第十九章 幾何證明 知識歸納與題型突破（21類題型清單）（解析版）-A4

第頁第十九章幾何證明知識歸納與題型突破（21類題型清單）01思維導圖01思維導圖0202知識速記0303題型歸納題型一命題1．下列命題中，是真命題的是（

）A．對頂角相等 B．內錯角相等C．若，則 D．若，則【答案】A【分析】本題主要考查了真假命題的判斷、內錯角、對頂角、平方根以及不等式性質等知識，熟練掌握相關知識是解題關鍵．依據內錯角、對頂角的定義以及平方根的運算法則、不等式性質逐項分析判斷即可．【詳解】解：A．“對頂角相等”，這個命題是真命題，故符合題意；B．“內錯角相等”，這個命題是假命題，兩直線平行，內錯角相等才是真命題，故不合題意；C．“若，則”，這個命題是假命題，“若，則”是真命題，故不符合題意：D．“若，則”，這個命題是假命題，“若，則”才是真命題，故不合題意．故選：A．2．下列選項中，可以用來證明命題“若，則”的逆命題是假命題的反例是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查了舉反例判斷命題，理解題意是解題的關鍵．根據要證明一個命題結論不成立，可以通過舉反例的方法來證明一個命題是假命題，可以舉反例．【詳解】A．當時，滿足條件，不滿足結論，故該選項可以用來證明命題“若，則”的逆命題是假命題的反例；B．當時，不滿足條件，故該選項不可以用來證明命題“若，則”的逆命題是假命題的反例；C．當時，不滿足條件，故該選項不可以用來證明命題“若，則”的逆命題是假命題的反例；D．當時，滿足滿足條件，滿足結論，故該選項不可以用來證明命題“若，則”的逆命題是假命題的反例；故選：A．3．下列命題是真命題的有（）A．若，則B．若a，b是有理數，則C．內錯角相等，兩直線平行D．如果，那么與是對頂角【答案】C【分析】本題考查命題的真假判斷，熟練掌握課本中的性質定理是判斷真假命題的關鍵，根據正確的命題叫真命題，錯誤的命題是假命題來逐一判斷即可得到答案．【詳解】解：A、若，則，是假命題，也有可能；B、若a，b是有理數，則，是假命題，當時，顯然不成立；C、內錯角相等，兩直線平行，是真命題；D、如果，那么與是對頂角，是假命題，相等的角不一定是對頂角；故選：C．鞏固訓練1．如圖，銳角三角形中，，點，分別在邊，上，連接，．下列命題中，假命題是（

）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則【答案】C【分析】本題考查等腰三角形的判定和性質，全等三角形的判定和性質．由，可得，再分別利用全等三角形的判定和性質即可得出結論．【詳解】解：∵，∴，若，又，，∴，∴，則原命題是真命題，故選項A不符合題意；若，∴，又，，∴，∴，則原命題是真命題，故選項B不符合題意；若，又，，不能證明與全等，則與不一定相等，則原命題是假命題，故選項C符合題意；若，又，，∴，∴，∵，∴，則原命題是真命題，故選項D不符合題意；故選：C．2．下列四個命題其中正確的有（填序號）．①全等三角形的對應角相等；②，，，則；③，，，則和全等；④如果兩個三角形有兩條邊和其中一邊上的中線分別相等，那么這兩個三角形全等．【答案】①④/④①【分析】本題主要考查了判斷命題真假，全等三角形的性質與判定，根據全等三角形的性質即可判斷①；根據全等三角形的判定定理即可判斷②③；先證明，得到，再證明即可判斷④．【詳解】解：①全等三角形的對應角相等，原命題是真命題；②，，，不可以利用證明，原命題是假命題；③，，，則和不全等，原命題是假命題；④如果兩個三角形有兩條邊和其中一邊上的中線分別相等，那么這兩個三角形全等，原命題是真命題．如圖所示，和中，，分別是對應三角形的中線，∴，∴，∴．故答案為：①④．3．寫出下列命題的條件和結論．(1)如果兩條直線相交，那么它們只有一個交點；(2)兩條平行線被第三條直線所截，內錯角相等；(3)等角的補角相等．【答案】(1)條件：兩條直線相交；結論：它們只有一個交點(2)條件：兩條平行線被第三條直線所截；結論：內錯角相等(3)條件：兩個角是等角的補角；結論：這兩個角相等【分析】本題考查了命題的組成，明確命題由題設和結論兩部分組成是解答本題的關鍵．（1）條件：兩條直線相交；結論：它們只有一個交點；（2）這個命題可以改成：如果兩條平行線被第三條直線所截，那么內錯角相等．故這個命題的條件：兩條平行線被第三條直線所截；結論：內錯角相等；（3）這個命題可以改成：如果兩個角是等角的補角，那么這兩個角相等，故這個命題的條件：兩個角是等角的補角；結論：這兩個角相等．【詳解】（1）解：根據題意，條件：兩條直線相交；結論：它們只有一個交點；（2）解：根據題意，條件：兩條平行線被第三條直線所截；結論：內錯角相等（3）解：根據題意，條件：兩個角是等角的補角；結論：這兩個角相等．題型二證明4．，，，，五名學生猜測自己能否進入市中國象棋前三強．說：“如果我進入，那么也進入．”說：“如果我進入，那么也進入．”說：“如果我進入，那么也進入．”說：“如果我進入，那么也進入，”大家都沒有說錯，則進入前三強的三個人是（）A．，， B．，， C．，， D．，，【答案】C【分析】此題考查了推理與論證，若，進入了前三強，那么、、、也均能進入，由于前三強只有三個人，顯然這是不合理的；因此只有當進行前三強，那么、也進入，這樣才符合題意．【詳解】若進入前三強，那么進入前三強的有、、、、共5人，顯然不合題意，同理，當進入前三強時，也不合題意，所以應從開始進入前三強．即進入前三強的是，，．故選：C．5．如圖，在△ABC中，∠ABC=45°，AC=5，F是高AD和BE的交點，則BF的長(

)A．7 B．6 C．5 D．4【答案】C【分析】求出∠ADC=∠BDF，∠DBF=∠DAC，AD=BD，根據ASA推出△ADC≌△BDF，根據全等三角形的性質推出AC=BF即可．【詳解】∵AD、BE是高，∴∠ADC=∠BDF=90°，∠BEC=90°，∴∠DBF+∠C=90°，∠DAC+∠C=90°，∴∠DBF=∠DAC，∵∠ABC=45°，∠ADB=90°，∴∠BAD=∠ABD=45°，∴AD=BD，在△ADC和△BDF中，∴△ADC≌△BDF（ASA），∴BF=AC，∵AC=5，∴BF=5，故選C．【點睛】本題考查了三角形的內角和定理，等腰三角形的判定，全等三角形的性質和判定的應用，解此題的關鍵是推出△ADC≌△BDF，注意：全等三角形的對應邊相等．6．如圖，直線、與直線相交，給出下列條件：①；②；③；④．能判斷a∥b的是（

）．A．①②④ B．①③④ C．①②③④ D．①③【答案】B【分析】直接利用平行線的判定方法分別分析得出答案．【詳解】：①∵∠1=∠2，∴a∥b，故此選項正確；②∠3=∠5無法得出a∥b，故此選項錯誤；③∵∠4+∠7=180°，∴a∥b，故此選項正確；④∵∠5+∠3=180°，∴∠2+∠5=180°，∴a∥b，故此選項正確；綜上所述，正確的有①③④．故選B．【點睛】此題考查平行線的判定，正確把握平行線的幾種判定方法是解題關鍵．鞏固訓練1．利用反證法證明命題“在ΔABC中，若，則”時，應假設

A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則【答案】C【分析】反證法的步驟中，第一步是假設結論不成立，反面成立，據此進行解答．【詳解】解：用反證法證明命題“在ΔABC中，若，則”時，應假設若，則，故選．【點睛】本題考查的是反證法，解此題關鍵要懂得反證法的意義及步驟．在假設結論不成立時要注意考慮結論的反面所有可能的情況，如果只有一種，那么否定一種就可以了，如果有多種情況，則必須一一否定．2．如圖所示，如果BD平分∠ABC，補上一個條件作為已知，就能推出AB∥CD．【答案】∠2=∠3【分析】由角平分線，可得∠1=∠2，可添加∠2=∠3，利用內錯角相等，判定兩直線平行．【詳解】解：可添加∠2=∠3；∵BD平分∠ABC，∴∠1=∠2，若∠2=∠3，∴可得∠1=∠3，∴AB∥CD．故答案為∠2=∠3【點睛】此題考查了平行線的判定，平行線的判定方法有：同位角相等兩直線平行；內錯角相等兩直線平行；同旁內角互補兩直線平行，熟練掌握平行線的判定是解本題的關鍵．3．如圖，現有以下3個論斷：；；．（1）請以其中兩個為條件，另一個為結論組成命題，你能組成哪幾個命題？（2）你組成的命題是真命題還是假命題？請你選擇一個真命題加以證明．【答案】（1）見解析；（2）見解析.【分析】（1）分別以其中兩個作為條件，第三個作為結論依次交換寫出即可；（2）根據平行線的判定和性質對（1）題的3個命題進行證明即可判斷其真假．【詳解】解：（1）由，，得到；由，，得到；由，，得到；故能組成3個命題．（2）由，，得到，是真命題．理由如下：，．，∴，，．由，，得到，是真命題．理由如下：，．，，．由，，得到，是真命題．理由如下：∵，，．，，．【點睛】本題考查了命題與定理的知識和平行線的判定與性質，屬于基礎題型，熟練掌握平行線的判定與性質是解題的關鍵．題型三逆命題和逆定理7．下列各命題的逆命題成立的是（

