專題3-7 拋物線幾何性質(zhì)與最值【13類?？碱}型】（解析版）-A4

1/48第頁專題3-7拋物線幾何性質(zhì)與最值【13類?？碱}型匯總】總覽總覽題型解讀TOC\o"1-3"\n\h\z\u模塊一拋物線的概念與基本性質(zhì)【題型1】拋物線的焦點(diǎn)弦【題型2】拋物線的焦半徑相關(guān)計(jì)算【題型3】拋物線的軌跡問題【題型4】拋物線的光學(xué)性質(zhì)【題型5】拋物線的實(shí)際應(yīng)用問題【題型6】利用幾何性質(zhì)計(jì)算求值（結(jié)合相似或三角函數(shù)）模塊二拋物線中最值問題【題型7】拋物線中涉及焦半徑的線段和差最值問題【題型8】拋物線上的點(diǎn)到準(zhǔn)線距離的最值【題型9】拋物線上的點(diǎn)到定點(diǎn)距離最小問題【題型10】拋物線上的點(diǎn)到直線距離最小問題【題型11】拋物線上的點(diǎn)到圓上的點(diǎn)距離問題【題型12】弦中點(diǎn)與弦長相關(guān)的最值問題【題型13】結(jié)合基本不等式求最值題型題型匯編知識梳理與?？碱}型模塊一拋物線的概念與基本性質(zhì)一、拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程的幾種形式圖形標(biāo)準(zhǔn)方程焦點(diǎn)坐標(biāo)準(zhǔn)線方程y2＝2px(p>0)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0))x＝－eq\f(p,2)y2＝－2px(p>0)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(p,2)，0))x＝eq\f(p,2)x2＝2py(p>0)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(p,2)))y＝－eq\f(p,2)x2＝－2py(p>0)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(p,2)))y＝eq\f(p,2)二、拋物線的簡單幾何性質(zhì)類型y2＝2px(p>0)y2＝－2px(p>0)x2＝2py(p>0)x2＝－2py(p>0)圖象性質(zhì)焦點(diǎn)Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0))Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(p,2)，0))Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(p,2)))Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(p,2)))準(zhǔn)線x＝－eq\f(p,2)x＝eq\f(p,2)y＝－eq\f(p,2)y＝eq\f(p,2)范圍x≥0，y∈Rx≤0，y∈Rx∈R，y≥0x∈R，y≤0對稱軸x軸y軸頂點(diǎn)O(0,0)離心率e＝1開口方向向右向左向上向下三、拋物線的焦點(diǎn)弦1．已知AB是過拋物線y2＝2px(p>0)的焦點(diǎn)的弦，F(xiàn)為拋物線的焦點(diǎn)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，則：(1)y1y2＝－p2，x1x2＝eq\f(p2,4)；(2)|AB|＝x1＋x2＋p＝eq\f(2p,sin2θ)(θ為直線AB的傾斜角)；(3)S△ABO＝eq\f(p2,2sinθ)(θ為直線AB的傾斜角)；(4)eq\f(1,|AF|)＋eq\f(1,|BF|)＝eq\f(2,p)；(5)以AB為直徑的圓與拋物線的準(zhǔn)線相切．2．當(dāng)直線經(jīng)過拋物線的焦點(diǎn)，且與拋物線的對稱軸垂直時(shí)，直線被拋物線截得的線段稱為拋物線的通徑，顯然通徑長等于2p【題型1】拋物線的焦點(diǎn)弦拋物線的焦點(diǎn)弦已知AB是過拋物線y2＝2px(p>0)的焦點(diǎn)的弦，F(xiàn)為拋物線的焦點(diǎn)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，則：|AB|＝x1＋x2＋p過拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)作直線交拋物線于A(x1，y1)，B(x2，y2)兩點(diǎn)，若x1＋x2＝6，則|AB|＝________.【答案】8【解析】|AB|＝x1＋x2＋p＝6＋2＝8.已知AB是拋物線2x2＝y(tǒng)的焦點(diǎn)弦，若|AB|＝4，則AB的中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為________．【答案】eq\f(15,8)【解析】設(shè)AB的中點(diǎn)為P(x0，y0)，分別過A，P，B三點(diǎn)作準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為A′，Q，B′.由題意得|AA′|＋|BB′|＝|AB|＝4，|PQ|＝eq\f(|AA′|＋|BB′|,2)＝2.又|PQ|＝y(tǒng)0＋eq\f(1,8)，所以y0＋eq\f(1,8)＝2，則y0＝eq\f(15,8).過拋物線的焦點(diǎn)F作直線交拋物線于兩點(diǎn)，若，則線段中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為．【答案】2【分析】先根據(jù)拋物線方程求出的值，再由拋物線的性質(zhì)可得到答案．【詳解】拋物線，∴，設(shè)經(jīng)過點(diǎn)的直線與拋物線相交于A、B兩點(diǎn)，其橫坐標(biāo)分別為，，利用拋物線定義，AB中點(diǎn)橫坐標(biāo)為過拋物線的焦點(diǎn)作直線，交拋物線于、兩點(diǎn)，的中點(diǎn)為，若，則點(diǎn)的橫坐標(biāo)為.【答案】3【分析】先求得拋物線的焦點(diǎn)，當(dāng)軸時(shí)，不滿足題意，繼而設(shè)直線的方程為：，，，，.與拋物線的方程聯(lián)立化簡得，根據(jù)弦長公式建立方程，求解可得，從而可求得線段中點(diǎn)的橫坐標(biāo).【詳解】解：由拋物線，得焦點(diǎn)，若軸，則，不符合條件，舍去.設(shè)直線的方程為：，，，，.聯(lián)立，化為，，.，化為，解得，當(dāng)時(shí)，聯(lián)立，化為，，因此.同理可得：時(shí)，.線段中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為3.【題型2】拋物線的焦半徑相關(guān)計(jì)算涉及焦半徑長度的條件一般轉(zhuǎn)化為到準(zhǔn)線距離問題（雅禮中學(xué)高二期中）拋物線焦點(diǎn)為F，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，M為拋物線上一點(diǎn)，且，的面積為，則拋物線方程為A． B． C． D．【答案】B【詳解】設(shè)，則由得，即，則，則，則，解得，即拋物線的方程為．．已知拋物線上的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離為，焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線l與x軸的交點(diǎn)為M，過C上一點(diǎn)P作PQ⊥l于Q，若，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)點(diǎn)到原點(diǎn)的距離為求出拋物線方程，再設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)，利用拋物線的定義和等腰三角形的性質(zhì)列出方程即可求解.【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)到原點(diǎn)的距離為，所以，解得，（負(fù)值舍），將點(diǎn)代入拋物線方程y2=2pxp>0，得，所以，所以.

