高等數(shù)學(xué)（第二版）上冊(cè)課件：定積分的幾何應(yīng)用

例如橢圓，阿基米德螺線

等.

定積分的幾何應(yīng)用5.6.2平面圖形的面積5.6.1定積分的微元法5.6.3旋轉(zhuǎn)體的體積預(yù)備知識(shí)：定積分定義的四個(gè)步驟，即分割、近似、求和、取極限；直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)下常見曲線的圖形，5.6.4

平面截面面積已知的立體體積

本節(jié)課我們來(lái)研究定積分在幾何上的應(yīng)用.首先來(lái)介紹一種分析方法.5.6.1

定積分的微元法定積分定義中，求在上的積分，采用的分割、近似、求和、取極限的方法，由此啟發(fā)，我們可以將一些實(shí)際問題中有關(guān)量的計(jì)算問題歸結(jié)為定積分的計(jì)算．如果某一實(shí)際問題中所求的量符合下列條件:(1)所求量（例如面積）與自變量的變化區(qū)間有關(guān)；(3)所求量可表示為定積分：(2)所求量對(duì)于區(qū)間具有可加性，總量可以分為若干分量之和，必備條件：一般地，如果所求量與變量的變化區(qū)間有

關(guān)，且對(duì)區(qū)間

具有可加性，在上任取一個(gè)小區(qū)間，然后求出在這個(gè)小區(qū)間的部分量的近似值，稱為可得到所求量的積分表達(dá)式：的微元(或稱元素)，以它作為被積表達(dá)式，即這種方法稱為微元法（或元素法）．下面，我們利用微元法來(lái)解決一些幾何中的實(shí)際問題．..

設(shè)平面圖形由連續(xù)曲線

和直線

圍成，其中，我們來(lái)求它的面積5.6.2平面圖形的面積1.直角坐標(biāo)情形取為積分變量，它的變化區(qū)間為，我們?cè)谏先稳∫恍^(qū)間與這個(gè)小區(qū)間對(duì)應(yīng)窄邊形的面積近似地等于高為，底為的窄矩形的面積，從而得到面積微元：類似地，若平面圖形如右圖：面積為則可取

作積分變量，則其則所求面積為解兩曲線的交點(diǎn)面積元素選為積分變量例5.6.1

計(jì)算由所圍成的圖形面積.解兩曲線的交點(diǎn)選為積分變量例5.6.2

求拋物線與直線所圍的平面圖形的面積..

例5.6.3

求橢圓

所圍圖形的面積.解因?yàn)闄E圓關(guān)于兩坐標(biāo)軸對(duì)稱，所以橢圓所圍圖形的面積是第一象限內(nèi)那部分面積的4倍，對(duì)橢圓在第一象限部分的面積,取

作積分變量,,面積元素

..

所以應(yīng)用定積分換元法，令則，當(dāng)

時(shí)，；當(dāng)時(shí)，

于是..

練習(xí)

求由及直線

所圍的平面圖形的面積．

解由方程組解得兩曲線的交點(diǎn)為如圖6-9所示．取作積分變量，當(dāng)時(shí)，面積元素當(dāng)時(shí)，..

面積元素因此有2.極坐標(biāo)情形

有些平面圖形，尤其是旋轉(zhuǎn)曲線所包圍的圖形，用極坐標(biāo)來(lái)計(jì)算比較簡(jiǎn)單.設(shè)曲邊扇形是由曲線

及射線所圍成的圖形.該圖形的面積同樣也可以用微元法分析，其面積元素為以此作定積分，得所求曲邊扇形的面積公式為：例5.6.4

計(jì)算阿基米德螺線

上相應(yīng)于

從

變到

的一段弧與極軸所圍成的圖形的面積.分析：先求任取一小區(qū)間

的窄曲邊扇形的面積.解

由上面分析，易得面積元素于是所求面積為

旋轉(zhuǎn)體就是由一個(gè)平面圖形繞著平面內(nèi)一條直線旋轉(zhuǎn)一周而成的立體．這直線叫做旋轉(zhuǎn)軸．圓柱圓錐圓臺(tái)5.6.3旋轉(zhuǎn)體的體積設(shè)旋轉(zhuǎn)體是由連續(xù)曲線

，直線，以及

軸所圍成的曲邊梯形繞

軸旋轉(zhuǎn)一周而成的．取

作積分變量，在

區(qū)間上任取一小區(qū)間

，相應(yīng)的窄邊梯形繞

軸旋轉(zhuǎn)而成的薄片的體積近似等于以

為底半徑，以為高的扁圓柱體的體積．從而得體積元素于是所求旋轉(zhuǎn)體的體積為xyo..

例5.6.5

計(jì)算由橢圓所圍圖形繞軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體(見圖6-11)的體積．解

這個(gè)旋轉(zhuǎn)體實(shí)際上就是半個(gè)橢圓

及軸所圍曲邊梯形繞作積分變量，，體積元素軸旋轉(zhuǎn)而成的立體，取.所以，所求體積特別地，當(dāng)時(shí)就得到半徑為的球的體積為

類似地，若旋轉(zhuǎn)體是由曲線

，直線和軸所圍成的曲邊梯形繞軸旋轉(zhuǎn)一周而成的，則其體積為..

練習(xí)

求由曲線和軸所圍圖形繞一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積．軸旋轉(zhuǎn)..

解如圖6-12所示，的反函數(shù)分為兩支，和因此，所求的旋轉(zhuǎn)體的體積為5.6.4平面截面面積已知的立體體積則所求立體的體積為

假設(shè)有一立體，在分別過點(diǎn)

且垂直于

軸的兩平面之間，它被垂直于

軸的平面所截的截面面積為已知的連續(xù)函數(shù)

，求該立體的體積．.

取

為積分變量，積分區(qū)間為

，在

上取一個(gè)區(qū)間微元

，相應(yīng)于該薄片的體積近似于底面積為

，高為

的扁柱體體積，即體積微元為例5.6.6

設(shè)有一底圓半徑為

的圓柱，被一與圓柱面底圓直徑交角為

的平面所截，求截下的楔形體體積．解

底圓方程為

，立體中過點(diǎn)

且垂直于軸的截面是直角三角