專題01 分式及其基本性質(zhì)壓軸題十五種模型全攻略（原卷版）

專題01分式及其基本性質(zhì)壓軸題十五種模型全攻略【考點(diǎn)導(dǎo)航】目錄TOC\o"1-3"\h\u【典型例題】 1【考點(diǎn)一分式的識(shí)別】 1【考點(diǎn)二分式有意義的條件】 2【考點(diǎn)三分式無(wú)意義的條件】 4【考點(diǎn)四分式值為零的條件】 4【考點(diǎn)五分式的值】 6【考點(diǎn)六求使分式為正(負(fù))數(shù)時(shí)未知數(shù)的取值范圍】 7【考點(diǎn)七求使分式值為整數(shù)時(shí)未知數(shù)的整數(shù)值】 8【考點(diǎn)八判斷分式變形是否正確】 9【考點(diǎn)九利用分式的基本性質(zhì)判斷分式值的變化】 11【考點(diǎn)十將分式的分子分母的最高次項(xiàng)化為正數(shù)】 12【考點(diǎn)十一將分式的分子分母各項(xiàng)系數(shù)化為整數(shù)】 14【考點(diǎn)十二最簡(jiǎn)分式】 16【考點(diǎn)十三約分】 17【考點(diǎn)十四最簡(jiǎn)公分母】 19【考點(diǎn)十五通分】 20【過(guò)關(guān)檢測(cè)】 23【典型例題】【考點(diǎn)一分式的識(shí)別】例題：（2023上·山東濰坊·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）在，，，，，中分式的個(gè)數(shù)有（

）A．3 B．4 C．5 D．6【變式訓(xùn)練】1．（2023上·湖南永州·八年級(jí)統(tǒng)考階段練習(xí)）下列各式中，是分式的是（

）A． B． C． D．2．（2023上·重慶開州·八年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）在代數(shù)式中，屬于分式的有（

）A．2個(gè) B．3個(gè) C．4個(gè) D．5個(gè)【考點(diǎn)二分式有意義的條件】例題：（2023上·湖南永州·八年級(jí)校聯(lián)考期中）若分式有意義，則的取值范圍是（

）A． B． C．且 D．【變式訓(xùn)練】1．（2023上·內(nèi)蒙古巴彥淖爾·八年級(jí)校考階段練習(xí)）若使分式有意義，則字母x的滿足的條件是（

）A． B． C．且 D．或2．（2023·云南楚雄·統(tǒng)考二模）要使分式有意義，則的取值范圍為____．【考點(diǎn)三分式無(wú)意義的條件】例題：（2023·江蘇常州·常州市第二十四中學(xué)校考一模）當(dāng)x__________時(shí)，分式無(wú)意義．【變式訓(xùn)練】1．（2023秋·湖北咸寧·八年級(jí)統(tǒng)考期末）當(dāng)滿足條件___________時(shí)，分式?jīng)]有意義．2．（2023·山東臨沂·統(tǒng)考一模）要使分式無(wú)意義，則x的取值范圍是_________．【考點(diǎn)四分式值為零的條件】例題：（2023·廣東佛山·佛山市南海區(qū)南海執(zhí)信中學(xué)?？既＃┤舴质降闹禐?，則x的值為(

)A． B． C． D．【變式訓(xùn)練】1．（2023春·廣東佛山·八年級(jí)?？计谥校┤舴质降闹禐榱悖瑒tx的值為（

）A． B．0 C．3 D．2．（2023春·河北保定·八年級(jí)保定十三中?？茧A段練習(xí)）若分式的值為0，則的取值是（

）A． B． C． D．【考點(diǎn)五分式的值】例題：（2023春·江蘇蘇州·八年級(jí)蘇州工業(yè)園區(qū)星灣學(xué)校?？茧A段練習(xí)）若，則分式__．【變式訓(xùn)練】1．（2023春·全國(guó)·八年級(jí)專題練習(xí)）當(dāng)a＝1時(shí)，分式的值是______．2．（2023春·七年級(jí)單元測(cè)試）已知，則分式的值為______．【考點(diǎn)六求使分式為正(負(fù))數(shù)時(shí)未知數(shù)的取值范圍】例題：（2023春·江蘇·八年級(jí)專題練習(xí)）若分式的值大于零，則x的取值范圍是______．【變式訓(xùn)練】1．（2023春·江蘇·八年級(jí)專題練習(xí)）若分式的值為負(fù)數(shù)，x的取值范圍是_________．2．（2023春·全國(guó)·八年級(jí)專題練習(xí)）已知分式的值是正數(shù)，那么的取值范圍是_____．【考點(diǎn)七求使分式值為整數(shù)時(shí)未知數(shù)的整數(shù)值】例題：（2023春·七年級(jí)單元測(cè)試）若表示一個(gè)負(fù)整數(shù)，則整數(shù)________．【變式訓(xùn)練】1．（2023春·山西忻州·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如果m為整數(shù)，那么使分式的值為整數(shù)的m的值為_______．（寫出兩個(gè)即可）2．（2023春·廣東廣州·八年級(jí)廣州市真光中學(xué)?？奸_學(xué)考試）已知的值為正整數(shù)，則整數(shù)m的值為_________________________.【考點(diǎn)八判斷分式變形是否正確】例題：（2023·廣東茂名·統(tǒng)考一模）下列等式中正確的是（