由于拋物線關(guān)于軸對稱，不妨設(shè)，因?yàn)?，，所以為等腰三角形，，所以，所以，解得?舍)，所以.（23-24高二上·廣西玉林·期末）已知拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線與軸的交點(diǎn)為，點(diǎn)在拋物線上，且，則的面積為（

）A． B． C．1 D．2【答案】B【分析】求出拋物線焦點(diǎn)、準(zhǔn)線，過點(diǎn)作于，結(jié)合拋物線定義及圖形可得，再設(shè)出點(diǎn)即可計(jì)算得解.【詳解】拋物線的焦點(diǎn)，準(zhǔn)線，過點(diǎn)作，垂足為，由，得，于是，設(shè)，則，解得，所以的面積.故選：B（23-24高二上·山東泰安·期末）已知拋物線，過其焦點(diǎn)且傾斜角為的直線與拋物線交于兩點(diǎn)（在第一象限），若，則拋物線的方程為．【答案】【分析】利用拋物線定義化斜為直，轉(zhuǎn)化已知條件到中，建立關(guān)于的方程求解即可.【詳解】拋物線，則焦點(diǎn)，準(zhǔn)線.過點(diǎn)作準(zhǔn)線，垂足為，作軸，垂足為，準(zhǔn)線與軸交點(diǎn)為.由拋物線定義可知，又，在中，，則有，得，解得，故所求拋物線的方程為.若拋物線y2=4x上一點(diǎn)P到x軸的距離為2，則點(diǎn)P到拋物線的焦點(diǎn)F的距離為（

）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】A【解析】根據(jù)拋物線y2=4x上一點(diǎn)P到x軸的距離為2，得到點(diǎn)P(3，±2)，然后利用拋物線的定義求解.【詳解】由題意，知拋物線y2=4x的準(zhǔn)線方程為x=-1，∵拋物線y2=4x上一點(diǎn)P到x軸的距離為2，則P(3，±2)，∴點(diǎn)P到拋物線的準(zhǔn)線的距離為3+1=4，∴點(diǎn)P到拋物線的焦點(diǎn)F的距離為4.（23-24高二上·云南·期末）已知拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，是上一點(diǎn)，是直線與的交點(diǎn)，若，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用平面向量坐標(biāo)的線性運(yùn)算結(jié)合可求出點(diǎn)的橫坐標(biāo)，再利用拋物線的焦半徑公式可求得的值.【詳解】法一：做QH垂直y軸于H，利用相似計(jì)算FQ即可法二：易知拋物線的焦點(diǎn)為F1,0，準(zhǔn)線方程為，設(shè)點(diǎn)、，因?yàn)?，即，可得，解得，即點(diǎn)，由拋物線的焦半徑公式可得.（23-24高二上·遼寧大連·期末）從拋物線上一點(diǎn)P作拋物線準(zhǔn)線的垂線，垂足為M，設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為F，若是正三角形，則（

）A． B．1 C． D．2【答案】D【分析】設(shè)Px0,y0，由，列出關(guān)系式求出【詳解】設(shè)Px0,y0，，，因?yàn)槭钦切?，所以，因?yàn)?，所以即，又因?yàn)椋獾没颍ㄉ幔?故選：D.