）A．對頂角相等B．如果兩個數相等，那么它們的絕對值相等C．兩直線平行，同位角相等D．如果兩個角都是，那么這兩個角相等【答案】C【分析】本題考查了逆命題以及判斷命題的真假，寫出各命題的逆命題即可判斷.【詳解】解：對頂角相等的逆命題為：相等的角是對頂角，為假命題，故A不符合題意；如果兩個數相等，那么它們的絕對值相等的逆命題為：絕對值相等的兩個數相等．因為絕對值相等的兩個數相等或互為相反數，故逆命題為假命題，故B不符合題意；兩直線平行，同位角相等的逆命題為：同位角相等，兩直線平行，為真命題，故C符合題意；如果兩個角都是，那么這兩個角相等的逆命題為：如果兩個角相等，那么它們都為，為假命題，故D不符合題意；故選：C8．數學中有一些命題的特征是：原命題是真命題，但它的逆命題卻是假命題．例如：如果，那么．下列命題中，具有以上特征的命題是（

）A．兩直線平行，同位角相等 B．如果，那么C．全等三角形的對應角相等 D．如果，那么【答案】C【分析】考查了命題與定理的知識，解題的關鍵是能夠正確的寫出一個命題的逆命題，難度不大．分別判斷原命題和其逆命題的真假后即可確定正確的選項．【詳解】解：A、原命題正確，逆命題為同位角相等，兩直線平行，正確，為真命題，不符合題意；B、原命題錯誤，是假命題；逆命題為如果，那么，正確，是真命題，不符合題意；C、原命題正確，是真命題；逆命題為：對應角相等的三角形全等，錯誤，是假命題，符合題意；D、當時原命題錯誤，是假命題，不符合題意．故選：C．9．已知下列命題：①對頂角相等；②兩直線平行，同旁內角互補；③直角三角形的兩個銳角互余；④三條邊對應相等的兩個三角形全等．其中原命題與逆命題均為真命題的個數是（

）A．4個 B．3個 C．2個 D．1個【答案】B【分析】本題考查了原命題與逆命題、真命題與假命題、對頂角相等、平行線的性質與判定，直角三角形的性質與判定、全等三角形的性質與判定等知識．先根據相關知識判斷四個命題的真假，再寫出逆命題并判斷真假即可求解．【詳解】解：①“對頂角相等”是真命題，逆命題“相等的角是對頂角”是假命題，不合題意；②“兩直線平行，同旁內角互補”是真命題，逆命題“同旁內角互補，兩直線平行”是真命題，符合題意；③“直角三角形的兩個銳角互余”是真命題，逆命題“兩個銳角互余的三角形是直角三角形”是真命題，符合題意；④“三條邊對應相等的兩個三角形全等”是真命題，逆命題“兩個全等三角形的三條對應邊分別相等”是真命題，符合題意．故選：B鞏固訓練1．已知下列命題：①若，則；②若，則；③三角形的中線把三角形分成面積相等的兩部分；④內錯角相等，兩直線平行其中原命題與逆命題均為真命題的個數是（）A．個 B．個 C．個 D．個【答案】B【分析】根據所學知識，逐一判斷解答即可．本題考查了命題，逆命題，真命題，熟練掌握相關知識是解題的關鍵．【詳解】解：①“若，則”是真命題；其逆命題“若，則”也是真命題；②“若，則”是真命題，其逆命題“若，則”是假命題，∵當時，不成立；③三角形的中線把三角形分成面積相等的兩部分是真命題，其逆命題“若一條直線把三角形分成面積相等的兩部分，則這條直線是三角形的中線”是假命題，∵直線不是中線；④“內錯角相等，兩直線平行”是真命題，是判定定理，其逆命題“若兩直線平行，則內錯角相等”也是真命題，是平行線的性質定理；綜上所述，原命題與逆命題均為真命題的只有①④，2個.故選：B.2．下列命題中，其逆命題成立的是（填序號）①同旁內角互補，兩直線平行；②如果三角形的三邊長a，b，c（c為最長邊）且滿足，那么這個三角形是直角三角形．③如果兩個角是直角，那么它們相等；④如果兩個實數相等，那么它們的平方相等；【答案】①②/②①【分析】本題考查的是逆命題的概念以及命題的真假判斷，兩個命題中，如果第一個命題的條件是第二個命題的結論，而第一個命題的結論又是第二個命題的條件，那么這兩個命題叫做互逆命題．其中一個命題稱為另一個命題的逆命題．根據逆命題的概念得出原命題的逆命題，判斷即可．【詳解】解：①同旁內角互補，兩直線平行的逆命題是兩直線平行，同旁內角互補，是真命題；②如果三角形的三邊長a，b，c（c為最長邊）且滿足，那么這個三角形是直角三角形的逆命題是如果這個三角形是直角三角形，那么三角形的三邊長a，b，c（c為最長邊）滿足，是真命題；③如果兩個角是直角，那么它們相等的逆命題是如果兩個角相等，那么這兩個角是直角，是假命題；④如果兩個實數相等，那么它們的平方相等的逆命題是如果兩個實數的平方相等，那么兩個實數相等，是假命題；故答案為：①②．3．寫出下列命題的逆命題，并判斷它是真命題還是假命題．（1）若，則．（2）角平分線上的點到這個角的兩邊距離相等．（3）若，則．【答案】（1）逆命題為：若，則，假命題；（2）逆命題為：到角的兩邊距離相等的點在這個角的平分線上，真命題；（3）逆命題為：若，則，真命題．【分析】分析命題的條件與結論，然后交換條件與結論即可寫出逆命題，最后進行判斷真假即可．【詳解】解：（1）逆命題為：若，則；它是假命題；如，；（2）逆命題為：到角的兩邊距離相等的點在這個角的平分線上；它是真命題；（3）逆命題為：若，則；它是真命題．【點睛】本題考查了逆命題、真假命題，解題的關鍵熟練掌握命題和逆命題之間的關系．題型四線段垂直平分線的性質10．如圖，四邊形中，垂直平分，垂足為E，下列結論不正確的是（）A． B．C． D．平分【答案】C【分析】本題考查垂直平分線的性質，等腰三角形底邊上三線合一及三角形全等的判定，根據垂直平分線得到，，，根據可證，根據三線合一可得平分，即可得出結論．【詳解】解∶∵垂直平分，∴，，，∴平分，∵，，，∴，由條件無法得,∴選項A、B、D正確，選項C錯誤，故選：C．11．如圖，在中，，邊的垂直平分線交于點D，交于點E，連接，將分成兩個角，且，則的度數是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據題意，設，則，再根據線段垂直平分線的性質，得出，再根據等邊對等角，得出，再根據三角形的外角的性質，得出，再根據直角三角形兩銳角互余，得出關于的方程，解出即可得出答案．【詳解】解：∵，∴設，則，∵是線段的垂直平分線，∴，∴，∴，在中，，解得：，∴．故選：B．【點睛】本題考查了線段垂直平分線的性質、等邊對等角、三角形的外角的性質、直角三角形兩銳角互余，解本題的關鍵在熟練掌握線段垂直平分線的性質．12．如圖，邊，的垂直平分線，相交于點O，M，N在邊上，若，則的度數為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題主要考查了線段的垂直平分線的性質、等腰三角形的判定與性質、三角形內角和定理等知識，掌握線段的垂直平分線的性質是解題的關鍵．根據垂直平分線的性質及等腰三角形的性質可得，，利用三角形的內角和定理即可求得，即可求解．【詳解】解：∵、分別垂直平分、，∴，，∴，，又∵，，∴，∴．故選：A．鞏固訓練1．A、B、C三名選手站在一個三角形的三個頂點的位置上，他們在玩搶凳子游戲，要求在他們中間放一個木凳，誰先搶到凳子誰獲勝，為使游戲公平，則凳子應放的最適當的位置是在的（

