第16講組合圖形的周長與面積（解析）

基礎(chǔ)版（通用）20222023學(xué)年小升初數(shù)學(xué)精講精練專題匯編講義第16講組合圖形的周長與面積知識(shí)精講知識(shí)精講知識(shí)點(diǎn)一：平面圖形的周長和面積計(jì)算公式一覽表名稱圖形字母意義[來源:Zxxk.Com]計(jì)算公式（S表示面積，C表示周長）注意要領(lǐng)長方形表示長表示寬周長=（長+寬）×2C=（）×2面積=長×寬S=1求不規(guī)則的四邊形的周長時(shí)，可以用平移的方法，把它變成基本圖形，再利用周長公式來計(jì)算。2.要求平行四邊形的面積，必須先知道平行四邊形的一組底和高。3.半圓的面積是圓面積的一半，但半圓的周長不等于圓周長的一半。正方形表示邊長周長=邊長×4C=4a面積=邊長×邊長S=平行四邊形表示底h表示高面積=底×高S=三角形表示底h表示高面積=底×高÷2S=梯形表示上底表示下底表示高面積=（上底+下底）×高÷2S=圓表示半徑表示直徑π表示圓周率周長=直徑×圓周率=半徑×圓周率×2C=面積=π×半徑2S=圓環(huán)表示小圓半徑R表示大圓半徑圓環(huán)面積=大圓面積小圓面積扇形表示半徑表示圓心角知識(shí)點(diǎn)二：組合圖形的周長和面積實(shí)際問題中，有些圖形不是以基本圖形的形狀出現(xiàn)，而是由一些基本圖形組合、拼湊成的，它們的面積及周長無法應(yīng)用公式直接計(jì)算.一般我們稱這樣的圖形為不規(guī)則圖形那么，不規(guī)則圖形的面積及周長怎樣去計(jì)算呢？我們可以針對(duì)這些圖形通過實(shí)施平移、旋轉(zhuǎn)、割補(bǔ)、等量代換等方法將它們轉(zhuǎn)化為基本圖形的和、差關(guān)系，問題就能解決了.提高達(dá)標(biāo)百分練提高達(dá)標(biāo)百分練一、精挑細(xì)選(共5題；每題1分，共5分)1．（1分）計(jì)算下面圖形的周長的正確算式是（）。A．3.14×4+42 B．3.14×4+4×3 C．3.14×4÷2+4×3【答案】C【規(guī)范解答】解：計(jì)算下面圖形的周長的正確算式是3.14×4÷2+4×3。

故答案為：C。

【思路點(diǎn)撥】π×直徑÷2=圓周長的一半，正方形的邊長×3=正方形的3邊之和，圓周長的一半+正方形的3邊之和=圖形的周長。2．（1分）（2021六上·福田期末）如果圖A與圖B是兩個(gè)邊長相等的正方形，那么圖A和圖B的陰影部分的周長和面積相比較，它們的（）。A．周長、面積都相等 B．面積、周長都不相等C．周長相等、面積不相等 D．面積相等、周長不相等【答案】D【規(guī)范解答】解：圖A陰影部分的周長=正方形的周長＋圓的周長；

面積=正方形的面積圓的面積；

圖B陰影部分的周長=圓的周長；

面積=正方形的面積圓的面積。

故答案為：D?！舅悸伏c(diǎn)撥】圖A和圖B的陰影部分的周長和面積相比較，它們的面積相等、周長不相等。3．（1分）（2020六上·賽罕期末）下列各圖形中陰影部分的周長最大的是（）。（單位：cm）A．B．C．【答案】B【規(guī)范解答】解：A：3.14×8÷2=12.56（厘米）