【題型3】拋物線的軌跡問題若動點(diǎn)到點(diǎn)的距離和它到直線的距離相等，則動點(diǎn)的軌跡是（

）A．橢圓 B．拋物線 C．直線 D．雙曲線【答案】B【詳解】動點(diǎn)到點(diǎn)的距離和它到直線的距離相等，而點(diǎn)不在直線，所以動點(diǎn)的軌跡是以點(diǎn)到直線的垂線段中點(diǎn)為頂點(diǎn)，開口向右的拋物線.設(shè)圓與y軸交于A，B兩點(diǎn)（A在B的上方），過B作圓O的切線l，若動點(diǎn)P到A的距離等于P到l的距離，則動點(diǎn)P的軌跡方程為（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】因?yàn)閳A與軸交于，兩點(diǎn)（在的上方），所以，，又因?yàn)檫^作圓的切線，所以切線的方程為，因?yàn)閯狱c(diǎn)到的距離等于到的距離，所以動點(diǎn)的軌跡為拋物線，且其焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，所以的軌跡方程為．（23-24高二上·山東煙臺·期末）若動圓與圓外切，又與直線相切，則動圓圓心的軌跡方程為（）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)題意得到到的距離與到直線的距離相等，再利用拋物線的定義即可得解.【詳解】因?yàn)閳A的圓心為，半徑為，設(shè)動圓圓心的坐標(biāo)為，半徑為，則，又動圓與直線相切，即到直線的距離為，所以到直線的距離為，所以到的距離與到直線的距離相等，所以的軌跡為拋物線，其焦點(diǎn)為，所以動圓圓心的軌跡方程為.已知拋物線的焦點(diǎn)為F，動點(diǎn)A，B都在拋物線C上，設(shè)點(diǎn)R是線段AF的中點(diǎn)，則點(diǎn)R的軌跡方程為________【答案】【詳解】設(shè)點(diǎn)，，則，又是拋物線上任意一點(diǎn)，，即若動點(diǎn)到點(diǎn)的距離比它到直線的距離大1，則的軌跡方程是．【答案】【詳解】將化為，動點(diǎn)到點(diǎn)的距離比它到直線的距離大1，則動點(diǎn)到點(diǎn)的距離與它到直線的距離相等，由拋物線定義可知動點(diǎn)的軌跡為拋物線，該拋物線以為焦點(diǎn)，以為準(zhǔn)線，開口向右，設(shè)，所以，解得，所以拋物線方程為若動圓M經(jīng)過雙曲線的左焦點(diǎn)且與直線x＝2相切，則圓心M的坐標(biāo)滿足的方程是．【答案】【詳解】雙曲線的左焦點(diǎn)為F（－2，0），動圓M經(jīng)過F且與直線x＝2相切，則圓心M到點(diǎn)F的距離和到直線x＝2的距離相等，由拋物線的定義知圓心的軌跡是焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為x＝2的拋物線，其方程為．【題型4】拋物線的光學(xué)性質(zhì)探照燈反射鏡的軸截面是拋物線的一部分，光源位于拋物線的焦點(diǎn)處，已知燈口的直徑為60cm，燈深40cm，則拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程可能是()A．y2＝eq\f(25,4)x B．y2＝eq\f(45,4)xC．x2＝－eq\f(45,2)y D．x2＝－eq\f(45,4)y【答案】C解析：如果設(shè)拋物線的方程為y2＝2px(p>0)，則拋物線過點(diǎn)(40,30)，從而有302＝2p×40，即2p＝eq\f(45,2)，所以所求拋物線方程為y2＝eq\f(45,2)x.雖然選項(xiàng)中沒有y2＝eq\f(45,2)x，但C中的2p＝eq\f(45,2)符合題意（23-24高二上·四川德陽·期末）一種衛(wèi)星接收天線（如圖①所示）的曲面是旋轉(zhuǎn)拋物面（拋物線圍繞其對稱軸旋轉(zhuǎn)而得的一種空間曲面，拋物線的對稱軸、焦點(diǎn)、頂點(diǎn)分別稱為旋轉(zhuǎn)拋物面的軸線、焦點(diǎn)、頂點(diǎn)），已知衛(wèi)星波束以平行于旋轉(zhuǎn)拋物面的軸線的方式射入該衛(wèi)星接收天線經(jīng)反射后聚集到焦點(diǎn)處（如圖②所示），已知該衛(wèi)星接收天線的口徑（直徑）為6m，深度為1m，則其頂點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離等于（

）A． B． C．1m D．【答案】A【分析】建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2=2pxp>0，代入點(diǎn)求出，進(jìn)而可得答案【詳解】如圖所示，以接收天線的軸截面所在平面上建立平面直角坐標(biāo)系，使接收天線的頂點(diǎn)（即拋物線的頂點(diǎn)）與原點(diǎn)重合，焦點(diǎn)在上，設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2由已知得在拋物線上，所以，得，其頂點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離等于.拋物線有如下光學(xué)性質(zhì)：過焦點(diǎn)的光線經(jīng)拋物線反射后得到的光線平行于拋物線的對稱軸；反之，平行于拋物線對稱軸的入射光線經(jīng)拋物線反射后必過拋物線的焦點(diǎn)．已知拋物線的焦點(diǎn)為，一條平行于軸的光線從點(diǎn)射出，經(jīng)過拋物線上的點(diǎn)反射后，再經(jīng)拋物線上的另一點(diǎn)射出，則．【答案】【解析】如圖，由題意可知軸，，將代入中得，即,又，則，故的方程為，聯(lián)立，可得，解得，或（此時(shí)C與B關(guān)于x軸對稱，不合題意），則，故，故答案為：.（23-24高二上·山東青島·期末）拋物線有如下光學(xué)性質(zhì)：過焦點(diǎn)的光線經(jīng)拋物線反射之后得到的光線平行于拋物線的對稱軸：反之，平行于拋物線對稱軸的入射光線經(jīng)拋物線反射后必過拋物線的焦點(diǎn)．已知拋物線的焦點(diǎn)為，一條平行于軸的光線從點(diǎn)射出，經(jīng)過拋物線上的點(diǎn)反射后，再經(jīng)拋物線上的另一點(diǎn)射出，則的周長為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)給定條件，求出點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而求出直線方程，與拋物線方程聯(lián)立求出點(diǎn)的坐標(biāo)即得.【詳解】拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，由點(diǎn)在拋物線上，則，直線方程為：，即，由，消去得，解得或，由，得，于是，，而，所以的周長為.故選：D

（23-24高二上·山東聊城·期末）拋物線有如下光學(xué)性質(zhì)：從焦點(diǎn)發(fā)出的光線，經(jīng)過拋物線上的一點(diǎn)反射后，反射光線平行于拋物線的對稱軸；反之，平行于拋物線對稱軸的入射光線經(jīng)拋物線上一點(diǎn)反射后，反射光線必過拋物線的焦點(diǎn)．已知拋物線，一束平行于x軸的光線，從點(diǎn)射入，經(jīng)過C上一點(diǎn)A反射后﹐再經(jīng)C上另一點(diǎn)B反射后，沿直線出，則線段AB的長為（

