2022-2023學(xué)年上海延安中學(xué)高二（上）期末數(shù)學(xué)試題及答案

2022年延安中學(xué)高二年級(jí)期末試卷一、填空題（每小題3分，共36分）A3)1.，B兩點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則點(diǎn)B的坐標(biāo)為_(kāi)_____.2.兩條平行直線4x?3y+5=0和4x?3y?5=0的距離為_(kāi)_____.(a+1x+4y?3=0)ax+2y?1=0和直線平行，則實(shí)數(shù)的值為_(kāi)_____.a3.已知直線4.5x?y+2=0和直線3x+2y?7=0的夾角的大小為_(kāi)_____.325.(?0)是某雙曲線的一個(gè)頂點(diǎn)，且該雙曲線的離心率為，則該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為_(kāi)_____.A1,0()B0()=2?P6.7.8.，兩點(diǎn)，則滿足的動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程為_(kāi)_____.A(?2)x+y?100=，B兩點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱，則點(diǎn)B的坐標(biāo)為_(kāi)_____.d=(?)12是平面的一個(gè)單位法向量，且l⊥，則向量nn的l是直線一個(gè)方向向量，坐標(biāo)為_(kāi)_____.9.經(jīng)過(guò)點(diǎn))x2y2r2+=x=5，則另一條切線的，可作圓的兩條切線，已知其中一條切線的方程為方程為_(kāi)_____（用一般式表示）BCa,2,a1=(?)AC=(2a,b+?4)，且AB⊥AC10.，，則為_(kāi)_____.x2y2+=1()A59于B，Cy過(guò)點(diǎn)分別作斜率為2和3的兩條直線，前者交橢圓的周長(zhǎng)為_(kāi)_____.兩點(diǎn)，后者交軸于點(diǎn)，則Dx+2y?1=0上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，Q4x4?2x2y?x3+2x+1=02P12.為直線為曲線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則線段長(zhǎng)度的最小值為_(kāi)_____.二、選擇題（每小題3分，共12分）y2x2?=15413.雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（）(0)()1(3,0)(3)D.A.B.C.方向向量是a，平面的法向量是n，則“a⊥n”是“l(fā)”的（）14.設(shè)直線lA.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件()在圓x+y+ax+a=0外，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）22a15.已知點(diǎn)(+)(0)A.C.B.D.(?0)(+)()(+),0x22y22x=a?=1的兩條漸近線分別交于M，N兩點(diǎn)，P為該雙曲線上的任意一16.已知直線與雙曲線ab1點(diǎn)，設(shè)O為原點(diǎn)，nON，=+m，n為實(shí)數(shù)，則的值為（）A.1B.2C.3D.4三、解答題（共52分）l:ax+y?a=0l:x?ay+6a?3=0.217已知直線和直線1（1）求證：對(duì)任意實(shí)數(shù)，直線和各經(jīng)過(guò)一個(gè)定點(diǎn)（依次設(shè)為A和BA，B的坐標(biāo)；all21（2）設(shè)直線和交于點(diǎn)P，求證：點(diǎn)P的軌跡是一個(gè)圓，并求其標(biāo)準(zhǔn)方程.ll1218.如圖，四面體各棱長(zhǎng)均為，E，F(xiàn)分別為棱DA，的中點(diǎn)，又設(shè)=a，DB=b，=c；（1）用向量a，b，c的線性組合表示向量，；（2）求向量，的夾角的大小.ABCD?ABCDAA1上的點(diǎn)，且1==1；19.已知正方體的棱長(zhǎng)為，E，F(xiàn)分別為棱，11111如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系O?；利用所學(xué)空間向量知識(shí)，求：EFC（1A到平面的距離；1EFCABCD（2）平面與平面所成的銳二面角的大小.11111()的兩條漸近線與圓(x+2)2+y=5在x軸的上方部分交于A，k2x2?y2=1k0220.