高等數(shù)學(xué)（經(jīng)濟(jì)類）全書習(xí)題解答第7章（微分差分方程）

PAGEPAGE1第7章微分方程與差分方程習(xí)題解答習(xí)題7-11．下列方程哪些是微分方程？若是微分方程請指出它的階：（1）；解方程中含有，故是微分方程，且為一階微分方程。（2）；解方程中含有，故是微分方程，且為一階微分方程。（3）；解方程中含有，故是微分方程，且為一階微分方程。（4）；解不是微分方程。（5）；解方程中含有，故是微分方程，且為二階微分方程。（6）；解方程中含有，故是微分方程，且為二階微分方程。（7）；解方程中含有，故是微分方程，且為三階微分方程。（8）。解方程中含有，故是微分方程，且為階微分方程。2．驗(yàn)證是微分方程的解;并說明是通解還是特解.解因?yàn)?．驗(yàn)證是微分方程的通解，并求滿足初始條件的特解．解由可得，將及代入方程中，得，所以函數(shù)是微分方程的解．又因?yàn)榉匠淌且浑A的，而函數(shù)含有一個任意常數(shù)，且任意常數(shù)的個數(shù)等于方程的階數(shù)，所以函數(shù)是微分方程的通解．將代入中，得所求特解．4．驗(yàn)證由方程所確定的隱函數(shù)是微分方程的通解，并求滿足初始條件的特解．解由可得，將及代入方程中，得，所以函數(shù)是微分方程的解．又因?yàn)榉匠淌且浑A的，而函數(shù)含有一個任意常數(shù)，且任意常數(shù)的個數(shù)等于方程的階數(shù)，所以函數(shù)是微分方程的通解．將代入中，得所求特解．5．已知某企業(yè)的純利潤對廣告費(fèi)的變化率與常數(shù)和純利潤之差成正比，寫出純利潤所滿足的微分方程.解由題意可知，純利潤所滿足的微分方程為其中為常數(shù)，且．6．設(shè)曲線在點(diǎn)處的切線斜率等于該點(diǎn)橫坐標(biāo)平方的兩倍，寫出該曲線所滿足的微分方程．解設(shè)所求曲線的方程為，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，由題意得．習(xí)題7-21．求下列微分方程的通解：（1）；解分離變量有,兩端積分,可得通解為．（2）；解分離變量有兩端積分，可得通解為．（3）；解分離變量有兩端積分，可得通解為．（4）；解分離變量有兩端積分，可得通解為．（5）；解分離變量有兩端積分，可得通解為．（6）。解分離變量有，兩端積分，可得通解為．2．求下列微分方程的通解：（1）；解令，則，，代入原方程，得，分離變量得，兩邊積分，得所求方程的通解為.（2）；解令，則，，代入原方程，得，分離變量得，兩邊積分，得所求方程的通解為.（3）；解令，則，，代入原方程，得，分離變量得，兩邊積分，得所求方程的通解為.（4）；解令，則，，代入原方程，得，分離變量得，兩邊積分，得所求方程的通解為.（5）；解令，則，，代入原方程，當(dāng)時，得，分離變量得，兩邊積分，得所求方程的通解為，類似地，當(dāng)時，可求得其解，綜合的所求通解為.（6）；解令，則，，代入原方程，得，分離變量得，兩邊積分，得所求方程的通解為.（7）。解令，則，，代入原方程，得，分離變量后兩邊積分，得所求方程的通解為.3．求下列微分方程滿足初始條件的特解：（1）,；解分離變量有，兩端積分，可得通解為，由得，故所求特解為（2）,；解分離變量有，兩端積分，可得通解為，由得，故所求特解為（3）；解分離變量有，兩端積分，可得通解為，由得，故所求特解為．（4）；解分離變量有，兩端積分，可得通解為，由得，故所求特解為．（5），；解原方程可化為由通解公式得所求通解，再由，得故所求特解.（6）。解令，則，，代入原方程得，分離變量得，兩邊積分，得所求方程的通解為，由得，故所求特解為．