數(shù)相乘.

（4）有理數(shù)指數(shù)累的分類

〃個(gè)

①正整數(shù)指數(shù)幕a，，="K^…*）；②零指數(shù)累。。=1（。*°）；

③負(fù)整數(shù)指數(shù)哥或"=5（"片°，"eN*）；④0的正分?jǐn)?shù)指數(shù)幕等于0,0的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)事沒有意義.

（5）有理數(shù)指數(shù)幕的性質(zhì)

①a"'a"=a"+"（a>0,m,〃e。）；②（。"'）"=>0,m,〃e。）；

③=a'"〃"（o>0,b>0,機(jī)eQ）；④9=/g>o，m,neQ）.

2、指數(shù)函數(shù)

y=ax

0<tz<la>l

圖象

-^1~1%

~o\~1?x

①定義域R,值域（。，+8）

②0。=1,即時(shí)x=o,y=l,圖象都經(jīng)過（0，1）點(diǎn)

③罐="，即x=l時(shí)，y等于底數(shù)a

性質(zhì)

④在定義域上是單調(diào)減函數(shù)在定義域上是單調(diào)增函數(shù)

⑤％<0時(shí)，ax>1;x>0時(shí)，0<優(yōu)<1xvO時(shí)，0<優(yōu)<1；%>0時(shí)，ax>1

⑥既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù)

彩儺甄祕(mì)籍

（一）

指數(shù)運(yùn)算及指數(shù)方程、指數(shù)不等式

利用指數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)解題.對(duì)于形如〃3=6,afM>b,一。<6的形式常用"化同底"轉(zhuǎn)化，再利用指數(shù)函

數(shù)單調(diào)性解決；或用“取對(duì)數(shù)"的方法求解.形如+3優(yōu)+。=0或8優(yōu)+C厘）（0）的形式，可借助換

元法轉(zhuǎn)化二次方程或二次不等式求解.

題型1：指數(shù)運(yùn)算及指數(shù)方程、指數(shù)不等式

（耳+3

1-1.（2024高三下?湖南?階段練習(xí)）—=（）

A.9B.-C.3D.—

99

12（2024高一?全國?單元測(cè)試）下列結(jié)論中，正確的是（）

A.設(shè)。>0,則存於B.若“8=2,則加=±蚯

C.若a+/=3,則媼+/￡±百D.*2一吟&=2一乃

_05J_3

1-3.（2024高一上,山西晉城?期中）+向西+Q3（）

A.兀B.2+兀C.4—JrD.6—71

1-4.（2024?江西）已知函數(shù)/（x）=f""0'（a回R）,若“/（-1））=1,則。=（）

[2-x,x<0

11

A.-B.-C.1D.2

42

（2Xr>0

1-5.（2024?陜西榆林?一模）己知函數(shù)〃尤）=八，若/⑴=0,則實(shí)數(shù)。=（）

[尤+1,%40

A.-3B.-1C.1D.3

（二）

指數(shù)函數(shù)的圖像及性質(zhì)

1.函數(shù)圖象的辨識(shí)可從以下方面入手：

⑴從函數(shù)的定義域，判斷圖象的左右位置；從函數(shù)的值域，判斷圖象的上下位置.

⑵從函數(shù)的單調(diào)性，判斷圖象的變化趨勢(shì)；

⑶從函數(shù)的奇偶性，判斷圖象的對(duì)稱性；

⑷從函數(shù)的特征點(diǎn)，排除不合要求的圖象.

2.解決指數(shù)函數(shù)有關(guān)問題，思路是從它們的圖像與性質(zhì)考慮，按照數(shù)形結(jié)合的思路分析，從圖像與性質(zhì)找到

解題的突破口，但要注意底數(shù)對(duì)問題的影響.

題型2:求指數(shù)函數(shù)的定義域、值域

2-1.（2024高一上?河南平頂山?階段練習(xí)）函數(shù)〃尤）=7?=1+"-2）°的定義域?yàn)?/p>

2-2.（2024高一上?河南平頂山?階段練習(xí)）函數(shù)〃尤）=9'-4x3*+9的值域?yàn)?

2-3.（2024高一上?浙江杭州?期中）己知f（x）=斤工二I的定義域?yàn)镽，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是.

24（2024?寧夏銀川?二模）已知函數(shù)〃力=4'-2.-1,xe[0,3],則其值域?yàn)?

2",x<m

2-5.（2024高一上?上海閔行?期末）已知函數(shù)>=228的值域?yàn)椋?8,2"],則實(shí)數(shù)加的取值范

——x+—,x>m

I33

圍是.

