2024-2025學年高中數(shù)學第二章圓錐曲線與方程3.2雙曲線的簡單性質課時作業(yè)含解析北師大版選修1-1

PAGE3.2雙曲線的簡潔性質[A組基礎鞏固]1．若雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,3)＝1(a>0)的離心率為2，則a等于()A．2 B.eq\r(3)C.eq\f(3,2) D．1解析：∵c2＝a2＋3，∴eq\f(c2,a2)＝eq\f(a2＋3,a2)＝4，得a＝1.答案：D2．已知雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的一個焦點為F(2,0)，且雙曲線的漸近線與圓(x－2)2＋y2＝3相切，則雙曲線的方程為()A.eq\f(x2,9)－eq\f(y2,13)＝1 B.eq\f(x2,13)－eq\f(y2,9)＝1C.eq\f(x2,3)－y2＝1 D．x2－eq\f(y2,3)＝1解析：利用漸近線與圓相切以及焦點坐標，列出方程組求解．由雙曲線的漸近線y＝±eq\f(b,a)x與圓(x－2)2＋y2＝3相切可知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al(\f(|±\f(b,a)×2|,\r(1＋\f(b,a)2))＝\r(3)，,c＝2，,a2＋b2＝c2，)))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝1，,b＝\r(3).))故所求雙曲線的方程為x2－eq\f(y2,3)＝1.答案：D3．已知雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，過點F2作與x軸垂直的直線與雙曲線的一個交點為P，且∠F1PF2＝2∠PF1F2，則該雙曲線的離心率為()A.eq\r(2)－1B.eq\r(2)＋1C.eq\r(2)D.eq\r(3)解析：由題設知∠F1PF2＋∠PF1F2＝90°.又∠F1PF2＝2∠PF1F2，所以∠PF1F2＝30°.不妨設P(c，d)(d>0)，則|PF2|＝d，|PF1|＝2d，|F1F2|＝eq\r(3)d.從而2a＝|PF1|－|PF2|＝2d－d＝d,2c＝|F1F2|＝eq\r(3)d，故e＝eq\f(2c,2a)＝eq\f(\r(3)d,d)＝eq\r(3).答案：D4．若雙曲線經(jīng)過點(6，eq\r(3))，且漸近線方程是y＝±eq\f(1,3)x，則這條雙曲線的方程是()A.eq\f(x2,36)－eq\f(y2,9)＝1 B.eq\f(x2,81)－eq\f(y2,9)＝1C.eq\f(x2,9)－y2＝1 D.eq\f(x2,18)－eq\f(y2,3)＝1解析：設雙曲線的方程為y2－eq\f(x2,9)＝λ(λ≠0)，將(6，eq\r(3))代入該方程可得λ的值．答案：C5．已知雙曲線eq\f(x2,4)－y2＝1，則其漸近線方程是________，離心率e＝________.解析：因為a2＝4，b2＝1，所以c2＝5.即a＝2，c＝eq\r(5).e＝eq\f(\r(5),2).將eq\f(x2,4)－y2＝1中右邊的“1”換為“0”，可解出漸近線方程．答案：y＝±eq\f(1,2)xeq\f(\r(5),2)6．已知直線l與雙曲線C：x2－y2＝2的兩條漸近線分別交于A，B兩點，若AB的中點在該雙曲線上，O為坐標原點，則△AOB的面積為__________．解析：由題意得雙曲線的漸近線方程為y＝±x，設A(x1，x1)，B(x2，－x2)，則AB的中點坐標為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x1＋x2,2)，\f(x1－x2,2)))，∴eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x1＋x2,2)))2－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x1－x2,2)))2＝2，即x1x2＝2，∴S△AOB＝eq\f(1,2)|OA|·|OB|＝eq\f(1,2)|eq\r(2)x1|·|eq\r(2)x2|＝x1x2＝2.答案：27．已知雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的一條漸近線方程是y＝eq\r(3)x，它的一個焦點與拋物線y2＝16x的焦點相同，則雙曲線的方程為________．解析：由雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的一條漸近線方程為y＝eq\r(3)x得eq\f(b,a)＝eq\r(3)，∴b＝eq\r(3)a.∵拋物線y2＝16x的焦點為F(4,0)，∴c＝4.又∵c2＝a2＋b2，∴16＝a2＋(eq\r(3)a)2，∴a2＝4，b2＝12.∴所求雙曲線的方程為eq\f(x2,4)－eq\f(y2,12)＝1.