如圖，雙曲線兩點(diǎn).Bk+1x)b，的+bx+c=0的兩個(gè)根，求c（1）已知A，B兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)x和x恰為關(guān)于的方程x2212值；（2）如果線段AB的長(zhǎng)為k的值.(Pa中，)是軸正半軸上的一點(diǎn)；過(guò)P作斜率為?1的直線，交二xOyy21.，在平面直角坐標(biāo)系1次函數(shù)y=x2圖象于Q，R兩點(diǎn)；如圖，把平面xOyy沿軸折起來(lái)，成為一個(gè)直二面角24Q?OP?R；如圖3，建立空間直角坐標(biāo)系O?.xOy（1）如圖3，上述二次函數(shù)在折疊后有一部分圖象位于平面上，設(shè)S是該曲線上的一點(diǎn)；如果的最小值，并求此時(shí)S在空間直角坐標(biāo)系O?a=3，試求中的坐標(biāo)；π=QPR（2）如圖3，如果（的值.aPRQPR2022年延安中學(xué)高二年級(jí)期末試卷一、填空題（每小題3分，共36分）A3)1.，B兩點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則點(diǎn)B的坐標(biāo)為_(kāi)_____.【答案】(?1,2,?3)【解析】【分析】?jī)蓚€(gè)點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)、豎坐標(biāo)全部相反，故得解.)，B兩點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，A2,3【詳解】因?yàn)樗訠點(diǎn)坐標(biāo)為(?1,2,?3).(?1,2,?3).故答案為：4x?3y+5=0和4x?3y?5=0的距離為_(kāi)_____.2.兩條平行直線【答案】2【解析】【分析】根據(jù)平行線間距離公式即可求解.5-(-)d==2，【詳解】根據(jù)平行線間距離公式可得242+(-)故答案為：2ax+2y?1=0和直線(a+1x+4y?3=0a平行，則實(shí)數(shù)的值為_(kāi)_____.)3.已知直線【答案】1.【解析】【分析】利用兩直線平行列方程即可求得.a12ax+2y?1=0可化為：y=?x+(a+1x+4y?3=0可化為：)【詳解】直線，直線2a+134y=?x+.4aa+1?=?24a=1.因?yàn)閮芍本€平行，所以，解得：1342故答案：1.4.5x?y+2=0和直線3x+2y?7=0的夾角的大小為_(kāi)_____.π【答案】【解析】4【分析】分別求出兩直線的方向向量，利用向量的夾角公式即可求得.3【詳解】直線5x?y+2=0的方向向量為=()，直線3x+2y?7=0的方向向量為m=?m1,5，2所以直線5x?y+2=0和直線3x+2y?7=0的夾角的余弦值為：311+5?232,n==，mn2212+521+?22π，所以直線5x?y+2=0和直線3x+2y?7=0π因?yàn)閮芍本€的夾角的夾角為.24π故答案為：435.(?0)是某雙曲線的一個(gè)頂點(diǎn)，且該雙曲線的離心率為，則該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為_(kāi)_____.2x2y2?=1【答案】【解析】45【分析】由已知得a=2，【詳解】由已知得a=2，c=3，再利用2=c2?a2，進(jìn)而得解.bc32=c=3，ax2y2又b2=c2?a=9?4=5，所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為2?=1.45x2y2?=1.故答案為：45A(1,0)B0)?=2兩點(diǎn)，則滿足的動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程為_(kāi)_____.6.，Py=0(x)【答案】【解析】PA?PB=2=AB【分析】根據(jù)即可求解.A(0)，B0)PA?PB=2=AB,是兩個(gè)定點(diǎn)，則滿足【詳解】由于因此動(dòng)點(diǎn)的軌跡是AB的延長(zhǎng)線上且點(diǎn)在x軸上點(diǎn)()的右側(cè)（包含BB0=()y0x1，故答案為：y=0(x)(?)，兩點(diǎn)關(guān)于直線+?=對(duì)稱，則點(diǎn)B的坐標(biāo)為_(kāi)_____.A2xy1007.B【答案】【解析】b?2(?=?1+a5a?5b+22B(a,b)【分析】設(shè)點(diǎn)，由題意可得，求解即可.+?10=02B(a,b)【詳解】解：設(shè)點(diǎn)，x+y?10=0k=1，因?yàn)橹本€的斜率為b?2(?=?1+a5則有，a?5b+2+?10=022a=8解得：b=15，所以點(diǎn)B的坐標(biāo)為.故答案為：8.d=(12是直線l的一個(gè)方向向量，n是平面的一個(gè)單位法向量，且l⊥，則向量n的?)