）A． B． C． D．【變式訓(xùn)練】1．（2023春·北京西城·八年級(jí)北京市第一六一中學(xué)?？奸_學(xué)考試）下列變形正確的是（

）A． B． C． D．2．（2023春·安徽六安·七年級(jí)六安市第九中學(xué)?？茧A段練習(xí)）下列變形中，錯(cuò)誤的是（）A． B．C． D．【考點(diǎn)九利用分式的基本性質(zhì)判斷分式值的變化】例題：（2023春·廣東佛山·八年級(jí)校考階段練習(xí)）如果把中x，y的值都擴(kuò)大2倍，那么這個(gè)分式的值（

）A．不變 B．縮小到原來(lái)的 C．?dāng)U大4倍 D．?dāng)U大2倍【變式訓(xùn)練】1．（2023春·河北保定·八年級(jí)保定十三中?？茧A段練習(xí)）當(dāng)，時(shí)，若、都擴(kuò)大為原來(lái)的10倍，則分式的值（

）A．縮小到原來(lái)的 B．?dāng)U大到原來(lái)的10倍C．縮小到原來(lái)的 D．?dāng)U大到原來(lái)的100倍2．（2023春·江蘇宿遷·八年級(jí)統(tǒng)考期中）若把分式中的和都擴(kuò)大2倍，那么分式的值（

）A．不變 B．?dāng)U大2倍 C．縮小為原來(lái)值 D．縮小為原來(lái)值的【考點(diǎn)十將分式的分子分母的最高次項(xiàng)化為正數(shù)】例題：（2023春·浙江·七年級(jí)專題練習(xí)）不改變分式的值，把下列分式的分子與分母的最高次項(xiàng)的系數(shù)都化為正數(shù)．(1)(2)．【變式訓(xùn)練】1．（2023秋·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）不改變分式的值，使下列分式的分子、分母中都不含“”：(1)；(2)(3)(4)2．（2023秋·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）不改變分式的值，使下列分式的分子與分母均按某一字母降冪排列，并使分子、分母的最高次項(xiàng)的系數(shù)都是正數(shù)．(1)；(2)(3)．【考點(diǎn)十一將分式的分子分母各項(xiàng)系數(shù)化為整數(shù)】例題：（2023秋·八年級(jí)單元測(cè)試）不改變分式的值，使得分式的分子和分母的各項(xiàng)系數(shù)都是整數(shù)．（1）_________；（2）__________；（3）________．【變式訓(xùn)練】1．（2023春·江蘇·八年級(jí)期中）不改變分式的值，把分式的分子、分母各項(xiàng)系數(shù)都化為整數(shù)，得_____．2．（2023春·全國(guó)·八年級(jí)專題練習(xí)）不改變分式的值，若把其分子與分母中的各項(xiàng)系數(shù)都化成整數(shù)，其結(jié)果為______．【考點(diǎn)十二最簡(jiǎn)分式】例題：（2023春·山東濟(jì)南·八年級(jí)統(tǒng)考期中）下列分式是最簡(jiǎn)分式的是（

）A． B． C． D．【變式訓(xùn)練】1．（2023春·浙江·七年級(jí)專題練習(xí)）下列等式成立的是（

）A． B． C． D．2．（2023春·湖北武漢·八年級(jí)統(tǒng)考開學(xué)考試）下列分式是最簡(jiǎn)分式的個(gè)數(shù)為(

)①；②；③；④A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【考點(diǎn)十三約分】例題：（2023秋·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）約分：（1）_____________；（2）_____________．【變式訓(xùn)練】1．（2023秋·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）已知，則_____________，_____________．2．（2023春·浙江·七年級(jí)專題練習(xí)）約分：（1）___________；（2）___________；（3）___________．【考點(diǎn)十四最簡(jiǎn)公分母】例題：（2023春·廣東佛山·八年級(jí)佛山市惠景中學(xué)校考期中）分式與的最簡(jiǎn)公分母是______．【變式訓(xùn)練】1．（2023春·浙江·七年級(jí)專題練習(xí)）分式，，的最簡(jiǎn)公分母是_______．2．（2023春·江蘇·八年級(jí)?？贾軠y(cè)）的最簡(jiǎn)公分母是_________【考點(diǎn)十五通分】例題：（2023春·浙江·七年級(jí)專題練習(xí)）通分：(1)與；(2)與．【變式訓(xùn)練】1．（2023春·全國(guó)·八年級(jí)專題練習(xí)）通分：(1)，(2)，．2．（2023秋·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）通分：(1)與；(2)，，；(3)，，；(4)，．【過(guò)關(guān)檢測(cè)】一、單選題1．（2023上·河北唐山·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）下列式子中是分式的是（