4．求下列微分方程的通解：（1）；解原方程變形為，這是一階線性非齊次微分方程，其中，，由通解公式得所求通解即.（2）+；解此方程為一階線性非齊次微分方程，其中，，由通解公式得所求通解即.（3）；解原方程變形為，這是一階線性非齊次微分方程，其中，，由通解公式得所求通解即（4）；解此方程為一階線性非齊次微分方程，其中，，由通解公式得所求通解即.（5）；解將看作自變量，看作的函數(shù)，則有，這是關(guān)于未知函數(shù)的一階線性非齊次微分方程，且，.由通解公式得原方程的通解為即.（6）。解將看作自變量，看作的函數(shù)，則有，這是關(guān)于未知函數(shù)的一階線性非齊次微分方程，且，.由通解公式得原方程的通解為即.5．求下列微分方程滿足初始條件的特解：（1）。解這是一階線性非齊次微分方程，其中，，由通解公式得所求通解即.代入初始條件，求得，故所求特解是.（2）；解這是一階線性非齊次微分方程，其中，，由通解公式得所求通解即.（3）；解這是一階線性非齊次微分方程，其中，，由通解公式得所求通解即.代入初始條件，求得，故所求特解是.代入初始條件，求得，故所求特解是.（4），；解這是一階線性非齊次微分方程，其中，，由通解公式得所求通解即.代入初始條件，求得，故所求特解是.6．求下列微分方程的通解：（1）；解令，代入原方程，得分離變量得兩邊積分，得所求方程的通解為.（2）；解原方程可化為令，，即有分離變量得兩邊積分，將代入得故所求通解為（3）。解原方程可化為這是齊次方程，令即有分離變量得兩邊積分，得所求方程的通解為習(xí)題7-3求下列微分方程的通解：（1）；解對原方程積分一次，得，再積分，得原微分方程的通解為．（2）；解對原方程積分一次，得，再積分，又得，第三次積分，得原微分方程的通解為．（3）；解設(shè)，則，代入原方程，得．這是可分離變量的微分方程，分離變量得．兩邊積分，得，即，兩邊積分，得．（4）；解設(shè)，則，代入原方程，得．這是可分離變量的微分方程，分離變量得．兩邊積分，得，即，兩邊積分，得方程的通解為．（5）．解設(shè)，則，代入原方程，得．這是可分離變量的微分方程，分離變量得．兩邊積分，得，化簡解出，兩邊積分，得方程的通解為．（6）；解設(shè)，則，代入原方程得，在時，約去并分離變量，得，兩端積分，得，即，再分離變量，得方程的通解為．2．求方程滿足初始條件的特解。解設(shè)，原方程化為這是可分離變量的微分方程，分離變量得兩邊積分，得將初始條件代入上式，得，故分離變量并兩端積分，得再由條件可得，故所求特解為.3．求方程滿足初始條件的特解。解設(shè)，原方程化為這是可分離變量的微分方程，分離變量得兩邊積分，得將初始條件代入上式，得，故分離變量并兩端積分，得再由條件可得，故所求特解為.4．求方程滿足初始條件的特解。解設(shè)，代入原方程得，即，這是一階線性非齊次微分方程，其中，，由通解公式，得所求通解，即，代入初始條件，求得，故，積分得方程的通解為，再由條件可得，故所求特解為.5．求方程滿足初始條件的特解。解設(shè)，則，代入原方程得，這是可分離變量的微分方程，分離變量得兩端積分，得將初始條件代入上式，得，故分離變量并兩端積分，得再由條件可得，故所求特解為．6．求的經(jīng)過點(diǎn)M（0，1）且在此點(diǎn)與直線2y=x+2相切的積分曲線。解方程滿足的初始條件為對方程積分一次，得，將初始條件代入上式，得，故再積分，得方程的通解為．再由條件可得，故所求特解為．所以的經(jīng)過點(diǎn)且在此點(diǎn)與直線相切的積分曲線方程為．習(xí)題7-41.求下列微分方程的通解：（1）；解所給方程的特征方程是，特征根為兩個不相等的實(shí)根：，．故所求通解為.