2025屆上海嘉定區(qū)安亭高級(jí)中學(xué)高三下第一次測(cè)試數(shù)學(xué)試題含解析

2025屆上海嘉定區(qū)安亭高級(jí)中學(xué)高三下第一次測(cè)試數(shù)學(xué)試題注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考場(chǎng)號(hào)和座位號(hào)填寫(xiě)在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑；如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫(xiě)在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動(dòng)，先劃掉原來(lái)的答案，然后再寫(xiě)上新答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無(wú)效。4．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知命題若，則，則下列說(shuō)法正確的是（）A．命題是真命題B．命題的逆命題是真命題C．命題的否命題是“若，則”D．命題的逆否命題是“若，則”2．已知命題：，，則為()A．， B．，C．， D．，3．已知函數(shù)（）的部分圖象如圖所示，且，則的最小值為（）A． B．C． D．4．若函數(shù)滿足，且，則的最小值是（）A． B． C． D．5．已知函數(shù)，且的圖象經(jīng)過(guò)第一、二、四象限，則，，的大小關(guān)系為()A． B．C． D．6．已知集合，集合，則（）.A． B．C． D．7．在中，分別為所對(duì)的邊，若函數(shù)有極值點(diǎn)，則的范圍是（）A． B．C． D．8．做拋擲一枚骰子的試驗(yàn)，當(dāng)出現(xiàn)1點(diǎn)或2點(diǎn)時(shí)，就說(shuō)這次試驗(yàn)成功，假設(shè)骰子是質(zhì)地均勻的.則在3次這樣的試驗(yàn)中成功次數(shù)X的期望為（）A．13 B．19．“紋樣”是中國(guó)藝術(shù)寶庫(kù)的瑰寶，“火紋”是常見(jiàn)的一種傳統(tǒng)紋樣.為了測(cè)算某火紋紋樣（如圖陰影部分所示）的面積，作一個(gè)邊長(zhǎng)為3的正方形將其包含在內(nèi)，并向該正方形內(nèi)隨機(jī)投擲200個(gè)點(diǎn)，己知恰有80個(gè)點(diǎn)落在陰影部分據(jù)此可估計(jì)陰影部分的面積是（）A． B． C．10 D．10．函數(shù)在上的大致圖象是（）A． B．C． D．11．已知雙曲線：的左右焦點(diǎn)分別為，，為雙曲線上一點(diǎn)，為雙曲線C漸近線上一點(diǎn)，，均位于第一象限，且，，則雙曲線的離心率為（）A． B． C． D．12．執(zhí)行下面的程序框圖，則輸出的值為（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．在平面直角坐標(biāo)系中，雙曲線的右準(zhǔn)線與漸近線的交點(diǎn)在拋物線上，則實(shí)數(shù)的值為_(kāi)_______.14．在長(zhǎng)方體中，，則異面直線與所成角的余弦值為（）A． B． C． D．15．已知以x±2y=0為漸近線的雙曲線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為_(kāi)_______.16．如圖所示，在直角梯形中，，、分別是、上的點(diǎn)，，且（如圖①）.將四邊形沿折起，連接、、（如圖②）.在折起的過(guò)程中，則下列表述：①平面；②四點(diǎn)、、、可能共面；③若，則平面平面；④平面與平面可能垂直.其中正確的是__________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）設(shè)橢圓的離心率為，左、右焦點(diǎn)分別為，點(diǎn)D在橢圓C上，的周長(zhǎng)為.（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過(guò)圓上任意一點(diǎn)P作圓E的切線l，若l與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，求證：為定值.18．（12分）設(shè)，（1）求的單調(diào)區(qū)間；（2）設(shè)恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.19．（12分）已知函數(shù)，的最大值為．求實(shí)數(shù)b的值；當(dāng)時(shí)，討論函數(shù)的單調(diào)性；當(dāng)時(shí)，令，是否存在區(qū)間，，使得函數(shù)在區(qū)間上的值域?yàn)?？若存在，求?shí)數(shù)k的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．20．（12分）已知函數(shù).（1）解不等式；（2）記函數(shù)的最小值為，正實(shí)數(shù)、滿足，求證：.21．（12分）某商場(chǎng)為改進(jìn)服務(wù)質(zhì)量，在進(jìn)場(chǎng)購(gòu)物的顧客中隨機(jī)抽取了人進(jìn)行問(wèn)卷調(diào)查．調(diào)查后，就顧客“購(gòu)物體驗(yàn)”的滿意度統(tǒng)計(jì)如下：滿意不滿意男女是否有的把握認(rèn)為顧客購(gòu)物體驗(yàn)的滿意度與性別有關(guān)？若在購(gòu)物體驗(yàn)滿意的問(wèn)卷顧客中按照性別分層抽取了人發(fā)放價(jià)值元的購(gòu)物券．若在獲得了元購(gòu)物券的人中隨機(jī)抽取人贈(zèng)其紀(jì)念品，求獲得紀(jì)念品的人中僅有人是女顧客的概率．附表及公式：．22．（10分）已知橢圓，上、下頂點(diǎn)分別是、，上、下焦點(diǎn)分別是、，焦距為，點(diǎn)在橢圓上.（1）求橢圓的方程；（2）若為橢圓上異于、的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)作與軸平行的直線，直線與交于點(diǎn)，直線與直線交于點(diǎn)，判斷是否為定值，說(shuō)明理由.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】

