《電路分析基礎(chǔ) 》課件第6章

第六章互感與理想變壓器6.1耦合電感元件6.2耦合電感的去耦等效6.3含互感電路的相量法分析6.4理想變壓器6.5實(shí)際變壓器模型6.1耦合電感元件6.1.1耦合電感的基本概念圖6.1-1是兩個(gè)靠得很近的電感線圈，第一個(gè)線圈通電流i1，它所激發(fā)的磁通為￠11(自磁通)，其中一部分磁通￠21,它不但穿過第一個(gè)線圈，同時(shí)也穿過第二個(gè)線圈。同樣，若在第二個(gè)線圈中通電流i2，它激發(fā)的磁通為￠22。￠22中的一部分￠12

，它不但穿過第二個(gè)線圈，也穿過第一個(gè)線圈。把另一個(gè)線圈中的電流所激發(fā)的磁通穿越本線圈的部分稱為互磁通。如果把互磁通乘以線圈匝數(shù)，就得互磁鏈，即

(6.1-1a)(6.1-1b)

圖6.1-1耦合電感元件仿照自感系數(shù)定義，我們定義互感系數(shù)為

(6.1-2a)(6.1-2b)(6.1-2a)式表明穿越第二個(gè)線圈的互磁鏈與激發(fā)該互磁鏈的第一個(gè)線圈中電流之比，稱為線圈1對(duì)線圈2的互感系數(shù)。(6.1-2b)式表明穿越第一個(gè)線圈的互磁鏈與激發(fā)該互磁鏈的第二個(gè)線圈中電流之比，稱為線圈2對(duì)線圈1的互感系數(shù)?？梢宰C明

所以，后面我們不再區(qū)分M12與M21，都用M表示。若M為常數(shù)且不隨時(shí)間、電流值變化，則稱為線性時(shí)不變互感，我們只討論這類互感?；ジ械膯挝慌c自感相同,也是亨利(H)。這里應(yīng)當(dāng)明確，兩線圈的互感系數(shù)一定小于等于兩線圈自感系數(shù)的幾何平均值，即(6.1-3)這是因?yàn)棣?2≤φ22,φ21≤φ11，所以故(6.1-3)式得證。此式僅說明互感M比 小(最多相等)，它并不能說明M比小到什么程度，為此我們引入耦合系數(shù)k，把互感M與自感L1,L２的關(guān)系寫為上式也可寫為

(6.1-4)式中系數(shù)k稱為耦合系數(shù)，它反映了兩線圈耦合松緊的程度。由(6.1-3)、(6.1-4)式可以看出0≤k≤1,k值的大小反映了兩線圈耦合的強(qiáng)弱，若k=0，說明兩線圈之間沒有耦合；若k=1，說明兩線圈之間耦合最緊，稱全耦合。圖6.1-2耦合系數(shù)k與線圈相互位置的關(guān)系6.1.2耦合電感線圈上的電壓、電流關(guān)系當(dāng)有互感的兩線圈上都有電流時(shí)，穿越每一線圈的磁鏈可以看成是自磁鏈與互磁鏈之和。當(dāng)自磁通與互磁通方向一致時(shí)，稱磁通相助，如圖6.1-3所示。在這種情況下，交鏈線圈1、2的磁鏈分別為

(6.1-5a)(6.1-5b)上式中，ψ11、ψ22分別為線圈1、2的自磁鏈；ψ12、ψ21分別為兩線圈的互磁鏈。

圖6.1-3磁通相助的耦合電感設(shè)兩線圈上電壓、電流參考方向關(guān)聯(lián)，

即其方向與各自磁通的方向符合右手螺旋關(guān)系，則

(6.1-6a)(6.1-6b)如果自磁通與互磁通方向相反，稱磁通相消，如圖6.1-4所示。這種情況，交鏈線圈1、2的磁鏈分別為圖6.1-4磁通相消的耦合電感所以

(6.1-7a)(6.1-7b)由上述分析可見，具有互感的兩線圈上的電壓，在設(shè)其參考方向與線圈上電流參考方向關(guān)聯(lián)的條件下，它等于自感壓降與互感壓降的代數(shù)和，磁通相助取加號(hào)，磁通相消取減號(hào)。