）．A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)條件設(shè)出直線的方程為，聯(lián)立直線和拋物線方程并消元，得到，由拋物線的焦半徑公式可求得線段AB的長.【詳解】由拋物線的光學(xué)性質(zhì)可知，直線過拋物線的焦點(diǎn)，因?yàn)?，所以令中，則，即，所以直線的方程為：，即，將直線的方程代入中，得，所以，所以.（23-24高二上·廣東肇慶·期末）拋物線有這樣一個(gè)重要性質(zhì)：從焦點(diǎn)發(fā)出的光線經(jīng)過拋物線上一點(diǎn)（不同于拋物線的頂點(diǎn)）反射后，反射光線平行于拋物線的對稱軸．若拋物線（）的焦點(diǎn)為F，從點(diǎn)F發(fā)出的光線經(jīng)過拋物線上點(diǎn)M反射后，其反射光線過點(diǎn)，且，則△FMN的面積為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)給定性質(zhì)，結(jié)合幾何圖形及拋物線的定義求出值，再利用三角形面積公式計(jì)算即得.【詳解】由拋物線的對稱軸為軸，得軸，設(shè)拋物線的準(zhǔn)線與軸交于點(diǎn)，反向延長交拋物線的準(zhǔn)線于點(diǎn)，則，由拋物線的定義得，由，得，因此為等邊三角形，在直角中，，，于是，從而，所以的面積為.故選：A根據(jù)拋物線的光學(xué)性質(zhì)，從拋物線的焦點(diǎn)發(fā)出的光，經(jīng)拋物線反射后光線都平行于拋物線的軸，已知拋物線，若從點(diǎn)Q（3，2）發(fā)射平行于x軸的光射向拋物線的A點(diǎn)，經(jīng)A點(diǎn)反射后交拋物線于B點(diǎn)，則.【答案】【解析】由條件可知AQ與x軸平行，令，可得，故A點(diǎn)坐標(biāo)為，因?yàn)榻?jīng)過拋物線焦點(diǎn)，所以方程為，整理得，聯(lián)立，得，，所以，又，所以，，所以.拋物線的光學(xué)性質(zhì)：經(jīng)焦點(diǎn)的光線由拋物線反射后的光線平行于拋物線的對稱軸（即光線在曲線上某一點(diǎn)處反射等效于在這點(diǎn)處切線的反射），過拋物線上一點(diǎn)作其切線交準(zhǔn)線于點(diǎn)，，垂足為，拋物線的焦點(diǎn)為，射線交于點(diǎn)，若．則，．

【答案】【解析】由拋物線的光學(xué)性質(zhì)知平分，又，所以，所以，由得，設(shè)準(zhǔn)線交軸于點(diǎn)，則，且，且，所以，所以．【題型5】拋物線的實(shí)際應(yīng)用問題（23-24高二上·廣東·期末）如圖1，拋物面天線是指由拋物面（拋物線繞其對稱軸旋轉(zhuǎn)形成的曲面）反射器和位于焦點(diǎn)上的照射器（饋源，通常采用喇叭天線）組成的單反射面型天線，廣泛應(yīng)用于微波和衛(wèi)星通訊等領(lǐng)域，具有結(jié)構(gòu)簡單?方向性強(qiáng)?工作頻帶寬等特點(diǎn).圖2是圖1的軸截面，兩點(diǎn)關(guān)于拋物線的對稱軸對稱，是拋物線的焦點(diǎn)，是饋源的方向角，記為，若，則到該拋物線頂點(diǎn)的距離為（

）

A．2 B．3 C．4 D．6【答案】B【分析】建立平面直角坐標(biāo)系，求出拋物線方程，利用幾何意義求解即可.【詳解】建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，

設(shè)拋物線的方程為，則，即，所以，解得（舍去）或，則到頂點(diǎn)的距離為3.省級保護(hù)文物石城永寧橋位于江西省贛州市石城縣高田鎮(zhèn)永寧橋建筑風(fēng)格獨(dú)特，是一座樓閣式拋物線形石拱橋當(dāng)石拱橋拱頂離水面時(shí)，水面寬，當(dāng)水面下降時(shí)，水面的寬度為米【答案】【分析】建立坐標(biāo)系，設(shè)出拋物線方程為，從而可得A在拋物線上，代入可求出拋物線方程，再令，即可求解．【詳解】建利坐標(biāo)系如圖，設(shè)拋物線方程為且，則根據(jù)題意可知圖中坐標(biāo)為，所以，可得，所以拋物線方程為，令，代入方程，解得，可得到水面兩點(diǎn)坐標(biāo)分別為所以水面的寬度為米．如圖所示，一隧道內(nèi)設(shè)雙行線公路，其截面由一個(gè)長方形和拋物線構(gòu)成，為保證安全，要求行駛車輛頂部（設(shè)為平頂）與隧道頂部在豎直方向上高度之差至少要有，已知行車道總寬度，那么車輛通過隧道的限制高度為（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】建立平面直角坐標(biāo)系，利用拋物線方程運(yùn)算即可得解.【詳解】解：

如上圖，取拋物線的頂點(diǎn)為原點(diǎn)，對稱軸為軸，建立平面直角坐標(biāo)系，則，設(shè)拋物線方程，將點(diǎn)代入拋物線方程解得：，∴拋物線方程為，∵行車道總寬度，∴將代入拋物線方程，解得：，∴車輛通過隧道的限制高度為石城永寧橋，省級文物保護(hù)單位，位于江西省贛州市石城縣高田鎮(zhèn).永寧橋建筑風(fēng)格獨(dú)特，是一座樓閣式拋物線形石拱橋.當(dāng)石拱橋拱頂離水面1.6m時(shí)，水面寬6.4m，當(dāng)水面下降0.9m時(shí)，水面的寬度為（

）A．7m B．7.5m C．8m D．8.5m【答案】C【分析】建立平面直角坐標(biāo)系，求出拋物線方程，利用點(diǎn)的縱坐標(biāo)求解.【詳解】以拱橋的頂點(diǎn)為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，則拱橋所在拋物線如圖，

設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，由題意知，點(diǎn)在拋物線上，代入拋物線方程可得，解得，所以拋物線方程為，由題意，當(dāng)水面下降0.9m時(shí)，點(diǎn)在拋物線上，代入拋物線方程可得，解得，所以水面的寬度為.如圖是一座拋物線形拱橋，當(dāng)橋洞內(nèi)水面寬時(shí)，拱頂距離水面，當(dāng)水面上升后，橋洞內(nèi)水面寬為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】以拋物線的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線的對稱軸為軸，過原點(diǎn)且垂直于軸的直線為軸建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)拋物線的方程為，分析可知點(diǎn)在該拋物線上，求出的值，可得出拋物線的方程，將代入拋物線方程，即可得出結(jié)果.【詳解】以拋物線的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線的對稱軸為軸，過原點(diǎn)且垂直于軸的直線為軸建立如下圖所示的平面直角坐標(biāo)系，設(shè)拋物線的方程為，由題意可知點(diǎn)在拋物線上，所以，，可得，所以，拋物線的方程為，當(dāng)水面上升后，即當(dāng)時(shí)，，可得，因此，當(dāng)水面上升后，橋洞內(nèi)水面寬為.為落實(shí)“二十大”不斷實(shí)現(xiàn)人民對美好生活的向往，某小區(qū)在園區(qū)中心建立一座景觀噴泉．如圖所示，噴頭裝在管柱OA的頂端A處，噴出的水流在各個(gè)方向上呈拋物線狀．現(xiàn)要求水流最高點(diǎn)B離地面4m，點(diǎn)B到管柱OA所在直線的距離為2m，且水流落在地面上以O(shè)為圓心，6m為半徑的圓內(nèi)，則管柱OA的高度為（