B：3.14×（3+5）÷2+3.14×3÷2+3.14×5÷2=12.56+4.71+7.85=25.12（厘米）

C：3.14×8÷2+8=12.56+8=20.56（厘米）

故答案為：B?！舅悸伏c(diǎn)撥】A：陰影部分的周長=直徑是8厘米的圓的周長的一半；

B：陰影部分的周長=直徑是8厘米的圓的周長的一半+直徑是3厘米的圓的周長的一半+直徑是5厘米的圓的周長的一半；

C：陰影部分的周長=直徑是8厘米的圓的周長的一半+直徑。4．（1分）（2021六上·微山期末）我國古代建筑中常用到“外圓內(nèi)方”的圖案，下圖中圓的直徑是20厘米，正方形的面積是多少？列式正確的是（）。A．20×20B．20×（20÷2）÷2C．20×（20÷2）÷2×2【答案】C【規(guī)范解答】圓的直徑是20厘米，圓的直徑把正方形分成兩個(gè)完全一樣的直角三角形；正方形的面積是：20×（20÷2）÷2×2。

故答案為：C

【思路點(diǎn)撥】圓的直徑是20厘米，圓的直徑把正方形分成兩個(gè)完全一樣的直角三角形；直角三角形的底是20厘米，高是10厘米，三角形的面積是：20×10÷2；正方形的面積是：20×10÷2×2。5．（1分）（2021六上·溫江期末）如圖，大圓內(nèi)有3個(gè)大小不等的小圓，這四個(gè)圓的圓心都在同一直線上，若大圓的直徑是5厘米，則三個(gè)小圓的周長之和是（）厘米.A．7.85 B．15.7 C．31.4 D．78.5【答案】B【規(guī)范解答】解：3.14×5=15.7（厘米）

故答案為：B。

【思路點(diǎn)撥】圓的直徑=π×直徑，因?yàn)榇髨A內(nèi)3個(gè)圓的直徑等于大圓的直徑，所以這三個(gè)小圓的周長之和等于大圓的周長。二、仔細(xì)想，認(rèn)真填(共8題；每空1分，共9分)6．（1分）（2022六下·巧家期中）請(qǐng)算出下面面圖形的面積是cm2?！敬鸢浮?0【規(guī)范解答】解：10×5=50cm2，所以圖形的面積是50cm2。

故答案為：50?！舅悸伏c(diǎn)撥】從圖中可以看出，將這個(gè)圖形左邊的半圓平移到右邊，剛好得到一個(gè)長方形，這個(gè)長方形的面積=長×寬。7．（2分）（2020六上·合山期末）一個(gè)半圓，它的半徑是r，它的直徑是，周長是。【答案】2r；πr+2r或5.14r【規(guī)范解答】解：直徑=r×2=2r；

周長=π×2r÷2+2r

=2πr÷2+2r

=πr+2r。

故答案為：2r；πr+2r。

【思路點(diǎn)撥】直徑=半徑×2；半圓的周長=圓的周長（π×圓的直徑）÷2+直徑，代入數(shù)值計(jì)算即可。8．（1分）（2020六上·賽罕期末）如圖所示，圓的直徑20cm，陰影部分的面積是cm2?！敬鸢浮?14【規(guī)范解答】解：20÷2=10（厘米）

1.14×10×10=114（平方厘米）

故答案為：114?！舅悸伏c(diǎn)撥】外圓內(nèi)方：正方形和圓之間的面積=1.14×半徑的平方。9．（1分）（2020六上·福田月考）如圖，半圓的半徑是2分米，則封閉圖形的周長為分米。【答案】16.56【規(guī)范解答】解：2×2×3.14+2×2=12.56+4=16.56分米，所以封閉圖形的周長為16.56分米。

故答案為：16.56。

【思路點(diǎn)撥】從圖中可以看出，這個(gè)封閉圖形的周長=一個(gè)整圓的周長+半徑×2，其中圓的周長=2πr，據(jù)此代入數(shù)據(jù)作答即可。10．（1分）（2020·海安模擬）如圖，在一大一小兩個(gè)正方形拼成的圖形中，陰影部分的面積是50平方厘米，則小正方形的面積是平方厘米?！敬鸢浮?00【規(guī)范解答】50×2=100（平方厘米）