當(dāng)電流分別從兩線圈各自的某端同時(shí)流入(或流出)時(shí)，若兩者產(chǎn)生的磁通相助，則這兩端稱為兩互感線圈的同名端，用標(biāo)志“·”或“*”表示。如果再設(shè)線圈上電壓、

電流參考方向關(guān)聯(lián)，

那么兩線圈上電壓分別為

(6.1-8a)(6.1-8b)

圖6.1-5互感線圈的同名端如果像圖6.1-6所示那樣，設(shè)i1仍是從a端流入，i2不是從c端流入，而是從c端流出，就認(rèn)為(判定)磁通相消。由圖6.1-6可見，兩互感線圈上電壓與其上電流參考方向關(guān)聯(lián)，所以(6.1-9a)(6.1-9b)對(duì)于已標(biāo)出同名端的互感線圈模型(如圖6.1-5(b)、6.1-6所示)，可根據(jù)所設(shè)互感線圈上電壓、電流參考方向?qū)懗龌ジ芯€圈上電壓、電流關(guān)系。上面已講述了關(guān)于互感線圈同名端規(guī)定的含義，那么，如果給定一對(duì)不知繞向的互感線圈，如何判斷出它們的同名端呢?這可采用一些實(shí)驗(yàn)手段來加以判定。

圖

6.1-6

磁通相消情況時(shí)的互感線圈模型

圖6.1-7互感線圈同名端的測(cè)定關(guān)于耦合電感上電壓、電流關(guān)系這里再強(qiáng)調(diào)說明兩點(diǎn)：

(1)耦合電感上電壓、電流關(guān)系式的形式有多種，它與耦合電感的同名端位置有關(guān)，與兩線圈上電壓、電流參考方向設(shè)的情況有關(guān)。若互感兩線圈上電壓、電流都設(shè)成關(guān)聯(lián)參考方向，磁通相助時(shí)可套用(6.1-8)式，磁通相消時(shí)可套用(6.1-9)式。若非此兩種情況，不可亂套用上述兩式。(切記!)

(2)如何正確書寫所遇各種情況的耦合電感上的電壓、電流關(guān)系是至關(guān)重要的。通常，將耦合線圈上電壓看成由自感壓降與互感壓降兩部分代數(shù)和組成。先寫自感壓降：若線圈j(j=1,2)上電壓、電流參考方向關(guān)聯(lián)，則其上自感電壓取正號(hào)，即；反之取負(fù)號(hào)，即。再寫互感壓降部分：觀察互感線圈給定的同名端位置及所設(shè)兩個(gè)線圈中電流的參考方向，若兩電流均從同名端流入(或流出)，則磁通相助，互感壓降與自感壓降同號(hào)，即自感壓降取正號(hào)時(shí)互感壓降亦取正號(hào)，自感壓降取負(fù)號(hào)時(shí)互感壓降亦取負(fù)號(hào)；若一個(gè)電流從互感線圈的同名端流入，另一個(gè)電流從互感線圈的同名端流出，磁通相消，互感壓降與自感壓降異號(hào)，即自感壓降取正號(hào)時(shí)互感壓降取負(fù)號(hào)，自感壓降取負(fù)號(hào)時(shí)互感壓降取正號(hào)。只要按照上述方法書寫，不管互感線圈給出的是什么樣的同名端位置，也不管兩線圈上的電壓、電流參考方向是否關(guān)聯(lián)，

都能正確書寫出它們電壓、電流之間的關(guān)系式。

例6.1-1圖6.1-8(a)所示電路，已知R1=10Ω，L1=5H,L2=2H,M=1H，i1(t)波形如圖6.1-8(b)所示。試求電流源兩端電壓uac(t)及開路電壓ude(t)。圖6.1-8例6.1-1用圖

解由于第2個(gè)線圈開路，其電流為零，所以R2上電壓為零，L2上自感電壓為零，L2上僅有電流i1在其上產(chǎn)生的互感電壓。這一電壓也就是d,e開路時(shí)的電壓。根據(jù)i1的參考方向及同名端位置，可知由于第二個(gè)線圈上電流為零，所以它對(duì)第一個(gè)線圈不產(chǎn)生互感電壓，L1上僅有自感電壓

電流源兩端電壓

在0≤t≤1s時(shí)(由給出的i1(t)波形寫出)所以

在1≤t≤2s時(shí)所以

在t≥2s時(shí)(由觀察i1(t)波形即知)

