第8講等式性質與不等式性質

第8講等式性質與不等式性質【知識點梳理】知識點一、符號法則與比較大小實數(shù)的符號：任意，則（為正數(shù)）、或（為負數(shù)）三種情況有且只有一種成立.兩實數(shù)的加、乘運算結果的符號具有以下符號性質：①兩個同號實數(shù)相加，和的符號不變符號語言：；②兩個同號實數(shù)相乘，積是正數(shù)符號語言：；③兩個異號實數(shù)相乘，積是負數(shù)符號語言：④任何實數(shù)的平方為非負數(shù)，0的平方為0符號語言：，.比較兩個實數(shù)大小的法則：對任意兩個實數(shù),①；②；③.對于任意實數(shù)、，，，三種關系有且只有一種成立.知識點詮釋：這三個式子實質是運用實數(shù)運算來比較兩個實數(shù)的大小關系.它是本章的基礎，也是證明不等式與解不等式的主要依據(jù).知識點二、不等式的性質不等式的性質可分為基本性質和運算性質兩部分基本性質有：(1)對稱性：(2)傳遞性：(3)可加性：(c∈R)(4)可乘性：a>b，運算性質有：(1)可加法則：(2)可乘法則：(3)可乘方性：知識點詮釋：不等式的性質是不等式同解變形的依據(jù).知識點三、比較兩代數(shù)式大小的方法作差法：任意兩個代數(shù)式、，可以作差后比較與0的關系，進一步比較與的大小.①；②；③.作商法：任意兩個值為正的代數(shù)式、，可以作商后比較與1的關系，進一步比較與的大小.①；②；③.中間量法：若且，則（實質是不等式的傳遞性）.一般選擇0或1為中間量.題型一：作差法比較兩數(shù)(式)的大小【例1】（2022·安徽·高一期中）已知，，，則的大小關系為（

）A． B． C． D．無法確定【答案】B【解析】【分析】作差可得xy的表達式，根據(jù)題意，分析可得xy的正負，即可得答案.【詳解】，因為，所以，又，所以，即.故選：B【例2】（2022·全國·高一課時練習）若，則下列不等式中一定成立的是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】根據(jù)不等式的性質，對選項逐一判斷【詳解】對于A，，因為，故，即，故A錯；對于B，不確定符號，取則，故B錯誤；對于C，，因為，故，即，故C正確；對于D，，因為，故，即，故D錯誤．故選：C【例2】（2023·全國·高三專題練習）已知，，，則，，的大小關系為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】通過作差法，，確定符號，排除D選項；通過作差法，，確定符號，排除C選項；通過作差法，，確定符號，排除A選項；【詳解】由，且，故；由且，故；且，故.所以，故選：B.【題型專練】1.（2021·河南·濮陽市油田第二高級中學高二階段練習（文））設，，，則P、Q的大小為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】利用作差法計算可得；【詳解】解：因為，，所以，所以；故選：A2.（2022·新疆克孜勒蘇·高一期中）已知，，則_______．（填“>”或“<”）【答案】<【解析】【分析】作差判斷正負即可比較.【詳解】因為，所以.故答案為：<.3.（2022·廣西·高一階段練習）（1）比較與的大??；（2）已知，求證：．【答案】（1）；（2）證明見解析.【解析】【分析】（1）求差法進行大小比較即可；（2）求差法去證明即可解決.【詳解】（1）由，可得．（2），∵，∴，，，∴，∴．4.（2022·全國·高一課時練習）已知，試比較的大小.【答案】【解析】【分析】應用作差法：，結合已知條件，即可確定大小關系.【詳解】∵∴，即.5.（2021·江蘇·高一單元測試）證明不等式：（1）設，求證：；（2）設，求證：.【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析.【分析】（1）利用作差法運算即可得證；（2）利用作差法運算即可得證.【詳解】證明：（1）因為，因為，所以，所以，所以；（2）因為，所以.題型二：作商法比較兩數(shù)(式)的大小【例1】（2021·全國·高一專題練習），則的大小關系為_______．【答案】≥【分析】用作商法比較的大小關系，化簡即可得結果.【詳解】因為，則由所以故答案為：【例2】（2017·上海市寶山區(qū)海濱中學高一期中）如果，，那么，，從小到大的順序是___________【答案】【分析】三個式子很明顯都是負數(shù)，所以可通過作商和1比較判斷大小?！驹斀狻恳驗槿齻€式子很明顯都是負數(shù)，所以，所以；同理，所以。綜上：故答案為：【點睛】此題考查比較大小，一般可以考慮作差，作商等方法進行比較，屬于簡單題目。【例3】（2023·全國·高三專題練習）設，比較與的大小【答案】【分析】利用兩個數(shù)都大于0,直接利用作商比較其大小即可.【詳解】，，.兩數(shù)作商，.【點睛】比較兩個數(shù)的大小主要有四種方法：（1）作差法；（2）作商法；【題型專練】1.（2022·全國·高一專題練習）已知：、，且，比較的大小.【答案】【分析】兩指數(shù)式比較大小，由指數(shù)式采用作商法，經(jīng)討論和1比較大小.【詳解】∵、，∴，作商：