）A．2m B．3m C．2.5m D．1.5m【答案】B【分析】建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)拋物線方程為，求出點(diǎn)的坐標(biāo)，代入拋物線方程，即可求得，再將點(diǎn)代入拋物線方程中，求出，即可求得的高度．【詳解】如圖所示，建立平面直角坐標(biāo)系，由題意知，水流的軌跡為一開口向下的拋物線，設(shè)拋物線的方程為，因?yàn)辄c(diǎn)，所以，解得，所以拋物線方程為，點(diǎn)在拋物線上，所以，解得，所以，所以管柱的高度為．（24-25高二上·陜西渭南·期中）圖1為一種衛(wèi)星接收天線，其曲面與軸截面的交線為拋物線的一部分，已知該衛(wèi)星接收天線的口徑，深度，信號處理中心位于焦點(diǎn)處，以頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖2所示的平面直角坐標(biāo)系，則焦點(diǎn)的坐標(biāo)為（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)題意，設(shè)拋物線為且，結(jié)合點(diǎn)在拋物線上求參數(shù)，即可得焦點(diǎn)坐標(biāo).【詳解】由題意，設(shè)拋物線為且，顯然點(diǎn)在拋物線上，所以，則，故焦點(diǎn)的坐標(biāo)為.圖中是拋物線形拱橋，當(dāng)水面在l時(shí)，水面寬4m，水面下降2m后，水面寬8m，則橋拱頂點(diǎn)O離水面l的距離為.【答案】【分析】建立直角坐標(biāo)系，直線交拋物線于兩點(diǎn)，拋物線方程為，，，對應(yīng)的坐標(biāo)為，代入拋物線，解得答案.【詳解】如圖所示，建立直角坐標(biāo)系，直線交拋物線于兩點(diǎn)，拋物線方程為，，設(shè)，水面下降2m后，水面寬8m，對應(yīng)的坐標(biāo)為，則，解得，故拱頂點(diǎn)O離水面l的距離為.（23-24高二上·廣東廣州·期末）如圖是拋物線形拱橋，當(dāng)水面在l時(shí)，拱頂離水面2米，水面寬4米，水面下降0.5米后，水面寬米．【答案】【分析】先建立直角坐標(biāo)系，將點(diǎn)代入拋物線方程求得，得到拋物線方程，再把代入拋物線方程求得進(jìn)而得到答案．【詳解】如圖建立直角坐標(biāo)系，設(shè)拋物線方程為，將代入，得，，代入，得，故水面寬為．一拋物線型的拱橋如圖所示：橋的跨度米，拱高米，在建造時(shí)每隔4米用一個(gè)柱子支撐，則支柱的長度米．【答案】3.84.【分析】建立直角坐標(biāo)系.利用待定系數(shù)法求出拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，求出點(diǎn)的坐標(biāo)，即可求出支柱的長度.【詳解】建立如圖所示的直角坐標(biāo)系,使拋物線的焦點(diǎn)在y軸上.可設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為：.因?yàn)闃虻目缍让?，拱高米，所?代入標(biāo)準(zhǔn)方程得：，解得：，所以拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為把點(diǎn)的橫坐標(biāo)-2代入,得，解得：，支柱的長度為(米).即支柱的長度為3.84(米).（23-24高二上·內(nèi)蒙古赤峰·期末）如圖所示的拋物線型拱橋，設(shè)水面寬米，拱頂距水面8米，一貨船在水面上的部分的橫截面為一矩形，若米，則不超過米時(shí)，才能使貨船通過拱橋．【答案】【分析】以拋物線頂點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，求出拋物線方程后結(jié)合題意計(jì)算即可得.【詳解】以拋物線頂點(diǎn)建立如圖所示平面直角坐標(biāo)系，則O0,0，由，拱頂距水面8米，故，設(shè)該拋物線方程為，有，解得，即，由，令，則，即，，故不超過米時(shí)，才能使貨船通過拱橋.【題型6】利用幾何性質(zhì)計(jì)算求值（結(jié)合相似或三角函數(shù)）已知拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，過的直線與拋物線交于點(diǎn)A、B，與直線交于點(diǎn)D，若且，則.【答案】3【詳解】如圖，設(shè)準(zhǔn)線與軸的交點(diǎn)為，作，垂足分別為，，則.根據(jù)拋物線定義知，，設(shè)，因?yàn)椋?，?設(shè)，所以，所以在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線C：的焦點(diǎn)為F，過的直線l與C交于A，B兩點(diǎn)．若的面積等于的面積的2倍，則．【答案】【分析】根據(jù)題意，過做垂直準(zhǔn)線于點(diǎn)，過做垂直準(zhǔn)線于點(diǎn)，由面積關(guān)系可得為中點(diǎn)，從而得到結(jié)果.【詳解】由題意可得如圖所示圖形，過做垂直準(zhǔn)線于點(diǎn)，過做垂直準(zhǔn)線于點(diǎn)，由拋物線的定義可知，，，因?yàn)閽佄锞€C：，則，設(shè)的面積為，則的面積也為，的面積為，所以，即，即為中點(diǎn)，所以.（23-24高二上·江西·期末）已知拋物線的焦點(diǎn)為，點(diǎn)在拋物線上（異于頂點(diǎn)），過的中點(diǎn)作直線的垂線交軸于點(diǎn)，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】設(shè)(a≠0)，根據(jù)條件得出直線NP的方程為，從而得到，再利用拋物線定義即可求出結(jié)果.【詳解】由題意有，設(shè)(a≠0)，則，直線OM的斜率為，易得直線NP的方程為,令，得，即，由拋物線的定義易得，所以．