例6.1-2

圖6.1-9所示互感線圈模型電路，同名端位置及各線圈電壓、電流的參考方向均標(biāo)示在圖上，試列寫出該互感線圈的電壓、電流關(guān)系式(指微分關(guān)系)。圖6.1-9例6.1-2用圖

解先寫第一個(gè)線圈L1上的電壓u1。因L1上的電壓u1與i1參考方向非關(guān)聯(lián)，所以u(píng)1中的自感壓降為。觀察本互感線圈的同名端位置及兩電流i1、i2的流向，可知i1從同名端流出，i2亦從同名端流出，屬磁通相助情況，u1中的互感壓降部分與它的自感壓降部分同號(hào)，即為。將L1上自感壓降部分與互感壓降部分代數(shù)和相加，即得L1上電壓

再寫第二個(gè)線圈L2上的電壓u2。因L2上的電壓u2與電流i2參考方向關(guān)聯(lián)，所以u(píng)2中的自感壓降部分為。考慮磁通相助情況,互感壓降部分與自感壓降部分同號(hào)，所以u(píng)2中的互感壓降部分為。

將L2上自感壓降部分與互感壓降部分代數(shù)和相加，

即得L2上電壓

此例是為了給讀者起示范作用，所以列寫的過程較詳細(xì)。以后再遇到寫互感線圈上電壓、電流微分關(guān)系，線圈上電壓、電流參考方向是否關(guān)聯(lián)、磁通是相助或是相消的判別過程均不必寫出，

直接可寫出(對(duì)本互感線圈)6.2耦合電感的去耦等效6.2.1耦合電感的串聯(lián)等效圖6.2-1互感線圈順接串聯(lián)由所設(shè)電壓、電流參考方向及互感線圈上電壓、電流關(guān)系，得式中(6.2-1)(6.2-2)稱為兩互感線圈順接串聯(lián)時(shí)的等效電感。由(6.2-1)式畫出的等效電路如圖6.2-1(b)所示。

圖6.2-2(a)所示為兩互感線圈的反接串聯(lián)情況。兩線圈相連的端鈕是同名端，類似順接情況，可推得兩互感線圈反接串聯(lián)的等效電路如圖6.2-2(b)所示。圖中

(6.2-3)圖6.2-2互感線圈反接串聯(lián)6.2.2耦合電感的T型等效

1.同名端為共端的T型去耦等效圖6.2-3(a)為一互感線圈，由圖便知L1的b端與L2的d端是同名端(L1的a端與L2的c端也是同名端，同名端標(biāo)記只標(biāo)在兩個(gè)端子上)，電壓、電流的參考方向如圖中所標(biāo)，顯然有(6.2-4)(6.2-5)經(jīng)數(shù)學(xué)變換，

改寫(6.2-4)式與(6.2-5)式，得

(6.2-6)(6.2-7)圖6.2-3同名端為共端的T型去耦等效

2.異名端為共端的T型去耦等效

圖6.2-4(a)所示互感線圈L1的b端與L2的d端是異名端，電流、電壓參考方向如圖中所標(biāo)，顯然有(6.2-8)(6.2-9)

經(jīng)數(shù)學(xué)變換，改寫(6.2-8)式與(6.2-9)式，得

(6.2-10)(6.2-11)圖6.2-4異名端為共端的T型去耦等效

以上討論了耦合電感的兩種主要的去耦等效方法，它們適用于任何變動(dòng)電壓、電流情況，當(dāng)然也可用于正弦穩(wěn)態(tài)交流電路。應(yīng)再次明確，無論是互感串聯(lián)二端子等效還是T型去耦多端子等效，都是對(duì)端子以外的電壓、電流、功率來說的，其等效電感參數(shù)不但與兩耦合線圈的自感系數(shù)、互感系數(shù)有關(guān)，而且還與同名端的位置有關(guān)。

例6.2-1

圖6.2-5(a)為互感線圈的并聯(lián)，其中a,c端為同名端，求端子1、2間的等效電感Leq

。圖6.2-5互感線圈并聯(lián)解應(yīng)用互感T型去耦等效，將(a)圖等效為(b)圖(要特別注意等效端子，將(a),(b)圖中相應(yīng)的端子都標(biāo)上)。應(yīng)用無互感的電感串、并聯(lián)關(guān)系，由(b)圖可得(6.2-12)式為圖6.2-5(a)所示的同名端相連情況下互感并聯(lián)時(shí)求等效電感的公式。若遇異名端相連情況的互感并聯(lián)，可采用與上類似的推導(dǎo)過程推得求等效電感的關(guān)系式為

