高中數(shù)學(xué) 第二章 圓錐曲線與方程 專(zhuān)題突破二 焦點(diǎn)弦的性質(zhì)課件 新人教B版選修2-1-新人教B版高二選修2-1數(shù)學(xué)課件

專(zhuān)題突破二焦點(diǎn)弦的性質(zhì)第二章圓錐曲線與方程拋物線的焦點(diǎn)弦是考試的熱點(diǎn)，有關(guān)拋物線的焦點(diǎn)弦性質(zhì)較為豐富，對(duì)拋物線焦點(diǎn)弦性質(zhì)進(jìn)行研究獲得一些重要結(jié)論，往往能給解題帶來(lái)新思路，有利于解題過(guò)程的優(yōu)化.一、焦點(diǎn)弦性質(zhì)的推導(dǎo)例1

拋物線y2＝2px(p>0)，設(shè)AB是拋物線的過(guò)焦點(diǎn)的一條弦(焦點(diǎn)弦)，F(xiàn)是拋物線的焦點(diǎn)，A(x1，y1)，B(x2，y2)(y1>0，y2<0)，A，B在準(zhǔn)線上的射影為A1，B1.證明①當(dāng)AB⊥x軸時(shí)，②當(dāng)AB的斜率存在時(shí)，設(shè)為k(k≠0)，代入拋物線方程y2＝2px，證明當(dāng)θ≠90°時(shí)，過(guò)A作AG⊥x軸，交x軸于G，由拋物線定義知|AF|＝|AA1|，在Rt△AFG中，|FG|＝|AF|cosθ，由圖知|GG1|＝|AA1|，當(dāng)θ＝90°時(shí)，可知|AF|＝|BF|＝p，證明|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋x2＋p當(dāng)且僅當(dāng)θ＝90°時(shí)取等號(hào).故通徑為最短的焦點(diǎn)弦.證明由(2)可得，(6)以AB為直徑的圓與拋物線的準(zhǔn)線相切；證明如圖：⊙M的直徑為AB，過(guò)圓心M作MM1垂直于準(zhǔn)線于點(diǎn)M1，故以AB為直徑的圓與準(zhǔn)線相切.(7)A，O，B1三點(diǎn)共線，B，O，A1三點(diǎn)也共線.代入y2＝2px得y2－2pmy－p2＝0.由(1)可得y1y2＝－p2.所以直線AB1過(guò)點(diǎn)O.所以A，O，B1三點(diǎn)共線，同理得B，O，A1三點(diǎn)共線.二、焦點(diǎn)弦性質(zhì)的應(yīng)用例2

(1)設(shè)F為拋物線C：y2＝3x的焦點(diǎn)，過(guò)F且傾斜角為30°的直線交C于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則△OAB的面積為

√解析方法一由題意可知，直線AB的方程為設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，方法二運(yùn)用焦點(diǎn)弦傾斜角相關(guān)的面積公式，(2)已知F為拋物線C：y2＝4x的焦點(diǎn)，過(guò)F作兩條互相垂直的直線l1，l2，直線l1與C交于A，B兩點(diǎn)，直線l2與C交于D，E兩點(diǎn)，則|AB|＋|DE|的最小值為

A.16 B.14C.12 D.10√解析方法一拋物線C：y2＝4x的焦點(diǎn)為F(1,0)，由題意可知l1，l2的斜率存在且不為0.不妨設(shè)直線l1的斜率為k，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，同理得|DE|＝4＋4k2，故|AB|＋|DE|的最小值為16.點(diǎn)評(píng)上述兩道題目均是研究拋物線的焦點(diǎn)弦問(wèn)題，涉及拋物線焦點(diǎn)弦長(zhǎng)度與三角形面積，從高考客觀題快速解答的要求來(lái)看，常規(guī)解法顯然小題大做了，而利用焦點(diǎn)弦性質(zhì)，可以快速解決此類(lèi)小題.跟蹤訓(xùn)練過(guò)拋物線y2＝2x的焦點(diǎn)F作直線交拋物線于A，B兩點(diǎn)，若|AB|＝

，|AF|<|BF|，則|AF|＝___.12345√達(dá)標(biāo)檢測(cè)DABIAOJIANCE2.直線l過(guò)拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)，與拋物線交于A，B兩點(diǎn)，若|AB|＝8，則直線l的方程為

A.y＝－x＋1 B.y＝x－1C.y＝－x＋1或y＝x－1 D.以上均不對(duì)12345√則tanα＝±1，又直線過(guò)拋物線焦點(diǎn)，∴直線l的方程為y＝－x＋1或y＝x－1.故選C.3.直線l過(guò)拋物線y2＝－2px(p>0)的焦點(diǎn)，且與該拋物線交于A，B兩點(diǎn)，若線段AB的長(zhǎng)是8，AB的中點(diǎn)到y(tǒng)軸的距離是2，則此拋物線的方程是

A.y2＝－12x

B.y2＝－8xC.y2＝－6x

D.y2＝－4x12345√解析設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，根據(jù)拋物線的定義可知|AB|＝－(x1＋x2)＋p＝8.∴x1＋x2＝－4，∴p＝4，∴所求拋物線的方程為y2＝－8x.故選B.12345解析拋物線的焦點(diǎn)為F(1,0)，準(zhǔn)線方程為x＝－1.由拋物線定義知|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋x2＋p，即x1＋x2＋2＝7，得x1＋x2＝5，4.過(guò)拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)作直線交拋物線于點(diǎn)A(x1，y1)，B(x2，y2)，若|AB|＝7，則AB的中點(diǎn)M到拋物線準(zhǔn)線的距離為_(kāi)____.又準(zhǔn)線方程為x＝－1，123455.過(guò)拋物線焦點(diǎn)F的直線與拋物線相交于A，B兩點(diǎn)，若點(diǎn)A，B在拋物線準(zhǔn)線上的射影分別為A1，B1，則∠A1FB1為_(kāi)_______.90°解析設(shè)拋物線方程為y2＝2px(p>0)，如圖.∵|AF|＝|AA1