已知F是拋物線的焦點(diǎn)，M是C上一點(diǎn)，F(xiàn)M的延長線交y軸于點(diǎn)N，若，則【答案】4【分析】先求出準(zhǔn)線方程為，根據(jù)拋物線定義把焦半徑轉(zhuǎn)化為焦點(diǎn)到準(zhǔn)線距離，在直角梯形中由平行線得比例線段，從而可得，即，從而可得．【詳解】易知焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為，準(zhǔn)線方程為，如圖，作于，于，，可知線段BM平行于AF和DN，因?yàn)?，，，所以，又由定義知，所以.

已知拋物線：的焦點(diǎn)為，點(diǎn)在軸上，線段的延長線交于點(diǎn)，若，則．【答案】4【分析】做準(zhǔn)線于點(diǎn)，軸于點(diǎn)可得，，再由拋物線定義可得答案.【詳解】如圖，做準(zhǔn)線于點(diǎn)，軸于點(diǎn)，所以，因?yàn)?，所以，所以，解?

已知拋物線C：的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，過焦點(diǎn)F作斜率為的直線分別交拋物線C和準(zhǔn)線l于點(diǎn)P，Q，若點(diǎn)P在第一象限，則.【答案】4【分析】過作與準(zhǔn)線垂直，垂足為，設(shè)準(zhǔn)線與軸交點(diǎn)為，根據(jù)拋物線的定義，結(jié)合三角形的性質(zhì)求解即可.【詳解】過作與準(zhǔn)線垂直，垂足為，設(shè)準(zhǔn)線與軸交點(diǎn)為，設(shè)，則.由直線PQ斜率為，則直線PQ傾斜角為，有，又由三角形的性質(zhì)可得，，即，所以，，即.

（23-24高二上·浙江紹興·期末）拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，點(diǎn)為拋物線上一點(diǎn)，滿足（為坐標(biāo)原點(diǎn)），，垂足為，若，則．【答案】【分析】利用拋物線定義，將已知條件轉(zhuǎn)化到中，求得，即的高，進(jìn)而求得面積.【詳解】由已知，則軸，過作軸，垂足為，過作，垂足為，則，四邊形為平行四邊形，所以，且中以為底邊的高即為，在中，由拋物線的定義知，又，則，則.故答案為：.焦點(diǎn)為的拋物線上有一點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，則滿足的點(diǎn)的坐標(biāo)為．【答案】【分析】根據(jù)在拋物線上，代入解得值，從而得到坐標(biāo)，在根據(jù)，得到是線段垂直平分線與線段垂直平分線的交點(diǎn)，求出兩條垂直平分線方程，進(jìn)而求出坐標(biāo).【詳解】解：焦點(diǎn)為的拋物線上有一點(diǎn)，則，解得，所以拋物線方程為，則焦點(diǎn)，，因?yàn)?，所以是線段垂直平分線與線段垂直平分線的交點(diǎn).線段垂直平分線方程為，因?yàn)辄c(diǎn)與點(diǎn)的中點(diǎn)坐標(biāo)為，直線的斜率為，所以線段的垂直平分線斜率，所以線段的垂直平分線方程為，則，解得，所以坐標(biāo)為模塊二拋物線中最值問題【題型7】拋物線中涉及焦半徑的線段和差最值問題涉及焦半徑或到準(zhǔn)線距離的線段和差最值問題時(shí)，往往要把焦半徑和到準(zhǔn)線的距離進(jìn)行互換來求最值（23-24高二上·山西太原·期末）設(shè)拋物線的焦點(diǎn)是，點(diǎn)是拋物線上的動點(diǎn)，且點(diǎn)，則的最小值為（

）A． B．4 C． D．5【答案】C【分析】設(shè)點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為，當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，取得最小值，即可求解.【詳解】解：拋物線的焦點(diǎn)是，準(zhǔn)線方程為：，設(shè)點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為，則，如圖所示：

當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，取得最小值已知P是拋物線x2＝4y上的動點(diǎn)，點(diǎn)P在x軸上的射影是點(diǎn)Q，點(diǎn)A的坐標(biāo)是(8,7)，則|PA|＋|PQ|的最小值為________．[答案]9[解析]拋物線的焦點(diǎn)為F(0,1)，準(zhǔn)線方程為y＝－1，延長PQ交準(zhǔn)線于點(diǎn)M，如圖所示．根據(jù)拋物線的定義知，|PF|＝|PM|＝|PQ|＋1.所以.已知拋物線的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)P在C上，若點(diǎn)，則周長的最小值為（

）．A．13 B．12 C．10 D．8【答案】A【詳解】，故，記拋物線的準(zhǔn)線為，則：，記點(diǎn)到的距離為，點(diǎn)到的距離為，則.