坐標(biāo)為_(kāi)_____.34123412【答案】(,,)或(?,?,).131313131313【解析】【分析】根據(jù)線面關(guān)系確定d與n共線的關(guān)系，再根據(jù)單位向量即可求解.是平面的一個(gè)單位法向量，d=(12是直線l的一個(gè)方向向量，l⊥?)n【詳解】根據(jù)，所以d與n共線，且n是單位向量，3,4,12)341212)3+4+(12)3412n=(,,)n或=(?,?,)所以+42+(12)2131313d22131313d334123412故答案為：(,,)或(?,?,).1313131313139.經(jīng)過(guò)點(diǎn))x2+y=r22的兩條切線，已知其中一條切線的方程為x=5，則另一條切線的，可作圓方程為_(kāi)_____（用一般式表示）4x?3y+=0【答案】【解析】x+y2=r2的圓心為(0)5yk(x5)，?=?2根據(jù)切線的基本性質(zhì)即可求解.【詳解】由題意，圓x+y=r2的圓心為(0)，半徑為，即r=5，22y?=kx?5)，即?y?5k+15=0(設(shè)另一條切線的方程為，?5k+1543=5，解得，k=所以2k+1420x?y?+15=04x3y0.?+=所以另一條切線的方程為，即334x?3y+=0故答案為：.10.a,2,a1，=(?)AC=(2a,b+?4)，且AB⊥AC，則BC______.為【答案】【解析】a,b【分析】根據(jù)向量垂直的數(shù)量積為，可求得，再利用向量的減法及模長(zhǎng)公式可求解.?)AC=(2a,b+?4)，且AB,2b,a1【詳解】，⊥AC，ABAC=2a2+bb+2)?4(a?)=0，+b+)=0，解得ab=(?)?(?)=(?)+b2?2a+b+2=(a?)2==1a22即又BCACAB4=?2,04BC=12+32+(4)=262故答案為：26x2y2()A+=1于B，C兩點(diǎn)，后者交軸于過(guò)點(diǎn)分別作斜率為2和3的兩條直線，前者交橢圓的周長(zhǎng)為_(kāi)_____.59D點(diǎn)，則【答案】12【解析】【分析】根據(jù)直線方程可得與軸的交點(diǎn)，進(jìn)而可知(角形即可求解周長(zhǎng).D2E2),()為橢圓的焦點(diǎn),故根據(jù)橢圓的焦點(diǎn)三y=2(x-)10?y2x+2，故直線與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)【詳解】由題意可知：直線方程為：()E2ADAD(?)D2軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為,為,方程為：y=3(x-)10?y3x-2，故直線與x2y2(?)()為橢圓的焦點(diǎn)故+=1可知a=b=,D2E25故由橢圓方程,,59BC+CD+AD=CE+CD+BE+BD=2a+2a=4a=12的周長(zhǎng)為，故答案為：1212.為直線x+2y?1=0?2xy?x+2x+1=0上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，為曲線4x4232線段長(zhǎng)度的最小值為_(kāi)_____.【答案】5【解析】11112y=2x2?x++1y=?x+的最小值即為與平行的直22x22線與4x4?2x2y?x3+2x+1=0相切時(shí)，兩平行線間的距離.利用導(dǎo)數(shù)求出切點(diǎn)坐標(biāo)，利用點(diǎn)到直線的距2離公式求解.112x+2y?1=0y=?x+【詳解】直線可化為：.24x4?2x2y?x3+2x2+1=0.x0.對(duì)于曲線x=01=0不成立，所以當(dāng)時(shí)，代入1111=2?x++1，導(dǎo)數(shù)為y=4x??23所以4x4?2x2y?x3+2x2+1=0可化為y2x22x2x1212=?x+4x42xyx2x2+1=0?2?3+y所以線段的最小值即為與平行的直線與相切時(shí)，兩平行線間的距離.設(shè)切點(diǎn)().Q,n1111224m??=?4m=m=3m32m21由題意可得：，即，解得：或1112n=2m2?m++1n=2m2?m++12n=3?22m222m42m=?2.2n=3+422222+23??1Q,3?4當(dāng)時(shí)，；24==512+222222?+23+?1Q?,3+24.當(dāng)時(shí)，24==512+22長(zhǎng)度的最小值為5.綜上所述：線段故答案為：5.二、選擇題（每小題3分，共12分）y2x2?=1的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（13.雙曲線）54()()1(3,0)(3)D.1,0A.B.C.【答案】D【解析】c【分析】根據(jù)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程確定，從而可以確定焦點(diǎn)坐標(biāo).