(6.2-13)(6.2-12)

例6.2-2

如圖6.2-6(a)所示正弦穩(wěn)態(tài)電路中含有互感線圈，已知us(t)=2cos(2t+45°)V，L1=L2=1.5H,M=0.5H，負(fù)載電阻RL=1Ω。求RL上吸收的平均功率PL。圖6.2-6含有互感的正弦穩(wěn)態(tài)電路

解應(yīng)用T型去耦等效將(a)圖等效為(b)圖，再畫相量模型電路如(c)圖。

對(duì)(c)圖，

由阻抗串、

并聯(lián)關(guān)系求得

由分流公式，

得

所以負(fù)載電阻RL上吸收的平均功率

例6.2-3

圖6.2-7(a)所示正弦穩(wěn)態(tài)電路，已知L1=7H,L2=4H,M=2H，R=8Ω,us(t)=20costV，求電流i2(t)。圖6.2-7例6.2-3用圖

解應(yīng)用耦合電感T型去耦等效，將(a)圖等效為(b)圖?？紤]是正弦穩(wěn)態(tài)電路，畫(b)圖的相量模型電路如(c)圖。在(c)圖中，應(yīng)用阻抗串、并聯(lián)等效關(guān)系，求得電流

應(yīng)用阻抗并聯(lián)分流關(guān)系求得電流

故得

6.3含互感電路的相量法分析6.3.1含互感電路的方程法分析對(duì)原電路(即不作去耦等效變換)一般用回路法比較方便。為了討論問題簡(jiǎn)便，假定電路中只含一對(duì)互感，而且我們著眼于兩相耦合電感所在的兩個(gè)回路，對(duì)于不含互感的回路，列寫方程的方法如前所述。如圖6.3-1所示，一般稱與激勵(lì)源相連的線圈為初級(jí)線圈，與負(fù)載相連的線圈為次級(jí)線圈。對(duì)圖6.3-1電路，設(shè)出各回路電流參考方向，并認(rèn)為各元件上的電壓與電流參考方向關(guān)聯(lián)，

則由KVL得

(6.3-1)圖6.3-1兩個(gè)回路的互感電路如果激勵(lì)是任意的時(shí)間函數(shù)，那么求解電流i1，i2就需要在時(shí)間域里解(6.3-1)式所給出的聯(lián)立微分方程組。含互感的電路大多使用于正弦穩(wěn)態(tài)情況。由(6.3-1)式可得相量代數(shù)方程為

(6.3-2)令Z11=R1+jωL1，稱為初級(jí)回路自阻抗；Z22=R2+RL+jωL2，稱為次級(jí)回路自阻抗；Z12=Z21=jωM，稱為初、次級(jí)回路間互阻抗。將Z11、Z22、Z12和Z21代入(6.3-2)式，則可寫出包含一對(duì)互感線圈，具有初、次級(jí)回路的電路的方程一般形式(6.3-3)解(6.3-3)式得

(6.3-3)(6.3-4)對(duì)于圖6.3-1所示的具體電路，將本電路的Z11、Z22代入(6.3-4)、(6.3-5)式，

得

(6.3-6)(6.3-7)有了I1、I2就容易求解出電路中的電壓、功率等。這就是應(yīng)用回路法分析含互感的原型電路的基本過程。

..6.3.2含互感電路的等效法分析等效法實(shí)質(zhì)上是在方程法的基礎(chǔ)上找出求解的某些規(guī)律，把它歸納總結(jié)成公式或定理，遇到類似問題靈活套用來求解電路。像串、并聯(lián)等效，先求得總電壓、總電流，然后再分壓、分流求解電路的方法就是如此。下面介紹由方程法歸納總結(jié)出的初、次級(jí)等效電路。首先討論分析初級(jí)等效電路。