(2)；解所給方程的特征方程是，特征根為兩個不相等的實(shí)根：，．故所求通解為.(3).；解所給方程的特征方程是，特征根為兩個相等的實(shí)根：．故方程的通解為.（4）；解所給方程的特征方程是.特征根是一對共軛復(fù)根：．因此所求通解是（5）；解所給方程的特征方程為，它的根是.因此所求通解為.（6）；解先求原方程對應(yīng)齊次方程的通解.它的特征方程為，特征根為，所以對應(yīng)齊次方程的通解為.由于屬于=型，其中方程，且不是特征方程的根，故可設(shè)所給方程的特解為.求導(dǎo)得，并代入所給方程，得，所求通解為.（7）；解所給方程對應(yīng)的齊次方程為，它的特征方程為，特征根為，故對應(yīng)齊次方程的通解為.由于屬于=型，其中，，且是特征方程的根，故可設(shè)所給方程的特解為.求導(dǎo)得，并代入所給方程，得，所求通解為．（8）；解所給方程對應(yīng)的齊次方程為齊次方程為其通解為，設(shè)特解，代入方程，解得，所求通解為．(9)；解所給方程對應(yīng)的齊次方程為齊次方程為它的特征方程為，特征根為，故對應(yīng)齊次方程的通解為設(shè)特解，代入方程，解得，所求通解為．（10）解所給方程對應(yīng)的齊次方程為，它的特征方程為，特征根為，故對應(yīng)齊次方程的通解為.由于屬于=型，其中，，且是特征方程的重根，故可設(shè)所給方程的特解為.求導(dǎo)得，并代入所給方程，得，所求通解為（11）；解所給方程對應(yīng)的齊次方程為齊次方程為其通解為，設(shè)特解，代入方程，解得，所求通解為．(12)．解所給方程對應(yīng)的齊次方程為，它的特征方程為，特征根為，故對應(yīng)齊次方程的通解為方程是二階常系數(shù)線性非齊次方程，屬于型，其中,，．由于是特征方程的根，故可設(shè)所給方程的特解為，求導(dǎo)得，并代入所給方程，得，所求通解為（13）；解先求原方程對應(yīng)齊次方程的通解.它的特征方程為，特征根為，所以對應(yīng)齊次方程的通解為.設(shè)的特解，求導(dǎo)得并代入所給方程，得，設(shè)的特解，求導(dǎo)得并代入所給方程，得，故原方程的特解為所求通解為．2．確定下列各方程的特解的形式：（1）；解所給方程對應(yīng)的齊次方程為，它的特征方程為，特征根為.所給方程是二階常系數(shù)線性非齊次微分方程，屬于=型，其中．因?yàn)椴皇翘卣鞣匠痰母?，故所給方程的特解形式為.（2）；解所給方程對應(yīng)的齊次方程為，它的特征方程為，特征根為.所給方程是二階常系數(shù)線性非齊次微分方程，屬于=型，其中．因?yàn)槭翘卣鞣匠痰闹馗?，故所給方程的特解形式為.（3）；解所給方程對應(yīng)的齊次方程為，它的特征方程為，特征根為.所給方程是二階常系數(shù)線性非齊次微分方程，屬于=型，其中．因?yàn)椴皇翘卣鞣匠痰母?，故所給方程的特解形式為.（4）；解所給方程對應(yīng)的齊次方程為，它的特征方程為，特征根為.所給方程是二階常系數(shù)線性非齊次微分方程，屬于=型，其中．因?yàn)槭翘卣鞣匠痰母?，故所給方程的特解形式為.（5）；解所給方程對應(yīng)的齊次方程為，它的特征方程為，特征根為．方程是二階常系數(shù)線性非齊次方程，屬于型，其中,，．由于是特征方程的根，故所給方程的特解形式為.（6）．解所給方程對應(yīng)的齊次方程為，它的特征方程為，特征根為.方程是二階常系數(shù)線性非齊次方程，屬于型，其中．．由于是特征方程的根，故所給方程的特解形式為．3.求下列微分方程滿足初始條件的特解：(1)；解所給方程的特征方程是，特征根為兩個不相等的實(shí)根：，．故所求通解為代入初始條件，得，對求導(dǎo)，得．