題型3:指數(shù)函數(shù)圖象及其應(yīng)用

3-1.（2024高一上?廣東梅州?期中）函數(shù),=優(yōu)一1+4（6/>0,且的圖象過定點(diǎn)P,則點(diǎn)尸的坐標(biāo)是（）

A.（1,5）B.（1,4）C.（0,4）D.（4,0）

3-2.（2024高一上?山東淄博?期末）函數(shù)〃x）="-2+i（其中。>0,a=i）的圖象恒過的定點(diǎn)是（）

A.（2,1）B.（2,2）C.（1,1）D.（1,2）

3-3.（2024高一?全國?專題練習(xí)）如圖所示，函數(shù)、=|2，-2|的圖象是（）

3-4.（2024?山東）已知函數(shù)y=/（x）是偶函數(shù)，當(dāng)xw（0,+8）時(shí)，y=ax（0<a<1）,則該函數(shù)在（-8,0）上的

圖像大致是（）

3-7.（2024高一?廣東河源?期中）若直線y=2a與函數(shù)、=--1|（穌0,"1）的圖象有兩個(gè)公共點(diǎn)，則。的取

值范圍是.

題型4:指數(shù)函數(shù)單調(diào)性及應(yīng)用

4-1.（2024?江蘇）不等式丁』<4的解集為.

4-2.（2024高一?上海?專題練習(xí)）不等式2,3-3<5的解集為.

4-3.（2024高三?全國?專題練習(xí)）函數(shù)y=—2*0+1的單調(diào)遞增區(qū)間為

44（2024高二下?寧夏銀川?期末）若函數(shù)則該函數(shù)在（-8,+8）上是

A.單調(diào)遞減無最小值B.單調(diào)遞減有最小值

C.單調(diào)遞增無最大值D.單調(diào)遞增有最大值

4-5.（2024?全國）已知函數(shù)"x）=e32.記三,b=f%,c=f、，則（）

A.b>c>aB.b>a>cC.c>b>aD.c>a>b

x+1,x<0,

4-6.(2024?全國)設(shè)函數(shù)f(x)=則滿足，（x）+/（x-；）>l的X的取值范圍是

2X,x>0,

4-7.（2024?江西景德鎮(zhèn)?模擬預(yù)測(cè)）已知“力是定義在R上的偶函數(shù)，且當(dāng)xNO時(shí)，f（%）=e\則滿足

f（x+l）^/2（x）的龍的取值范圍是.

彩僻題秘籍（二）

指數(shù)函數(shù)中的恒成立問題

已知不等式能恒成立求參數(shù)值（取值范圍）問題常用的方法：

（1）函數(shù)法：討論參數(shù)范圍，借助函數(shù)單調(diào)性求解；

（2）分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的值域或最值問題加以解決；

（3）數(shù)形結(jié)合法：先對(duì)解析式變形，進(jìn)而構(gòu)造兩個(gè)函數(shù)，然后在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)的圖象,

利用數(shù)形結(jié)合的方法求解.

題型5：指數(shù)函數(shù)中的恒成立問題

5-1.（2024高一上?浙江?期中）若xe[-l,+8）,不等式4*-巾2*+1>0恒成立，則實(shí)數(shù)加的取值范圍是

5-2.（2024高三?全國?專題練習(xí)）已知函數(shù)/（x）=2",尤eR,若不等式尸⑴+了⑴>0在R上恒成立，

則實(shí)數(shù)m的取值范圍是.

5-3.（2024高三上?上海松江?期中）已知不等式4，-G2，+2>0,對(duì)于ae（-oo,3]恒成立，則實(shí)數(shù)x的取值

范圍是.

5-4.（2024高一上?上海寶山?階段練習(xí)）設(shè)〃x）=三二，當(dāng)xeR時(shí)，+mr）+〃l）>0恒成立，則

實(shí)數(shù)m的取值范圍是.

煉習(xí)與梭升

一、單選題

1.（2024高三上?陜西西安?期中）若y=（"-3a+3）/是指數(shù)函數(shù)，則有（）

A.a=l或2B.a=l

C.a=2D.〃>0且

2.（2024高三?山東?學(xué)業(yè)考試）函數(shù)y=（a-2）2/是指數(shù)函數(shù)，則（）

A.。=1或a=3B.a=lC.a=3D.〃>0且awl

3.（2024高三?全國?專題練習(xí)）當(dāng)x>0時(shí)，函數(shù)〃尤）=（4-1丫的值總大于1,則實(shí)數(shù)。的取值范圍是（）

A.l<|a|<2B.|a|<lC.|“|>6D.|。|<亞

4.（2024高一上,福建福州?階段練習(xí)）函數(shù)/（x）=J1—2"的定義域是（）

A.（-oo,0]B.0+8）C.（-oo,0）D.（-8,+8）

?x<]