解不等式，可判斷A選項(xiàng)的正誤；寫(xiě)出原命題的逆命題并判斷其真假，可判斷B選項(xiàng)的正誤；利用原命題與否命題、逆否命題的關(guān)系可判斷C、D選項(xiàng)的正誤.綜合可得出結(jié)論.【詳解】解不等式，解得，則命題為假命題，A選項(xiàng)錯(cuò)誤；命題的逆命題是“若，則”，該命題為真命題，B選項(xiàng)正確；命題的否命題是“若，則”，C選項(xiàng)錯(cuò)誤；命題的逆否命題是“若，則”，D選項(xiàng)錯(cuò)誤．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查四種命題的關(guān)系，考查推理能力，屬于基礎(chǔ)題.2、C【解析】

根據(jù)全稱量詞命題的否定是存在量詞命題，即得答案.【詳解】全稱量詞命題的否定是存在量詞命題，且命題：，，.故選：.【點(diǎn)睛】本題考查含有一個(gè)量詞的命題的否定，屬于基礎(chǔ)題.3、A【解析】

是函數(shù)的零點(diǎn)，根據(jù)五點(diǎn)法求出圖中零點(diǎn)及軸左邊第一個(gè)零點(diǎn)可得．【詳解】由題意，，∴函數(shù)在軸右邊的第一個(gè)零點(diǎn)為，在軸左邊第一個(gè)零點(diǎn)是，∴的最小值是．故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)的周期性，考查函數(shù)的對(duì)稱性．函數(shù)的零點(diǎn)就是其圖象對(duì)稱中心的橫坐標(biāo)．4、A【解析】

由推導(dǎo)出，且，將所求代數(shù)式變形為，利用基本不等式求得的取值范圍，再利用函數(shù)的單調(diào)性可得出其最小值.【詳解】函數(shù)滿足，，即，，，，即，，則，由基本不等式得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立.，由于函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù)，所以，當(dāng)時(shí)，取得最小值.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查代數(shù)式最值的計(jì)算，涉及對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)、基本不等式以及函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用，考查計(jì)算能力，屬于中等題.5、C【解析】

根據(jù)題意，得，，則為減函數(shù)，從而得出函數(shù)的單調(diào)性，可比較和，而，比較，即可比較.【詳解】因?yàn)?，且的圖象經(jīng)過(guò)第一、二、四象限，所以，，所以函數(shù)為減函數(shù)，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又因?yàn)?，所以，又，，則|，即，所以.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查利用函數(shù)的單調(diào)性比較大小，還考查化簡(jiǎn)能力和轉(zhuǎn)化思想.6、A【解析】