）A．三邊中線的交點 B．三邊垂直平分線的交點C．三條角平分線的交點 D．三邊上高的交點【答案】B【分析】本題考查了線段垂直平分線的性質，根據線段垂直平分線上的點到線段兩個端點的距離相等即可得解，熟練掌握線段垂直平分線的性質是解此題的關鍵．【詳解】解：要使游戲公平，那么凳子到三個人額距離相等才行，線段垂直平分線上的點到線段兩個端點的距離相等，故凳子應放的最適當的位置是在的三邊垂直平分線的交點，故選：B．2．如圖，在中，，，，AB的垂直平分線分別交AB，于點、，的垂直平分線分別交，于點、，則的周長為．【答案】【分析】本題考查的是線段的垂直平分線的性質，掌握線段的垂直平分線上的點到線段的兩個端點的距離相等．根據線段垂直平分線的性質得到，根據三角形的周長公式計算即可．【詳解】解：∵是線段的垂直平分線，∴，∵是線段的垂直平分線，∴，∴的周長，故答案為：．3．如圖，在中，l是的垂直平分線，交于點D，，．(1)求的度數；(2)求的度數．【答案】(1)；(2)．【分析】（）由等腰三角形的性質得到，再根據三角形內角和定理即可求解；（）由線段垂直平分線的性質得到，進而得到，再根據三角形外角性質即可求解；本題考查了等腰三角形的性質，線段垂直平分線的性質，三角形內角和定理及外角性質，掌握這些性質定理是解題的關鍵．【詳解】（1）解：在中，，，，；（2）解：是的垂直平分線，，，是的外角，，．題型五線段垂直平分線的判定13．如圖，在中，已知點在上，且，下列說法正確的是（

）A．點是的中點 B．平分C．點在的垂直平分線上 D．點在的垂直平分線上【答案】C【分析】此題考查線段垂直平分線的判定：到線段兩個端點的距離相等的點在線段的垂直平分線上，根據題意得到，判定點在的垂直平分線上，由此判斷．【詳解】解：∵，，∴，∴點D在線段的垂直平分線上，故選C．14．兩組鄰邊分別相等的四邊形叫做“箏形”．如圖，四邊形ABCD是一個箏形，其中，，小明在探究箏形的性質時，連結了AC，BD，并設交點為O，得到了如下結論，其中錯誤的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】本題主要考查了線段垂直平分線的性質和判定，全等三角形的判定，先根據線段垂直平分線的性質得出是的垂直平分線，可判斷A，B；再根據“邊邊邊”證明C；能否確定三者之間的關系判斷D．【詳解】∵，∴是的垂直平分線，∴，所以A，B正確；∵，∴，所以C正確；不能確定之間的關系，所以D不正確．故選：D．15．如圖，點在直線外，請閱讀以下作圖步驟：①以點為圓心，以大于點到直線的距離的長為半徑作弧，交于點和點；②分別以點和點為圓心，大于的同一長度為半徑作弧，兩弧相交于點，如圖所示；③作射線，連接，，，，根據以上作圖，下列結論正確的是（

）A．且 B．且C．且 D．且【答案】D【分析】根據同圓的半徑相等可知：，，再根據等邊對等角和線段垂直平分線的逆定理可得結論．本題考查作圖基本作圖，等腰三角形的性質，線段垂直平分線的逆定理等知識，解題的關鍵是學會利用基本作圖解決問題．【詳解】解：由①知：，，由②知：，是的垂直平分線，；故選：D．鞏固訓練1．如圖，將長方形紙片沿折疊后點B落在點E處，則下列關于線段與的關系描述正確的是（

）

A． B．和相互垂直平分C．且 D．且平分【答案】D【分析】只要證明是線段的垂直平分線即可解決問題．【詳解】解：是由翻折得到，，，，平分，故選：D．【點睛】本題考查翻折變換、線段的垂直平分線的判定等知識，解題的關鍵是熟練掌握線段垂直平分線的判定，屬于基礎題，中考常考題型．2．風箏又稱“紙鳶”、“風鳶”、“紙鷂”等，起源于中國東周春秋時期，距今已有多年的歷史，如圖是一款風箏骨架的簡化圖，已知，，，，制作這個風箏需要的布料至少為．【答案】【分析】本題考查線段垂直平分線的判定，熟練掌握線段垂直平分線的判定是解題的關鍵．利用線段垂直平分線的判定定理判定垂直平分，再利用即可求解．【詳解】解：設與交于點，∵，∴點在的垂直平分線上，∵，∴點在的垂直平分線上，∴垂直平分，∴，∴，∵，，∴，故答案為：2700．3．如圖，在中，邊，的垂直平分線分別交于點D，E．

(1)若，，則；(2)若，求的度數；(3)設直線，交于點O，判斷點O是否在的垂直平分線上．【答案】(1)11(2)(3)點O在的垂直平分線上，理由見解析【分析】本題主要考查了線段垂直平分線的性質與判定，三角形內角和定理，等邊對等角等等：（1）根據線段垂直平分線的性質得到，，則；（2）先由三角形內角和定理得到，再由等邊對等角得到，，則，據此可得；（3）如圖，連接，，，由線段垂直平分線的性質證明，即可證明點O在的垂直平分線上．【詳解】（1）解：∵邊，的垂直平分線分別交于點D，E，∴，．∵，，∴，故答案為：11；（2）解：∵，∴．∵，，∴，，∴，∴，∴的度數為20°；（3）解：點O在的垂直平分線上．理由：如圖，連接，，，

∵是的垂直平分線，是的垂直平分線，∴，，∴，∴點O在的垂直平分線上．題型六作垂線16．如圖，在中，，，觀察圖中尺規(guī)作圖的痕跡，則的周長是（

）A．13 B．11 C．8 D．6.5【答案】C【分析】本題考查作圖-復雜作圖、線段垂直平分線的性質．由尺規(guī)作圖痕跡可知，所作直線為線段的垂直平分線，根據線段垂直平分線的性質可得，進而可得，即可得出答案．【詳解】解：由尺規(guī)作圖痕跡可知，所作直線為線段的垂直平分線，，，，，的周長為．故選：C．17．如圖，在中，分別以A，B為圓心，大于線段長度一半的長為半徑作弧，相交于點D，E，連結，交于點P．若，的周長為10，則的長為（）A．6 B．7 C．8 D．9【答案】B【分析】本題主要考查線段垂直平分線的性質，熟練掌握線段垂直平分線的性質是解題的關鍵；由作圖可知垂直平分，則有，然后問題可求解．【詳解】解：∵垂直平分，∴，∵，的周長為10，∴，即，∴；故選：B．18．如圖，在中，分別以點和點為圓心，大于長為半徑畫弧，兩弧相交于點、，作直線，交于點，連接．若，，則的周長為（）A．12 B．14 C．19 D．26【答案】C【分析】本題考查作圖，線段垂直平分線、線段垂直平分線的性質．由題意可得垂直且平分，根據垂直平分線的性質可得，從而可得，求解即可．【詳解】解：由作圖痕跡可得，垂直且平分，，，故選：C．鞏固訓練1．如圖，在已知的中，按以下步驟作圖：①分別以B，C為圓心，以大于的長為半徑作弧，兩弧相交于兩點M，N；②作直線交于點D，連接若，，則的周長為（

）A．12 B．11 C．10 D．9【答案】A【分析】本題考查作圖-基本作圖，線段的垂直平分線的性質等知識，解題的關鍵是理解題意，靈活運用所學知識解決問題．證明，推出的周長，可得結論．【詳解】解：由作圖可知垂直平分線段，，的周長．故選：A．2．如圖，在中，按以下步驟作圖：①分別以點B和C為圓心，以大于的長為半徑作弧，兩弧相交于點M和N；②作直線，分別交邊于點D和E，連接．若，，則的長為．【答案】4【分析】本題考查了基本作圖作線段的垂直平分線，線段垂直平分線的性質“線段垂直平分線上點到線段兩端點的距離相等”，直角三角形斜邊中線的性質“直角三角形斜邊中線等于斜邊的一半”．根據線段垂直平分線的性質即可得到，再利用直角三角形斜邊中線的性質求解即可．【詳解】解：連接．由作圖知，是線段的垂直平分線，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴．故答案為：4．3．已知：線段，，利用直尺和圓規(guī)，保留作圖痕跡，不寫作法．(1)求作：線段的垂直平分線．(2)求作：，使，．【答案】(1)如圖，直線l即為所求；(2)如圖，即為所求．【分析】本題考查了復雜作圖，掌握基本作圖是解題關鍵．（1）作線段垂直平分線即可；（2）先作，再取即可．利用已知角和線段，首先作一角等于已知角，進而得出符合題意的答案即可．【詳解】（1）如圖，由線段垂直平分線作法得：直線為所求直線，（2）先作，再取即可．如圖：為所求．題型七角平分線的判定與性質19．如圖，在中，，，為角平分線的交點，若的面積為20，則的面積為是（