將(6.3-4)式分子、分母同除Z22，得

(6.3-8)令

代入(6.3-8)式，

得

(6.3-10)(6.3-9)圖6.3-2初級(jí)等效電路設(shè)次級(jí)回路自阻抗將Z22代入到(6.3-9)式，得

上式中

(6.3-11)(6.3-12)從初級(jí)端看的輸入阻抗

應(yīng)當(dāng)清楚，該等效電路必須在求得了初級(jí)電流的前提下才可應(yīng)用來求電流,特別應(yīng)注意的是，等效源的極性、大小及相位與耦合電感的同名端、初,次級(jí)電流參考方向有關(guān)。(6.3-13)其次，

再來討論分析次級(jí)等效電路。由(6.3-5)式可知

對(duì)于圖6.3-1所示的互感耦合電路，

Z21=jωM，代入上式得次級(jí)電流

(6.3-14)圖6.3-3次級(jí)等效電路如果直接對(duì)含互感的原電路應(yīng)用戴維寧定理，亦可得到次級(jí)另一種等效電路。為了說明問題簡(jiǎn)便，同時(shí)也為便于比較次級(jí)等效電路的兩種形式，我們?nèi)杂脠D6.3-1電路，并限定在正弦穩(wěn)態(tài)情況來討論。根據(jù)戴維寧定理分析電路的3個(gè)步驟，首先自cd斷開次級(jí)電路，設(shè)出開路電壓Uoc，如圖6.3-4所示。由圖可求得.式中

(6.3-15)圖6.3-4求開路電壓用圖

是次級(jí)開路時(shí)的初級(jí)電流。然后再求等效內(nèi)阻抗Z0。將圖6.3-1中理想電壓源Us短路，在斷開端子c、d間外加電源U，如圖6.3-5所示。這相當(dāng)于將原來的次級(jí)當(dāng)做初級(jí)，原來的初級(jí)當(dāng)做次級(jí)情況，參照式(6.3-13)得..(6.3-16)式中

(6.3-17)稱為初級(jí)回路向次級(jí)回路的反映阻抗，它與Zf1具有類似的性質(zhì)。

圖6.3-5求等效內(nèi)阻抗用圖圖6.3-6次級(jí)等效電路

例6.3-1互感電路如圖6.3-7(a)所示，使用在正弦穩(wěn)態(tài)電路中，圖中L1、L2和M分別為初級(jí)、次級(jí)的電感及互感。將互感電路的次級(jí)22′短路，試證明該電路初級(jí)端11′間的等效阻抗其中圖6.3-7例6.3-1用圖證明(一)

由圖可知反映阻抗

由(6.3-13)式得初級(jí)端11′間的等效阻抗

(6.3-18)考慮耦合系數(shù),代入(6.3-18)式，

得

證明(二)

應(yīng)用T型去耦等效將圖6.3-7(a)等效為圖6.3-7(b)，

顯然11′端的等效電感

考慮，

所以

設(shè)角頻率為ω，則得11′端的等效阻抗

例6.3-2

圖6.3-8(a)所示互感電路，已知R1=7.5Ω,ωL1=30Ω,=22.5Ω,R2=60Ω,ωL2=60Ω,ωM=30Ω,=15∠0°V。求電流R2上消耗的功率P2。圖6.3-8例6.3-2用圖解畫初級(jí)等效電路如圖6.3-8(b)所示。

由(b)圖得

根據(jù)(a)圖所給同名端位置及所設(shè)電流參考方向，可畫次級(jí)等效電路(二)如圖6.3-8(c)所示(注意(c)圖中等效源為,不帶負(fù)號(hào)，想想看，為什么?),由(c)圖求得

R2上消耗功率

例6.3-3

圖6.3-9(a)所示電路，已知=10∠0°V，ω=106rad/s，L1=L2=1mH,C1=C2=1000pF,R1=10Ω,M=20μH。負(fù)載電阻RL可任意改變，問RL等于多大時(shí)其上可獲得最大功率，并求出此時(shí)的最大功率PLmax及電容C2上的電壓有效值UC2。圖6.3-9例6.3-3用圖解自22′處斷開RL,所以

次級(jí)等效電路(二)如圖6.3-9(b)所示，圖中Z22=Z22′+RL=RL。根據(jù)共軛匹配條件可知RL=40Ω時(shí)其上可獲得最大功率。此時(shí)

順便說及一點(diǎn)實(shí)際知識(shí)，如果要選擇元件裝配本例題的電路，對(duì)于選擇C2電容，除使電容量為1000pF外，還應(yīng)能耐壓在250V以上，否則有被擊穿的可能，造成電路不能正常工作。