【詳解】雙曲線a2=b=4，2所以c且焦點(diǎn)所以焦點(diǎn)坐標(biāo)為2=a2+b2=5+4=9，軸，()3.故選：D.14.設(shè)直線l的方向向量是a，平面的法向量是n，則“a⊥n”是“l(fā)”的（）A.充分不必要條件C.充要條件【答案】BB.必要不充分條件D.既不充分也不必要條件【解析】【分析】根據(jù)線面平行的位置關(guān)系及直線的方向向量、平面的法向量定義再結(jié)合充分必要條件的定義判斷即可.【詳解】由l，得：an，則a“⊥n”是“l(fā)”的必要條件，⊥而a⊥n不一定有l(wèi)，也可能l故選：B.“⊥n”不是“l(fā)”的充分條件，則a.()在圓x+y+ax+a=0外，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（1）2215.已知點(diǎn)(+)(0)A.C.B.D.(?)(+)()(+),01,0【答案】C【解析】【分析】利用點(diǎn)在圓外，列不等式組，即可解得.【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)()在圓x+y+ax+a=0外，222a?a0a(?)(+)1,0.所以4，解得：12+1+a1+a02故選：Cx22y22x=a?=1的兩條漸近線分別交于M，N兩點(diǎn)，為該雙曲線上的任意一16.已知直線與雙曲線ab1點(diǎn)，設(shè)O為原點(diǎn)，nON，=+m，n為實(shí)數(shù)，則的值為（）A.1B.2C.3D.4【答案】D【解析】(+?)P,【分析】求出雙曲線漸近線方程，得到M，點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而得到N，代入雙曲線方程，即可得出結(jié)果.b【詳解】由已知可得，雙曲線的漸近線方程為y=x，ax=ay=b()(?)Na,b.Ma,b代入可得，不妨設(shè)，=m,b+n,b=(+,?nb)，()()由=+nON可得P(+,?nb).(+)2(?)nb2na因?yàn)椋c(diǎn)在雙曲線上，有?=1，a2b21(+)即mn2?(?)2=1，所以==4.mn1，所以故選：D.三、解答題（共52分）l:ax+y?a=0l:x?ay+6a?3=0.217.已知直線和直線1（1）求證：對(duì)任意實(shí)數(shù)，直線和各經(jīng)過(guò)一個(gè)定點(diǎn)（依次設(shè)為A和BA，B的坐標(biāo)；ll21（2）設(shè)直線和交于點(diǎn)，求證：點(diǎn)的軌跡是一個(gè)圓，并求其標(biāo)準(zhǔn)方程ll.120)6)B【答案】（）證明過(guò)程見(jiàn)詳解；A（2）證明過(guò)程見(jiàn)詳解；(x?2)2+(y?2=10【解析】kk=?1證明AP⊥BP2定圓心和半徑即可求解.【小問(wèn)1詳解】1:ax+y?a=0l:a(x?+y=0，1可以轉(zhuǎn)化為：l0);所以經(jīng)過(guò)定點(diǎn)A1l2:x?ay+6a?3=0l:x+(6?y)a?3=02可以轉(zhuǎn)化為：，lB(3,6).所以經(jīng)過(guò)定點(diǎn)2【小問(wèn)2詳解】l:ax+y?a=01聯(lián)立解得，l2:x?ay+6a?3=02?6a+3ax=y=2+1a，6a2?2a+1a2所以P(a2?6a+36a2?2a+1,)，a2+1a26a2?2a+1a6a2?2a+1?0a2a2k===?a，所以APa2?6+3?6a+2?1?2a?6+12+1a2+1a6a2?2a+1?6+3?61a2a2kBP===，a2a?2a2?6aa?3a2+1a+12kk=?1，所以所以APBP，⊥所以點(diǎn)的軌跡是以AB為直徑的圓，1圓心為：(2,，半徑為R=?2+(6?0)=10.2=10，2標(biāo)準(zhǔn)方程是：(x?2)2+(y?2所以圓18.如圖，四面體的各棱長(zhǎng)均為2，E，F(xiàn)分別為棱DA，的中點(diǎn)，又設(shè)=a，DB=b，=c；（1）用向量a，b，c的線性組合表示向量，；（2）求向量，的夾角的大小.DF=b+c【答案】（）BE=a?b,22223（2）arccos?【解析】）根據(jù)空間向量的線性運(yùn)算即可求解，（2）根據(jù)向量的夾角公式即可求解.【小問(wèn)1詳解】()BE=?=a?b,=+=b+c2222【小問(wèn)2詳解】2為正四面體，所以a，b，c兩兩夾角為60由四面體各棱長(zhǎng)均為，可知四面體，因此1a=b=c=ab=ac=bc=22=2，22BEDF=a?bb+c=ab+ac?b?bc=?b=?2，224422212a?b=a+b?ab=，b+c=b+c+cb=34224422a?bb+c?22BE==，12BEa?bb+c2223，π，所以BE=?由于BEABCD?ABCDAA1==1；上的點(diǎn)，且119.