【題型8】拋物線上的點(diǎn)到準(zhǔn)線距離的最值（23-24高二上·湖南長沙·期末）已知點(diǎn)是拋物線上的一個(gè)動點(diǎn)，則點(diǎn)到點(diǎn)的距離與到該拋物線的準(zhǔn)線的距離之和的最小值為（

）A． B．3 C． D．【答案】C【分析】根據(jù)給定條件，確定點(diǎn)與拋物線的位置關(guān)系，再借助拋物線定義求解即得.【詳解】拋物線中，當(dāng)時(shí)，，則點(diǎn)在拋物線外，拋物線的焦點(diǎn)，準(zhǔn)線，過作直線的垂線，垂足為，連接，則，于是，當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)是線段與拋物線的交點(diǎn)時(shí)取等號，所以點(diǎn)到點(diǎn)的距離與到該拋物線的準(zhǔn)線的距離之和的最小值為.（23-24高二上·江蘇蘇州·期末）在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，記拋物線：上的動點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為，則的最大值為．【答案】【分析】將到拋物線的準(zhǔn)線的距離轉(zhuǎn)化為到拋物線焦點(diǎn)F的距離PF，再根據(jù)三角形三邊關(guān)系將的最大值表示為【詳解】由拋物線的定義知，，所以所以，當(dāng)點(diǎn)位于射線與拋物線交點(diǎn)時(shí)，取最大值.故答案為：已知直線和直線，則拋物線上的動點(diǎn)到直線和的距離之和的最小值為.【答案】【分析】利用拋物線的定義將距離和最小值轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到直線的距離求解即可.【詳解】直線為拋物線的準(zhǔn)線，為拋物線的焦點(diǎn)，

過點(diǎn)作于，作于，過作于，由拋物線的定義可得，，當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)等號成立，又，即動點(diǎn)到直線和的距離之和的最小值為.（江西省南昌市第三中學(xué)2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題）已知直線和直線，拋物線上一動點(diǎn)到直線直線的距離之和的最小值是【答案】3【分析】求出焦點(diǎn)F0,1，準(zhǔn)線，作出輔助線，設(shè)動點(diǎn)直線的距離分別為，求出點(diǎn)到直線的距離為，由拋物線定義得到，進(jìn)而得到.【詳解】由題意可得：拋物線的焦點(diǎn)F0,1，準(zhǔn)線，設(shè)動點(diǎn)直線的距離分別為，點(diǎn)到直線的距離為，則，可得，當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)到直線的垂線上且在與之間時(shí)，即時(shí)，等號成立，動點(diǎn)到直線直線的距離之和的最小值是3.

已知拋物線上一點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為，到直線的距離為，則的最小值為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【分析】點(diǎn)到直線的距離為，到準(zhǔn)線的距離為，利用拋物線的定義得，當(dāng)，和共線時(shí)，點(diǎn)到直線和準(zhǔn)線的距離之和的最小，由點(diǎn)到直線的距離公式求得答案.【詳解】由拋物線知，焦點(diǎn)，準(zhǔn)線方程為，根據(jù)題意作圖如下；

點(diǎn)到直線的距離為，到準(zhǔn)線的距離為，由拋物線的定義知：，所以點(diǎn)到直線和準(zhǔn)線的距離之和為，且點(diǎn)到直線的距離為，所以的最小值為.（23-24高二上·河南商丘·期末）已知點(diǎn)是拋物線上任意一點(diǎn)，則點(diǎn)到直線與到直線的距離之和的最小值是．【答案】【分析】根據(jù)拋物線定義可得點(diǎn)到直線的距離等于PF，結(jié)合結(jié)論兩點(diǎn)之間線段最短，垂線段最短求結(jié)論.【詳解】拋物線的焦點(diǎn)的坐標(biāo)為2,0，準(zhǔn)線方程為，由拋物線定義可得點(diǎn)到直線的距離等于PF，過點(diǎn)作直線的垂線，垂足為，所以點(diǎn)到直線與到直線的距離之和等于，由兩點(diǎn)之間線段最短可得，過作直線的垂線，垂足為，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)等號成立．故答案為：.

