高等數(shù)學(xué)（第三版）課件：偏導(dǎo)數(shù)

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偏導(dǎo)數(shù)一、偏導(dǎo)數(shù)二、高階偏導(dǎo)數(shù)1.偏導(dǎo)數(shù)的定義

．在點(diǎn)定義

設(shè)函數(shù)的某鄰域內(nèi)有定義,,而在取得增量時(shí),函數(shù)相應(yīng)取得如果極限存在,在點(diǎn)處對或增量(稱為偏增量):固定的偏導(dǎo)數(shù),記為則稱此極限值為函數(shù)一、偏導(dǎo)數(shù)

類似地,函數(shù)在點(diǎn)處對記為

或偏導(dǎo)數(shù)定義為:的2.偏導(dǎo)數(shù)的求法例1:

求z=x2+3xy+y2在點(diǎn)(1,2)處的偏導(dǎo)數(shù).解

把

y看成常數(shù),得把

x看成常數(shù),得例2

求函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)．解:例3

設(shè),證明:證

因?yàn)?/p>

所以例4:

已知理想氣體的狀態(tài)方程PV=RT(R為常數(shù).)證:

因?yàn)榍笞C:所以=1偏導(dǎo)數(shù)的記號是一個(gè)整體,不能看成微商,否則導(dǎo)致運(yùn)算錯(cuò)誤．例5:求在點(diǎn)(0,0)處的偏導(dǎo)數(shù).解:=0

注意:

二元函數(shù)在某點(diǎn)存在偏導(dǎo)數(shù),并不能保證函數(shù)在該點(diǎn)連續(xù),與一元函數(shù)可導(dǎo)必連續(xù)是不相同的．3.偏導(dǎo)數(shù)的幾何意義是曲面與平面的交線在點(diǎn)處的切線軸的斜率.

對是曲面與平面的交線在點(diǎn)處的切線軸的斜率.對二、高階偏導(dǎo)數(shù)函數(shù)它們都是的函數(shù),如果這兩個(gè)函的偏導(dǎo)數(shù)也存在,則稱它們的偏導(dǎo)數(shù)的二階偏導(dǎo)數(shù)．

數(shù)關(guān)于是的二個(gè)偏導(dǎo)數(shù)四個(gè)二階偏導(dǎo)數(shù)二階混合偏導(dǎo)數(shù)

類似地,可定義三階、四階以至階偏導(dǎo)數(shù)，二階及二階以上的偏導(dǎo)數(shù)稱為高階偏導(dǎo)數(shù)，而和稱為函數(shù)的一階偏導(dǎo)數(shù)．例6:

設(shè)

z=x3y23xy3

xy+1,解:及

求

定理１如果函數(shù)的兩個(gè)二階混合偏導(dǎo)在區(qū)域內(nèi)連續(xù),則對任何有數(shù)即二階混合偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)的條件下,混合偏導(dǎo)數(shù)與求導(dǎo)的次序

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