6.4理想變壓器6.4.1理想變壓器的三個(gè)理想條件理想變壓器多端元件可以看作為互感多端元件在滿足下述3個(gè)理想條件極限演變而來的。條件1：耦合系數(shù)k=1,即全耦合。條件2：自感系數(shù)L1,L2無窮大且L1/L2等于常數(shù)。由(6.1-4)式并考慮條件1，可知也為無窮大。此條件可簡(jiǎn)說為參數(shù)無窮大。條件3：無損耗。這就意味著繞線圈的金屬導(dǎo)線無任何電阻，或者說，繞線圈的金屬導(dǎo)線材料的導(dǎo)電率σ→∞。做芯的鐵磁材料的導(dǎo)磁率μ→∞。由以上3個(gè)條件，我們可以看出3個(gè)條件一個(gè)比一個(gè)苛刻，在工程實(shí)際中永遠(yuǎn)不可能滿足。可以說，實(shí)際中使用的變壓器都不是這樣定義的理想變壓器。但是在實(shí)際制造變壓器時(shí)，從選材到工藝都著眼于這3個(gè)條件作為“努力方向”。譬如說，選用良金屬導(dǎo)線繞線圈，選用導(dǎo)磁率高的硅鋼片并采用疊式結(jié)構(gòu)做成芯，都是為盡可能地減小損耗。再如，采用高絕緣層的漆包線緊繞、密繞、雙線繞，并采取對(duì)外的磁屏蔽措施，都是為使耦合系數(shù)盡可能接近1。又如，理想條件2要求參數(shù)無窮大固然難于做到，但在繞制實(shí)際鐵芯變壓器時(shí)也常常用足夠的匝數(shù)(有的達(dá)幾千匝)為使參數(shù)有相當(dāng)大的數(shù)值。6.4.2理想變壓器的主要性能為便于討論，以圖6.4-1(a)示意圖來分析理想變壓器的主要性能。圖中N1、N2既代表初、次級(jí)線圈，又表示它們各自的匝數(shù)。由(a)圖可判定a、c端是同名端。設(shè)i1、i2分別從同名端流入(屬磁通相助情況)，并設(shè)初、次級(jí)電壓u1、u2與各自線圈上i1、i2參考方向關(guān)聯(lián)。若￠11、￠22分別為穿過線圈N1和線圈N2的自磁通；￠21為第一個(gè)線圈N1中電流i1在第二個(gè)線圈N2中激勵(lì)的互磁通；￠12為第二個(gè)線圈N2中電流i2在第一個(gè)線圈N1中激勵(lì)的互磁通。由圖6.4-1(a)可以看出與線圈N1,N2交鏈的磁鏈ψ1,ψ2分別為(6.4-1a)(6.4-1b)圖6.4-1變壓器示意圖及其模型考慮全耦合(k=1)的理想條件，所以有￠12=￠22,￠21=￠11，則(6.4-2a)(6.4-2b)將(6.4-2)式代入(6.4-1)式，

得

(6.4-3a)(6.4-3b)1.變壓關(guān)系(6.4-4)所以有

若u1、u2參考方向的“+”極性端都分別設(shè)在同名端，則u1與u2之比等于N1與N2之比。

若u1,u2參考方向的“+”極性端都分別設(shè)在同名端，則u1與u2之比等于N1與N2之比。(6.4-5)

在進(jìn)行變壓關(guān)系計(jì)算時(shí)是選用(6.4-4)式或是選用(6.4-5)式?jīng)Q定于兩電壓參考方向的極性與同名端的位置，與兩線圈中電流參考方向如何假設(shè)無關(guān)。圖6.4-2變壓關(guān)系帶負(fù)號(hào)情況的模型

2.變流關(guān)系

考慮理想變壓器是L1、L2無窮大且L1/L2為常數(shù)，k=1的無損耗互感線圈，這里我們從互感線圈的電壓、電流關(guān)系著手，代入理想條件，即得理想變壓器的變流關(guān)系式。由圖6.4-3互感線圈模型寫得

(6.4-6)設(shè)電流初始值為零并對(duì)(6.4-6)式兩端作0～t的積分，得(6.4-7)參見圖6.4-1(a)，聯(lián)系M、L1定義，并考慮k=1條件，所以