已知點(diǎn)是拋物線上的動點(diǎn)，則的最小值為.【答案】【分析】根據(jù)已知條件將問題轉(zhuǎn)化為拋物線上的動點(diǎn)到直線和軸的距離之和的最小值，作出圖形，利用拋物線的定義及點(diǎn)到直線的距離公式即可求解.【詳解】由題可知，過拋物線上的動點(diǎn)作直線的垂線交直線于，過點(diǎn)作軸的垂線交軸于，交準(zhǔn)線于點(diǎn)，為拋物線焦點(diǎn)，由，得，所以，如圖所示則動點(diǎn)到軸的距離為所以，當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，有最小值，即(此時(shí)為點(diǎn)到直線的距離)，所以到直線的距離為，所以，所以.所以的最小值為.【題型9】拋物線上的點(diǎn)到定點(diǎn)距離最小問題設(shè)點(diǎn)，用兩點(diǎn)距離公式，再代入拋物線解析式消元得到二次函數(shù)模型已知A(2,0)，B為拋物線y2＝x上的一點(diǎn)，則|AB|的最小值為________．【答案】eq\f(\r(7),2)解析：設(shè)點(diǎn)B(x，y)，則x＝y(tǒng)2≥0，所以|AB|＝eq\r(x－22＋y2)＝eq\r(x－22＋x)＝eq\r(x2－3x＋4)＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(3,2)))2＋\f(7,4)).所以當(dāng)x＝eq\f(3,2)時(shí)，|AB|取得最小值，且|AB|min＝eq\f(\r(7),2)（24-25高二上·陜西渭南·期中）已知，P為拋物線上任一點(diǎn)，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)題意，由兩點(diǎn)間距離公式表示出PQ，再由二次函數(shù)的最值，即可得到結(jié)果.【詳解】依題意，是拋物線上的點(diǎn)，設(shè)Px0,則，對于函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，所以的最小值是，即PQ的最小值為.已知拋物線上的點(diǎn)到定點(diǎn)的最小距離為2，則.【答案】【分析】設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，利用兩點(diǎn)間距離公式建立關(guān)系，再借助二次函數(shù)求出最小值即可得解.【詳解】依題意，設(shè)，于是，則當(dāng)時(shí)，，所以.已知拋物線，點(diǎn)A的坐標(biāo)為，則拋物線上距離點(diǎn)A最近的點(diǎn)P的坐標(biāo)為，距離＝，【答案】；【詳解】設(shè)拋物線上任一點(diǎn)P的坐標(biāo)為，則，則，因?yàn)?，且在此區(qū)間上隨著x的增大而增大，所以當(dāng)x＝0時(shí)，取得最小值，最小值為，則的最小值為.故距離點(diǎn)A最近的點(diǎn)P的坐標(biāo)為，距離是已知點(diǎn)在拋物線上，且為焦點(diǎn)，若為上的一個(gè)動點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，則的最小值為.【答案】【詳解】解：已知點(diǎn)在拋物線上，且為焦點(diǎn)，由定義知，，拋物線.設(shè)，由題意知，則，當(dāng)時(shí)，取得最小值8，則的最小值為.已知拋物線上距離點(diǎn)最近的點(diǎn)恰好是其頂點(diǎn)，則的取值范圍是.【答案】【分析】設(shè)為拋物線上任意一點(diǎn)，則，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可.【詳解】設(shè)為拋物線上任意一點(diǎn)，則，因?yàn)?，所以對稱軸，又由于，且時(shí)，最小，所以，所以.【題型10】拋物線上的點(diǎn)到直線距離最小問題法一：利用點(diǎn)到直線距離公式，再里頭拋物線方程進(jìn)行代換，得到二次函數(shù)模型法二：利用切線來得到求最值（2023上·廣東廣州·高二統(tǒng)考期末）若動點(diǎn)P在直線上，動點(diǎn)Q在曲線上，則|PQ|的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】設(shè)與直線平行的直線的方程為，當(dāng)直線與曲線相切，且點(diǎn)為切點(diǎn)時(shí)，，兩點(diǎn)間的距離最小，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出直線的方程，再利用平行線間的距離公式即可求得結(jié)果.【詳解】設(shè)與直線平行的直線的方程為，∴當(dāng)直線與曲線相切，且點(diǎn)為切點(diǎn)時(shí)，，兩點(diǎn)間的距離最小，設(shè)切點(diǎn)，，所以，，，，點(diǎn)，直線的方程為，兩點(diǎn)間距離的最小值為平行線和間的距離，兩點(diǎn)間距離的最小值為.已知拋物線y2＝2x，直線l的方程為x－y＋3＝0，點(diǎn)P是拋物線上的一動點(diǎn)，則點(diǎn)P到直線l的最短距離為________，此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為________．【答案】eq\f(5\r(2),4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))【解析】：設(shè)點(diǎn)P(x0，y0)是y2＝2x上任意一點(diǎn)，則點(diǎn)P到直線x－y＋3＝0的距離d＝eq\f(|x0－y0＋3|,\r(2))＝eq\f(|y\o\al(2,0)－2y0＋6|,2\r(2))＝eq\f(|y0－12＋5|,2\r(2))，當(dāng)y0＝1時(shí)，dmin＝eq\f(5,2\r(2))＝eq\f(5\r(2),4)，此時(shí)x0＝eq\f(1,2)，所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1)).（23-24高二下·云南紅河·期末）已知直線l：與拋物線C：交于A，B兩點(diǎn)，如圖，點(diǎn)P為拋物線C上的動點(diǎn)，且位于直線AB的下方，則△ABP面積的最大值為.【答案】【分析】利用過點(diǎn)的切線與直線平行時(shí)，的面積最大求出點(diǎn)，然后利用弦長公式求即可.【詳解】當(dāng)拋物線過點(diǎn)的切線與直線平行時(shí)，的面積最大，設(shè)點(diǎn)，由得：，，所以切線的斜率：，解得：，所以，所以，點(diǎn)到直線的距離，由x-2y+2=0x2=4y，消去，得：設(shè)，，則，，所以，所以的面積的最大值為：.（23-24高二下·江蘇鹽城·期中）設(shè)點(diǎn)是曲線上一點(diǎn)，則點(diǎn)到直線最小的距離為.【答案】【分析】設(shè)，利用點(diǎn)到直線距離公式表示出點(diǎn)P到直線距離，根據(jù)函數(shù)最值即可求解.【詳解】點(diǎn)P在曲線上，設(shè)，則點(diǎn)P到直線l的距離為，當(dāng)時(shí)，.已知是拋物線上的動點(diǎn)，則點(diǎn)到直線的距離的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，利用點(diǎn)到直線的距離公式結(jié)合二次函數(shù)的最值可求得點(diǎn)到直線的距離的最小值.【詳解】設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，則點(diǎn)到直線的距離為，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取最小值.所以，點(diǎn)到直線的距離的最小值是.（23-24高二上·安徽六安·期末）拋物線上到直線距離最近的點(diǎn)的坐標(biāo)是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)，然后利用點(diǎn)到直線距離求解即可.【詳解】因?yàn)樗簏c(diǎn)在拋物線上，所以設(shè)所求點(diǎn)為：，所以點(diǎn)到直線距離為：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，有最小值，此時(shí)拋物線上的動點(diǎn)到直線的距離最短時(shí)，到的焦點(diǎn)距離為.【答案】2【分析】設(shè)，求出P到直線距離，結(jié)合絕對值變形后配方可得最小值,最后求出P到C的焦點(diǎn)距離即可．【詳解】設(shè)，則點(diǎn)到直線的距離為,當(dāng)，即當(dāng)時(shí)，拋物線上一點(diǎn)到直線的距離最短，P到C的焦點(diǎn)距離為.【題型11】拋物線上的點(diǎn)到圓上的點(diǎn)距離問題先求出到圓心的距離最值，再加減半徑即可（23-24高三上·云南昆明·階段練習(xí)）若P，Q分別為拋物線C：與圓M：上的兩個(gè)動點(diǎn)，則的最小值為．【答案】/【分析】設(shè)，，由兩點(diǎn)的距離公式求出，由二次函數(shù)的性質(zhì)求出的最大值，的最小值為，即可得出答案.【詳解】設(shè)，則，圓M：的圓心為，，當(dāng)時(shí)等號成立，所以的最小值為.設(shè)點(diǎn)為圓上的一動點(diǎn)，點(diǎn)為拋物線上的一動點(diǎn)，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】設(shè)，可得，利用兩點(diǎn)之間的距離公式可得，結(jié)合二次函數(shù)的單調(diào)性即可判斷出結(jié)論．【詳解】如下圖，設(shè)，則，，當(dāng)且僅