故答案為：100。

【思路點(diǎn)撥】據(jù)圖可得陰影部分是一個(gè)三角形，以小正方形的一個(gè)邊為底，三角形的高也等于小正方形的邊長；根據(jù)三角形的面積公式和正方形的面積公式，可知：小正方形的面積是陰影三角形面積的2倍。11．（1分）（2020·廣州模擬）下圖中三個(gè)正方形的邊長分別為10厘米、20厘米、30厘米，那么圖中陰影部分的面積是。【答案】600平方厘米【規(guī)范解答】解：（10+30）×（10+20+30）÷2（10+20）×10÷230×30÷2

=40×60÷230×10÷2450

=1200150450

=600（平方厘米）

故答案為：600平方厘米。

【思路點(diǎn)撥】陰影部分的面積可以看作是一個(gè)梯形面積減去梯形內(nèi)部空白部分兩個(gè)三角形的面積，根據(jù)公式結(jié)合圖中數(shù)據(jù)計(jì)算即可。12．（1分）（2020·龍華）下圖直角梯形中，陰影部分的面積是平方厘米?！敬鸢浮?5【規(guī)范解答】解：陰影部分的面積=（4+7）×4÷27×2÷2

=11×4÷214÷2

=227

=15（平方厘米）

故答案為：15。【思路點(diǎn)撥】陰影部分的面積=梯形的面積三角形的面積，梯形的面積=（上底+下底）×高÷2，三角形的面積=底×高÷2，代入數(shù)值計(jì)算即可。13．（1分）如圖，已知兩個(gè)圓的半徑都是2分米，兩個(gè)涂色部分的面積相等，則長方形的面積是平方分米?！敬鸢浮?.28【規(guī)范解答】長方形的面積=2××3.14×22兩圓相交部分陰影部分的面積+兩圓外陰影部分的面積

=×3.14×4

=6.28（平方分米）

所以長方形的面積是6.28平方分米。

故答案為：6.28。

【思路點(diǎn)撥】長方形的面積=兩個(gè)圓的面積之和兩圓相交部分陰影部分的面積+兩圓外陰影部分的面積，根據(jù)題意可得兩圓相交部分陰影部分的面積=兩圓外陰影部分的面積，即可得出長方形的面積。三、巧妙作圖(共2題；共15分)14．（6分）（2023六上·昌平期末）作圖題（1）（3分）下邊的圖案你會(huì)畫嗎？請(qǐng)你用圓規(guī)在空白正方形中畫一畫。（2）（3分）若圖中的正方形邊長是4厘米，請(qǐng)你計(jì)算陰影部分的面積是多少平方厘米？【答案】（1）解：

（2）解：圓的半徑=4÷2=2（厘米）

陰影部分的面積：4×43.14×2×2

=1612.56

=3.44（平方厘米）

答：陰影部分的面積是3.44平方厘米?！舅悸伏c(diǎn)撥】（1）以正方形的邊長除以2作為圓的半徑，以正方形的頂點(diǎn)作為圓心畫4個(gè)圓即可；（2）正方形面積圓的面積=陰影部分的面積。15．（9分）（2022·衡山）如圖中（一個(gè)小正方形的邊長是1厘米）（1）（3分）畫出正方形按2：1放大后的圖形。（2）（3分）在放大后的正方形內(nèi)畫一個(gè)最大的圓（剩下用陰影部分表示）。（3）（3分）計(jì)算出陰影部分的面積?！敬鸢浮浚?）（2）（3）解：8×8﹣3.14×42＝64﹣50.24＝13.76（平方厘米）【思路點(diǎn)撥】（1）根據(jù)題意，先數(shù)一數(shù)可知，原來正方形的邊長是4格，要求畫出正方形按2：1放大后的圖形，則放大后的正方形邊長是8格，據(jù)此作圖；