5.（2024?甘肅蘭州?模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)/（%）=x-1'的值域?yàn)镽,則實(shí)數(shù)〃的取值范圍是（）

2X-a,x>l

A.（-oo,0）B.（0,+oo）C.（-oo,l]D.[l,+oo）

6.（2024高三上?湖北武漢?開學(xué)考試）設(shè)函數(shù)〃尤）=3，+6,函數(shù)的圖像經(jīng)過第一、三、四象限，則

8。）=/伍）-/。-1）的取值范圍為（）

A.[o,|）B,1聞C.[聞D.（0,|

7.（2024?江西）已知實(shí)數(shù)。，6滿足等式,下列五個(gè)關(guān)系式:

①。<6<a；②。<6<0；③0<。<6；@b<a<0；⑤。=6.

其中不可能成立的關(guān)系式有（）

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

8.（2024?北京）下列函數(shù)中，在區(qū)間（。,+8）上單調(diào)遞增的是（）

A./（x）=-ln.xB./（x）=±

2

C./?=--D./（X）=3M

9.（2024?天津）a=1.0105,&=1.0106,c=0.6°5,則。也。的大小關(guān)系為（）

A.a<b<cB.b<a<c

C.c<b<aD.c<a<b

232

10.（2024?安徽）設(shè)a=（|：,b=CJ,c=（|：,則a,b,c的大小關(guān)系是（）

A.a>c>bB.a>b>c

C.c>a>bD.b>c>a

IL（2024高二下?安徽宣城?階段練習(xí)）定義在R上的函數(shù)/*）的圖象關(guān)于直線x=l對(duì)稱，且當(dāng)X21時(shí),

/(x)=3x-l,有()

12.（2024海南?模擬預(yù)測(cè)）不等式/-1>2+6+尤-/的解集為（）

A.(―1,2)o(2,+oo)B.(-00,-1)u(3,+oo)

C.(YO,1)U(2,+OO)D.(-oo,-l)U(2,+oo)

2rr<0

13.（2024?全國）設(shè)函數(shù)〃x）=’]，則滿足〃x+l）</（2x）的x的取值范圍是

I1,X>U

A.B.（0,+co）C.（-1,0）D.（fo,0）

14.（2024?全國）設(shè)函數(shù)/（力=2*°）在區(qū)間（0,1）上單調(diào)遞減，則。的取值范圍是（）

A.（一叫一2]B.[-2,0）

C.（0,2]D.[2,+刃）

15.（2024?北京）已知函數(shù)”勸二二7,則對(duì)任意實(shí)數(shù)X,有（）

1+2

A./（-x）+/（%）=0B./（-x）-/W=O

C./（-x）+/（%）=lD./（一無）-/（x）=g

16.（2024?北京西城?三模）在下列四個(gè)函數(shù)中，在定義域內(nèi)單調(diào)遞增的有（）

A./(x)=tanvB./(x)=|x|C.4x)=2*D./(x)=x2

17.(2024高一?全國?課后作業(yè))函數(shù)/(刈=優(yōu)(。>0,。片1)對(duì)于任意的實(shí)數(shù)x、>都有()

A./(盯)=f(x)/(y)B./(%+y)=/(x)/(y)

C./(xy)=/W+/(y)D./(x+j)=/(%)+/(j)

18.（2024高一上?浙江溫州,期中）函數(shù)〃%）=岳》的圖象如圖所示,其中a,b為常數(shù),則下列結(jié)論正確的

是（）

C.0<a<l,〃>0D.0<々<11<。

19.(2024高一上?北京西城?期中)若函數(shù)y=a'+>-1(。>0,。片1)的圖象經(jīng)過第二、三、四象限，則一定有

()

A.Ovavl且Z?>0B.a>l且Z?>0

C.Ova<l且Z?<0D.a>l^b<0

20.(2024高一上?全國?課后作業(yè))若指數(shù)函數(shù)y=6/在［6,2］上的最大值與最小值的和為6,則。=()

A.2或-3B.-3

1

C.2D.—

2

21.(2024?陜西西安?一模)已知實(shí)數(shù)服6滿足2a+2"<28+2J則八b的大小關(guān)系為()

A.a>bB.a=bC.a<bD.不能確定

22.(2024?陜西)下了函數(shù)中，滿足"〃了+、)=/(耳/()0"的單調(diào)遞增函數(shù)是()

A.f(x)=x3B./(x)=3"

C/(x)=x3D.f(x)=

人一421

23.(2024?全國)已知a=23,6=33,c=25§，貝汁

A.b<a<cB.a<b<c

C.b<c<aD.c<a<b

24.(2024高一上?云南楚雄?階段練習(xí))若函數(shù)/(力、g(x)分別為R上的奇函數(shù)、偶函數(shù)，且滿足人力一g(x)