算出集合A、B及，再求補(bǔ)集即可.【詳解】由，得，所以，又，所以，故或.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查集合的交集、補(bǔ)集運(yùn)算，考查學(xué)生的基本運(yùn)算能力，是一道基礎(chǔ)題.7、D【解析】試題分析：由已知可得有兩個(gè)不等實(shí)根.考點(diǎn)：1、余弦定理；2、函數(shù)的極值.【方法點(diǎn)晴】本題考查余弦定理，函數(shù)的極值，涉及函數(shù)與方程思想思想、數(shù)形結(jié)合思想和轉(zhuǎn)化化歸思想，考查邏輯思維能力、等價(jià)轉(zhuǎn)化能力、運(yùn)算求解能力，綜合性較強(qiáng)，屬于較難題型.首先利用轉(zhuǎn)化化歸思想將原命題轉(zhuǎn)化為有兩個(gè)不等實(shí)根，從而可得.8、C【解析】

每一次成功的概率為p=26=【詳解】每一次成功的概率為p=26=13故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查了二項(xiàng)分布求數(shù)學(xué)期望，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和應(yīng)用能力.9、D【解析】

直接根據(jù)幾何概型公式計(jì)算得到答案.【詳解】根據(jù)幾何概型：，故.故選：.【點(diǎn)睛】本題考查了根據(jù)幾何概型求面積，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和應(yīng)用能力.10、D【解析】

討論的取值范圍，然后對(duì)函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可判斷.【詳解】當(dāng)時(shí)，，則，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，令，則，根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)，當(dāng)時(shí)，，故切線的斜率變小，當(dāng)時(shí)，，故切線的斜率變大，可排除A、B；當(dāng)時(shí)，，則，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，令，，當(dāng)時(shí)，，故切線的斜率變大，當(dāng)時(shí)，，故切線的斜率變小，可排除C，故選：D【點(diǎn)睛】本題考查了識(shí)別函數(shù)的圖像，考查了導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系以及導(dǎo)數(shù)的幾何意義，屬于中檔題.11、D【解析】由雙曲線的方程的左右焦點(diǎn)分別為，為雙曲線上的一點(diǎn)，為雙曲線的漸近線上的一點(diǎn)，且都位于第一象限，且，可知為的三等分點(diǎn)，且,點(diǎn)在直線上，并且，則，，設(shè)，則，解得，即，代入雙曲線的方程可得，解得，故選D．點(diǎn)睛：本題考查了雙曲線的幾何性質(zhì)，離心率的求法，考查了轉(zhuǎn)化思想以及運(yùn)算能力，雙曲線的離心率是雙曲線最重要的幾何性質(zhì)，求雙曲線的離心率(或離心率的取值范圍)，常見(jiàn)有兩種方法：①求出，代入公式；②只需要根據(jù)一個(gè)條件得到關(guān)于的齊次式，轉(zhuǎn)化為的齊次式，然后轉(zhuǎn)化為關(guān)于的方程(不等式)，解方程(不等式)，即可得(的取值范圍)．12、D【解析】

根據(jù)框圖，模擬程序運(yùn)行，即可求出答案.【詳解】運(yùn)行程序，，

，，，，，結(jié)束循環(huán)，故輸出，故選：D.【點(diǎn)睛】本題主要考查了程序框圖，循環(huán)結(jié)構(gòu)，條件分支結(jié)構(gòu)，屬于中檔題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