（*）(1)若a>b>0，則，ab>0，，此時成立；(2)若b>a>0，則，ab<0，，此時成立.綜上，總成立.2.（2021·全國·高一課時練習）已知，求證：．【答案】見解析【分析】利用作商法得到等式，再判斷，，得到證明.【詳解】．，，，，，，．，同理得，，．又，．【點睛】本題考查了作商法證明不等式，意在考查學生的計算能力和推斷能力.3.（2021·全國·高一課時練習）已知，，試比較與的大??；【答案】（當且僅當時取等號）【分析】結合不等式的基本性質，應用作商比較進行運算，即可求解，得到答案.【詳解】方法一：由題意，因為，，所以，，，所以，當且僅當時等號成立，所以（當且僅當時取等號）.方法二：由，當且僅當時等號成立，所以（當且僅當時取等號）.【點睛】本題主要考查了不等式的性質的應用，其中解答中結合不等式的基本性質，熟練應用作商比較進行運算是解答的關鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎題.題型三：利用不等式的性質判斷命題真假【例1】（2023·全國·高三專題練習）如果，那么下列不等式成立的是（）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】由于，不妨令，，代入各個選項檢驗，只有正確，從而得出結論．【詳解】解：由于，不妨令，，可得，，故A不正確．可得，，，故B不正確．可得，，，故C不正確．故選：D．【例2】（2022·青海西寧·高一期末）如果，則正確的是（

）A．若a>b，則 B．若a>b，則C．若a>b，c>d，則a+c>b+d D．若a>b，c>d，則ac>bd【答案】C【解析】【分析】根據(jù)不等式的性質即可逐一求解.【詳解】對于A:取則，故A錯，對于B:若，則，故B錯誤，對于C:由同號可加性可知：a>b，c>d，則a+c>b+d，故C正確，對于D:若，則，，故D錯誤.故選：C【例3】（2022·四川成都·高一期末（理））已知實數(shù)a，b，c滿足，，那么下列選項中一定成立的是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】【分析】由已知可得，然后利用不等式的性質逐個分析判斷即可【詳解】因為實數(shù)a，b，c滿足，，所以，對于A，因為，所以，因為，所以，所以A錯誤，對于B，若，則，因為，所以，所以B錯誤，對于C，因為，所以，所以C正確，對于D，因為，所以，因為，所以，所以D錯誤，故選：C【例4】（2022·四川成都·高一期末（文））若a，b為實數(shù)，下列命題正確的是（