=ex,則有()

A./(2)</(3)<g(0)B.g(0)</(3)<f(2)

C./(2)<g(0)</(3)D.g(O)<f(2)?3)

25.(2024高一上?吉林?)函數(shù)〃》)=優(yōu)(優(yōu)-3--1)(4>0,且。#1)在區(qū)間［0,+功上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)。

的取值范圍是（）

A.]o,gB.與,1C.（1,百]D,|',+c0^

26.（2024?河南平頂山?模擬預(yù)測(cè)）甲、乙兩人解關(guān)于尤的方程2，+力2-，+。=0,甲寫錯(cuò)了常數(shù)b,得到的根

17

為x=-2或x=log2：,乙寫錯(cuò)了常數(shù)c,得到的根為x=0或x=l,則原方程的根是（）

A.尤=-2或x=logz3B.尤=-1或x=l

C.尤=0或無=2D.行-1或尤=2

27.（2024高三上?黑龍江哈爾濱?期中）若關(guān)于x的方程9*+3川-根+1=0有解，則實(shí)數(shù)小的取值范圍是（）

A.（L+8）B.-C.（―℃,3]D.（1,3]

28.（2024?上海長寧?一模）函數(shù)〃x）=（e"-6丫的大致圖像如圖，則實(shí)數(shù)a,b的取值只可能是（）

A.a>0,b>lB.a>0,0<b<l

C.a<0,b>lD.a<0,0<b<l

29.（2024高一上?湖北省直轄縣級(jí)單位?階段練習(xí)）已知函數(shù)/（%）=，-4+1（。>0且awl）的圖象恒過定

19

點(diǎn)A,若點(diǎn)A的坐標(biāo)滿足關(guān)于x,y的方程如+利=4（加>0,〃>0）,則一+-的最小值為（）

mn

A.8B.24C.4D.6

30.（2024?全國?模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)"司=不二+京27+1+」：？，則不等式“2x+3）>/（d）的解集為

乙十乙T"T*Jx,1

A.(-2,l)u(l,^>)B.(-1,1)U(3，H

C.1-；,ju(3,+s)D.(-3,l)U(3,+?)

31.(2024?全國)已知9"=10,。=10"=11力=8加-9,貝!J()

A.a>0>bB.a>b>0C.b>a>0D.b>0>a

二、多選題

32.（2024?海南?？?模擬預(yù)測(cè)）已知定義在R上的函數(shù)是奇函數(shù)，函數(shù)〃%+1）為偶函數(shù)，當(dāng)

時(shí)，f(x)=ex+m,則()

A.m=-lB.f[2-x)=f^x)C./(x+8)=/(x)D./(2023)=e-l

33.（2024高三上?廣東深圳?階段練習(xí)）已知〃龍）是定義在R上的奇函數(shù)且滿足了（x+1）為偶函數(shù)，當(dāng)尤41,2]

時(shí)，/（%）=優(yōu)+伙。＞0且QW1）.若/（—1）+/（4）=12,則（）

A.。=4,〃=一16B.a=-3,b=-9

C.7（2022）=0D./（等）=8

34.（2024高三?全國?專題練習(xí)）（多選）已知函數(shù)＞=標(biāo)-6（°＞0且"1）的圖象如圖所示，則下列結(jié)論

C.ba>1D.2?<1

35.（2024高三?全國?專題練習(xí)）對(duì)任意實(shí)數(shù)。＞1,函數(shù)＞=（。-1廣+1的圖象必過定點(diǎn)4?！?〃），〃尤）n

m

的定義域?yàn)閇0,2],g（%）=f（2x）+/（x）,則下列結(jié)論正確的是（）

A.771=1,71=2B.g（x）的定義域?yàn)閇0,1]

C.g（元）的值域?yàn)閇2,6]D.g（尤）的值域?yàn)閇2,20]

36.（2024高一上,山東泰安?期末）函數(shù)〃"=2工+=（。€尺）的圖象可能為（）

37.（2024,浙江紹興?模擬預(yù)測(cè)）預(yù)測(cè)人口的變化趨勢(shì)有多種方法，"直接推算法”使用的公式是

匕=6（1+幻”（左＞-1）,其中4為預(yù)測(cè)期人口數(shù)，玲為初期人口數(shù)，%為預(yù)測(cè)期內(nèi)人口年增長率，”為預(yù)測(cè)

期間隔年數(shù)，則（）

A.當(dāng)％則這期間人口數(shù)呈下降趨勢(shì)