代入，得，解得，；故所求特解為.(2)；解所給方程的特征方程是，特征根是一對共軛復(fù)根：．因此所求通解是代入初始條件，得，對求導(dǎo)，得．代入，得；故所求特解為.（3）．解所給方程對應(yīng)的齊次方程為，它的特征方程為，特征根為，故對應(yīng)齊次方程的通解為.由于屬于=型，其中，，且是特征方程的單根，故可設(shè)所給方程的特解為.求導(dǎo)得，并代入所給方程，得，所給方程的通解為代入初始條件，得，對求導(dǎo)，代入，得；并且可解得故所求特解為．4．設(shè)二階線性非齊次微分方程有一特解，它對應(yīng)的齊次方程有一特解為，試求：（1）的表達(dá)式；解由條件可知解得（2）此方程的通解。解將代入原方程得顯見有另一解，方程的通解.5．（1）若證明微分方程有一特解；若證明微分方程有一特解。（2）根據(jù)（1）的結(jié)論求滿足的特解。（1）證明因?yàn)?，，，代入到方程中，注意有可知是的一個特解.又因?yàn)?，，，代入到方程中，注意有可知是的一個特解.（2）已知方程，即有，因?yàn)楣蕿榈囊粋€特解，故為的一個特解，且﹑線性無關(guān)，因此為方程的通解，由，可得所求特解為習(xí)題7-51.英國人口學(xué)家馬爾薩斯根據(jù)百余年的人口統(tǒng)計(jì)資料,于1798年提出了人口指數(shù)增長模型.設(shè)單位時間內(nèi)人口的增長量與當(dāng)時的人口總數(shù)成正比.若已知時的人口總數(shù)為,求時間與人口總數(shù)的函數(shù)關(guān)糸.根據(jù)我國國家統(tǒng)計(jì)局1990年10月30日發(fā)表的公報(bào),1990年7月1日我國人口總數(shù)為11.6億，過去8年的年人口平均增長率為14.8‰,若今后的年增長率保持這個數(shù)字，預(yù)報(bào)2000年我國的人口總數(shù).解設(shè)時間為時的人口總數(shù)為,由題意得這是一個變量可分離的方程，易求出滿足初始條件的解為將，，代入上式，得年我國的人口總數(shù)為（億）2．設(shè)某商品的供給函數(shù)與需求函數(shù)分別為其中表示時間時刻的價格,且，試求均衡價格關(guān)于時間的函數(shù)。解由題意可知，在市場處于均衡價格時，有兩端積分，得有，得故所求均衡價格關(guān)于時間的函數(shù).3.假設(shè)有一個很小的相對獨(dú)立的小鎮(zhèn),總?cè)丝?800人,并假設(shè)最初有5人患流感,且流感以每天12.8%的比率蔓延,那么10天內(nèi)將有多少人被感染?經(jīng)過多少時間該鎮(zhèn)將有一半人被感染.解設(shè)是第天被感染流感的人數(shù),由題意得4.設(shè)某商品的供給函數(shù)為，需求函數(shù)為，且有，，若在每一時刻市場均是出清的，求價格函數(shù).解由于在每一時刻市場均是出清的，故可知習(xí)題7-61．求函數(shù)的差分.解由差分定義，得=.2．求函數(shù)的差分.解由差分定義，得=.特別,當(dāng)為正整數(shù)時,=.3.設(shè)函數(shù)，求.解由差分定義，得4.設(shè)函數(shù)，求，.解由差分定義，得。5.設(shè)函數(shù)，求.解由差分定義，得。6．確定下列差分方程的階:（1）；解由差分方程的定義，可知為一階差分方程.（2）；解由差分方程的定義，可知為一階差分方程.（3）；解由差分方程的定義，可知為二階差分方程.（4）；解由差分方程的定義，可知為二階差分方程.（5）；解由差分方程的定義，可知為三階差分方程.（6）.解由差分方程的定義，可知為五階差分方程.7．