421等差數(shù)列的概念（精講）-2021-2022學(xué)年高二數(shù)學(xué)（人教A版2019選擇性）

4.2.1等差數(shù)列的概念（精講）一、知識(shí)導(dǎo)圖：二、常見考點(diǎn)：1、等差數(shù)列的概念一般地,如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起,每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差等于同一個(gè)常數(shù),那么這個(gè)數(shù)列就叫做等差數(shù)列,這個(gè)常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差,通常用字母d表示．2、等差數(shù)列的四種判斷方法(1)定義法（或者）(是常數(shù))是等差數(shù)列．(2)等差中項(xiàng)法：()是等差數(shù)列．(3)通項(xiàng)公式：(為常數(shù))是等差數(shù)列．（可以看做關(guān)于的一次函數(shù)）(4)前項(xiàng)和公式：(為常數(shù))是等差數(shù)列．(可以看做關(guān)于的二次函數(shù)，但是不含常數(shù)項(xiàng)）提醒;證明一個(gè)數(shù)列是等差數(shù)列,只能用方法(1)(2)3、若等差數(shù)列的公差為d,則時(shí)遞增；時(shí)遞減；時(shí)是常數(shù)數(shù)列.4、對(duì)于任意數(shù)列，為遞增數(shù)列；（時(shí)，數(shù)列嚴(yán)格遞增）為遞減數(shù)列；（時(shí)，數(shù)列嚴(yán)格遞減）考法一:等差數(shù)列及其通項(xiàng)公式1．2000是等差數(shù)列4，6，8，…的（）A．第998項(xiàng) B．第999項(xiàng) C．第1001項(xiàng) D．第1000項(xiàng)【答案】B數(shù)列4，6，8，…的通項(xiàng)公式為，.則2n＋2＝2000.解得n＝999.故選：B.2．若數(shù)列滿足，則數(shù)列（）A．是公差為1的等差數(shù)列 B．是公差為的等差數(shù)列C．是公差為的等差數(shù)列 D．不是等差數(shù)列【答案】B由，得，即，所以數(shù)列是公差為的等差數(shù)列．故選：B.3．已知數(shù)列中，，，則等于（）A．12 B．12 C．16 D．16【答案】A解：數(shù)列中，，，即，所以數(shù)列為等差數(shù)列，公差為，所以，所以．故選：A．4．在數(shù)列中，，，則的值為（）A．52 B．51 C．50 D．49【答案】A由題意，數(shù)列滿足，即，又由，所以數(shù)列為首項(xiàng)為2，公差為的等差數(shù)列，所以.故選：A．5．已知等差數(shù)列{}，，則公差d的值是（）A．4 B．6 C．8 D．10【答案】A在等差數(shù)列{}中，公差故選：A6．?dāng)?shù)列{}的前4項(xiàng)依次是20，11，2，7，{}的一個(gè)通項(xiàng)公式是（）A． B． C． D．【答案】B由已知可看出數(shù)列{}為等差數(shù)列，首項(xiàng)為20，公差為9，由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可得.故選：B7．若數(shù)列滿足，，則當(dāng)時(shí)，的值是（）A．679 B．680 C．681 D．690【答案】C∵，，∴是以19為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列，則．則，解得．故選：C.8．已知數(shù)列中，且，則（）A． B． C．1 D．2【答案】A由，得，則數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列，則，所以，則．故選：A.考法二:等差中項(xiàng)一、單選題1．已知和的等差中項(xiàng)是4，和的等差中項(xiàng)是5，則和的等差中項(xiàng)是（）A．8 B．6 C． D．3【答案】D∵，，∴，∴，∴和的等差中項(xiàng)是．故選：D.2．