B.當(dāng)左?（-I,。），則這期間人口數(shù)呈擺動(dòng)變化

C.當(dāng)左=g,匕22用時(shí)，〃的最小值為3

D.當(dāng)無=《時(shí)，〃的最小值為3

38.（2024?山東聊城?二模）已知函數(shù)=則（）

A.函數(shù)/（x）是增函數(shù)

B.曲線y=〃x）關(guān)于（。,￡|對(duì)稱

C.函數(shù)/（￡）的值域?yàn)?/p>

D.曲線y=/（x）有且僅有兩條斜率為g的切線

39.（2024?黑龍江哈爾濱?二模）點(diǎn)〃（劉丹）在函數(shù)y=e'的圖象上，當(dāng)石目0,1）,則造可能等于（）

A.-1B.-2C.-3D.0

三、填空題

40.（2024高三上?黑龍江七臺(tái)河?期中）設(shè)函數(shù)〃x）=I,、F〉。，且〃-2）=3,/（-1）=/（1）,則了。）的

解析式為.

2Xr>0

41.（2024?上海?模擬預(yù)測(cè)）已知〃無）=,'八，則"可的值域是____;

l,x<0

42.（2024?全國?模擬預(yù)測(cè)）使函數(shù)/（尤）=--4的值域?yàn)椤?8）的一個(gè)a的值為.

43.（2024?山東）已知函數(shù)/（尤）=優(yōu)+伙。>0,"1）的定義域和值域都是［T,0］,則a+Z>=.

44.（2024?海南?模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)〃無）=萬工的定義域?yàn)椋?,+oo）,則。=.

45.（2024高三?全國?對(duì)口高考）函數(shù)y="+J2（。>0,aw1）的圖象恒過定點(diǎn)A,若點(diǎn)A在直線mx+ny+l=0

12

上，其中祖、n>0,則—的最小值為.

mn

46.（2024高三?全國?專題練習(xí)）已知函數(shù)y=+3（。>0,a工1）過定點(diǎn)尸，如果點(diǎn)尸是函數(shù)/（%）=f+,+。

的頂點(diǎn)，那么久。的值分別為

47.（2024高二下?河北石家莊?期中）若曲線|y|=2*+1與直線y=b沒有公共點(diǎn)，則b的取值范圍為.

、.,,1（3a—1）X+2-2Q,x>1人一

48.（2024高三上?上海徐匯,開學(xué)考試）已知函數(shù)/（%）=21滿足對(duì)于任意再W%，都有

［2儂，尤<1-

〃占）一/（%）>0成立,貝qa的取值范圍為

百一%

49.（2024高三?全國?專題練習(xí)）函數(shù)〃x）=gy3+5的單調(diào)遞減區(qū)間為

50.（2024?福建）若函數(shù)/（x）=2卜叫aeR）滿足“l(fā)+x）=/（l-x）,且/⑴在［%用）單調(diào)遞增,則實(shí)數(shù)加的

最小值等于.

51.（2024?江蘇）若3"=0.618,ae及水+l）,%eZ,則％=.

52.（2024?山東）若函數(shù)/（尤）=優(yōu)（°>0,。#1）在［—1,2］上的最大值為4,最小值為m,且函數(shù)

g（x）=（l-4M五在0+8）上是增函數(shù)，則a=.

53.⑵24高二下?江蘇蘇州?階段練習(xí)）函數(shù)/戶的定義域?yàn)?/p>

54.（2024?上海楊浦?模擬預(yù)測(cè)）若函數(shù)丁=/（尤）為偶函數(shù)，且當(dāng)x<0時(shí)，/（x）=2，-l,貝U/（D=

55.（2024?上海金山?一模）若x>0時(shí)，指數(shù)函數(shù)y=（信一3）'的值總大于1,則實(shí)數(shù)m的取值范圍是.

56.（2024高三上?山西運(yùn)城,階段練習(xí)）已知函數(shù)/吊）=7+；e-是奇函數(shù)，貝""?

57.（2024高一上?重慶渝中?期中）已知函數(shù)的定義域?yàn)閇0,2],則函數(shù)g（無）=〃2尤）+（尤-1）°的定義域

為.（用區(qū)間或集合作答）

58.（2024?福建廈門?一模）若函數(shù)的值域?yàn)椋?』，且滿足〃x+l）=〃lr）,則〃x）的解析式可以

是/（%）=.

59.（2024高三下?河北?階段練習(xí)）在4°2,0.142,25!13,10°」5這4個(gè)數(shù)中，最小的是,最大的是

60.（2024?河北邯鄲?一模）不等式10'-6'-3珪1的解集為.