驗(yàn)證函數(shù)是差分方程的解，并求時方程的特解.解因?yàn)椋詫⑸先酱氲椒匠痰挠叶?，得，所以是差分方程的解，將代入到，得即，故所求的特解?8．試改變差分方程的形式.解由差分定義，得將上兩式代入差分方程中，得.習(xí)題7-71.求下列差分方程的通解：（1）；解因?yàn)榍?，故可設(shè)特解其中﹑為待定系數(shù)，將其帶入原差分方程中，得(C為任意常數(shù)).（2）；解因?yàn)榍?，故可設(shè)特解其中﹑﹑為待定系數(shù)，將其帶入原差分方程中，得(為任意常數(shù)).（3）；解原方程為所以其通解為(C為任意常數(shù)).（4）.解顯然其齊次方程的通解為(C為任意常數(shù)).設(shè)其特解為,所以有,從而得b=-7.因此,原方程的通解為.2.求差分方程滿足初始條件的特解解因?yàn)?，故可求得方程的通解為由，?所求特解為.3.求差分方程滿足初始條件的特解.解因?yàn)?，故可求得方程的通解為由，?所求特解為.4.求差分方程滿足初始條件的特解.解方程可變形為，可求得對應(yīng)的齊次方程的通解為原方程的特解為故原方程的通解為將代入上式，得,所求特解為.5.求下列二階差分方程的通解.（1）；解所給差分方程的特征方程為,特征根為，，所以所求通解為(是任意常數(shù)).（2）；解所給差分方程的特征方程為,特征根為，，所以所求通解為,(是任意常數(shù)).（3）；解所給差分方程對應(yīng)齊次方程的特征方程為，其特征根為，對應(yīng)齊次方程的通解為(是任意常數(shù)),原方程有形如的特解，代入原方程求得，故原方程的通解為(是任意常數(shù)).（4）；解所給差分方程對應(yīng)齊次方程的特征方程為，其特征根為，對應(yīng)齊次方程的通解為原方程有形如的特解，代入原方程求得，，故原方程的通解為（5）；解所給差分方程對應(yīng)齊次方程的特征方程為，其特征根為，，，對應(yīng)齊次方程的通解為原方程有形如的特解，代入原方程求得，故原方程的通解為,(是任意常數(shù)).6.求差分方程滿足初始條件，的特解.解所給差分方程對應(yīng)齊次方程的特征方程為，其特征根為，對應(yīng)齊次方程的通解為(是任意常數(shù))，原方程有形如的特解，代入原方程求得，故原方程的通解為(是任意常數(shù)),將，代入上式，得，所求特解為。7.求差分方程滿足初始條件，的特解.解所給差分方程的特征方程為,特征根為，，所以所求通解為(是任意常數(shù)).將，代入上式，得，所求特解為。8.求差分方程滿足初始條件，的特解解所給差分方程對應(yīng)齊次方程的特征方程為.，其特征根為，，，對應(yīng)齊次方程的通解為原方程有形如的特解，代入原方程求得，故原方程的通解為,(是任意常數(shù)).將，代入上式，得，所求特解為。習(xí)題7-81.某家庭從現(xiàn)在著手,從每月工資中拿出一部分資金存入銀行,用于投資子女的教育,并計(jì)算20年后開始從投資賬戶中每月支取1000元,直到10年后子女大學(xué)畢業(yè)并用完全部資金.要實(shí)現(xiàn)這個投資目標(biāo),20年內(nèi)要總共籌措多少資金?每月要在銀行存入多少錢?假設(shè)投資的月利率為0.5%.解設(shè)第t個月,投資賬戶資金為每月存資金為b元,于是20年后,關(guān)于的差分方程模型為且解此方程，得通解以及故有從現(xiàn)在到20年內(nèi)，滿足的差分方程為且解上式方程得以及從而有即要達(dá)到投資目標(biāo)，20年內(nèi)要籌措資金元，平均每月要存入銀行元。一輛新轎車價值20萬元，以后每年比上一年減少20%，問t（t為正整數(shù)）年后這輛轎車價值為多少萬元？