與的等差中項(xiàng)是（）A． B．C． D．【答案】B解：設(shè)2與8的等差中項(xiàng)是，則，解得．故選：B．3．在等差數(shù)列中，已知，則（）A．4 B．6 C．8 D．10【答案】D由得，所以，所以.故選：D4．在等差數(shù)列的中，若，則等于（）A．25 B．11 C．10 D．9【答案】D因?yàn)椋?，故選：D．5．若成等比數(shù)列，是的等差中項(xiàng)，是的等差中項(xiàng)，則________【答案】2由題意可知，，，所以，.故答案為：26．在數(shù)列中，，且，，（1）求的通項(xiàng)公式【答案】（1）；（1）因?yàn)?，所以，所以?shù)列為等差數(shù)列，設(shè)首項(xiàng)為，公差為，則，解得，所以；考法三:等差數(shù)列的性質(zhì)1．在等差數(shù)列{an}中，a1＋a4＋a7＝58，a2＋a5＋a8＝44，則a3＋a6＋a9的值為（）A．30 B．27 C．24 D．21【答案】A設(shè)b1＝a1＋a4＋a7＝58，b2＝a2＋a5＋a8＝44，b3＝a3＋a6＋a9.因?yàn)閧an}是等差數(shù)列，所以b1，b2，b3也是等差數(shù)列，得b1＋b3＝2b2，所以b3＝2b2－b1＝2×44－58＝30，即a3＋a6＋a9＝30.故選：A2．在等差數(shù)列{an}中，a3＋a5＝10，則a1＋a7等于（）A．5 B．8 C．10 D．14【答案】Ca1＋a7＝a3＋a5＝10.故選：C3．在等差數(shù)列中，已知，則該數(shù)列第項(xiàng)（）A． B． C． D．【答案】B因?yàn)閿?shù)列是等差數(shù)列，由等差數(shù)列的性質(zhì)得，所以.故選：B4．在中，角，，成等差數(shù)列，則等于（）A． B． C． D．【答案】C因?yàn)榻牵?，成等差?shù)列，所以，所以，，所以．故選：C．5．給定81個(gè)數(shù)排成數(shù)陣如下圖所示，若每一行，每一列都構(gòu)成等差數(shù)列，且正中間一個(gè)數(shù)a55＝5，則此數(shù)陣中所有數(shù)之和為__________．【答案】依題意：，，……所以.故答案為：6．已知等差數(shù)列{????}，若，則__________________.【答案】7∵，∴，.故答案為：77．在等差數(shù)列{an}中，若a2＋a3＋a4＋a5＝34，且a2·a5＝52．求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an．【答案】an＝3n－2或an＝－3n＋19．詳解：∵數(shù)列{an}是等差數(shù)列，∴a2＋a3＋a4＋a5＝2(a2＋a5)＝34，∴或，∴an＝3n－2或an＝－3n＋19．考法四：等差數(shù)列單調(diào)性1．命題：①若等差數(shù)列的公差，則；②若等比數(shù)列的首項(xiàng)，公比，則.則下列判斷正確的是（）A．①真，②假 B．①假，②真 C．都真 D．都假【答案】A解：①：等差數(shù)列的公差，則所以①是真命題.②：等比數(shù)列的首項(xiàng)，公比，數(shù)列為遞減數(shù)列，，所以②為假命題.故選：A.2．設(shè)是等差數(shù)列，則“”是“數(shù)列是遞增數(shù)列”的（）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】C在是等差數(shù)列，若，可得，所以數(shù)列是遞增數(shù)列，即充分性成立；若數(shù)列是遞增數(shù)列，則必有，即必要性成立，所以“”是“數(shù)列是遞增數(shù)列”的充分必要條件.故選：C.3．在數(shù)列中，，對(duì)任意的正整數(shù)，都有恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】由題,對(duì)任意的正整數(shù),都有恒成立,,即恒成立,對(duì)任意的正整數(shù)恒成立,,即考法五：等差數(shù)列中最大（?。╉?xiàng)1．在數(shù)列中，，則的最大值為A． B． C． D．【答案】A，當(dāng)或時(shí)，最大，所以，故本題選A.2．在首項(xiàng)為