61.（2024高三?全國?專題練習(xí)）已知函數(shù)/（*=優(yōu)（。>0,awl）在[1,2]內(nèi)的最大值是最小值的兩倍，且

/(x)+l,x>l,貝Ug\)+g(2)=

g(x)=

log3x-l,0<x<l

62.（2024?上海浦東新?模擬預(yù)測(cè)）設(shè)/（x）=x[J—+1].若函數(shù)y=〃x）的定義域?yàn)椋‵』）U（L"）,則

I2—dZJ

關(guān)于X的不等式/>/（?）的解集為.

63.（2024高三?全國?專題練習(xí)）已知函數(shù)/（x）=6+百金（。>0）的圖象關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱，則

a+b=.

64.（2024?湖北武漢?模擬預(yù)測(cè)）已知實(shí)數(shù)。，6滿足4。+2a=3,log2^71+=-,則0+56=

四、解答題

65.（2024高一■全國■課后作業(yè)）已知函數(shù)/U）=（/+a—5）ar是指數(shù)函數(shù).

（1）求/W的表達(dá)式；

（2）判斷內(nèi)x）=/（x）—八一尤）的奇偶性，并加以證明.

66.（2004?北京）當(dāng)0<°<1時(shí)，解關(guān)于X的不等式：歷<人,

67.（2024高一上?海南?？?階段練習(xí)）已知函數(shù)=

(1)若/(x)=2,求x的值;

（2）若2"（2/）+對(duì)⑺20對(duì)于/目1,4恒成立，求實(shí)數(shù)小的取值范圍.

2

z1xar-4x+3

68.（2024高一上?河北保定?期中）已知函數(shù)〃x）=；

⑴若a=T,求〃尤）的單調(diào)區(qū)間

（2）若外力有最大值3,求。的值

⑶若〃尤）的值域是（。，+助，求。的值

69.（2024?上海虹口?二模）已知函數(shù)“同二!^是定義域?yàn)镽的奇函數(shù).

⑴求實(shí)數(shù)6的值，并證明在R上單調(diào)遞增；

（2）已知。＞0且awl,若對(duì)于任意的毛、^e[l,3],都有寸恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

專題06指數(shù)與指數(shù)函數(shù)5題型分類

彩題如工總

題型1：指數(shù)運(yùn)算及指數(shù)方程、指數(shù)不等式

題型5：指數(shù)函數(shù)中的恒成立問題

題型2：求指數(shù)函數(shù)的定義域、值域

專題06指數(shù)與指數(shù)函數(shù)5

題型分類

題型4：指數(shù)函數(shù)單調(diào)性及應(yīng)用

題型3：指數(shù)函數(shù)圖象及其應(yīng)用

彩先祗寶庫

1、指數(shù)及指數(shù)運(yùn)算

（1）根式的定義：

一般地，如果無"="，那么尤叫做。的"次方根，其中（〃>1,〃wN*）,記為標(biāo)，〃稱為根指數(shù)，。稱為根

底數(shù).

（2）根式的性質(zhì)：

當(dāng)”為奇數(shù)時(shí)，正數(shù)的〃次方根是一個(gè)正數(shù)，負(fù)數(shù)的〃次方根是一個(gè)負(fù)數(shù).

當(dāng)”為偶數(shù)時(shí)，正數(shù)的〃次方根有兩個(gè)，它們互為相反數(shù).

（3）指數(shù)的概念：指數(shù)是嘉運(yùn)算屋（a/0）中的一個(gè)參數(shù)，。為底數(shù)，〃為指數(shù)，指數(shù)位于底數(shù)的右上角，累

運(yùn)算表示指數(shù)個(gè)底數(shù)相乘.

（4）有理數(shù)指數(shù)累的分類

〃個(gè)

①正整數(shù)指數(shù)幕a，，="K^…*）；②零指數(shù)累。。=1（。*°）；

③負(fù)整數(shù)指數(shù)哥或"=5（"片°，"eN*）；④0的正分?jǐn)?shù)指數(shù)幕等于0,0的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)事沒有意義.

（5）有理數(shù)指數(shù)幕的性質(zhì)

①a"'a"=a"+"（a>0,m,〃e。）；②（。"'）"=>0,m,〃e。）；

③=a'"〃"（o>0,b>0,機(jī)eQ）；④9=/g>o，m,neQ）.