(6.4-8)將(6.4-8)式代入(6.4-7)式并考慮L1=∞,于是得

所以有

(6.4-9)圖

6.4-3變流關(guān)系帶負(fù)號(hào)情況的模型

在進(jìn)行變流關(guān)系計(jì)算時(shí)是選用(6.4-9)式還是選用(6.4-10)式取決于兩電流參考方向的流向與同名端的位置，與兩線圈上電壓參考方向如何假設(shè)無關(guān)。(6.4-10)

若假設(shè)i1、i2參考方向中的一個(gè)是從同名端流入，一個(gè)是從同名端流出，如圖6.4-4所示，則這種情況的i1與i2之比為圖

6.4-4變流關(guān)系不帶負(fù)號(hào)時(shí)的模型

理想變壓器不消耗能量，也不貯存能量，所以它是不耗能、不貯能的無記憶多端電路元件。由理想變壓器的變壓關(guān)系式(6.4-4)、變流關(guān)系式(6.4-9)，并考慮(1.2－4)式，得理想變壓器從初級(jí)端口與次級(jí)端口吸收的功率和為

3.變換阻抗關(guān)系理想變壓器在正弦穩(wěn)態(tài)電路里還表現(xiàn)出有變換阻抗的特性。如圖6.4-5所示的理想變壓器，次級(jí)接負(fù)載阻抗ZL，由(6.4-4)、(6.4-9)式代數(shù)關(guān)系式可知，在正弦穩(wěn)態(tài)電路里，理想變壓器的變壓、變流關(guān)系的相量形式也是成立的。對(duì)圖6.4－5所示電路，由設(shè)出的電壓、電流參考方向及同名端位置可得

(6.4-12)(6.4-13)圖6.4-5推導(dǎo)理想變壓器變換阻抗關(guān)系用圖由初級(jí)端看，

輸入阻抗

因負(fù)載ZL上電壓、電流參考方向非關(guān)聯(lián)，,代入上式即得

(6.4-14)

理想變壓器次級(jí)短路相當(dāng)于初級(jí)亦短路；次級(jí)開路相當(dāng)于初級(jí)亦開路。

(1)理想變壓器的3個(gè)理想條件：全耦合、參數(shù)無窮大、無損耗。

(2)理想變壓器的3個(gè)主要性能：變壓、變流、變阻抗。

(3)理想變壓器的變壓、變流關(guān)系適用于一切變動(dòng)電壓、電流情況，即便是直流電壓、電流，理想變壓器也存在上述變換關(guān)系。

(4)理想變壓器在任意時(shí)刻吸收的功率為零，這說明它是不耗能、不貯能、只起能量傳輸作用的電路元件。

例6.4-1

圖6.4-6(a)所示正弦穩(wěn)態(tài)電路，已知

(1)若變比n=2,求電流以及RL上消耗的平均功率PL;(2)若匝比n可調(diào)整，問n=?時(shí)可使RL上獲最大功率，并求出該最大功率PLmax。解(1)從變壓器初級(jí)看去的輸入阻抗

圖6.4-6例6.4-1用圖即

初級(jí)等效電路相量模型如圖6.4-6(b)所示。

所以

因次級(jí)回路只有RL上消耗平均功率，所以初級(jí)等效回路中Rin上消耗的功率就是RL上消耗的功率(2)改變變比n以滿足最大輸出功率條件所以

即當(dāng)變比n=4時(shí)負(fù)載RL上可獲得最大功率，此時(shí)

例6.4-2

圖6.4-7(a)所示電路，理想變壓器匝比為2，開關(guān)S閉合前電容上無貯能，t=0時(shí)開關(guān)S閉合，求t≥0+時(shí)的電壓u2(t)。圖6.4-7例6.4-2用圖