）A．14 B．15 C．16 D．18【答案】B【分析】本題主要考查了角平分線的性質，過點作于，于，如圖，根據角平分線的性質得到，則根據三角形面積公式得到，然后利用比例性質計算．【詳解】解：過點作于，于，如圖，為角平分線的交點，，，．故選：B．20．如圖，在中，，，點E在的延長線上，的平分線與的平分線相交于點D，連接，則度數為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查了角平線的性質和判定，三角形的外角性質，過點分別作，，，可證到，得到平分，再利用三角形外角性質即可求解，熟練掌握這些性質是解題的關鍵．【詳解】解：過點分別作，，，垂足分別是點，

∵平分，，，∴，同理可得，，∴，∵，，∴平分，∵，，∴，∴．故選：．21．如圖，在中，，，M為邊上的點，連接，如果將沿直線翻折后，點恰好落在邊的中點處，那么點到的距離是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查了折疊的性質、角平分線的性質定理、三角形面積公式，作于，于，由折疊的性質可得：，，再由角平分線的性質定理可得，再結合面積公式計算即可得解．【詳解】解：如圖：作于，于，，∵在中，，∴由折疊的性質可得：，，∵，，∴，∵將沿直線翻折后，點恰好落在邊的中點處，∴，∴，∵，，∴，∴，故選：A．鞏固訓練1．如圖，在中，，平分，交于點．已知，，則的面積為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查角平分線的性質，過點作于，根據角平分線性質可得，即可得解．解題的關鍵是掌握角平分線的性質：角平分線上的點到角兩邊的距離相等．【詳解】解：如圖，過點作于，∵，，，∴，∴，∴的面積為．故選：B．2．如圖，是的角平分線，，，，的面積為14，則．【答案】6【分析】本題考查的是角平分線的性質，掌握角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等是解題的關鍵．過點作上于點，得到，再根據三角形面積公式即可計算．【詳解】解：過點作上于點是的角平分線，，∵，∴，∴，故答案為：6．3．如圖，在中，．(1)尺規(guī)作圖：作的角平分線，交于點D．（基本作圖，保留作圖痕跡，不寫作法，并標明字母）(2)若，，求的長及的面積．【答案】(1)見解析(2)，【分析】本題考查尺規(guī)作圖—作角平分線，角平分線的性質：（1）根據尺規(guī)作角平分線的方法，作圖即可；（2）過點作，由角平分線的性質得到，等積法求出的長，三角形的面積公式求出的面積即可．【詳解】（1）解：如圖，即為所求；（2）解：過點作，∵平分，，∴，∵，∴，即：，解得：，∴．題型八作角平分線22．如圖，在中，，利用尺規(guī)在，上分別截取，，使，分別以，為圓心、以大于的長為半徑作弧，兩弧在內交于點，作射線交于點．若，，則的面積為（

）A．12 B．16 C．24 D．32【答案】B【分析】本題考查作圖基本作圖、角平分線的性質．過點作于點，由題意得，為的平分線，即可得，利用三角形的面積公式計算即可．【詳解】解：過點作于點，由題意得，為的平分線，，，的面積為．故選：B．23．如圖，中，，利用尺規(guī)在上分別截取，使，分別以為圓心、以大于的長為半徑作弧，兩弧在內交于點，作射線交于點．在上找一點，使得，若，則的度數為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】首先求出，，再利用角平分線的定義求出即可．【詳解】解：，，，，，由題意得，平分，，故選：B．【點睛】本題考查作圖作角平分線，角平分線的定義，等腰三角形的性質，直角三角形的性質，三角形內角和定理，解題的關鍵是理解題意，靈活運用所學知識解決問題．24．如圖，在中，，以頂點B為圓心，適當長度為半徑畫弧，分別交于點M、N、再分別以點M、N為圓心，大于的長為半徑畫?。畠苫〗挥邳cP，作射線交邊于點D．若，則的面積為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查了作圖基本作圖：熟練掌握5種基本作圖是解決問題的關鍵．也考查了角平分線的性質．利用基本作圖得平分，根據角平分線的性質得點到的距離為，然后根據三角形面積公式計算．【詳解】解：由作法得平分，，點到和的距離相等，即點到的距離為，的面積．故選：A鞏固訓練1．如圖，在中，，，按以下步驟作圖：①以點A為圓心，小于長為半徑畫弧，分別交、于點E、F；②分別以點E、F為圓心，大于長的一半為半徑畫弧，兩弧相交于點G；③作射線，交邊于點D．則的度數為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查了作角平分線，與角平分線有關的三角形的內角和定理，掌握基本作圖是解題的關鍵．由作圖方法可得是的角平分線，進而根據，求得，根據直角三角形的性質即可求解．【詳解】解：∵是的角平分線，，∴，∵，∴，故選：C．2．如圖，在中，，，以點A為圓心，小于的長為半徑畫弧，分別交、于點M、N，再分別以點M、N為圓心，大于的長為半徑畫弧，兩弧交于點P，連接并延長，交于點D，則°．【答案】【分析】本題主要考查角平分線的尺規(guī)作圖及直角三角形的兩個銳角互余，熟練掌握角平分線的尺規(guī)作圖及直角三角形的性質是解題的關鍵；由題意易得平分，則有，然后問題可求解．【詳解】解：由題意得：平分，∴，∵，，∴，∴，∴；故答案為：65．3．如圖，電信部門要在S區(qū)修建一座發(fā)射塔．按照設計要求，發(fā)射塔到兩個城鎮(zhèn)A、B的距離必須相等，到兩條高速公路m和n的距離也必須相等，發(fā)射塔應建在什么位置？在圖上標出它的位置．（尺規(guī)作圖）【答案】見解析【分析】本題主要考查了角平分線和線段垂直平分線的尺規(guī)作圖，角平分線上的點到角兩邊的距離相等，線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等，據此作直線m和直線n所夾銳角的的角平分線，作的垂直平分線，二者的交點即為所求．【詳解】解：作直線m和直線n所夾銳角的的角平分線，作的垂直平分線，二者的交點即為所求．題型九直角三角形全等的判定與綜合25．如圖，在中，于點，則的度數為（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質，由題意證得即可求解．【詳解】解：由題意得：，∵，∴，∴，∴∴，故選：B．26．如圖，AD是的角平分線，于點，點E，G分別在AB，AC上，且，若，，則的面積為（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】A【分析】本題考查的是全等三角形的判定與性質、角平分線的性質，作輔助線構造出全等三角形并利用角平分線的性質是解題的關鍵．過點D作于H，根據角平分線的性質得到，進而證明，根據全等三角形的性質得到的面積的面積，根據題意列出方程，解方程得到答案．【詳解】解：過點D作于H，∵是的角平分線，，，∴，在和中，，∴，∴的面積的面積，設的面積的面積，同理可證，，∴的面積的面積，∴，解得，，故選：A．27．如圖，在中，，平分交于點，若的面積為10，的面積為6，則的面積為（

）A．2 B．2.5 C．3 D．4【答案】A【分析】本題考查角平分線的性質，全等三角形的判定和性質，過點作，角平分性質的得到，證明，進而得到，進一步計算即可．【詳解】解：過點作，∵平分交于點，∴，∵，，∴，∴，∴，即：，∴；故選A．鞏固訓練1．中，，AD是邊上的高，，點在上，交AD于點，，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查全等三角形的知識，解題的關鍵是掌握全等三角形對應角相等．根據，，證明，求出，即可．【詳解】解：∵AD是邊上的高，∴，在和，，∴，∴，∴．故選：B．2．如圖，點在上，，，．若．則．【答案】【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質，證明，可得，即可求解．【詳解】解：，在與中，，∴，∴，∵，∴，∵，∴，故答案為：．3．如圖，在中，F是上的一點，，的延長線于點E，．(1)求證：．(2)判斷、、這三條線段之間的數量關系，并說明理由．【答案】(1)證明見解析(2)，理由見解析【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質．（1）根據已知條件用證兩個直角三角形全等即可；（2）由（1）中的結論可得，再結合已知條件即可得出結論．【詳解】（1）證明：∵，的延長線于點E，∴和是直角三角形，在和中，，∴，即；（2）解：，理由如下：∵，∴，∵，，∴．題型十含30度角的直角三角形28．如圖，在中，，，點D是的中點，過點D作垂直交于點E，，則的長度為（