）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則【答案】D【解析】【分析】據(jù)特值可說明ABC不正確；根據(jù)不等式的性質可得D正確.【詳解】對于A，當時，滿足，不滿足，故A不正確；對于B，當時，滿足，不滿足，故B不正確；對于C，當時，滿足，不滿足，故C不正確；對于D，若，則，故D正確.故選：D.【例5】（2022·江蘇·鎮(zhèn)江市實驗高級中學高二期末多選題）若a，b，，則下列命題正確的是（

）A．若且，則 B．若，則C．若且，則 D．【答案】BCD【解析】【分析】由不等式的性質逐一判斷即可.【詳解】解：對于A，當時，結論不成立，故A錯誤；對于B，等價于，又，故成立，故B正確；對于C，因為且，所以等價于，即，成立，故C正確；對于D，等價于，成立，故D正確.故選：BCD.【題型專練】1.（2021·湖北黃石·高一期中）若，下列命題正確的是（

）A．若，則 B．，若，則C．若，則 D．，，若，則【答案】C【解析】【分析】利用特值法可判斷ABD，利用不等式的性質可判斷C.【詳解】對于A，當時，，故A錯誤；對于B，當時，，故B錯誤；對于C，若，則，故C正確；對于D，當時，，故D錯誤，故選：C.2.（2022·貴州·高二學業(yè)考試）已知，則下列不等關系中一定成立的是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】利用不等式的性質判斷A，利用特殊值判斷B、C、D；【詳解】解：因為，所以，故A正確；對于B：當時，故B錯誤；對于C：當，，顯然滿足，但是，故C錯誤；對于D：當，，顯然滿足，但是，故D錯誤；故選：A3.（2022·河南駐馬店·高二期末（理））若，且，則下列不等式一定成立的是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】【分析】對于ABD，舉例判斷，對于C，利用不等式的性質判斷即可【詳解】對于A，若，則滿足，此時，所以A錯誤，對于B，若，則滿足，而當時，則，所以B錯誤，對于C，因為，所以，因為，所以，所以C正確，對于D，若，則滿足，而當時，則，所以D錯誤，故選：C4.（2022·北京昌平·高二期末）已知，則下列大小關系正確的是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】【分析】結合不等式的性質以及差比較法確定正確答案.【詳解】為正數(shù)，為負數(shù)，所以，，，所以.故選：C5.（2022·北京海淀·高二期末）如果，那么下列不等式成立的是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】根據(jù)不等式的性質即可逐一判斷.【詳解】由可得：，,，故A，B，C錯誤,，故D正確.故選：D6.（2022·湖北·測試·編輯教研五高一階段練習（多選題））下列命題為真命題的是（

）A．若，則B．若，則C．若，則D．若，則【答案】ABC【解析】【分析】對于A：利用同向不等式相加，即可證明；對于B、C：利用不等式的可乘性可以證明；對于D：取特殊值即可否定結論.【詳解】對于A：因為，所以.因為，利用同向不等式相加，則有.故A正確；對于B：因為，所以，所以，對兩邊同乘以，則有.故B正確；對于C：因為，所以.因為，所以.對兩邊同乘以，有，所以.故C正確；對于D：取，滿足，但是，所以不成立.故D錯誤.故選：ABC7.（2023·全國·高三專題練習多選題）下列命題為真命題的是（

）A．若，，則 B．若，，則C．若，則 D．若，，則【答案】AD【解析】【分析】A．由不等式的性質判斷；B.舉例判斷；C.由判斷；D.作差判斷.【詳解】A．由不等式的性質可知同向不等式相加，不等式方向不變，故正確；B.當時，，故錯誤；C.當時，故錯誤；D.，因為，，，所以，故正確；故選：AD8.（2022·重慶巴蜀中學高三階段練習）下列命題正確的是（