解這個(gè)問題并不涉及正弦穩(wěn)態(tài)電路，但因負(fù)載是純電阻，所以可以把負(fù)載電阻折算到初級(jí)，即

初級(jí)等效電路如圖6.4-7(b)所示，

它是一階RC動(dòng)態(tài)電路，利用三要素法求得

所以

由變壓器變流特性得(a)圖中

再應(yīng)用歐姆定律，得

例6.4-3圖6.4-8電路，求ab端等效電阻Rab。

解設(shè)各電壓電流參考方向如圖中所標(biāo)。由圖可知由歐姆定理及KCL，得

由變流關(guān)系及KCL,得

所以

圖6.4-8例6.4-3用圖6.5實(shí)際變壓器模型6.5.1空芯變壓器

1.全耦合空芯變壓器在對(duì)含有空芯變壓器實(shí)際電路問題的分析中，為了簡(jiǎn)化，常假定空芯變壓器的損耗可忽略，線圈是密繞的，認(rèn)為耦合系數(shù)k≈1，只是參數(shù)是有限值的，這種互感線圈常稱為全耦合空芯變壓器。它的互感線圈形式的模型如圖6.5-1所示。若與理想變壓器3個(gè)理想條件對(duì)照，全耦合空芯變壓器只是不滿足參數(shù)無限大這個(gè)條件，其它兩個(gè)理想條件認(rèn)為都是滿足的。由圖6.5-1中所標(biāo)示的同名端位置及所設(shè)出的電壓、電流參考方向并考慮全耦合時(shí)條件，寫端口電壓、電流關(guān)系為

(6.5-1)(6.5-2)改寫(6.5-1)式得

(6.5-3)將(6.5-2)式代入(6.5-3)式得

所以

(6.5-4)因耦合系數(shù)k=1，所以有￠12=￠22，再聯(lián)系互感、自感系數(shù)定義，M=N1￠12/i2=N1

￠22/i2,L2=N2

￠22/i2,所以有

(6.5-5)

將(6.5-5)式代入(6.5-4)式，

得

(6.5-6)圖6.5-1互感線圈形式模型設(shè)電流的初始值為零，對(duì)(6.5-1)式兩端作從0～t之積分，得

將(6.5-5)式代入上式得

(6.5-7)式中

(6.5－8)(6.5-9)圖6.5-2全耦合空芯變壓器模型

2.非全耦合空芯變壓器一類空芯變壓器兩線圈間的耦合并非很緊密，這種情況就不能再按k≈1去作分析，否則所建立的模型與實(shí)際所表現(xiàn)出的性能差別太大，就失去了分析的意義。非全耦合空芯變壓器仍設(shè)定為沒有損耗。但是，全耦合、參數(shù)無限大這兩個(gè)理想條件它都不滿足，從與理想變壓器的3個(gè)理想條件對(duì)照來看，這類空芯變壓器的非理想程度比全耦合空芯變壓器(它只有一個(gè)理想條件不滿足)嚴(yán)重。為了討論問題敘述方便，我們畫出結(jié)構(gòu)示意圖，如圖6.5-3所示。圖中￠s1、￠s2分別為初、次級(jí)的漏磁通?！閟1的含義為線圈1中的電流i1所激發(fā)磁通￠11中的未再交鏈第二個(gè)線圈的那部分磁通(漏掉了)?！閟2的含義與￠s1類似。根據(jù)自磁通、互磁通的概念，顯然有(6.5-10a)

(6.5-10b)令初、次級(jí)漏磁鏈為

(6.5-11a)(6.5-11b)圖6.5-3非全耦合空芯變壓器示意圖類似自感系數(shù)定義，我們這里定義漏感系數(shù)

(6.5-12a)(6.5-12b)顯然，漏感系數(shù)Ls1、

Ls2的單位也是亨利(H)。

由圖6.5-3及(6.5-10)式可知自磁鏈

自感系數(shù)

同理

(6.5-13)(6.5-14)(6.5-13)式中的LM1、(6.5-14)式中的LM2稱為等效全耦合電感。即是說本來線圈L1與L2之間耦合不是全耦合，通過上述推導(dǎo)，我們把交鏈兩線圈磁通的部分抽出來作為全耦合，所對(duì)應(yīng)的電感系數(shù)，稱等效全耦合電感系數(shù)。引入漏感與全耦合等效電感后，非全耦合空芯變壓器模型可用全耦合空芯變壓器模型在其初、次級(jí)上分別串聯(lián)漏感Ls1、Ls2構(gòu)成。圖6.5-4非全耦合空芯變壓器模型6.5.2鐵芯變壓器在電力供電系統(tǒng)中，在各種電氣設(shè)備電源部分的電路中以及在其他一些較低頻率的電子電路中使用的變壓器大多是鐵芯變壓器。這類變壓器中的鐵芯提供了良好的磁通通路，有聚集磁力線的作用，這使漏磁通少，從而使漏