已知正方體的棱長(zhǎng)為，E，F(xiàn)分別為棱，11111如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系；利用所學(xué)空間向量知識(shí)，求：EFC（1A到平面的距離；1EFCABCD所成的銳二面角的大小.1（2）平面與平面11113147【答案】（）31414（2）【解析】ACEFC）求出點(diǎn)的坐標(biāo)，利用點(diǎn)A到平面的距離為，即可求解；1n（2）利用空間向量方法求面面夾角.【小問(wèn)1詳解】由已知得(C0,0,0)，()，(E)，A3)F3,0,21=)CF=3,0,2)1=(3)則1E設(shè)平面，，1n=(x,y,z)，EFC的法向量為1n+3y+z=0x=2=(??)n3，則則，令nCF=3x+2z=01AC+3+96614314EFC===所以點(diǎn)A到平面的距離為14+1+9n14147小問(wèn)2詳解】n=(??)3，EFC由（）知，平面的法向量為1)，ABCDCC=(0,31平面的法向量為1111EFCABCD所成的銳二面角為，則1111設(shè)平面與平面19331414314cos=cosC,n===，即=，Cn14314314EFCABCD所成的銳二面角為1所以平面與平面.111114k2x2?y2=1(k0)的兩條漸近線與圓(x+2)2+2y=5在x軸的上方部分交于A，B20.如圖，雙曲線兩點(diǎn).k+1x)b，的+bx+c=0的兩個(gè)根，求c（1）已知A，B兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)x和x恰為關(guān)于的方程x2212值；（2）如果線段AB的長(zhǎng)為k的值.【答案】（）b=c=?1；（2）.【解析】y=x的方1）由題意可知雙曲線的兩條漸近線方程為程，再根據(jù)A，B兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)x和xb,c為方程的兩個(gè)根，從而可求出；12(x,?B(x,)（2）由題意得，再根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式和根與系數(shù)的關(guān)系可求出k的值.1122【小問(wèn)1詳解】y=由題意可知雙曲線的兩條漸近線方程為，y=，得(x+2)2+k2x2=5由，(+)2+y2=5x2化簡(jiǎn)得(k2+x2+4x?1=0，k+1x+bx+c=0的兩個(gè)根，)因?yàn)锳，B兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)x1和x恰為關(guān)于的方程x222所以b=c=?1；【小問(wèn)2詳解】(x,?B(x,)由題意得，2112AB=(x?x)2+k2(x+x)2=2，所以所以1212(x?x)2+k2(x+x)2=4，1212所以+k2)x21+(2k2?2)xx++k2)22=4，12+k+k22)(x21+22)+(2k2?2)xx=4即即，12)(x+x)2?4xx=4，121241x+x=,xx=12由（）可知，122+12+1kk16+1所以+k2)+4=4，(k222k+1化簡(jiǎn)得k2+1=5，解得k=2或k=2（舍去）中，()是軸正半軸上的一點(diǎn)；過(guò)P作斜率為?1的直線，交二Pa.xOyy21.，在平面直角坐標(biāo)系1次函數(shù)y=2圖象于Q，R兩點(diǎn)；如圖2，把平面xOy沿y軸折起來(lái)，成為一個(gè)直二面角x4Q?OP?R；如圖3，建立空間直角坐標(biāo)系O?.xOy（1）如圖3，上述二次函數(shù)在折疊后有一部分圖象位于平面上，設(shè)S是該曲線上的一點(diǎn)；如果的最小值，并求此時(shí)S在空間直角坐標(biāo)系O?a=3，試求中的坐標(biāo)；π=QPR（2）如圖3，如果（的值.aPRQPRS27,7,0)【答案】（）有最小值為217，此時(shí)；a=24.（2）【解析】）根據(jù)已知求出點(diǎn)Q在圖1中的坐標(biāo)，然后轉(zhuǎn)化為在圖3的坐標(biāo)根據(jù)已知設(shè)出S的坐標(biāo)，根據(jù)兩點(diǎn)之間的距離公式列出關(guān)系式，即可求出最小值；（2）聯(lián)立直線與二次函數(shù)的方程可解出Q,R=22(a+1+)的坐標(biāo)，進(jìn)而得到，=22(a+1?).然后根據(jù)坐標(biāo)關(guān)系可得出Q,R在空間直角坐標(biāo)系下的坐標(biāo)，得到2πRQ2=24a+32，在【小問(wèn)1詳解】中，根據(jù)余弦定理可解出QPR=.然后即可得到等量關(guān)系，求出結(jié)果.3y=?x+3a=3時(shí)，直線方程為.解：當(dāng)14y=x2x=2x=?61聯(lián)立直線方程與二次函數(shù)y=x2的方程可解