）A． B． C． D．2．（2023上·江蘇南通·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）下列分式為最簡(jiǎn)分式的是（

）A． B． C． D．3．（2023上·湖南婁底·九年級(jí)統(tǒng)考期末）已知，下列變形不一定正確的是（

）A． B．C． D．4．（2023上·全國(guó)·八年級(jí)專題練習(xí)）下列說(shuō)法正確的是（）A．代數(shù)式是分式B．分式中x，y都擴(kuò)大3倍，分式的值不變C．分式的值為0，則x的值為D．分式是最簡(jiǎn)分式5．（2023下·全國(guó)·八年級(jí)假期作業(yè)）若取整數(shù)，則使分式的值為整數(shù)的值有（

）A．3個(gè) B．4個(gè) C．6個(gè) D．8個(gè)6．（2023上·湖南邵陽(yáng)·八年級(jí)?？计谥校┤绻粋€(gè)分式的分子或分母可以因式分解，且這個(gè)分式是最簡(jiǎn)分式，那么我們稱這個(gè)分式為“和諧分式”．下列分式中，是“和諧分式”的是（

）（填序號(hào)即可）①；

②；

③；

④．A．① B．② C．③ D．④二、填空題7．（2022上·黑龍江哈爾濱·八年級(jí)統(tǒng)考期末）當(dāng)x時(shí)，分式有意義．8．（2023上·浙江·九年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）已知且，則．9．（2023上·遼寧大連·八年級(jí)統(tǒng)考階段練習(xí)）分式化簡(jiǎn)后的結(jié)果為．10．（2023上·黑龍江哈爾濱·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）在，，，，中，分式的個(gè)數(shù)是個(gè)．11．（2023上·吉林·八年級(jí)吉林省第二實(shí)驗(yàn)學(xué)校校考階段練習(xí)）若是偶數(shù)，代數(shù)式的值是整數(shù)，則可以取的所有數(shù)值之和為．12．（2023上·山東淄博·八年級(jí)校考階段練習(xí)）已知分式的值為正數(shù)，則的取值范圍是．三、解答題13．（2024下·全國(guó)·七年級(jí)假期作業(yè)）求下列條件下分式的值：(1)；(2)．14．（2023下·江蘇宿遷·八年級(jí)統(tǒng)考期中）按照下列要求解答：(1)約分：；(2)通分：與15．（2023上·全國(guó)·八年級(jí)課堂例題）不改變分式的值，把下列各式的分子、分母中的各項(xiàng)系數(shù)都化為整數(shù)：(1)；(2)．16．（2023上·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）當(dāng)取何值時(shí)，下列分式有意義？(1)；(2)；(3)；(4)．17．（2023上·河北邢臺(tái)·八年級(jí)校考期中）已知分式．(1)當(dāng)為何值時(shí)，該分式無(wú)意義；(2)當(dāng)為何整數(shù)值時(shí)，該分式的值為正整數(shù)．18．（2022上·湖南永州·八年級(jí)校考期中）已知關(guān)于的分式，求下列問題：(1)當(dāng)滿足什么條件，分式無(wú)意義；(2)當(dāng)滿足什么條件，分式有意義；(3)當(dāng)滿足什么條件，分式的值等于0．19．（2023上·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）【閱讀理解】仔細(xì)閱讀下面的材料并解答問題：例題：當(dāng)取何值時(shí)，分式的值為正？解：依題意得，則有①或②，解不等式組①得，解不等式組②得不等式組無(wú)解，故．所以當(dāng)時(shí)，分式的值為正．依照上面方法解答問題：(1)當(dāng)取何值時(shí)，分式的值為負(fù)？(2)當(dāng)取何值時(shí)，分式的值為負(fù)？20．（2023上·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）“探究比例的性質(zhì)”【描述定義】如果兩個(gè)數(shù)與的比等于另外兩個(gè)數(shù)與的比，則稱這四個(gè)數(shù)，，，成比例．記作，或．其中與稱為比例的外項(xiàng)，與稱為比例的內(nèi)項(xiàng)．【活動(dòng)目的】通過(guò)具體數(shù)的計(jì)算到式的計(jì)算，讓學(xué)生體會(huì)兩者之間的聯(lián)系；由特殊到一般得出比例的性質(zhì)的猜想，再進(jìn)行有關(guān)的驗(yàn)證．培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力和轉(zhuǎn)化能力：【理論支撐】等式的性質(zhì)，分式的運(yùn)算．【進(jìn)程跟蹤】在小學(xué)，學(xué)生已學(xué)過(guò)比例的基本性質(zhì)，此性質(zhì)是在具體的數(shù)的基礎(chǔ)上得出的．提出問