2、指數(shù)函數(shù)

y=ax

0<tz<la>l

圖象

-^1~1%

~o\~1?x

①定義域R,值域（。，+8）

②0。=1,即時(shí)x=o,y=l,圖象都經(jīng)過（0，1）點(diǎn)

③罐="，即x=l時(shí)，y等于底數(shù)a

性質(zhì)

④在定義域上是單調(diào)減函數(shù)在定義域上是單調(diào)增函數(shù)

⑤％<0時(shí)，ax>1;x>0時(shí)，0<優(yōu)<1xvO時(shí)，0<優(yōu)<1；%>0時(shí)，ax>1

⑥既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù)

彩儺甄祕(mì)籍

（一）

指數(shù)運(yùn)算及指數(shù)方程、指數(shù)不等式

利用指數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)解題.對(duì)于形如〃3=6,afM>b,一。<6的形式常用"化同底"轉(zhuǎn)化，再利用指數(shù)函

數(shù)單調(diào)性解決；或用“取對(duì)數(shù)"的方法求解.形如+3優(yōu)+。=0或8優(yōu)+C厘）（0）的形式，可借助換

元法轉(zhuǎn)化二次方程或二次不等式求解.

題型1：指數(shù)運(yùn)算及指數(shù)方程、指數(shù)不等式

（耳+3

1-1.（2024高三下?湖南?階段練習(xí)）—=（）

A.9B.-C.3D.—

99

【答案】B

【分析】利用指數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)可求得所求代數(shù)式的值.

故選：B.

1-2.（2024高一?全國,單元測(cè)試）下列結(jié)論中，正確的是（）

43.—

A.設(shè)。＞°，貝1］層./=aB.若W=2,則加=±啦

C.若a+/=3,則D.也2一小2一萬

【答案】B

【分析】根據(jù)分式指數(shù)幕及根式的運(yùn)算法則，正確運(yùn)算，即可判斷出正誤.

【詳解】對(duì)于A,根據(jù)分式指數(shù)基的運(yùn)算法則，可得/選項(xiàng)A錯(cuò)誤；

對(duì)于B,m8=2,故機(jī)=±V5，選項(xiàng)B正確；

對(duì)于C，a+^-=3,儲(chǔ)+〃—=Q+Q-I+2=3+2=5，因?yàn)椤＃?，所以〃萬+〃一e=0，選項(xiàng)C錯(cuò)誤;

對(duì)于D,認(rèn)2-7）=|2-同="一2,選項(xiàng)D錯(cuò)誤.

故選：B.

3

13（2024高一上?山西晉城?期中）+J（2-7r）2+（23px^4

A.兀B.2+兀C.4—71D.6-71

【答案】B

【分析】直接利用指數(shù)幕的運(yùn)算性質(zhì)計(jì)算即可.

_0513

【詳解】用+J（2f+（2戶［I.仔）=髀一2+4亭:

2+兀?

故選：B

1-4.（2024?江西）已知函數(shù)（?；豏）,若〃/（-1））=1,則。二()

［2一*,尤＜0

11

A.—B.-C.1D.2

42

【答案】A

【分析】先求出了(T)的值，再求八八-1))的值，然后列方程可求得答案

【詳解】解：由題意得/(-1)=2?)=2,

所以/(/(-D)=/(2)=a-22=4?=l,解得a=；.

故選:A

【點(diǎn)睛】此題考查分段函數(shù)求值問題，屬于基礎(chǔ)題

1-5.(2024?陜西榆林?一模)己知函數(shù)〃尤)=若/(a)+/⑴=0,則實(shí)數(shù)。=()

|^x+l,x<0

A.-3B.-1C.1D.3

【答案】A

【分析】先求出/⑴=2,從而/(〃)=-2,對(duì)a>0,々WO討論，分別代入分段函數(shù)即可求出實(shí)數(shù)。的值.

【詳解】回函數(shù)〃尤)=「2%二r>0C，

.?■/(1)=21=2,

■.?/(?)+/(1)=0,

/(a)=-2,

當(dāng)a>0時(shí)，/(a)=20=-2,

方程2〃=-2無解，即滿足條件的。不存在，

當(dāng)aWO時(shí)，/(a)=a+l=-2,解得“=-3.

團(tuán)a=—3.

故選：A.

彩健甄祕(mì)籍

指數(shù)函數(shù)的圖像及性質(zhì)

1.函數(shù)圖象的辨識(shí)可從以下方面入手：

⑴從函數(shù)的定義域，判斷圖象的左右位置；從函數(shù)的值域，判斷圖象的上下位置.

(2)從函數(shù)的單調(diào)性，判斷圖象的變化趨勢(shì)；

⑶從函數(shù)的奇偶性，判斷圖象的對(duì)稱性；

⑷從函數(shù)的特征點(diǎn)，排除不合要求的圖象.

2.解決指數(shù)函數(shù)有關(guān)問題，思路是從它們的圖像與性質(zhì)考慮，按照數(shù)形結(jié)合的思路分析，從圖像與性質(zhì)找到

解題的突破口，但要注意底數(shù)對(duì)問題的影響.

題型2:求指數(shù)函數(shù)的定義域、值域

2-1.（2024高一上?河南平頂山,階段練習(xí)）函數(shù)〃尤）=在二1+"-2）°的定義域?yàn)?