求出雙曲線的右準(zhǔn)線與漸近線的交點(diǎn)坐標(biāo)，并將該交點(diǎn)代入拋物線的方程，即可求出實(shí)數(shù)的方程.【詳解】雙曲線的半焦距為，則雙曲線的右準(zhǔn)線方程為，漸近線方程為，所以，該雙曲線右準(zhǔn)線與漸近線的交點(diǎn)為.由題意得，解得.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查利用拋物線上的點(diǎn)求參數(shù)，涉及到雙曲線的準(zhǔn)線與漸近線方程的應(yīng)用，考查計(jì)算能力，屬于中等題.14、C【解析】

根據(jù)確定是異面直線與所成的角，利用余弦定理計(jì)算得到答案.【詳解】由題意可得.因?yàn)?，所以是異面直線與所成的角，記為，故.故選：.【點(diǎn)睛】本題考查了異面直線夾角，意在考查學(xué)生的空間想象能力和計(jì)算能力.15、【解析】

設(shè)雙曲線方程為，代入點(diǎn)，計(jì)算得到答案.【詳解】雙曲線漸近線為，則設(shè)雙曲線方程為：，代入點(diǎn)，則.故雙曲線方程為：.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查了根據(jù)漸近線求雙曲線，設(shè)雙曲線方程為是解題的關(guān)鍵.16、①③【解析】

連接、交于點(diǎn)，取的中點(diǎn)，證明四邊形為平行四邊形，可判斷命題①的正誤；利用線面平行的性質(zhì)定理和空間平行線的傳遞性可判斷命題②的正誤；連接，證明出，結(jié)合線面垂直和面面垂直的判定定理可判斷命題③的正誤；假設(shè)平面與平面垂直，利用面面垂直的性質(zhì)定理可判斷命題④的正誤.綜合可得出結(jié)論.【詳解】對(duì)于命題①，連接、交于點(diǎn)，取的中點(diǎn)、，連接、，如下圖所示：則且，四邊形是矩形，且，為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，且，且，四邊形為平行四邊形，，即，平面，平面，平面，命題①正確；對(duì)于命題②，，平面，平面，平面，若四點(diǎn)、、、共面，則這四點(diǎn)可確定平面，則，平面平面，由線面平行的性質(zhì)定理可得，則，但四邊形為梯形且、為兩腰，與相交，矛盾.所以，命題②錯(cuò)誤；對(duì)于命題③，連接、，設(shè)，則，在中，，，則為等腰直角三角形，且，，，且，由余弦定理得，，，又，，平面，平面，，，、為平面內(nèi)的兩條相交直線，所以，平面，平面，平面平面，命題③正確；對(duì)于命題④，假設(shè)平面與平面垂直，過(guò)點(diǎn)在平面內(nèi)作，平面平面，平面平面，，平面，平面，平面，，，，，，，又，平面，平面，.，平面，平面，.，，顯然與不垂直，命題④錯(cuò)誤.故答案為：①③.【點(diǎn)睛】本題考查立體幾何綜合問(wèn)題，涉及線面平行、面面垂直的證明、以及點(diǎn)共面的判斷，考查推理能力，屬于中等題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）（2）見(jiàn)解析【解析】

(1)由，周長(zhǎng),解得,即可求得標(biāo)準(zhǔn)方程.(2)通過(guò)特殊情況的斜率不存在時(shí),求得,再證明的斜率存在時(shí),即可證得為定值.通過(guò)設(shè)直線的方程為與橢圓方程聯(lián)立,借助韋達(dá)定理求得,利用直線與圓相切,即,求得的關(guān)系代入,化簡(jiǎn)即可證得即可證得結(jié)論.【詳解】（1）由題意得，周長(zhǎng)，且.聯(lián)立解得，，所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）①當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，不妨設(shè)其方程為，則，所以，即.②當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)其方程為，并設(shè)，由，，，由直線l與圓E相切，得.所以.從而，即.綜合上述，得為定值.【點(diǎn)睛】本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,直線與橢圓的位置關(guān)系中定值問(wèn)題,考查了學(xué)生計(jì)算求解能力,難度較難.18、（1）單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為；（2）【解析】