）A．7 B．9 C．8 D．10【答案】C【分析】此題主要考查了直角三角形的性質，等腰三角形的性質，線段垂直平分線的性質，熟練掌握等腰三角形的性質，線段垂直平分線的性質，理解在直角三角形中，的角所對的直角邊是斜邊的一半是解決問題的關鍵．連接，先求出，，再根據線段垂直平分線的性質得，，由此得，進而利用直角三角形的性質得，然后求出，再利用直角三角形的性質即可求出的長．【詳解】解：連接，如圖：

在中，，，，，點是的中點，，是線段的垂直平分線，，，在中，，，，，，，在中，，，．故選：C．29．如圖，在中，平分，交邊上的高于點．已知，，則（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】C【分析】本題考查含角的直角三角形，三角形外角的性質，等腰三角形的判定，角平分線定義，由直角三角形的性質求出，由角平分線定義得到，因此，推出，由含角的直角三角形的性質推出，推出，由三角形外角的性質推出，得到．【詳解】解：∵，∴，∵平分，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴．故選：C．30．中，，P在線段上，于E，于D，若它一腰上的高與另一腰所成的銳角等于，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查了的直角三角形的性質，三角形的內角和定理等知識，分一腰上的高在外部和內部討論即可．【詳解】解：當一腰上的高在外部時，如圖，連接，

由題意知：，，∴，∴，∵，∴，∴；當一腰上的高在內部時，如圖，連接，

由題意知：，，∴，∴，∵，∴，∴；綜上，，故選：B．鞏固訓練1．如圖，，點D是平分線上一點，過點D作交于點E，作，垂足為點F，，則DE的長為（

）

A．7 B．3.5 C．7.5 D．5【答案】A【分析】本題考查角平分線的性質，含角的直角三角形的性質，過點作于G，由角平分線的性質得，結合，可知，從而可得答案．【詳解】解：過點作于G，

∵平分，D是上一點，，，，∴，又∵，，∴，∴，故選：A．2．如圖，在中，，邊的垂直平分線交于點D，交于點E，那么的長為．【答案】4【分析】本題考查了垂直平分線的性質，含30度角的直角三角形的性質，直角三角形的兩個銳角互余，等邊對等角，條件輔助線是解題的關鍵．連接，根據垂直平分線的性質，可得，從而得到，進而得到，再由含30度角的直角三角形的性質，即可求解．【詳解】解：如圖，連接，∵垂直平分，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴．故答案為：43．如圖，在中，，，，動點、同時從、兩點出發(fā)，分別在、邊上勻速移動，點的運動速度為，點的運動速度為，當點到達點時，、兩點同時停止運動，設點的運動時間為．(1)當為何值時，為等邊三角形？(2)當為何值時，為直角三角形？【答案】(1)(2)或【分析】本題考查了含角的直角三角形、等邊三角形的判定，本題的關鍵是用含的代數式表示出、，熟練掌握等邊三角形的判定，當不確定哪個是直角時注意分類討論的思想方法．（1）用含的代數式表示出、，由于，當時，為等邊三角形，列式求解即可；（2）分兩種情況進行討論：當時，時，利用直角三角形中，含角的邊的關系，列式求解即可．【詳解】（1）解：∵在中，，，∴，∵，點的運動速度為，∴，∵點的運動時間為，∴，，∴，當時，為等邊三角形，即，解得：；所以當時，為等邊三角形；（2）解：若為直角三角形，①當時，∵，∴，∴，即，解得：；②當時，∵，∴，∴，即，解得：；綜上所述，當或時，為直角三角形．題型十一斜邊的中線等于斜邊的一半31．如圖，在中，、分別是、的中點，點在上，且，若，，則的長為（

）A．11 B．12 C．12.5 D．14【答案】D【分析】本題主要考查了直角三角形的性質，三角形中位線的定義和性質，先根據直角三角形的斜邊中線等于斜邊的一半求出，進而得出，再根據中位線的性質得出答案．【詳解】∵是的中線，且，∴，∴．∵點D，E是的中點，∴是的中位線，∴，∴．故選：D．32．如圖，在中，的中垂線與交于點，與交于點，連接，為的中點，若，則的長為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查了線段垂直平分線的性質，直角三角形的性質，余角性質，等腰三角形的判定和性質，由線段垂直平分線的性質得，，進而得，由直角三角形斜邊上的中線長等于斜邊的一半可得，再利用余角性質可得，即可得到，掌握線段垂直平分線的性質和直角三角形的性質是解題的關鍵．【詳解】解：∵是的中垂線，∴，，∴，在中，為的中點，∴，∵，∴，，∵，∴，∴，故選：．33．如圖，在中，，于點，，是斜邊的中點，則的度數為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題考查了直角三角形的性質，等腰三角形的判定和性質，先得出的度數，根據直角三角形兩銳角互余分別求出的度數，根據直角三角形斜邊中線等于斜邊一半可得，算出的度數，根據即可求解．【詳解】解：∵是直角三角形，，，∴，∵，∴在中，，同理，在中，，∵點是中點，∴，即，∴，∴，故選：D．鞏固訓練1．如圖所示，，矩形的頂點分別在邊上，當在邊上運動時，A隨之在OM上運動，矩形的形狀保持不變，其中，運動過程中，點D到點O的最大距離為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題考查了斜邊上的中線等于斜邊的一半，勾股定理，矩形的性質，三角形不等式，熟練掌握三角形不等式，勾股定理是解題的關鍵．取線段的中點E，連接，根據直角三角形的特征量，三角形不等式解答即可．【詳解】解：如圖所示，取中點，連接．，且矩形當點運動到上時，使得最大．的最大值為三點共線時為．故選：D．2．如圖，在中，，點是邊上的一點，點是的中點，連結．若點在邊的垂直平分線上，且，則的長為．【答案】【分析】本題主要考查了線段垂直平分線的性質，直角三角形的性質，先根據線段垂直平分線的性質得，再根據直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半得出答案【詳解】∵點在的垂直平分線上，∴，∵，點是的中點，∴故答案為：3．如圖，在中，于點F，于點E，M為的中點．(1)求證：是等腰三角形；(2)若，，求的長度．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）利用直角三角形斜邊上的中線的性質即可得出結論；（2）利用直角三角形中三十度角所對的直角邊等于斜邊的一半即可得出．【詳解】（1）證明：∵，，∴與都為直角三角形，∵M為的中點，∴、為斜邊的中點，∴，，∴，∴是等腰三角形；（2）解：在中，∵，∴．【點睛】本題考查了直角三角形斜邊上的中線的性質，等腰三角形的判定，含角的直角三角形的性質，熟練掌握各性質定理是解題的關鍵．題型十二勾股定理的證明方法34．我國是最早了解勾股定理的國家之一．下面四幅圖中，不能證明勾股定理的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題考查了勾股定理的證明，能根據圖形中各個部分的面積列出等式是解此題的關鍵．先表示出圖形中各個部分的面積，再判斷即可．【詳解】解：A、，整理得：，即能證明勾股定理，故本選項不符合題意；B、，整理得：，即能證明勾股定理，故本選項不符合題意；C、，整理得：，即能證明勾股定理，故本選項不符合題意；D、根據圖形不能證明勾股定理，故本選項符合題意；故選：D．35．勾股定理是歷史上第一個把數與形聯系起來的定理，其證明是論證幾何的發(fā)端．下面四幅圖中不能證明勾股定理的是（）A． B．C． D．【答案】D【分析】本題主要考查勾股定理的證明過程，關鍵是要牢記勾股定理的概念，在直角三角形中，兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方．分別利用每個圖形面積的兩種不同的計算方法，再建立等式，再整理即可判斷．【詳解】解：A、由圖可知三個三角形的面積的和等于梯形的面積，，整理可得，故A選項可以證明勾股定理；B、大正方形的面積等于四個三角形的面積加小正方形的面積，，整理得，故B選項可以證明勾股定理，C、大正方形的面積等于四個三角形的面積加小正方形的面積，，整理得，故C選項可以證明勾股定理，D、大正方形的面積等于兩個小正方形的面積與兩個長方形的面積和，，以上公式為完全平方公式，故D選項不能說明勾股定理，故選：D．36．在證明勾股定理時，甲、乙兩位同學給出如圖所示兩種方案，對于甲、乙兩種方案，下列判斷正確的是（

