高等數(shù)學(xué)（第2版）課件：極限

極限二數(shù)列的極限一三函數(shù)的極限函數(shù)極限的性質(zhì)基本信息數(shù)列的極限一、數(shù)列定義:對每個正整數(shù)n,如果按照一定法則，對應(yīng)著一個確定的實數(shù)xn,

這些實數(shù)按下標(biāo)n從小到大排列得到的序列例:數(shù)列即為自變量取正整數(shù)的函數(shù),觀察這組數(shù)列,當(dāng)n無限增大時的變化趨勢?稱為數(shù)列，記為{xn

}，

xn稱為通項。注：基本信息數(shù)列的極限1、描述型定義否則稱數(shù)列發(fā)散.當(dāng)n

無限增大時,xn與定常數(shù)a

無限接近,則稱a

是數(shù)列{xn

}的極限，或數(shù)列{xn

}收斂于a,記為二、數(shù)列的極限基本信息數(shù)列的極限2、數(shù)列極限的ε-N定義當(dāng)n>N

時,總有或者稱數(shù)列收斂于a

,記作則稱該數(shù)列{xn

}的極限為a,1.關(guān)于ε任意變小，描述了與的無限接近程度.相對固定，根據(jù)給定的ε找N．2.關(guān)于N依賴于ε，有時可記作N（ε）.不唯一.注：基本信息數(shù)列的極限基本信息數(shù)列的極限例1基本信息數(shù)列的極限定理1.2.1收斂數(shù)列一定有界.3、收斂數(shù)列的性質(zhì)逆命題不一定成立.雖有界但不收斂.注：基本信息數(shù)列的極限找矛盾，得原結(jié)論成立.分析已知條件：只有兩個不等式，即數(shù)列在兩個區(qū)間,因此，任給的ε要取同一個，若數(shù)列所在的兩個區(qū)間沒有交集，則能得到矛盾.由極限為a,得數(shù)列所在的區(qū)間是以a為中心,ε為半徑的鄰域；由極限為b,得數(shù)列所在的區(qū)間是以b為中心,ε為半徑的鄰域.由圖知,只要半徑ε兩鄰域就沒有交集,得矛盾,證明完成.分析:

用反證法.及且定理1.2.2

收斂數(shù)列的極限唯一.假設(shè)()()基本信息函數(shù)的極限對于函數(shù)f(x),自變量的變化形式：兩大類共六種2、自變量趨于有限值時函數(shù)的極限1、自變量趨于無窮大時函數(shù)的極限基本信息函數(shù)的極限一、自變量趨于無窮大時函數(shù)的極限當(dāng)自變量的絕對值無限增大時，對應(yīng)的函數(shù)值無限接近于某個確定的常數(shù)A，1、描述性定義當(dāng)x

限制為正值（或負值）時，即有2、定理基本信息函數(shù)的極限Ex1：解：Ex2：證明：基本信息函數(shù)的極限3、數(shù)學(xué)定義設(shè)函數(shù)f(x)當(dāng)|x|大于某一正數(shù)時有定義，A為一個常數(shù)。同理：基本信息函數(shù)的極限二、自變量趨于有限值時函數(shù)的極限1、描述型定義設(shè)函數(shù)f(x)在的某一去心鄰域內(nèi)有定義，A是一個常數(shù)，時，對應(yīng)的函數(shù)值無限接近A，時的極限，記作2、數(shù)學(xué)定義設(shè)函數(shù)f(x)在的某一去心鄰域內(nèi)有定義，A是一個常數(shù)，則稱A為函數(shù)f(x)當(dāng)時的極限，記作當(dāng)x無限接近則稱A為函數(shù)f(x)當(dāng)基本信息函數(shù)的極限3、左（右）極限（或單側(cè)極限）引例：考慮函數(shù)：當(dāng)x從0的右側(cè)趨向0時，當(dāng)x從0的左側(cè)趨向0時，1-1xyo(1)左極限:則稱A為函數(shù)f(x)當(dāng)時的左極限，記作(2)右極限:則稱A為函數(shù)f(x)當(dāng)時的右極限，記作基本信息函數(shù)的極限4、定理注：1、常用于判斷極限不存在：2、常用于計算分段函數(shù)在分段點處的極限?；拘畔⒑瘮?shù)的極限解:所以不存在.基本信息函數(shù)的極限Ex1:解：Ex2:解：則k=3.基本信息極限的性質(zhì)1、(極限的唯一性)這里僅給出時函數(shù)的極限的性質(zhì)，其余情況類似。2、(局部有界性)3、(局部保號性)推論：基本信息數(shù)列極限描述型定義ε-N定義定義性質(zhì)有界性唯一性函數(shù)極限1、自變量趨于有限值時函數(shù)的極限2、自變量趨于無限大時