（1），令，解不等式即可；（2），令得，即，且的最小值為，令，結(jié)合即可解決.【詳解】（1），當(dāng)時(shí)，，遞增，當(dāng)時(shí)，，遞減.故的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.（2），，，設(shè)的根為，即有可得，，當(dāng)時(shí)，，遞減，當(dāng)時(shí)，，遞增.，所以，①當(dāng)；②當(dāng)時(shí)，設(shè)，遞增，，所以.綜上，.【點(diǎn)睛】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性以及函數(shù)恒成立問(wèn)題，這里要強(qiáng)調(diào)一點(diǎn)，處理恒成立問(wèn)題時(shí)，通常是構(gòu)造函數(shù)，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的極值或最值來(lái)處理.19、(1);(2)時(shí)，在單調(diào)增；時(shí),在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增；時(shí),同理在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增；（3）不存在.【解析】分析：(1)利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，可得當(dāng)時(shí)，取得極大值，也是最大值，由，可得結(jié)果；（2）求出，分三種情況討論的范圍，在定義域內(nèi)，分別令求得的范圍，可得函數(shù)增區(qū)間，求得的范圍，可得函數(shù)的減區(qū)間；（3）假設(shè)存在區(qū)間，使得函數(shù)在區(qū)間上的值域是，則，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為關(guān)于的方程在區(qū)間內(nèi)是否存在兩個(gè)不相等的實(shí)根，進(jìn)而可得結(jié)果.詳解：(1)由題意得，令，解得，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減.所以當(dāng)時(shí)，取得極大值，也是最大值，所以，解得.（2）的定義域?yàn)?①即,則，故在單調(diào)增②若,而,故,則當(dāng)時(shí)，;當(dāng)及時(shí)，故在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增．③若,即,同理在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增（3）由（1）知，所以，令，則對(duì)恒成立，所以在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，所以恒成立，所以函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增.假設(shè)存在區(qū)間，使得函數(shù)在區(qū)間上的值域是，則，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為關(guān)于的方程在區(qū)間內(nèi)是否存在兩個(gè)不相等的實(shí)根，即方程在區(qū)間內(nèi)是否存在兩個(gè)不相等的實(shí)根，令，，則，設(shè)，，則對(duì)恒成立，所以函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，故恒成立，所以，所以函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，所以方程在區(qū)間內(nèi)不存在兩個(gè)不相等的實(shí)根.綜上所述，不存在區(qū)間，使得函數(shù)在區(qū)間上的值域是.點(diǎn)睛：本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性以及函數(shù)的最值值，屬于難題.求函數(shù)極值、最值的步驟：(1)確定函數(shù)的定義域；(2)求導(dǎo)數(shù)；(3)解方程求出函數(shù)定義域內(nèi)的所有根；(4)列表檢查在的根左右兩側(cè)值的符號(hào)，如果左正右負(fù)（左增右減），那么在處取極大值，如果左負(fù)右正（左減右增），那么在處取極小值.（5）如果只有一個(gè)極值點(diǎn)，則在該處即是極值也是最值；（6）如果求閉區(qū)間上的最值還需要比較端點(diǎn)值的函數(shù)值與極值的大小.20、（1）；（2）見(jiàn)解析.【解析】

（1）分、、三種情況解不等式，綜合可得出原不等式的的解集；（2）利用絕對(duì)值三角不等式可求得函數(shù)的最小值為，進(jìn)而可得出，再將代數(shù)式與相乘，利用基本不等式求得的最小值，進(jìn)而可證得結(jié)論成立.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，由，得，即，解得，此時(shí)；當(dāng)時(shí)，由，得，即，解得，此時(shí)；當(dāng)時(shí)，由，得，即，解得，此時(shí).綜上所述，不等式的解集為；（2），當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以，.所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)等號(hào)成立，所以.所以，即.【點(diǎn)睛】本題考查含絕對(duì)值