）A．甲正確，乙不正確 B．甲不正確，乙正確C．甲、乙都正確 D．甲、乙都不正確【答案】A【分析】本題考查了勾股定理的證明，分別用不同的方法表示出大正方形的面積，即可得解，采用數形結合的思想是解此題的關鍵．【詳解】解：甲方案中：大正方形的面積可以表示為，還可以表示為，∴，即，可以證明勾股定理，故甲正確；乙方案中：大正方形的面積可以表示為，還可以表示為，∴，不可以證明勾股定理，故乙錯誤；故選：A．鞏固訓練1．我國是最早了解勾股定理的國家之一．下列四幅圖中，不能驗證勾股定理的是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】本題考查了勾股定理的證明，熟練掌握等面積法證明勾股定理是解題的關鍵．根據等面積法證明即可．【詳解】解：A、這個圖無法證明勾股定理，故本選項符合題意；B、，整理得：，即能證明勾股定理，故本選項不符合題意；C、，整理得：，即能證明勾股定理，故本選項不符合題意；D、，整理得：，即能證明勾股定理，故本選項不符合題意；故選：A．2．如圖，由四個全等的直角三角形和一個小正方形拼成一個大正方形，則4個直角三角形面積+小正方形面積=大正方形面積，即+=，化簡得：．【答案】【分析】本題考查了勾股定理的證明方法，先求出小正方形的邊長，再根據4個直角三角形面積+小正方形面積=大正方形面積解答即可．【詳解】解：由圖可知，小正方形的邊長為，∵4個直角三角形面積+小正方形面積=大正方形面積，∴，∴．故答案為：，，．3．我們知道，有一個內角是直角的三角形是直角三角形，其中直角所在的兩條邊叫直角邊，直角邊所對的邊叫斜邊（如圖①所示）．數學家還發(fā)現：在一個直角三角形中，兩條直角邊長的平方和等于斜邊長的平方．即如果一個直角三角形的兩條直角邊長度分別是和，斜邊長度是，那么．(1)直接填空：如圖①，若，則_________；若．則直角三角形的面積是_________．(2)觀察圖②，其中兩個相同的直角三角形邊在一條直線上，請利用幾何圖形的之間的面積關系，試說明．【答案】(1)5；(2)見詳解【分析】本題主要考查勾股定理，熟練掌握勾股定理是解題的關鍵；（1）根據勾股定理可進行求解；（2）根據梯形的面積等于三個直角三角形面積之和即可求解．【詳解】（1）解：∵，，∴；∵，∴，∴，∴該直角三角形的面積為；故答案為5；；（2）解：由圖可知：，整理得：．題型十三以弦圖為背景的計算題37．如圖所示，它是由四個相同的直角三角形與中間的小正方形拼成的一個大正方形，若大正方形的面積是13，小正方形的面積是1，直角三角形的較長直角邊為a，較短直角邊為b，則的值為（

）A．25 B．19 C．13 D．169【答案】A【分析】考查勾股定理的證明，完全平方公式的運算，關鍵是根據正方形、直角三角形的性質及分析問題解答．根據正方形的面積及直角邊的關系，列出，然后求解．【詳解】解：∵它是由四個相同的直角三角形與中間的小正方形拼成的一個大正方形，若大正方形的面積是13，小正方形的面積是1，直角三角形的較長直角邊為a，較短直角邊為b，∴，∴，則故選：A．38．如圖，用4個全等直角三角形與1個正方形拼成正方形圖案．已知大正方形面積為100．小正方形面積為9．若用表示直角三角形的兩條直角邊．下列說法正確的有（

）①；②；③；④A．①② B．②③ C．①②③ D．①②③④【答案】D【分析】本題主要考查勾股定理、完全平方公式等知識，掌握完全平方公式成為解題的關鍵．用勾股定理解直角三角形可判斷①正確；根據4個直角三角形全等，可判斷②正確；根據“大正方形面積等于4個直角三角形面積加上小正方形面積”，可判斷④正確；利用①④，根據完全平方公式可判斷③正確．【詳解】解：∵大正方形面積為100，小正方形面積為9，∴大正方形邊長為10，小正方形邊長為3，由勾股定理可得：，即①正確；∵圖中4個直角三角形全等，∴，即②正確；∵大正方形面積個直角三角形面積小正方形面積，∴，∴，即④正確；∵，，∴，∵，∴，即③正確．綜上所述，①②③④正確．故選D．39．“趙爽弦圖”巧妙地利用了面積關系證明了勾股定理，是我國古代數學的驕傲．如圖所示的“趙爽弦圖”是由四個全等的直角三角形和中間的一個小正方形拼成的一個大正方形，設直角三角形較長的直角邊長為a，較短的直角邊長為b，若，大正方形的面積為13，則小正方形的邊長為．【答案】1【分析】本題考查了勾股定理的背景圖中與面積有關的計算，解題關鍵是發(fā)現圖中的面積關系與掌握勾股定理的計算公式．本題利用13減去四個直角三角形的面積等于小正方形的面積即可求解．【詳解】解：∵，∴小正方形面積為1，∴小正方形邊長為1，故答案為：1．鞏固訓練1．如圖，四個全等的直角三角形圍成一個大正方形，中間陰影部分是一個小正方形，這樣就組成一個“趙爽弦圖”．若，，則的面積為（

）A．20 B．24 C．36 D．48【答案】B【分析】本題考查勾股定理的應用，利用中間小正方形的面積=大正方形的面積個全等的直角三角形的面積，求出即可．【詳解】解：有圖形可得：個全等的直角三角形的面積=大正方形的面積中間小正方形的面積，∴，∴，故選：B．2．如圖是在北京召開的國際數學大會的會標，它是由四個相同的直角三角形與中間一個小正方形拼成的一個大正方形，若大正方形的邊長是，每個直角三角形較短的一條直角邊的長是，則小正方形的邊長為．【答案】【分析】本題考查了勾股定理，解題的關鍵是知道小正方形的邊長等于直角三角形較長直角邊減去較小直角邊．先設直角三角形的兩直角邊分別是，，斜邊是，根據勾股定理求出，進而求解即可．【詳解】解：設大直角三角形的兩直角邊分別是，，斜邊是，則，∴，∵大正方形的邊長是，每個直角三角形較短的一條直角邊的長是，∴，解得（舍去負值），∴小正方形的邊長為：．故答案為：．3．對于一個圖形，通過兩種不同的方法計算它的面積，可以得到一個數學等式．(1)如圖1所示的大正方形，是由兩個正方形和兩個形狀大小完全相同的長方形拼成的．用兩種不同的方法計算圖中陰影部分的面積，可以得到的數學等式是；(2)如圖2所示的大正方形，是由四個三邊長分別為a、b、c的全等的直角三角形（a、b為直角邊）和一個正方形拼成，試通過兩種不同的方法計算中間正方形的面積，并探究a、b、c之間滿足怎樣的等量關系．【答案】(1)a2+b2=(a+b)2-2ab；(2)．【分析】（1）分別用兩種不同的方法表示陰影部分面積即可得等式．（2）先直接用c表示中間正方形的面積，再用大正方形的面積減去4個小三角形的面積表示中間正方形的面積，從而可得結論．【詳解】（1）解∶如圖1，∵S陰影=a2+b2，S陰影=(a+b)2-2ab．∴a2+b2=(a+b)2-2ab，故答案為∶a2+b2=(a+b)2-2ab；（2）解：如圖2，∵S中間正方形=c2，S中間正方形=(a+b)2-4×ab，∴，∴．【點睛】本題考查完全平方公式及勾股定理的幾何背景，用兩種方法表示同一個圖形的面積是求解本題的關鍵．題型十四勾股定理與網格問題40．如圖，在的網格中，每個小正方形的邊長均為1，點A，B，C都在格點上，若是的高，則的長為（

）．

A．2 B． C．3 D．【答案】A【分析】先利用勾股定理求出的長，再利用等積法即可求出的長．本題考查勾股定理與網格問題．熟練掌握勾股定理，以及等積法求線段的長度，是解題的關鍵．【詳解】解：根據勾股定理得：，，又，，，．故選：A．41．如圖，在的正方形網格中，每個小正方形的邊長均為1，點A，B，C，D都在格點上，以A為圓心，AB的長為半徑畫弧，交CD于點E，則CE的長為（

）．

A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查了在格點圖中勾股定理的應用．根據半徑相等，得出，再根據勾股定理即可求出DE的長，即可得出CE的長．【詳解】解：∵以點A為圓心，AB長為半徑作弧，∴，∵，∴，∴，故選：C．42．如圖，在的網格中，每個小正方形的邊長均為1，點A，B，C都在格點上，下面結論：①；②；③的面積為10；④點A到直線的距離是2．正確的結論共有（