答案：eq\f(x2,4)－eq\f(y2,12)＝18．依據(jù)下列條件求雙曲線的標準方程．(1)過點P(3，－eq\r(5))，離心率為eq\r(2)；(2)與橢圓eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,9)＝1的公共焦點，且離心率e＝eq\f(4,3).解析：(1)若雙曲線的焦點在x軸上，設雙曲線的標準方程為eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)．∵e＝eq\r(2)，∴eq\f(c2,a2)＝2，即a2＝b2.①又雙曲線過點P(3，－eq\r(5))，則eq\f(9,a2)－eq\f(5,b2)＝1，②由①②，得a2＝b2＝4，∴雙曲線的標準方程為eq\f(x2,4)－eq\f(y2,4)＝1.若雙曲線的焦點在y軸上，設雙曲線的標準方程為eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)．同理a2＝b2，③eq\f(5,a2)－eq\f(9,b2)＝1，④由③④，得a2＝b2＝－4(舍去)．綜上，雙曲線的標準方程為eq\f(x2,4)－eq\f(y2,4)＝1.(2)橢圓eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,9)＝1的焦點坐標為(－4,0)和(4,0)，設雙曲線的標準方程為eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)，則c＝4，e＝eq\f(c,a)＝eq\f(4,3)，∴a＝3，b2＝c2－a2＝7，∴所求雙曲線的標準方程為eq\f(x2,9)－eq\f(y2,7)＝1.9．設雙曲線eq\f(x2,9)－eq\f(y2,16)＝1的右頂點為A，右焦點為F.過點F平行于雙曲線的一條漸近線的直線與雙曲線交于點B，求△AFB的面積．解析：雙曲線eq\f(x2,9)－eq\f(y2,16)＝1的右頂點為A(3,0)，右焦點F(5,0)，一條漸近線為y＝－eq\f(4,3)x，則BF所在直線為y＝－eq\f(4,3)(x－5)，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝－\f(4,3)x－5,\f(x2,9)－\f(y2,16)＝1))，得B(eq\f(17,5)，eq\f(32,15))，∴S△AFB＝eq\f(1,2)·|AF|·|yB|＝eq\f(32,15).[B組實力提升]1．已知雙曲線C：eq\f(x2,9)－eq\f(y2,4)＝1的兩條漸近線分別是l1，l2，點M是雙曲線C上一點，若點M到漸近線l1的距離是3，則點M到漸近線l2的距離是()A.eq\f(12,13) B．1C.eq\f(36,13) D．3解析：雙曲線C：eq\f(x2,9)－eq\f(y2,4)＝1的漸近線方程為2x±3y＝0，設M(x1，y1)為雙曲線C上一點，則eq\f(x\o\al(2,1),9)－eq\f(y\o\al(2,1),4)＝1，即4xeq\o\al(2,1)－9yeq\o\al(2,1)＝36，點M到兩條漸近線的距離之積為eq\f(|2x1－3y1|,\r(22＋32))·eq\f(|2x1＋3y1|,\r(22＋32))＝eq\f(|4x\o\al(2,1)－9y\o\al(2,1)|,13)＝eq\f(36,13)為常數(shù)，所以當點M到漸近線l1的距離是3時，點M到漸近線l2的距離是eq\f(36,13)÷3＝eq\f(12,13)，選A.答案：A2．已知等邊三角形ABC中，D，E分別是CA，CB的中點，以A，B為焦點且過D，E的橢圓和雙曲線的離心率分別為e1，e2，則下列關于e1，e2的關系式不正確的是()A．e2＋e1＝2 B．e2－e1＝2C．e2e1＝2 D.eq\f(e2,e1)>2解析：設三角形的邊長為2.由題意，可求得橢圓的離心率e1＝eq\f(2,\r(3)＋1)，雙曲線的離心率e2＝eq\f(2,\r(3)－1)，所以e1＋e2＝2eq\r(3)，e1e2＝2，e2－e1＝2，eq\f(e2,e1)＝2＋eq\r(3)>2.故選A.答案：A3．設雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的右焦點是F，左、右頂點分別是A1，A2，過F作A1A2的垂線與雙曲線交于B，C兩點．若A1B⊥A2C，則該雙曲線的漸近線的斜率為________．解析：依據(jù)兩條直線垂直的條件，求出a，b之間的關系，進一步求出漸近線的斜率．由題設易知A1(－a,0)，A2(a,0)，Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(c，\f(b2,a)))，Ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(c，－\f(b2,a))).