若這輛轎車價值低于1萬元就要報(bào)廢，這輛轎車最多能使用多少年？解依題意通解為由，得所以由得即這輛轎車最多能使用13年5個月?？偭?xí)題71．選擇題(1)微分方程的階數(shù)是（）.（A）1（B）2（C）3（D）4解方程中含有，故是一階微分方程；即選項(xiàng)A正確．(2)下列結(jié)論正確的是（）.（A）微分方程的通解一定包含它的所有解（B）所有微分方程都存在通解（C）用分離變量法解微分方程時，對方程變形可能會丟掉原方程的某些解（D）函數(shù)（為兩個任意常數(shù)）為方程的通解解用分離變量法解微分方程時，對方程變形確實(shí)可能會丟掉原方程的某些解；即選項(xiàng)C正確．(3)差分方程的通解是（）.（A）（B）（C）（D）解注意到差分方程是二階的，故其通解中應(yīng)含有兩個任意常數(shù)，四個選項(xiàng)中只有D符合；即選項(xiàng)D正確．(4)設(shè)函數(shù)滿足關(guān)系式，則（）.（A）（B）（C）（D）解求導(dǎo)得，分離變量可得通解因?yàn)椋?，即選項(xiàng)B正確．(5)設(shè)函數(shù)是微分方程的一個解，且，，則在點(diǎn)處（）.（A）有極大值（B）某鄰域內(nèi)單調(diào)增加（C）有極小值（D）某鄰域內(nèi)單調(diào)減少解因?yàn)樵邳c(diǎn)處，，所以在點(diǎn)處有極大值，即選項(xiàng)A正確．(6)設(shè)線性無關(guān)的函數(shù)都是微分方程的解，則此方程的通解為（）.（A）（B）（C）（D）解因?yàn)槭俏⒎址匠痰慕?，所以﹑都是的線性無關(guān)的解，有解的結(jié)構(gòu)定理可知，是的通解，即選項(xiàng)D正確．2．填空題(1)已知函數(shù)在任意點(diǎn)x處的增量，則.解兩端同除，并求極限得分離變量可得通解由，得，即所以(2)以函數(shù)為通解的微分方程是.解由可得，，兩邊求導(dǎo)，得，即為以函數(shù)為通解的微分方程.(3)以為通解的微分方程是.解有通解可知，特征根為兩個不相等的實(shí)根：，．方程的特征方程為，所以，對應(yīng)的齊次方程為(4)已知微分方程的一個特解為，則該方程的通解為.解所給方程對應(yīng)的齊次方程為，它的特征方程為，特征根為，．故方程的通解為.(5)某公司每年的工資總額在比上一年增長的基礎(chǔ)上再追加萬元，若以表示第年的工資總額（單位：百萬元），則滿足的差分方程為.解由題意可知.3．求下列方程的通解或特解：(1)解原方程可化為分離變量可得通解（2）；解此方程為一階線性非齊次微分方程，其中，，由通解公式得所求通解即.（3）解將原差分方程改寫成標(biāo)準(zhǔn)形式：即則通解為（4）；解此方程為一階線性非齊次微分方程，其中，，由通解公式得所求通解即.（5）；解將看作自變量，看作的函數(shù)，則有，這是關(guān)于未知函數(shù)的一階線性非齊次微分方程，且，.由通解公式得原方程的通解為即.（6）；解原方程可化為令，代入原方程，得分離變量得兩邊積分，得所求方程的通解為.（7）；解原方程可化為令，代入原方程，得這是一階線性非齊次微分方程，其中，，由通解公式得所求通解原方程的通解為（8）解顯然其齊次方程的通解為(為任意常數(shù)).設(shè)其特解為,所以有,從而得.因此,原方程的通解為.（9）；解設(shè)，原方程化為這是可分離變量的微分方程，分離變量得兩邊積分，得即分離變量并兩端積分，得（10）；解設(shè)，則，代入原方程得，分離變量，得，兩端積分，得，由，得即再分離變量，得方程的通解為．由，得所以所求特解為（11），；解所給方程對應(yīng)的齊次方程為，它的特征方程為