）個A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】C【分析】本題主要考查了勾股定理及其逆定理，二次根式的乘法計算，利用勾股定理即可判斷①；利用勾股定理分別求出，，進而得到，則由勾股定理的逆定理即可判斷②；根據三角形面積計算公式即可判斷③；根據等面積法即可判斷④．【詳解】解：①由勾股定理得，故①正確；②由勾股定理得，，∴，∴，故②正確；③，故③錯誤；④點A到直線的距離是，故④正確；∴正確的有①②③，共3個，故選：C．鞏固訓練1．如圖所示邊長為1的的正方形網格中，的頂點都在小正方形的格點上，這樣的三角形稱為格點三角形，則點A到的距離等于（

）A． B．2 C． D．【答案】C【分析】本題考查勾股定理，二次根式的混合運算．根據網格特征和勾股定理求出的邊長和面積，利用三角形的面積公式進行解答即可．【詳解】解：過點作于，由網格特征和勾股定理可得，，，，，是直角三角形，，即，，故選：C．2．如圖，在的網格中，每個小正方形的邊長均為1，點A，B，C都在格點上，則下列結論：①；②；③的面積為10；④點A到直線的距離是2，其中正確的是．（填序號）【答案】①②④【分析】本題主要考查了勾股定理和勾股定理的逆定理，三角形的面積公式，點到直線的距離，解題的關鍵在于能夠熟練掌握相關知識進行求解．利用勾股定理求出的長，即可判斷①；利用勾股定理分別求出、、的長，然后用勾股定理的逆定理即可判斷②；利用②的結論即可求解判斷③；設A到的距離為h，利用面積法即可求出h，即可判斷④．【詳解】解：如圖所示：，，，∴①正確；∵，∴三角形是直角三角形，，∴②正確；∴，∴③錯誤；∵，∴，∴A到的距離為2，∴④正確，故答案為：①②④．3．（1）請你在圖1中畫一個邊長為的正方形，要求所畫正方形的頂點都在格點上；（2）如圖2，面積為7的正方形的頂點A在數軸上，且點A表示的數為，若點E在數軸上，（點E在點A的右側）且，則點E所表示的數為；（3）以圖1中1個方格的邊長為單位1，畫出數軸，然后在數軸上表示和．【答案】（1）見解析；（2）；（3）點D所表示的數為，點E所表示的數為【分析】（1）可看作是直角邊分別為1和4的直角三角形的斜邊，再結合正方形的性質畫圖即可．（2）由題意可得，由數軸的定義可知點E所表示的數為．（3）由題意畫出數軸，在數軸上取點A，使點A表示的數為2，作直角三角形，使，則，以點A為圓心，的長為半徑畫弧，分別交數軸于點D，E，則點D所表示的數為，點E所表示的數為．本題考查了無理數與勾股定理，數軸與實數，勾股定理與網格，在數軸上表示實數，正確掌握相關性質內容是解題的關鍵．【詳解】解：（1）如圖1，正方形即為所求．（2）∵正方形的面積為7，∴正方形的邊長為，即，∴，∵點A表示的數為，∴點E所表示的數為故答案為：．（3）如圖，點D所表示的數為，點E所表示的數為．題型十五用勾股定理解三角形43．如圖，，，，，點在線段上，若，則的面積是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由直角三角形的兩個銳角互余和平角的定義可得，進而可證得，于是可得，根據勾股定理可求得，然后利用三角形的面積公式即可得出答案．【詳解】解：，，又，，在和中，，，，，，的面積，故選：．【點睛】本題主要考查了直角三角形的兩個銳角互余，全等三角形的判定與性質，勾股定理，三角形的面積公式等知識點，熟練掌握全等三角形的判定與性質及勾股定理是解題的關鍵．44．如圖，中，，E為邊上的一點，連接并延長，過點A作，垂足為D，若，，．記的面積為，的面積為，則的值為（

）．

A．56 B．66 C．74 D．84【答案】B【分析】此題考查了勾股定理，直角三角形的面積．解題的關鍵是利用“割補法”將兩三角形的面積差轉化為另外兩個三角形的面積差．先利用勾股定理求得的長，然后再求得的長，根據題意推出再由三角形面積公式求解即可．【詳解】解：∵∴，由知，又∴故選：B．45．如圖，在中，，，三角形的頂點在相互平行的三條直線上，且之間的距離為1，之間的距離為2，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查了全等三角形的性質和判定、勾股定理的應用，解題關鍵是作出輔助線，構造直角三角形，并運用全等三角形的判定和性質以及勾股定理進行計算．作于，作于，構造出直角三角形，根據三角形全等求出，由勾股定理求出的長，再利用勾股定理即可求出的值．【詳解】解：作于，作于，∵之間的距離為1，之間的距離為2，∴，，∵，∴，又∵，∴，在和中，，∴，∴，在中，根據勾股定理，得，∴，在中，根據勾股定理，得．故選：A．鞏固訓練1．如圖，直線l上有三個正方形a，b，c．若a，b的面積分別為5和11，則c的面積為（

）A．6 B．16 C．4 D．55【答案】A【分析】本題主要考查了全等三角形的判定和性質以及勾股定理，熟練掌握全等三角形的判定是解題的關鍵．利用正方形邊長相等，結合全等三角形和勾股定理可得出，進而計算即可．【詳解】解：有三個正方形a，b，c，，，，，，，，，，在中，勾股定理得：，．∴故選A．2．如圖，在中，，，將繞點A逆時針旋轉60°，得到，連接CE，則CE的長是．

【答案】4【分析】本題考查勾股定理，旋轉的性質和等邊三角形的判定與性質，根據旋轉的性質得出是等邊三角形是解題的關鍵．由旋轉的性質可知，，，故是等邊三角形，即可求解．【詳解】解：∵，，∴，由旋轉的性質可知，，，∴是等邊三角形，∴．故答案為：4．3．如圖，有一塊直角三角形紙片，兩直角邊，，現將直角邊沿直線折疊，使點落在斜邊上的點處，試求的長．(1)求的長；(2)求的長．【答案】(1)(2)【分析】本題主要考查的是翻折變換以及勾股定理的應用；熟練掌握翻折的性質和勾股定理是解題的關鍵．（1）由勾股定理求得的長，然后由翻折的性質求得，即可求解；（2）設，則，，在中，利用勾股定理列方程求解即可．【詳解】（1）解：∵在中，兩直角邊，，，由折疊的性質可知：，；（2）解：設，則，，在中，由勾股定理得：，即，解得：，∴．題型十六勾股定理與折疊問題46．如圖，三角形紙片中，，，，沿和將紙片折疊，使點和點都落在邊上的點處，則的長是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查了折疊的性質，勾股定理，掌握折疊的性質以及勾股定理是解題的關鍵．根據題意可得，，，可得，繼而設，則，根據勾股定理即可求解．【詳解】解：∵沿紙片折疊，使點B落在邊上的點P處，∴，，∵折疊紙片，使點C與點P重合，∴，∵，∴，∴，∴，∴，設，則，在中，由勾股定理得∴，解得，即，∴，故選：B．47．如圖，中，，，，，，，P是直線上一點，把沿所在的直線翻折后，點C落在直線上的點H處，（

）．A．10 B． C．8或 D．10或【答案】D【分析】本題主要考查了勾股定理與折疊問題，分兩種情況：當P點在E點左邊時；當P點在E點右邊時．分別畫出圖形，利用折疊性質得到，利用勾股定理求出，再在中，利用勾股定理建立方程解答即可．【詳解】解：當P點在E點左邊時，如圖1所示，由折疊的性質得，∵，，，∴，∵，，，∴，∴，設，則，，在中，由勾股定理得，∴，解得，，即；當P點在E點右邊時，如圖2所示，由折疊的性質可得，∴，設，則，，在中，由勾股定理得，∴，解得，，即；綜上所述，或10；故選：D．48．如圖，，將邊沿翻折，使點A落在上的點D處；再將邊沿翻折，使點B落在的延長線上的點處，兩條折痕與斜邊分別交于點E、F，則線段的長為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】依據勾股定理以及面積法即可得到的長，再根據是等腰直角三角形，即可得到的長；利用勾股定理求得的長，即可得到的長，進而得出的長．本題考查了折疊問題，我們常常設要求的線段長為，然后根據折疊和軸對稱的性質用含的代數式表示其他線段的長度，選擇適當的直角三角形，運用勾股定理列出方程求出答案．【詳解】解：中，，，，由勾股定理可得，將邊沿翻折，使點落在上的點處，，，，，，在中，，將邊沿翻折，使點落在的延長線上的點處，，，，，又，，，，，故選：B．鞏固訓練1．如圖，長方形紙片中，，，將此長方形紙片折疊，使點與點重合，點落在點的位置，折痕為，則的長度為(

)A．6 B．10 C．24 D．48【答案】B【分析】本題考查了勾股定理與折疊問題；由折疊可知，設利用勾股定理進行分析計算即可．【詳解】解：由折疊可知，設由勾股定理可得，即，解得，，故選：B．2．如圖，在直角中，直角邊，現要在上找一點D，使得將沿翻折后，點C落在斜邊上，則．