）A．若，則 B．若且，則C．若，則 D．若，則【答案】BD【解析】【分析】A選項可舉出反例；BCD選項，可通過不等式的基本性質進行證明.【詳解】對選項A：可取，，，則滿足，但此時，所以選項A錯誤；對選項B：因為，所以若，則；若，則；所以選項B正確；對選項C：若，則，所以選項C錯誤；對選項D：若，所以；又因為，所以由同向同正可乘性得：，所以，所以選項D正確，故選：BD．題型四：利用不等式的性質證明不等式【例1】（2022·全國·高一課時練習），，，，設，證明：【答案】證明見解析【分析】通過湊配構造的方式，構造出新式子，且可以化簡為整數(shù)，然后利用放縮思想得到S的范圍.【詳解】解：，，，，，；，.【例2】（2021·全國·高一課時練習）已知，，，求證：(1)；(2).【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析【分析】（1）根據(jù)不等式的性質證明即可；（2）結合（1）和不等式的性質求解.(1)證明：因為，，所以，所以；(2)證明：由（1）得，又，所以.【例3】（2022·全國·高一課時練習）已知下列三個不等式：①，②，③，以其中兩個作為條件，余下一個作為結論，可組成幾個真命題？請證明你的結論.【答案】3個，證明見解析.【解析】【分析】先寫出組成的命題，然后結合不等式的性質進行證明.【詳解】可以組成3個真命題.（1）若，，則.證明：因為，，所以，即.（2）若，，則.證明：因為，，所以，即.（3）若，，則.證明：因為，，所以.【題型專練】1.（2022·湖南·高一課時練習）求證：(1)若，且，則；(2)若，且，同號，，則；(3)若，且，則．【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析(3)證明見解析【解析】【分析】（1）將變?yōu)?，利用不等式同向正值的可乘性，即可證明結論；（2）由以及，可得，再根據(jù)，同號，得，利用不等式同向正值的可乘性證明結論；（3）由可得，繼而可得,利用不等式的性質可得結論.(1)證明：因為，所以，又，故，即；(2)證明：因為，，所以，因為，同號，所以，，故，即，所以；(3)證明：因為，所以，又，所以，故.2.（2022·全國·高一專題練習）若，，，求證：【答案】證明見解析【分析】先根據(jù)不等式性質判斷的大小關系，然后結合不等式性質可判斷的大小關系，由此即可證明的大小關系.【詳解】證明：，．又，．則，即．又，．3.（2021·江蘇·高一專題練習）（1）設，，證明：；（2）設，，，證明：.【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析.【分析】（1）根據(jù)作差法證明即可；（2）由于，故，再結合（1）的結論易證.【詳解】證明：（1）因為，，所以，。所以，故得證；（2）由不等式的性質知，，所以，又因為根據(jù)（1）的結論可知，，所以.所以.4.（2022·全國·高一課時練習）若，則.(1)若存在常數(shù)，使得不等式對任意正數(shù)，恒成立，試求常數(shù)的值，并證明不等式：；(2)證明不等式：.【答案】(1)，證明見解析；(2)證明見解析.【解析】【分析】(1)令即可求解，利用不等式性質即可證明不等式；(2)從原不等式入手，對原不等式變形，通過分類討論與之間的大小關系即可證明.【詳解】證明：(1)當時，，故，由，且，利用不等式性質可得，；(2)欲證，只需證明，即，①當時，顯然不等式成立，②當時，不妨令，即，故，由于，顯然成立，故原不等式成立；同理，當時，原不等式也成立.綜上所述，對于任意，，均成立.題型五：利用不等式的性質比較大小【例1】（2022·內蒙古·赤峰二中高一階段練習（理））下列命題正確的是（

）A．若，則B．若，則C．若，則D．若，則【答案】D【解析】【分析】由不等式性質依次判斷各個選項即可.【詳解】對于A，若，由可得：，A錯誤；對于B，若，則，此時未必成立，B錯誤；對于C，當時，，C錯誤；對于D，當時，由不等式性質知：，D正確.故選：D.【例2】（2022·江蘇·揚州大學附屬中學高一期中（多選題））已知，，下列不等式中正確的是（