（2）根據(jù)題意可知，先連接正方形的對(duì)角線，對(duì)角線的交點(diǎn)是圓的圓心，以4格為半徑，在正方形內(nèi)畫圓，據(jù)此作圖；

（3）觀察圖可知，正方形的面積圓的面積=陰影部分的面積，據(jù)此列式解答。四、計(jì)算題(共4題；共17分)16．（4分）（2020·南關(guān)模擬）求圖中陰影部分的面積之和。（單位：cm）【答案】解：4×（4÷2）＝4×2＝8（平方厘米）答：陰影部分的面積之和為8平方厘米?！舅悸伏c(diǎn)撥】如圖：把下面的陰影部分分別移動(dòng)到紅色部分，則陰影部分的面積實(shí)際就是一個(gè)長方形的面積，長是4厘米，寬是2厘米，根據(jù)長方形面積公式計(jì)算陰影部分的總面積即可。

17．（4分）（2020·成都模擬）如圖，三角形ABC是等腰直角三角形，點(diǎn)D是半圓周的中點(diǎn)，BC是半圓的直徑，陰影部分的面積是多少？【答案】解：

故圖所示，延長AB，并過D點(diǎn)作BC的平行線，使他們交于一點(diǎn)E，

因?yàn)锽C=AB，所以BC=10，所以BE=DE=5

AB：AE=10：（10+5）=2：3

所以BF：ED=2：3，所以BF=，OF=

然后連接圓心和D點(diǎn)，

那么陰影部分的面積是10×÷2+×52×3.145×÷2=32.125。【思路點(diǎn)撥】如圖所示，先利用比例關(guān)系求出BF的值，進(jìn)而可以得到OF的值，那么陰影部分的面積=S△ABF+S圓OS△OFD。18．（4分）（2020·成都模擬）如圖，平行四邊形底是15厘米，底邊上的高是10厘米，四個(gè)圓的半徑是3厘米，圓心都在平行四邊形的頂點(diǎn)上，求平行四邊形內(nèi)空白部分的面積?！敬鸢浮拷猓?5×103.14×32

=15028.26

=121.74（平方厘米）

答：平行四邊形內(nèi)空白部分的面積是121.74平方厘米?！舅悸伏c(diǎn)撥】平行四邊形內(nèi)空白部分的面積=平行四邊形的面積（底×底邊上的高）半徑為3的圓的面積（π×半徑的平方），代入數(shù)值計(jì)算即可。19．（5分）如圖中四邊形ABCD、CEFG均為正方形．已知正方形ABCD的邊長是5厘米，連接BD、DF、BF．求三角形BDF的面積是多少平方厘米？【答案】解：如圖所示，連接CF，由分析可知陰影部分的面積：5×5÷2，=25÷2，=12.5（平方厘米）．答：陰影部分的面積是12.5平方厘米【思路點(diǎn)撥】如圖所示，連接CF，則三角形BCF與三角形DCF等底等高，所以它們的面積相等，再分別減去公共部分三角形CHF的面積，剩余部分的面積仍然相等，即三角形BCH與三角形DHF的面積相等，于是陰影部分的面積就變成了小正方形的面積的一半，小正方形的邊長已知，從而可以求出陰影部分的面積．解答此題的關(guān)鍵是作出合適的輔助線，將陰影部分的面積轉(zhuǎn)化成和小正方形的面積有關(guān)的圖形的面積．五、解答題(共10題；共54分)20．（5分）（2023六上·龍里期末）如圖，幸福小學(xué)操場的跑道由正方形的兩條對(duì)邊和兩個(gè)半圓組成，笑笑在操場上跑了4圈，一共跑了多少米？【答案】解：（3.14×50+50×2）×4=（157+100）×4=257×4=1028（米）答：一共跑了1028米?！舅悸伏c(diǎn)撥】一共跑的米數(shù)=（正方形的邊長×2＋圓的周長）×跑的圈數(shù)；其中，圓的周長=π×直徑。21．（5分）（2023六上·滄縣期末）求下面圖形陰影部分的面積和周長?！敬鸢浮拷猓好娣e：10×6=60（平方米）