【答案】3【分析】本題考查折疊的性質，勾股定理等．根據折疊的性質可得，，，設，用勾股定理解，即可求解．【詳解】解：設翻折后點C在斜邊上的對應點為E，中，，，由折疊的性質可得，，，．設，則，在中，，，解得，，故答案為：3．3．如圖，，寬的長方形紙片；將紙片沿著直線折疊，點D恰好落在邊上的點F處，解答下列問題：(1)求的長；(2)求的長．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據折疊的性質可得，在中，由勾股定理，即可求解；（2）根據折疊的性質可得，設，則，在中，由勾股定理，即可求解．【詳解】（1）解：在長方形中，，，∵將紙片沿著直線折疊，點D恰好落在邊上的點F處，∴，在中，由勾股定理得：；（2）解：∵，，，∴，，∵將紙片沿著直線折疊，點D恰好落在邊上的點F處，∴，設，則，在中，，∴，解得：，即．【點睛】本題主要考查了勾股定理，圖形的折疊問題，熟練掌握勾股定理，圖形折疊的性質是解題的關鍵．題型十七勾股定理的應用149．如圖，一架25分米長的梯子，斜靠在一豎直的墻上，這時梯子的底端距墻底部7分米，如果梯子的頂端沿墻下滑4分米，那么梯子的底端將向外平滑（

）A．9分米 B．15分米 C．5分米 D．8分米【答案】D【分析】本題考查勾股定理的應用．掌握直角三角形三邊之間滿足兩直角邊的平方和等于斜邊的平方是解決此題的關鍵．注意：整個過程中，梯子的長度不變．先利用勾股定理求出，再根據頂端下滑4分米求出，根據勾股定理求出，即可得出底部平滑的距離．【詳解】解：在中，根據勾股定理分米，當梯子的頂端沿墻下滑4分米時，梯子的頂部距離墻底端距離：分米，在中根據勾股定理分米，則梯子的底部將向外平滑距離：分米．故選：D50．如圖，《九章算術》中的“折竹抵地”問題：今有竹高一丈，末折抵地，問折高者幾何？意思是：一根竹子，原高一丈（一丈=十尺），其竹梢恰好抵地，抵地處離竹子底部6尺遠，根據題意，可列方程為（

）

A． B．C． D．【答案】D【分析】此題考查了勾股定理的應用，解題的關鍵是利用題目信息構造直角三角形，從而運用勾股定理解題．竹子折斷后剛好構成一直角三角形，設竹子折斷處離地面x尺，則斜邊為尺，利用勾股定理列出方程即可．【詳解】解：設竹子折斷處離地面x尺，則斜邊為尺，根據勾股定理得：．故選D51．如圖，某自動感應門的正上方裝著一個感應器，離地距離米，當人體進入感應范圍內時，感應門就會自動打開，一個身高米的學生剛走到離門間距米的地方時，感應門自動打開，則該感應器感應長度為（）A．米 B．米 C．米 D．米【答案】B【分析】本題考查勾股定理的應用，解題的關鍵是理解題意，學會添加常用輔助線，構造直角三角形解決問題．過點作于點，利用勾股定理求解即可．【詳解】解：如圖，過點作于點．，四邊形是長方形，米，米，米，（米，（米．故選：B．鞏固訓練1．一架長10米的梯子斜立在一豎直的墻上，這時梯足距墻底端6米，如果梯子的頂端沿墻下滑2米，那么梯足將滑（

）A．米 B．米 C．1米 D．2米【答案】D【分析】本題主要考查了勾股定理的實際應用，先在中，利用勾股定理得到，再求出，接著利用勾股定理求出，進而得到，據此可得答案．【詳解】解：如圖所示，在中，，且，∴，∴，∵，∴在中，由勾股定理得，∴，∴梯足將滑2米，故選：D．2．如圖在一棵樹的高的D處有兩只猴子，其中一只猴子爬下樹走到離樹處的池塘A處，另一只爬到樹頂C處后直接躍向池塘A處．如果兩只猴子所經過的距離相等，試問這棵樹高m．【答案】15【分析】本題考查的是勾股定理的靈活運用，要求在變通中熟練掌握勾股定理．設，根據題意得到，，然后利用勾股定理列方程求解即可．【詳解】解：根據題意得，，，，設，∴，∴∵∴，即∴∴∴．即：這棵樹的高度為．故答案為：．3．如圖，有兩棵樹，一棵樹高AC是10米，另一棵樹高BD是4米，兩樹相距8米（即CD=8米），一只小鳥從一棵樹的樹梢A點處飛到另一棵樹的樹梢B點處，則小鳥至少要飛行多少米？【答案】小鳥至少飛行了10米【分析】根據“兩點之間線段最短”可知：小鳥沿著兩棵樹的樹梢進行直線飛行，所行的路程最短，運用勾股定理可將兩點之間的距離求出．【詳解】解：如圖，大樹高為AC=10米，小樹高為BD=4米，過點B作BE⊥AC于E，則四邊形EBDC是矩形，連接AB，∴EC=BD=4（米），EB=CD=8（米），∴AE=AC-EC=10-4=6（米），在中，（米），答：小鳥至少飛行了10米．【點睛】本題考查勾股定理的應用，善于觀察題目的信息是解題的關鍵．題型十八勾股定理的應用252．《九章算術》是我國古代最重要的數學著作之一，在“勾股”章中記載了一道“折竹抵地”問題：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，問折者高幾何?”翻譯成數學問題是：如圖所示，在中，，求的長，如果設，則可列方程為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】此題考查了勾股定理的實際應用，設，則，根據列得等式，熟練掌握勾股定理是解題的關鍵【詳解】解：設，則，∵，∴∴，故選：B53．如圖，一支鉛筆放在圓柱體筆筒中，筆筒的內部底面直徑是，內壁高，則這支鉛筆在筆筒內部的長度的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】本題考查了勾股定理的運用，根據題意，當筆斜放時，運用勾股定理可得的最大值，當筆豎立時可得最小值，由此即可求解．【詳解】解：當筆豎立時，；當筆斜放時，，∴，故選：A．54．如圖，鐵路和公路在點處交匯，．公路上處距點240米，如果火車行駛時，周圍200米以內會受到噪音的影響．那么火車在鐵路上沿方向以20米/秒的速度行駛時，處受噪音影響的時間為（

）

A．12秒 B．16秒 C．20秒 D．30秒【答案】B【分析】本題考查的是點勾股定理的應用，過點作，利用直角三角形的性質求出的長與相比較，發(fā)現受到影響，然后過點作，求出的長即可得出受噪音影響的時間．【詳解】解：如圖：過點作，米，，米，米，當火車到點時對處產生噪音影響，此時米，米，米，由勾股定理得：米，米，即米，火車在鐵路上沿方向以20米秒的速度行駛，影響時間應是：秒．故選：B．

鞏固訓練1．《九章算術》有個問題“折竹抵地”：今有竹高一丈，末折抵地，去根六尺．問折高者幾何？意思是：一根竹子，原高一丈（一丈尺），一陣風將竹子折斷，其竹梢恰好抵地，抵地處離竹子底部4尺遠，問折斷處離地面的高度是多少？設折斷處離地面的高度為x尺，則可列方程為（

）

A． B．C． D．【答案】D【分析】本題考查了勾股定理的應用，正確畫出圖形，熟練掌握勾股定理的內容是解題的關鍵．【詳解】解：設折斷處離地面的高度為x尺，則，，在中，，即．故選D．

2．如圖，有一個長方體盒子，其長、寬、高分別是、、，則該長方體盒子內可放入的木棒（木棒的粗細忽略不計）的長度最長是．【答案】【分析】此題考查勾股定理的應用，解題關鍵在于理解最長的木棒和矩形的高，以及長和寬組成的長方形的對角線長組成了直角三角形．兩次運用勾股定理：兩直角邊的平方和等于斜邊的平方即可解決．【詳解】解：長和寬組成的長方形的對角線長為．這根最長的木棒和矩形的高，以及長和寬組成的長方形的對角線組成了直角三角形．盒內可放木棒最長的長度是．故答案為：．3．今年，第13號臺風“貝碧嘉”9月16日登陸后的影響還在持續(xù)，第14號臺風“普拉?！焙偷?5號臺風“蘇力”又于19日登陸．A市接到臺風警報時，臺風中心位于距離A市的B處（即），正以的速度沿直線方向移動．(1)已知A市到的距離，那么臺風中心從B點移到D點經過多長時間？(2)如果在距臺風中心的圓形區(qū)域內都將受到