）A． B． C． D．【答案】AD【解析】【分析】根據(jù)不等式性質及特殊值判斷即可.【詳解】對于A，由不等式性質，可得，正確；對于B，時，顯然不成立，故錯誤；對于C，時，，故錯誤；對于D，由可得，所以，即，故正確.故選：AD【例3】（2022·北京海淀·高二期末）如果，那么下列不等式成立的是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】根據(jù)不等式的性質即可逐一判斷.【詳解】由可得：，,，故A，B，C錯誤,，故D正確.故選：D【題型專練】1.（2022·廣東·小欖中學高一階段練習（多選題））對于實數(shù)，下列命題正確的是（

）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，，則【答案】BD【解析】【分析】A特殊值法判斷；B由結合不等式性質判斷；C作差法判斷；D由或時的大小情況判斷.【詳解】A：當時，不成立，錯誤；B：由，有，則，正確；C：由，則，錯誤；D：若或，有，與題設矛盾，故，正確.故選：BD2.（2022·貴州貴陽·高一期末（多選題））下列說法正確的有（

）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則【答案】AB【解析】【分析】對于A：利用同向不等式相加可以證明；對于B：利用同向不等式相乘可以證明；對于C：利用不等式的可乘性可以判斷；對于D：取特殊值可以判斷.【詳解】對于A：因為，所以，利用同向不等式相加可以得到：.故A正確；對于B：因為，所以，又因為，利用同向不等式相乘可以得到：，所以.故B正確；對于C：因為，所以.因為，所以.故C錯誤；對于D：取特殊值滿足，但是，，所以.故D錯誤.故選：AB3.（2022·內蒙古·赤峰市元寶山區(qū)第一中學高一期中）若，則下列不等式不能成立的是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】根據(jù)條件，結合結合不等式性質判斷A，B，C正確，再舉例說明D錯誤..【詳解】因為，所以，，，，又，所以，所以成立，，所以，，所以，取可得，，，所以不成立，故選：D.4.（2022·廣東·深圳科學高中高一期中（多選題））下列說法正確的是（

）A．若，則 B．若，，則C．，則 D．若，則【答案】ABC【解析】【分析】根據(jù)不等式的性質判斷AD，結合作差法比較大小判斷BC.【詳解】解：對于A選項，因為，故，故，正確；對于B選項，由于，，故，，故，即，正確；對于C選項，由于，故，故，即，正確；對于D選項，當時，，故錯誤.故選：ABC題型六：利用不等式的基本性質求代數(shù)式的取值范圍【例1】（2022·全國·高一專題練習）設，，求，，的范圍.【答案】，，【分析】根據(jù)不等式的基本性質，先求出與的范圍，再由可乘性得出的范圍即可.【詳解】∵，，∴，，，，∴，，∴.故，，．【例2】（2023·全國·高三專題練習多選題）已知實數(shù)x，y滿足則（

）A．的取值范圍為 B．的取值范圍為C．的取值范圍為 D．的取值范圍為【答案】ABD【解析】利用不等式的性質直接求解.【詳解】因為，所以.因為，所以，則，故A正確；因為，所以.因為，所以，所以，所以，故B正確；因為，所以，則，故C錯誤；因為，所以，則，故D正確.故選：ABD.【例3】（2021·福建·廈門市國祺中學高一期中）若，，，則t的取值范圍為______．【答案】【分析】設，然后求出x,y，進而根據(jù)不等式的性質求出答案.【詳解】設，則，解得．因為，，所以，即．故答案為：.【例4】（2022·河南省杞縣高中高二階段練習（理））已知，，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先把轉化為，根據(jù)，，求出的范圍，利用單增，求出z的范圍即可.【詳解】.設，所以，解得：，，因為，，所以，因為單調遞增，所以.故選：C【例5】（2021·全國·高一課時練習）已知x，y為實數(shù)，滿足，，則的最大值是______，此時______.【答案】

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3【分析】由題干條件得到，又因為，故得到，化簡可得到結果，通過可分別求出參數(shù)的值.【詳解】∵