周長：10×2＋3.14×6

=20＋18.84

=38.84（米）【思路點(diǎn)撥】通過平移后，陰影部分的面積=長方形的面積=長×寬；陰影部分的周長=長方形的長×2＋圓的周長；其中圓的周長=π×直徑。22．（5分）如下圖所示，園林工人要用繩子將一些半徑為10cm的圓木捆綁在一起，捆綁三根圓木至少需要多少厘米長的繩子？（接頭處忽略不計(jì)）【答案】解：3.14×10×2+10×2×3

=3.14×20+60

=62.8+60

=122.8（厘米）

答：捆綁三根圓木至少需要122.8厘米長的繩子?！舅悸伏c(diǎn)撥】觀察圖形可得至少需要繩子的長度=半徑是10cm的圓的周長+3條長度是（10×2）cm的線段的長度，圓的周長=π×圓的半徑×2，代入數(shù)值計(jì)算即可。23．（5分）下圖中點(diǎn)A，B，C分別是等邊三角形三條邊的中點(diǎn)。已知等邊三角形的邊長是12cm，陰影部分的周長是多少厘米？【答案】解：觀察圖形可得陰影部分的周長是三個(gè)圓心角是60°，半徑是6cm的弧的長度，即是一個(gè)半徑是6cm的圓周長的一半，即

3.14×（12÷2）×2÷2

=3.14×6

=18.84（cm）

答：陰影部分的周長是18.84cm?！舅悸伏c(diǎn)撥】觀察圖形可得出陰影部分的周長是三個(gè)圓心角是60°，半徑是6cm的弧的長度，將三個(gè)圓弧拼起來即可得出一個(gè)半徑是6cm的半圓，所以陰影部分的周長等于半徑是6cm的圓周長的一半，圓的周長=π×圓的直徑（半徑×2）÷2，計(jì)算即可得出答案。24．（7分）學(xué)校操場的平面圖如下：兩頭是半圓，中間是長方形。（1）（3分）學(xué)校田徑隊(duì)的教練要求隊(duì)員跑2000m，小明沿著跑道跑了5圈，他達(dá)到教練的要求了嗎？（2）（4分）學(xué)校要在操場內(nèi)鋪塑膠地面，每平方米塑膠需40元，一共要花多少錢？【答案】（1）解：（3.14×50+121.5×2）×5

=（157+243）×5

=400×5

=2000（米）

2000米=2000米

答：他達(dá)到教練的要求了。（2）解：[3.14×（50÷2）2+121.5×50]×40

=[3.14×252+6075]×40=[1962.5+6075]×40=8037.5×40=321500（元）答：一共要花321500元錢。【思路點(diǎn)撥】（1）小明沿著跑道跑5圈的長度=平均每圈的長度×5；其中，平均每圈的長度=圓的周長＋長方形的長×2，圓的周長=π×直徑；

（2）一共要花的錢數(shù)=單價(jià)×數(shù)量；其中，數(shù)量=長方形的面積＋圓的面積；其中，長方形的面積=長×寬，圓的面積=π×半徑2。25．（8分）求下面各圖形陰影部分的面積。（1）（4分）（2）（4分）【答案】（1）解：6×4.56×4.5÷2

=2727÷2

=2713.5

=13.5（m2）（2）解：42+22（4+2）×4÷2

=16＋46×4÷2

=16＋424÷2

=16＋412

=2012

=8（dm2）【思路點(diǎn)撥】（1）陰影部分的面積=長方形面積空白三角形的面積；其中，長方形的面積=長×寬，空白三角形的面積=底×高÷2；

（2）陰影部分的面積=大正方形面積＋小正方形面積空白三角形的面積；其中，正方形面積=邊長×邊長