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分部積分法引言上一節(jié)我們提到了有很多看似簡(jiǎn)單的函數(shù)利用換元法是無(wú)法求出積分的，諸如

等，像此類的不定積分，需要用到求不定積分的另一種基本方法――分部積分法．移項(xiàng)得對(duì)這個(gè)等式兩邊求不定積分，得此公式稱為分部積分公式.如果積分不易求,而積分比較容易時(shí),用分部積分公式就可以計(jì)算了.具體推導(dǎo)過(guò)程如下：設(shè)函數(shù)及具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)．那么，兩個(gè)函數(shù)乘積的導(dǎo)數(shù)公式為通常將上式變形，得到如下更易記憶的形式:

1.仔細(xì)觀察，將被積函數(shù)分成兩部分和，并變?yōu)榈男问剑?.代入公式，計(jì)算，使；3.計(jì)算，從而算出整個(gè)積分值.分部積分法可分為以下幾步完成：解(1)若選擇，，則，于是

例4.3.1

求

分析由于被積函數(shù)是是兩個(gè)函數(shù)的乘積,選其中一個(gè)為,那么另一個(gè)即為．到底誰(shuí)為呢？我們不妨兩種都試一下.這樣做的結(jié)果就是新得到的部分比原積分更加難求，因此這種選擇行不通.(2)若選擇，，于是由此例可以看到，如果和選取不當(dāng)，就求不出結(jié)果．所以應(yīng)用分部積分法時(shí)，恰當(dāng)選取和是關(guān)鍵，一般以比易求出為原則.

例4.3.2求下列不定積分.(1)；(2).分析兩道例題皆是含有，若將其作為，則很難得到，因此.解：(1)

(2)

例4.3.3求下列不定積分.(1)；(2).分析兩道例題皆是含有反三角函數(shù)，若將其作為，同樣很難得到，因此只能將其作為.解（1）

(2)若被積函數(shù)是指數(shù)為正整數(shù)的冪函數(shù)(或常函數(shù))和對(duì)數(shù)函數(shù)或反三角函數(shù)的乘積，就可以考慮用分部積分法，并選擇冪函數(shù)為．反之，若被積函數(shù)是指數(shù)為正整數(shù)的冪函數(shù)(或常函數(shù))和指數(shù)函數(shù)或三角函數(shù)的乘積，就可以考慮用分部積分法，并選擇冪函數(shù)為．．解

分析被積函數(shù)是冪函數(shù)(指數(shù)為正整數(shù))和三角函數(shù)的乘積，選擇冪函數(shù)為容易求解.例4.3.4求

例4.3.5求．解類似的方法可求

例4.3.6求．解令，則.于是

例4.3.7求.令

，解則

.

*例4.3.8求．解思考

試求.小

結(jié)

本節(jié)以分部積分法為重點(diǎn)，解決了一大類典型函數(shù)的積分問題，為以后的章節(jié)打下了基礎(chǔ).目前為止，我們已經(jīng)學(xué)習(xí)不定積分的兩種主要方法——換元法和分部積

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