∵A1B⊥A2C，∴eq\f(\f(b2,a),c＋a)·eq\f(－\f(b2,a),c－a)＝－1，整理得a＝b.∵漸近線方程為y＝±eq\f(b,a)x，即y＝±x，∴漸近線的斜率為±1.答案：±14．在平面直角坐標系xOy中，P為雙曲線x2－y2＝1右支上的一個動點，若點P到直線x－y＋1＝0的距離大于c恒成立，則實數(shù)c的最大值為________．解析：先求雙曲線的漸近線方程，再結合圖形求c的最大值．所求的c的最大值就是雙曲線的一條漸近線x－y＝0與直線x－y＋1＝0的距離，此距離d＝eq\f(1,\r(2))＝eq\f(\r(2),2).答案：eq\f(\r(2),2)5．已知雙曲線的中心在原點，焦點F1、F2在坐標軸上，離心率為eq\r(2)，且過點(4，－eq\r(10))．(1)求雙曲線方程；(2)若點M(3，m)在雙曲線上，求證：MF1⊥MF2；(3)求△F1MF2的面積．解析：(1)∵e＝eq\r(2)，∴可設雙曲線方程為x2－y2＝λ(λ≠0)．∵過點(4，－eq\r(10))，∴16－10＝λ，即λ＝6.∴雙曲線方程為x2－y2＝6.(2)證明：易知F1(－2eq\r(3)，0)，F(xiàn)2(2eq\r(3)，0)．∴kMF1＝eq\f(m,3＋2\r(3))，kMF2＝eq\f(m,3－2\r(3)).∴kMF1·kMF2＝eq\f(m2,9－12)＝－eq\f(m2,3).∵點(3，m)在雙曲線上，∴9－m2＝6，m2＝3.故kMF1·kMF2＝－1.即MF1⊥MF2.(3)△F1MF2的底|F1F2|＝4eq\r(3)，F(xiàn)1F2上的高h＝|m|＝eq\r(3)，∴S△F1MF2＝eq\f(1,2)×4eq\r(3)×eq\r(3)＝6.6．如圖，已知橢圓的離心率為eq\f(\r(2),2)，以該橢圓上的點和橢圓的左、右焦點F1，F(xiàn)2為頂點的三角形的周長為4(eq\r(2)＋1)，一雙曲線的頂點是該橢圓的焦點，且它的實軸長等于虛軸長，設P為該雙曲線上異于頂點的隨意一點，直線PF1和PF2與橢圓的交點分別為A，B和C，D，其中A，C在x軸的同一側．(1)求橢圓和雙曲線的標準方程．(2)是否存在題設中的點P，使得|eq\o(AB,\s\up6(→))|＋|eq\o(CD,\s\up6(→))|＝eq\f(3,4)eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(CD,\s\up6(→))？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．解析：(1)設橢圓的標準方程為eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)，半焦距為c.由題意，知橢圓的離心率為eq\f(c,a)＝eq\f(\r(2),2)，得a＝eq\r(2)c.∵2a＋2c＝4(eq\r(2)＋1)，∴a＝2eq\r(2)，c＝2，∴b2＝a2－c2＝4，∴橢圓的標準方程為eq\f(x2,8)＋eq\f(y2,4)＝1，∴橢圓的焦點坐標為(±2,0)．∵雙曲線為等軸雙曲線，且頂點是橢圓eq\f(x2,8)＋eq\f(y2,4)＝1的焦點，∴該雙曲線的標準方程為eq\f(x2,4)－eq\f(y2,4)＝1.(2)假設存在滿意題意的點P.設P(x0，y0)，則kPF1＝eq\f(y0,x0＋2)，kPF2＝eq\f(y0,x0－2)，∵點P在雙曲線eq\f(x2,4)－eq\f(y2,4)＝1上，∴kPF1·kPF2＝1.設PF1的方程為y＝k(x＋2)，則PF2的方程為y＝eq\f(1,k)(x－2)，設A(x1，y1)，B(x2，y2)，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(x2,8)＋\f(y2,4)＝1,y＝kx＋2))，得(2k2＋1)x2＋8k2x＋8k2－8＝0，故x1＋x2＝－eq\f(8k2,2k2＋1)，x1x2＝eq\f(8k2－8,2k2＋1).∴|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝eq\r(1＋k2)·eq\r(x1＋x22－4x1x2)＝eq\r(1＋k2)·eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(8k2,2k2＋1)))2－4×\f(8k2－8,2k2＋1))＝eq\f(4\r(2)1＋k2,2k2＋1)，同理|eq\o(CD,\s\up6(→))|＝eq\f(4\r(2)\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,k)))2)),2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,k)))2＋1)＝eq\f(4\r(2)k2＋1,2＋k2)，由題知|eq\o(AB,\s\up6(→))|＋|eq\o(CD,\s\up6(→))|＝eq\f(3,