【答案】［0,2）U（2,4W）

【分析】根據(jù)已知條件可得出關(guān)于x的不等式組，由此可解得函數(shù)/（尤）的定義域.

2X_1>Q

_~，解得xNO且元力2.

{x20

因此，函數(shù)〃力=亞口+（無-2）°的定義域?yàn)椋?,2）U（2,y）.

故答案為：［0,2）U（2,+8）.

2-2.（2024高一上?河南平頂山?階段練習(xí)）函數(shù)〃"=9'-4、3'+9的值域?yàn)?

【答案】［5,討）.

【分析】利用換元法結(jié)合二次函數(shù)求值域即可.

【詳解】設(shè)仁3，>0,則〃”=（342-43+9,

換兀得g（/）=I?—4/+9=（?-2）+5,t>0,

顯然當(dāng)［=2時(shí)，函數(shù)g⑺取到最小值g（0=5,

所以函數(shù)〃"=9'-4><3*+9的值域?yàn)椋?,E）.

故答案為：［5,+8）.

23（2024高一上?浙江杭州?期中）已知f（x）=j3x2+2"f_i的定義域?yàn)镽,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是.

【答案】卜1,0］

【分析】把/（x）=-1的定義域?yàn)镽轉(zhuǎn)化為3,+2"-1-12。對(duì)任意酒區(qū)恒成立,即x?+2辦-對(duì)

任意X0R恒成立，再由判別式小于等于0求解.

【詳解】財(cái)(X)=也?+2以-。-1的定義域?yàn)镽，

團(tuán)3-2曲-1_i2。對(duì)任意A13R恒成立，

即3工2+25-“21=30恒成立，

即x^+lax-a>0對(duì)任意xER恒成立，

0E=4672+4f7<O,則-l<a<0.

故答案為[-1，0].

【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的定義域及其求法，考查數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，是中檔題.

2-4.(2024?寧夏銀川?二模)已知函數(shù)/(力=4-2*+2-1,xe[0,3],則其值域?yàn)?

【答案】卜5,31]

【分析】令f=21將問題轉(zhuǎn)化為求二次函數(shù)在區(qū)間[L8]上的值域問題，結(jié)合二次函數(shù)單調(diào)性，即可求解.

【詳解】令f=23Exe[0,3],01<z<8,

Sg(t)=t2-4t-1=(,t-2)2-5,re[1,8]

又y=g⑺關(guān)于/=2對(duì)稱，開口向上，所以g⑺在[1,2)上單調(diào)遞減，在(2,8]上單調(diào)遞增，H|8-2|>|2-1|,

1=2時(shí)，函數(shù)取得最小值，即g(rL=-5,r=8時(shí)，函數(shù)取得最大值，即8(。1^=31,

."./(X)G[-5,31].

故答案為：[-5,31].

2X,x<m

25(2024高一上?上海閔行?期末)已知函數(shù)丁二228的值域?yàn)?-8,2"],則實(shí)數(shù)加的取值范

—x—，x>m—

I33

圍是?

【答案】[1,2)

【分析】分別討論當(dāng)xW機(jī)時(shí)，〃x)=2*的值域和當(dāng)x>加時(shí)，g⑺一#+]的值域，根據(jù)分段函數(shù)的值

域取二者的并集，結(jié)合集合的并集運(yùn)算即可求解.

【詳解】當(dāng)xV加時(shí)，y=/(x)=2，在(3,向上單調(diào)遞增,

m

所以尤4根時(shí)，j=/(x)e(0,2];

2Q

當(dāng)X>加時(shí)，y=g^x)=-=-Xi+-,

①若根<0,則g（x）在（m。）上單調(diào)遞增，在（0,+8）上單調(diào)遞減，

則時(shí)，g（x）<g（o）=-,即〃?<0時(shí)，y=g（尤）e[-co,§,

Q

又根<0時(shí)，2根<2°=1<—,

3

2X,x<mz-

此時(shí)，函數(shù)y=228的值域?yàn)?8,二,不滿足題意，舍去;

—x—fx>mV3_

I33-

2",x<0

②當(dāng)m=0時(shí)，函數(shù)y=<228此時(shí)值域?yàn)?8,1,不滿足題意，舍去;

—x-\—,x>0

③當(dāng)相>0時(shí)，g（x）在（肛內(nèi)）上單調(diào)遞減,

28

則尤,根時(shí)，g(x)vg(m)=_]療+§,即機(jī)>0時(shí)，y=g(%)

I33

2",x<m

因?yàn)楹瘮?shù)丁二228的值域?yàn)?F,2%],

——x+—,x>m

[33

又XV初時(shí),y=〃x)e(